Modulformen, Teil 1. 1 Schwach modulare Funktionen

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1 Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie, Robin Blöhm Dieser Vortrag führt uns zur Definition von Modulformen. Gemeinsam mit einem ersten Beispiel, den bereits bekannten Eisenstein-Reihen, ist sie im letzten der drei Abschnitte dieser Ausarbeitung zu finden. Schwach modulare Funktionen Einige Eigenschaften von Modulformen gelten schon für eine größere Klasse von Funktionen, die hier definierten schwach modularen Funktionen. (.) Definition (Schwach modulare Funktion) Sei k Z sowie f eine meromorphe Funktion auf H. Dann heißt f schwach modular vom Gewicht k, falls ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) () cz + d für jedes z H sowie für alle ( a b c d ) SL 2 (Z) gilt. Als einfache Folgerung aus der Definition erhalten wir sofort folgendes (.2) Lemma Sei f = schwach modular vom Gewicht k. Dann ist k gerade. Wir wissen, dass ( ) SL 2 (Z) gilt. Einsetzen in die Definition (.) liefert ( ) ( ) z + f = ( z ) k f (z) z

2 Schwach modulare Funktionen für alle z H und somit f (z) = ( ) k f (z). Wählen wir z so, dass f (z) = ist, erhalten wir die Behauptung. Um die schwach modularen Funktionen leichter charakterisieren zu können, benötigen wir noch einige Vorbetrachtungen, die eingeleitet werden durch die nächste (.3) Definition Seien k Z sowie σ = ( ) a b c d Γ = SL2 (Z). Ist nun f meromorph auf H, dann definieren wir die durch σ induzierte Abbildung σ σz := az + b cz + d sowie ( ) az + b f k σ(z) := (cz + d) k f cz + d für alle z H. (.4) Lemma Seien σ, τ Γ sowie k Z. Dann ist die durch (.3) definierte Abbildung f f k σ eine lineare Rechtsoperation der Gruppe Γ auf dem Raum der komplexen Funktionen f auf der oberen Halbebene. Mit anderen Worten:. Die Abbildung f f k σ ist linear und 2. es gilt f k = f sowie f k (στ) = ( f k σ) k τ. Wir bezeichnen den Faktor (cz + d) mit j(σ, z), falls σ = ( a b c d ). Sei außerdem z H.. Die Linearität ist klarerweise erfüllt, da sich j(σ, z) k als Faktor nicht ändert, ebensowenig wie das Argument σz der Funktion. 2. Die Rechnung ( ) z + f k (z) = ( z + ) k f = f (z) z + impliziert bereits die erste Voraussetzung für die Gruppenoperation. Die zweite ist für k = wegen 2

3 Schwach modulare Funktionen f (στ)(z) = f (στz) = f σ(τz) = ( f σ) τ(z) (2) ebenfalls schnell gezeigt. Sind nun σ = ( ) a b c d und τ = ( r s t u ), dann ist ( ) ar + bt as + bu στ =, cr + dt cs + du woraus folgt. j(στ, z) = (cr + dt) z + (cs + du) = c (rz + s) + d (tz + u) = (c rz + s + d) (tz + u) tz + u = (c τz + d) (tz + u) = j(σ, τz) j(τ, z) (3) Für allgemeines k Z erhalten wir mit f k σ(z) = j(σ, z) k f σ(z) unser gewünschtes Ergebnis f k (στ)(z) = j(στ, z) k f (στ)(z) (2),(3) = j(σ, τz) k j(τ, z) k ( f σ) τ(z) = ( f k σ) k τ(z). Diese Gruppenoperation benutzen wir nun, um eine Charakterisierung der schwach modularen Funktionen anzugeben. (.5) Lemma (Charakterisierung schwach modularer Funktionen) Sei k 2Z. Dann ist eine auf H meromorphe Funktion f genau dann schwach modular, wenn f (z + ) = f (z) und f ( z ) = zk f (z) für alle z H gilt. Per Definition ist eine meromorphe Funktion f genau dann schwach modular, wenn ( ) az + b (cz + d) k f = f (z) cz + d 3

