n e x i E B B z dx dn

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1 Vorlesung Physi III WS 01/013 Es ann also nur eine Normalomponente von D und eine Tangentialomponente von H existieren, die Tangentialomponente von E, sowie die Normalomponente von B vershwinden. Daraus olgen soort die Randbedingungen: n n E 0 n B 0 mit als Normalen-Einheitsvetor senreht ur Wandlähe. Die Randbedingung ür das longitudinale eletrishe Feld lautet dann einaherweise: E Wand 0 Die Randbedingung ür das longitudinale magnetishe Feld olgt aus B t i e E B t t einer unserer Gleihungen (Maxwellrelationen n e x Wählt man.b. ür ein athesishes Koordinatensystem und betrahtet nur diese x-komponente der Gleihung, so olgt: Bx ie B B dx dn y Die x-komponente von B (senreht ur Wand) ist aber an der Wand ebenso Null, wie die y-komponente von E (parallel ur Wand). Daraus olgt und gilt auh allgemein: B n Wand 0

2 Vorlesung Physi III WS 01/013 Aus unseren Lösungen i E E e B t t t i B B e E t t t wird lar, dass es wei Klassen von Lösungen gibt: TM-Wellen (transversal magnetish, auh E-Wellen genannt) mit B 0 und E 0 Wand TE-Wellen (transversal eletrish, auh H-Wellen genannt) mit E B 0 und 0 n Wand Anmerung: TEM-Wellen mit nur transversalen Feldern existieren auh. Beispiel: Koaxialleitung, Leherleitung (später mehr)

3 Vorlesung Physi III WS 01/013 Wir beshränen uns jett au die Klasse der TM-Wellen, die eine longitudinale eletrishe Feldomponente besiten und es gilt dann E t t mit i E i H e E t t Die transversalen Felder sind also diret miteinander verbunden und es olgt 1 Ht e Et e Et Z TM heißt ot auh ut-o - Wellenahl mit ZTM Einheit: V/A = dem Wellenwiderstand der Leitung. Kennen wir also E, so ennen wir alle Felder der Wellenausbreitung. Wegen der angenommenen -Abhängigeit galt t t E E Dies gilt natürlih speiell auh ür die - Komponente von E, also E r (, ) E ( x, y) 0 t t Zusammen mit E Wand 0 haben wir ein Eigenwertproblem u lösen, dass uns die transversale Verteilung der longitudinalen eletrishen Feldstäre ergibt. 0

4 Vorlesung Physi III WS 01/013 Analog ann im Fall der TE-Wellen verahren werden (siehe Literatur) Die georderten Randbedingungen werden von einer ganen Reihe von beannten Funtionen erüllt. Dies sind die Sinus- und Cosinus- Funtionen bei rehteigem Quershnitt (Rehte-Hohlleiter) und die Besseluntionen bei rundem Quershnitt (Zylindrisher Hohlleiter). Für die Klasse der TM-, TE-Moden existieren unendlih viele Lösungen (Moden). Die wihtigsten Lösungen sind die Grundmoden. r

5 Vorlesung Physi III WS 01/013 Rehteiger Hohlleiter Im Fall athesisher Koordinaten lautet das Randwertproblem bei.b. TE- Wellen t B ( x, y) 0 Lösungen sind die trigonometrishen Funtionen. Bei Einseten der Lösung in die Randwertgleihung entsteht die harateristishe Gleihung (Pythagoras der Wellenahlen). x y 0 x y 0 5 Hier ist m x a n y b x y 0 mit mn, gane Zahlen Die Wellenahl der reien Ausbreitung 0 wird also in einen longitudinalen Anteil und einen transversalen Anteil augespalten. Für den transversalen Anteil (ut-o Wellenahl) shreibt man auh Damit olgt Mode TM mn bw. TE mn m n x y a b 0

6 Vorlesung Physi III WS 01/013 Eine Wellenausbreitung ist also nur möglih, wenn reell ist. Damit ergeben sih die beiden Mögliheiten reell ( Wellenausbreitung) 0 0 omplex ( Dämpung) Eine Wellenausbreitung ist also nur ür Wellenahlen oberhalb der ut-o Wellenahl bw. oberhalb der ut-o Frequen möglih mit den Frequenen (Dispersionsrelation) Für die ut-o Frequen olgt dann 1 Die Ausbreitung der Welle entlang erolgt.b. ür B B ( x, y,, t) B ( x, y) exp i t Orte mit onstanter Phase C breiten sih mit einer Phasengeshwindigeit v ph aus: t C t C d vph dt 1 Für die Gruppengeshwindigeit gilt mit v gr d d 1 v v gr ph

7 Vorlesung Physi III WS 01/013 Dispersionsdiagramm ür Rehtehohlleiter: a = 3 m b = m m n a b m n a b tan tan vph d tan vgruppe d

8 Vorlesung Physi III WS 01/013 Beispiel 1: Rehteiger Hohlleiter Für die Praxis am wihtigsten ist die TE 10 - Grundmode. Ex 0 TE(10)-Mode x Ey E0 sin exp( i )exp( it) a E 0 x Bx Bx,0 sin exp( i )exp( it) a B 0 y x B ib,0 os exp( i )exp( it) a

9 Vorlesung Physi III WS 01/013 Beispiel : Zylindrisher Hohlleiter Bei runden Hohlleitern stellt man die Feldoniguration am besten in Zylinderoordinaten (r,, ) dar. In diesem System lieert die Lösung der Wellengleihung Besselun-tionen anstelle der trigonometrishen Funtionen. r Die ür die Beshleunigerphysi wihtigste Mode ist die TM 01 -Mode. Sie besitt das georderte longitudinale E-Feld in Strahlrihtung.

