Inhalt der Vorlesung B2

Transkript

1 PHYSK B SS3 SS4 SS5 nhalt der Vorlesung B 3. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Ladungen & Elektrostatische Felder Elektrischer Strom Magnetostatik Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik Wechselstromnetzwerke Die Maxwell schen Gleichungen Elektromagnetische Wellen & Strahlung elativität der Felder 4. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik

2 PHYSK B nfluenz SS3 SS4 SS5 Versuch 3: Elektrometer

3 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Erklärung des Versuches: 3

4 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Versuch 6: Leitende Kugeln im Feld Elektrode zum Ladungsnachweis Ladungsmessung Kondensator elektrische Löffel Hochspannungsquelle Die elektrisch neutralen Löffel werden zusammengedrückt in das elektrische Feld geführt. Dann werden sie getrennt und aus dem Feld genommen. Danach tragen sie jeweils eine Ladung mit unterschiedlichem Vorzeichen. 4

5 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Erklärung: Wenn man leitende Kugeln in ein elektrisches Feld bringt, verschieben sich die in ihnen frei beweglichen Ladungen aufgrund der nfluenz Nach der Trennung im Feld sind die Kugeln elektrisch geladen Wenn die Kugeln parallel zu den Platten ins Feld gebracht werden, dann werden die Ladungen auf jeder einzelnen aufgrund der nfluenz verschoben. Nach der Trennung und dem Entfernen aus dem Feld gleichen sich die Ladungen aber wieder aus, und die Kugln sind ungeladen. 5

6 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Versuch 8: Prinzip des Fotokopierers 6

7 PHYSK B SS3 SS4 SS5 7

8 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Funktionsweise eines Fotokopierers: (erfunden 937 von Chester Charlton Xerographie trockenes Schreiben) Der Kopiervorgang läßt sich in vier Schritte zerlegen: (a) Elektrostatische Aufladung eines lichtempfindlichen Halbleiters, der sich auf einem Metallsubstrat befindet (lichtempfindlicher HL: dunkel-solator, hell-leiter). Die Platte wird auf etwa V aufgeladen negative nfluenzladung auf dem Metallsubstrat. (b) Optische Belichtung führt zu beweglichen Ladungspaaren im HL Ladungen neutralisieren sich wo das Licht auftrifft. optisches Bild elektrostatisches Bild 8

9 PHYSK B SS3 SS4 SS5 (c) Negativ geladene Tonerteilchen lagern sich an den Gebieten positiver Ladung an Tonerbild (d) Der Toner wird an ein positiv geladenes Blatt Papier weitergegeben. Kurzes Erhitzen verbindet den Toner mit dem Papier Papierbild Elektronenmikroskopaufnahme von Tonerteilchen, die an einem größeren Teilchen kleben. 9

10 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Fließende Ladungen in Leitern: Der elektrische Strom n einem Leiter sind die elektrischen Ladungen frei beweglich. Legt man an solch einen Leiter eine Potentialdifferenz (Spannung) dann geraten diese Ladungen in Bewegung. Es fließt ein elektrischer Strom. + bewegte Ladung q + E Leiter Definition und Einheit des Stomes: dq C [ ] Ampere dt s Häufig benutzt man ein idealisiertes Ersatzschaltbild für einen Stromkreis: + Leiter Spannungsquelle: const. verlustfreier Leiter d.h. die Eigenschaften des Stromkreises werden nur durch den Leiter bestimmt.

11 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Veranschaulichung von Stromstärken durch ihre Wirkung auf den Menschen: Einwirkungsdauer in ms Gefährdungsbereich für den Menschen (Stromweg: Eine Hand und beide Füße) Bereich : Wechselströme in diesem Bereich werden von den meisten Menschen nicht wahrgenommen. Bereich : Es ist ein Kribbeln zu spüren, auch schmerzhafte Verkrampfungen sind möglich. Direkte Schäden sind kaum zu befürchten. Bereich 3: Die Stromquelle kann auf Grund von Muskelverkrampfung nicht mehr losgelassen werden. Bereich 4: Schwere Schädigung und häufig tödliche Stromwirkung, z.b. durch Herzkammerflimmern.