4 für alle σ = ( ) a b c d Γ = SL2 (Z) und alle z H gilt. Dies ist aber gleichbedeutend mit der Invarianz von f unter der Gruppenoperation aus Definition (.3). Das heißt, dass f k σ = f für alle σ Γ erfüllt sein muss. Uns ist bereits bekannt, dass die Modulgruppe Γ von den Elementen S = ( ) und T = ( ) erzeugt wird. Aus diesem Grund genügt es für eine schwach modulare Funktion die Invarianz von f lediglich unter S und T zu zeigen. Die zu zeigende Charakterisierung schwach modularer Funktionen vom Gewicht k entspricht den beiden Gleichungen aus Lemma (.5), denn f k S(z) = f (z) bedeutet per Definition ( z + ) k f ( ) z = f (z), z + was äquivalent zu f ( z ) = zk f (z), also der zweiten Gleichung ist. Die erste Gleichung f (z + ) = f (z) erhalten wir analog aus f k T(z) = f (z), also ( ) z + ( z + ) k f = f (z), z + da k gerade ist. In diesem Abschnitt werden wir uns nun dem Verhalten der Fourier-Entwicklung einer schwach modularen Funktion widmen, was uns die Definition der Modulformen ermöglicht, unser ursprüngliches Ziel. Im weiteren Verlauf fassen wir C (R/Z) als die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren komplexwertigen Funktionen auf R auf, die periodisch sind mit Periode. Zunächst werden wir die Eigenschaften der Fourier-Entwicklung einer solchen Funktion betrachten, um dies dann für allgemeine schwach modulare Funktionen zu verwenden. Zuvor noch folgende (2.) Definition (Schnell fallende Folge) Eine Folge {d n } C heißt schnell fallend, falls für jedes k N die Folge {n k d n } beschränkt ist. 4

5 (2.2) Satz (Fourier-Entwicklung) Sei g C (R/Z) und sei c n (g) := g(t)e 2πint dt. Dann erhalten wir die Gleichung g(x) = c n (g)e 2πinx (4) und die Reihe auf der rechten Seite konvergiert gleichmäßig. Weiterhin sind die Fourier-Koeffizienten c n (g) schnell fallend. Da die Bedingung für schnelles Fallen Beschränktheit einer Folge fordert, brauchen wir nur alle bis auf endlich viele Glieder dieser Folge zu betrachten. Sei hier also n =. Partielle Integration liefert beispielsweise für k = 2 c n (g) = g(t)e 2πint dt = g (t)e 2πint dt 2πin = 4π 2 n 2 g (t)e 2πint dt 4π 2 n 2 g (t) dt. Offensichtlich können wir durch Iteration der partiellen Integration eine beliebige Potenz von n im Nenner des Bruches erzeugen, da der Exponent bei jedem Schritt der partiellen Integration um wächst. Allgemein erhalten wir c n (g) n k C k := (2π) k g (k) (t) dt, sodass die Koeffizientenfolge tatsächlich schnell fallend ist. Hieraus folgt mit dem Majorantenkriterium auch direkt die Konvergenz der Reihe c n (g), da beispielsweise die Reihe über C 2 n 2 konvergiert und eine Majorante von c n (g) ist. Weiter ist e 2πinx = für alle x R, also konvergiert auch c n (g)e 2πinx, und dies sogar gleichmäßig, weil die Schranken C k nicht von x abhängen. Da aus absoluter Konvergenz dieser Reihe aber Konvergenz folgt, haben wir die Behauptungen bezüglich der Reihe auf der rechten Seite von (4) bewiesen. Nun bleibt also noch zu zeigen, dass diese Reihe für jedes x R genau gegen g(x) konvergiert, also die Fourierentwicklung von g ist. 5