10 Vorlesung Physi III WS 01/013 Die Feldomponenten lassen sih wie bei den Rehtehohlleitern aus den longitudinalen Komponenten (bei TM- Moden aus der longitudinalen E-Feld- Komponente) gewinnen E ie J( r)exp( i ) E r 0 0 E E J ( r)exp( i ) B 0 0 r 0 B ib J( r)exp( i ) B 0 ( exp(- it)) TM(01)-Mode Entlang der Oberlähe des Zylinders mit dem Durhmesser R vershwindet das longitudinale eletrishe Feld, also und damit E r R 0 J 0 R 0 Die ut-o Wellenahl olgt also aus der 1. Nullstelle der Besseluntion 0.ter Ordnung x 1. R x mit x Der Verlau des B-Feldes olgt dem Verlau der Besseluntion 1. Ordnung (siehe nähste Seite).

11 Vorlesung Physi III WS 01/013 Besseluntionen 0-ter und 1-ter Ordnung J0 x J1 x Für die ut-o-frequen der TM(01) Mode olgt.405 R Beispiel: 50 MH R = 30 m 500 MH R = 3 m 1300 MH R = 8,85 m 3 GH R = 3,8 m x 1 x x 3 x

12 Vorlesung Physi III WS 01/013 Hohlraum-Resonatoren Die Betriebsrequen ann bei Hohlleitern oberhalb der ut-o Frequen beliebig gewählt werden. Shließen wir den Hohlleiter in Ausbreitungsrihtung mit metallishen Blenden ab, so geht auh dieser Freiheitsgrad verloren und es sind nur noh bestimmte Eigenrequenen (Resonanrequenen) erlaubt. Die Felder ergeben sih durh Überlagerung einer hin- und rülauenden Welle unter Beahtung der Randbedingungen. Wegen der geringen Verluste sind aber die Amplituden der hin- und rülauenden Welle gleih und es olgt als allgemeine Lösung.B. ür das longitudinale E-Feld exp i t E( x, y,, t) E0( x, y) exp i t und damit der Ausdru einer stehenden Welle 0 E E os exp i t Für unser Beispiel sind also im Einlang mit den Randbedingungen Abshlussblenden nur an Stellen erlaubt ür die gilt p mit p 0,1,...

13 Vorlesung Physi III WS 01/013 Dies bedeutet, dass die Länge des Resonators L ein ganahliges Vielahes p der halben Wellenlänge in -Rihtung l sein muss. l L p p mit p 0,1,, Die Wellenahl ist damit au die olgenden Werte beshränt. l p p mit p 0,1,, L Rehteige Hohlraumresonatoren Die Eigenrequen.B. einer TE mnp oder TM mnp -Mode erhalten wir damit u m n p a b L mit a,b,l den Abmessungen des Hohlleiters und m,n,p ganahlig. Der Zusammenhang gilt ür beide Modenarten, also ür TM und TE! Zylindrisher TM 01p -Resonator.405 p R L mit R, L den Abmessungen und p = 0,1,,3... Die wihtigste Mode ist die TM Mode ür p = 0. Hier hängen die Felder niht von ab.

14 Vorlesung Physi III WS 01/013 Zylindrisher TM mnp -Resonator mnp ( TM) x R mn p L R = Radius des Resonators L = Länge des Resonators x mn = n-te Nullstelle der Besseluntion m-ter Ordnung mit den Mögliheiten: m p 0,1,,3... n 1,,3,... 0,1,,3... Zylindrisher TE mnp -Resonator mnp ( TE) x R mn p L R = Radius des Resonators L = Länge des Resonators x mn = n-te Nullstelle der Ableitung der Besseluntion m-ter Ordnung mit den Mögliheiten: m 0,1,,3... n 1,,3,... p 1,,3... Die Ursahe der Untershiede liegen in den vershiedenen Randbedingungen: B 0 und E 0 E 0 und 0 Wand B n Wand

15 Vorlesung Physi III WS 01/013 Beispiel: DORIS-Resonator (1-elliges-Pillbox-Cavity) / DESY Hamburg D=R = 46 mm L = 76 mm r = 500 MH x. B-Feld E E J ( r)exp( it) 0 0 B i B J( r)exp( it) TM 010 -Mode

16 Vorlesung Physi III WS 01/013 Die HF-Leistung wird häuig über Hohlleiter ugeührt und über indutive Shleien eingeoppelt. 16