12 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Veranschaulichung von Strom und Spannung durch fließendes Wasser Kleiner Bach: geringer Strom, geringe Spannung Der hein: großer Strom, kleine Spannung < m

13 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Niagara-Fälle: hoher Strom, hohe Spannung Yosemite-Park: mittlerer Strom, sehr hohe Spannung ca. 9 m 3

14 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Wir wollen nun die Geschwindigkeit der Ladungen in einem Leiter berechnen. Die Ladung dq im Teilvolumen dv A dx ist: dx v Dann ist die Geschwindigkeit der Ladungen (Elektronen): v ρ A Beispiel: Kupferleiter dq ρ A dx A Die Ladungen bewegen sich in der Zeit dt um die Strecke dx. Dann ist der Strom: dq dt dx ρ A dt ρ Av cm cm A 4

15 PHYSK B SS3 SS4 SS5 n cm 3 Kupfer sind 8 Atome. Wenn jedes Atom ein frei bewegliches Elektron liefert, ist die Ladungsdichte: Q ρ V C 4 C cm cm Damit wird die Elektronengeschwindigkeit im Leiter: v ρ a.78 C/s C cm cm s mm s (!!!) cm Beispiele für Leiter und Halbleiter: Metalle, vor allem Cu und Ag Quecksilber, bei T < K sogar Supraleiter Dotiertes Si und Ge (Halbleiter) Salzlösungen ionisierte Gase (Lichtbogen) Vakuum (wenn freie Elektronen vorhanden) Beispiele für Nichtleiter Keramik, Kunststoffe Gase bei niedriger Temperatur reines Vakuum Glas (bei nicht zu hohen Temperaturen) 5

16 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Das Ohm sche Gesetz Legt man an einen Leiter eine Spannung, so entsteht in ihm ein homogenes elektrisches Feld E. Wenn ein Strom der Stärke durch eine Fläche A eines Leiters fließt, dann zeigt der Vektor der Stromdichte j in die Fließrichtung der Ladungen und hat den Betrag: Länge l Stromdichte j j A Die Stärke des fließenden Stromes ist proportional zum angelegten elektrischen Feld E, genauer gilt: j σ E σ ist die Leitfähigkeit eines Stoffes. Sie ist eine spezifische Materialkonstante. hre Einheit ist [ σ ] j E A m A V m Vm ( V A)m Das Verhältnis aus der angelegten Spannung zum fließenden Strom in einem Stromkreis nennt man den Widerstand des Kreises, d.h. /. Er hat die Einheit: V/A Ω Ohm 6

17 PHYSK B SS3 SS4 SS5 ρ ρ σ [ ] Ω m 7

18 PHYSK B SS3 SS4 SS5 m Leiter nehmen wir ein homogenes elektrisches Feld an. Dann ist die Potentialdifferenz an den Leiterenden: ϕ ϕ E l l j l l σ σ E dr A Dabei ist A die Querschnittsfläche und l die Länge des Leiters. Daraus folgt sofort: σ l A Der Ausdruck l σ A ist der Widerstand des Kreises. Er gibt den Zusammenhang von Strom und Spannung wieder. Generell gilt (,, T, ) d.h. der Widerstand hängt von unterschiedlichen Größen ab. Bei bestimmten Leitern ist der Widerstand praktisch konstant. Dann gilt das Ohm sche Gesetz : ( const.) 8

19 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Genereller Aufbau eines Stromkreises: Strom Leiter großer Widerstand Das Ohm sche Gesetz Spannung kleiner Widerstand Der Widerstand wird durch die Messung der Spannung und des Stroms ermittelt. Bei der Strommessung liegt das Meßgerät in der Leitung ( Durchflußmessung ), bei der Spannungsmessung parallel zu den Kontakten. Georg Simon Ohm 9 ( )

20 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Farbcode auf Widerständen:

21 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Versuch 9: Zum Ohm schen Gesetz S kω kω kω kω Wenn der Schalter S geschlossen wird, dann halbiert sich der Gesamtwiderstand und der Strom verdoppelt sich.