6 Nehmen wir an, wir hätten dies für x = gezeigt. Dann wären wir bereits fertig, denn sei g x (t) := g(x + t), so gilt g(x) = g x () = c n (g x ) e} 2πin {{} = c n (g x ) = für alle x. Mit der Definition unserer Koeffizienten c n folgt c n (g x ) = = = e 2πinx Integrand periodisch = e 2πinx g x (t)e 2πint dt = e 2πinx c n (g) g(x + t)e 2πint dt und somit auch die Behauptung, falls sie für x = gilt. g(x + t)e 2πin(x+t) dt g(s)e 2πin(s) ds Um Letzteres zu beweisen, betrachten wir auch hier wieder nur einen Spezialfall, nämlich g() =. Sei ansonsten h(x) = g(x) g(). Dann erhalten wir für die Koeffizienten im Falle von n = c n (h) = = und für n = noch einfacher h(t)e 2πint dt g(t)e 2πint dt g() e 2πint dt = c n (g) + g() ( ) e 2πin = c n (g) 2πin }{{} = c (h) = = c n (g) g() e 2πint }{{} = dt = c n (g) g(). 6

7 Da wir bereits gezeigt hätten, dass die Behauptung für h gilt, da h() = ist, wäre ( ) g() = h() + g() = wie gewünscht. c n (h) + g() = c n (g) g() + g() = c n (g), Nun bleibt also nur noch für g() = zu zeigen, dass c n (g) = ist. Dazu nehmen wir die Hilfsfunktion h(x) = g(x) e 2πix. Sowohl Nenner als auch Zähler sind von der Periode und wegen g(z) = {} ist h in C (R/Z). Wir berechnen weiter c n (g) = h(t)(e 2πit )e 2πint dt = c n (h) c n (h), sodass wir aus h C (R/Z) und der daraus resultierenden, zu Beginn des es gezeigten absoluten Konvergenz der Reihe c n (h) die Reihe c n (g) wie folgt auftrennen dürfen, was die Behauptung liefert: c n (g) = (c n (h) c n (h)) = c n (h) c n (h) =. Wir wollen nun die Brücke zu den im ersten Abschnitt betrachteten schwach modularen Funktionen schlagen. Diese sind zwar auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen definiert, jedoch können wir sie für festes y H als Funktion der Form f (y) : R C, x f (x + iy) auffassen, solange kein Pol auf der Geraden {z H Im(z) = y} vorliegt. Da außerdem nach Lemma (.5) f (y) (x) = f (y) (x + ) gilt, erhalten wir in diesem Fall f (y) C (R/Z). Aufgrund dieser Konstruktion können wir Satz (2.2) anwenden, sodass wir f wie folgt in eine Fourier-Reihe entwickeln können, falls auf der Geraden Im(z) = y kein Pol vorliegt: f (x + iy) = c n (y)e 2πinx. Wir wissen ebenfalls bereits, dass die Folge c n (y) schnell fallend ist. Mit diesen Bezeichungen erhalten wir das folgende 7

8 (2.3) Lemma (Fourier-Entwicklung schwach modularer Funktionen) Für jedes n Z gilt c n (y) = a n e 2πny für eine Konstante a n C. Also lässt sich f schreiben als f (z) = a n e 2πinz, (5) wobei die Folge {a n e a n } für alle a > schnell fallend ist. Sei y > so, dass auf der Geraden Im(z) = y kein Pol von f liegt. Dort wo f holomorph ist, gilt bekanntlich f x (x + iy) + i f y (x + iy) =. Dies führt uns zu der Differentialgleichung = = die zu ( f x (x + iy) + i f y (x + iy))e 2πinx dx f x (x + iy)e 2πinx dx + i = [ f (x + iy)e 2πinx ] }{{} =, da f -periodisch ist = 2πinc n (y) + ic n(y), +2πin f y (x + iy)e 2πinx dx f (x + iy)e 2πinx dx + i y c n(y) = 2πnc n (y) äquivalent ist. Diese Differentialgleichung hat die bekannten Lösungen für alle a n C. Weiter gilt für a > c n (y) = a n e 2πny a n e a n an e an = a n e 2πn 2π a = ( a ) c n, 2π f (x + iy)e 2πinx dx sodass die Folge {a n e a n } schnell fallend ist, da dies für {c n ( 2π a )} wegen > bereits aus Lemma (2.2) bekannt ist. a 2π 8

9 3 Modulformen 3 Modulformen Die im letzten Abschnitt bewiesene Darstellung schwach modularer Funktionen ermöglicht es uns, sie als Funktion abhängig von q := e 2πiz zu schreiben. Im weiteren Verlauf werden wir diese Bezeichnung beibehalten. (3.) Definition (Modulare Funktionen, Modulformen, Spitzenformen) Mit den Bezeichnungen aus Lemma (2.3) heißt eine schwach modulare Funktion f, für die ein M existiert, sodass f im Bereich Im(z) > M keine Polstelle besitzt, modulare Funktion, falls sie meromorph in ist, d.h., dass es ein n Z gibt mit a n = für n < n. Ist f zusätzlich holomorph auf H und holomorph in, d.h. a n = für jedes n <, dann heißt f Modulform. Gilt zusätzlich noch a =, so heißt f Spitzenform. Man sagt dann auch, dass f in verschwindet. Die Einschränkung bei den modularen Funktionen sorgt dafür, dass wir keinen Häufungspunkt von Polstellen in erhalten, da f dann nicht mehr meromorph in ergänzbar wäre. Da z H ist, folgt für Modulformen q B ()\{}, also lässt f sich auffassen als Verkettung von z q und einer Funktion auf dem Einheitskreis, die in holomorph fortsetzbar ist. Die uns bereits bekannten Eisensteinreihen G k dienen hier für gerade k 4 als Beispiele für Modulformen, was wir hier gleich zeigen werden. Wir erinnern uns, dass die Eisensteinreihen G k dann schwach modular vom Gewicht k sind, wie in einem der vorherigen Vorträge gezeigt wurde, auch wenn diese Eigenschaft dort noch nicht die erst in diesem Vortrag eingeführte Bezeichnung hatte. (3.2) Proposition (Eisenstein-Reihen) Sei k 4 gerade. Dann gilt mit σ k (n) := d n d k, der k-ten Teilerpotenzsumme: G k (z) = 2ζ(k) + 2 (2πi)k σ k (n)q n. (6) n= 9

10 3 Modulformen Zunächst leiten wir uns eine Identität her, die wir im weiteren Verlauf des es benötigen werden. Dazu verwenden wir zwei verschiedene Darstellungen des Cotangens. Die erste ist uns bereits bekannt als die Partialbruchzerlegung des Cotangens πcot(πz) = z + m= Die zweite Darstellung ergibt sich aus πcot(πz) = π cos(πz) eπiz+e πiz sin(πz) = π 2 e πiz e πiz = πi q + q 2i ( z + m + ). z m = πi eπiz + e πiz e πiz e πiz = πi e2πiz + e 2πiz 2πi = πi q = πi 2πi q d. d= Wir differenzieren hier (k )-fach nach z und erhalten ( d k ( dz k z + z + m + z m m= ) ) = ( ) k m Z (z + m) k, da die letzte Reihe für k 4 absolut konvergiert, also unabhängig von der Reihenfolge der Summation ist. Die zweite Darstellung führt zu ( ) d k dz k πi 2πi e 2dπiz = (2πi) k d k e 2dπiz. d= Gleichsetzen liefert uns m Z d= (z + m) k = (2πi)k d k e 2dπiz, (7) d= da k gerade ist. Diese Identität werden wir nach kurzer Umformung in die Definition der Eisenstein-Reihe einsetzen. Hierbei erinnern wir uns, dass und somit ζ(k) = m= m k

11 3 Modulformen G k (z) = (nz + m) (n,m) Z 2 \{(,)} k = 2ζ(k) + 2 n= m Z (7) = 2ζ(k) + 2 (2πi)k = 2ζ(k) + 2 (2πi)k (nz + m) k n= n= d= d= d k e 2dπinz d k q nd. Wir sortieren nun die Doppelsumme nach dem Exponenten a := nd von q. Für jedes solche a N erhalten wir dann gerade so viele Summanden wie es Teiler d von a gibt, sodass der Koeffizient von q a die Teilerpotenzsumme σ k (a) ist:... = 2ζ(k) + 2 (2πi)k a= d k q a d a = 2ζ(k) + 2 (2πi)k σ k (a)q a. a=