22 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Die elektrische Leistung x Q A Die Geschwindigkeit der Ladungen im Leiter ist (siehe Abschnitt 4.3.6): v v const. ρ A Die Kraft auf die Ladung Q ist: F Q E Q x Als geleistete Arbeit erhält man dann: W F x Q ρ A x Die Zeit t, die die Ladung Q benötigt, um die Strecke x zu durchlaufen, ist: t x v ρ A Damit folgt die Leistung zu: x W ρ A x P t ρ A x Mit einem Widerstand und dem Ohm schen Gesetz ergibt sich für die elektrische Leistung: P [ P] Watt Die geleistete Arbeit ist dann W t P dτ P t t [W] Watt s oder [W] kwh

23 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Parallel- und Serienschaltung von Widerständen Zunächst die Parallelschaltung zweier Widerstände betrachtet: Die Ströme durch die Widerstände sind: und ges Der Gesamtstrom ist dann: ges + + Hieraus ergibt sich der Gesamtwiderstand: ges ges + + Allgemein erhält man für eine beliebige Anzahl N von parallel geschalteten Widerständen: ges N í i N 3

24 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Daraus folgt sofort + ges und für N Widerstände in eihe Beispiel: ges N i i ges? Bei der Serienschaltung ergibt sich für die Gesamtspannung: + Außerdem gilt jeweils: und ( + ) ges ges Lösung: ges ( )( ) ( ) + ( ) 4 4 4

25 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Strom- und Spannungsmessung Jedes Meßinstrument (Volt- oder Amperemeter) hat einen endlichen nnenwiderstand. Wir betrachten die folgende Schaltung: u x x Es sollen der Strom x und die Spannung x bestimmt werden. Die Spannung wird exakt gemessen, da x. Das Voltmeter hat den nnenwiderstand u. Es gilt: x x x, Das (ideale) Ampèremeter zeigt den Gesamtstrom: x + u x + u 5

26 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Daraus folgt: lim x x (ii) Elektronische Voltmeter, z.b. Digitalvoltmeter > MΩ Ein Spannungsmessgerät muß also einen möglichst großen nnenwiderstand haben, damit die Strommessung nicht merklich beeinflußt wird. (iii) Elektrostatisches Voltmeter Beispiele: nnenwiderstände von Voltmetern. (i) Drehspulinstrumente: d d kω/v 6

27 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Wir betrachten nun die folgende Schaltung. Wieder sollen der Strom x und die Spannung x bestimmt werden: x x x Der Strom wird exakt gemessen, da x. Das Ampèremeter hat den nnenwiderstand. Es gilt: Dabei ist: x + x Die vom (idealen) Voltmeter gemessene Spannung ist daher: + x x 7

28 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Daraus folgt: (ii) Elektronische Ampèremeter, z.b. lim Digitale Ampèremeter x <. Ω Ein Strommessgerät muß also einen möglichst kleinen nnenwiderstand haben, damit die Spannungsmessung nicht merklich beeinflußt wird. Beispiele: nnenwiderstände von Ampèremetern. (i) Drehspulinstrumente: Ω (iii) Stromwandler (DCCT): < mω 8

29 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Netzwerke und Kirchhoff sche egeln Jetzt sollen Spannungen und Ströme in beliebigen Netzwerken berechnet werden. Beispiel: 3 5 Hierfür verwendet man die beiden Kirchhoff schen egeln. (i) Die Knotenregel N n jedem Knoten verschwindet daher die Summe aller N Ströme: N i i 3 Gustav obert Kirchhoff (84-887) Wegen der Ladungserhaltung fließt nur soviel Strom in einen Knoten, wie auch wieder herausfließt. 9

30 PHYSK B SS3 SS4 SS5 (ii) Die Maschenregel Beispiel: Die Wheatstone sche Brücke 3 ges A 3 3 x N C m m D n jeder geschlossenen Masche verschwindet die Summe aller Spannungen: N i i ges 4 Wir nehmen an, daß 3 x unbekannt ist. Man soll so variieren, daß m wird (Kompen- sationsmethode zur Messung von Widerständen). 3 B 3 4

31 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Masche : + + Masche : m m Masche 3 : Knoten: ges 4 4 m m m 3 m 4 4 (A,B) + (C) + (D) Mit diesen 6 Gleichungen lassen sich die Ströme,, 3, 4, m und ges berechnen. Wenn die Brücke abgeglichen ist, dann gilt m (Meßinstrument zeigt keinen Strom an): (C) (D) 3 4 Daraus folgt mit x 3 () (3) und weiter: 3 3 x 4 x 4 Auflösen nach x ergibt dann: x 4 Da die Widerstände,, 4 genau bekannt sind, ergibt sich x ebenfalls mit sehr hoher Genauigkeit. 3

32 PHYSK B const. SS3 SS4 SS5 Schaltungen mit Kondensatoren Wenn in einen Kondensator ein Strom fließt, dann lädt er sich auf. Die gespeicherte Ladung im Kondensator mit der Kapazität C ist: Q +Q -Q Kapazität C C (t) Dann ist der Aufladestrom: dq dt d C dt Nach der Zeit t ist dann die Spannung: t ( t) dτ t + (t) C C V t 3

33 PHYSK B SS3 SS4 SS5 (i) Parallelschaltung von Kondensatoren Die Gesamtladung auf den Kondensatorplatten ist: Q Q C C C ges Für jeden einzelnen Kondensator gilt: Q C Q C Q ges Q C C ges + Q + C Daraus folgt sofort: C C + C ges ( C + C ) Dies läßt sich einfach auf N parallel geschaltete Kondensatoren verallgemeinern. Es ergibt sich: C ges N i C i 33

34 PHYSK B SS3 SS4 SS5 (ii) Serienschaltung von Kondensatoren C C Q Q Für jeden einzelnen Kondensator gilt jetzt (mit Q Q Q): Q C Q C C ges Die Gesamtspannung setzt sich aus den Einzelspannungen zusammen: Q + C + Daraus folgt sofort: C ges C Q C C + Q C Q C + C ges Dies läßt sich wieder einfach auf N in Serie geschaltete Kondensatoren verallgemeinern. Es ergibt sich: N Cges i Ci 34

35 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Laden und Entladen von Kondensatoren laden entladen C (t)? C Zunächst wird der Kondensator über den Schalter mit der Batterie verbunden und lädt sich dabei auf die Spannung auf. Danach wird auf den Widerstand umgeschaltet, so daß über ihn der Strom abfließt. Es soll der Spannungsverlauf (t) (t) berechnet werden. 35

36 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Für die Spannungen gilt: dq d C C C und dt dt Da beim Entladen C ist, folgt: d ( t) ( t) dt C d ( t) + ( t) dt C t ( t) exp C Dies ist eine lineare, homogene DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die Funktion (t). hre Lösung lautet: Dabei ist die Spannung zum Zeitpunkt t. Die Spannung (t) und damit auch der Entladestrom (t) (t)/ klingen exponentiell ab mit der Zeitkonstanten: τ C V A As V [ τ ] s ( t) ( t) t exp τ t exp τ 36

37 PHYSK B (t) SS3 SS4 SS5 Entladekurve eines Kondensators t ( t) exp C e τ C t 37

38 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Es soll nun die Spannung (t) berechnet werden, die über einem Kondensator der Kapazität C beim Aufladen über einen Widerstand abfällt. (t)? (t) C Der Strom durch den Kondensator ist: ( t) ( t) Gleichzeitig gilt: dq d ( t ( t) C ) dt dt Daraus ergibt sich durch Gleichsetzen wieder eine DGL für (t): C d ( t) ( t) dt 38

39 PHYSK B SS3 SS4 SS5 Dies läßt sich umformen zu: d ( t) + ( t) dt C C Es handelt sich um eine lineare DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die jetzt aber inhomogen ist. Die Lösung der homogenen Gleichung lautete (siehe Entladung): h ( t) t Aexp C Eine partikuläre Lösung p (t) ergibt sich leicht aus der Bedingung: lim t P ( t) Also gilt für die Gesamtlösung: ( t) ( t) p ( t) + + h ( t) Aexp t C Die Konstante A ist mit der Anfangsbedingung (t) für t festgelegt: () A + A Damit ergibt sich die gesuchte Aufladekurve eines Kondensators: t ( t) exp C 39

40 PHYSK B (t) SS3 SS4 SS5 Aufladekurve eines Kondensators t exp C ( t) t 4