Protokoll Grundpraktikum I: M3 - Elastizität und Torsion

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1 Protokoll Grundpraktikum I: M3 - Elastizität und Torsion Sebastian Pfitzner. Mai 13 Durchführung: Sebastian Pfitzner (553983), Anna Andrle (5577) Arbeitsplatz: Platz 4 Betreuer: Jacob Michael Budau Versuchsdatum: Inhaltsverzeichnis 1 Vorbetrachtungen 1 Messwerte und Auswertung.1 Längenänderung des Drahtes Periodendauer der Drehschwingung Vergleich der Ergebnisse 5 1 Vorbetrachtungen Ziel dieses Versuchs ist die Bestimmung des Elastizitäts-, Kompressions- und Torsionsmoduls von Messing sowie dessen Poisson-Zahl. Zur Bestimmung des ersteren wird ein Messingdraht schrittweise mit Massestücken belastet und die durch die Gravitationskräfte hervorgerufenen Längenänderungen gemessen. Für den Elastizitätsmodul gilt: E = l F l A wobei l die Länge des Drahtes, l die vom Massestück hervorgerufene Längenänderungen, F die Gewichtskraft und A die Querschnittssfläche des Drahtes ist. (1) 1

2 Der Torsionsmodul wird aus der Untersuchung der Periodendauer der durch den Draht durchgeführten Drehschwingung ermittelt. Es gilt: G = 4πl R 4 mr T z T o () mit l als Drahtlänge, R als Radius des Drahtes, m und r als Kenngrößen des zusätzlich angehängten Massestücks, bei dessen Vorhandensein die Periodendauer T z und ohne die T o gemessen wird. Messwerte und Auswertung.1 Längenänderung des Drahtes Der Mesingdraht hat eine Länge von l = (195±5)mm und einen Durchmesser von d = (,3±,1)mm. Für die Unsicherheit der in Tabelle 1 dargestellten Positionen der der Messschraube, für die der Balken sich im Gleichgewicht befindet, wird s =,1 mm abgeschätzt. Für die Fehler der Längendifferenz gilt dann nach pythagoreischer Addition der Fehler l,i =,14 mm. Für beide Messreihen wird m in g s 1 in mm 6,16 6,35 6,48 6,65 6,79 6,95 7,1 7,7 7,41 s in mm 6,17 6,34 6,5 6,66 6,81 6,97 7,1 7,8 7,43 l 1 in mm,165,3,49,63,79,94 1,11 1,5 l in mm,17,33,49,64,8,95 1,11 1,6 m in g s 1 in mm 7,58 7,71 7,87 8,3 8,18 8,3 8,48 8,63 s in mm 7,58 7,73 7,87 8,4 8,17 8,36 8,48 8,63 l 1 in mm 1,4 1,55 1,71 1,87,,16,3,47 l in mm 1,41 1,56 1,7 1,87,,19,31,46 Tab. 1: zwei Messreihen zur Position der Messschraube s in Abhängigkeit von der Massenänderung m sowie die Längenänderung des Drahtes l ein linearer Fit angefertigt (Abbildungen 1 und ); aus den ermittelten Parametern wird ein gewichtetes Mittel 1 gebildet: p = (3,18 ±,5) 1 3 mm/g 1 siehe blaues Skript, Gleichungen (55) und (56)

3 Aus Gleichung (1) lässt sich mit F = m g folgende Bestimmungsgleichung für den Elastizitätsmodul in Abhängigkeit vom Fitparameter p und den Kenngrößen des Drahtes sowie der als fehlerfrei angenommenen Erdbeschleunigung ableiten l = p m p = l E A g l E = p π g 4 d Die Unsicherheit des Elastizitätmoduls berechnet sich nach den Gesetzen der gaußschen Fehlerfortpflanzung wie folgt: ) ( E = ( g p π l + l g 4 d p π 4 d Es ergibt sich ein vollständiges Ergebnis von E = (98 ± 7)GPa. Periodendauer der Drehschwingung ) p + ( l g ) p π d 4 d3 Für die Bestimmung des Torsionsmoduls werden jeweils sechs Messwerte bei einer Belastung des Drahtes mit einem 5-Gramm-Massenstück und bei einer zusätzlichen Belastung mit einer Zusatzscheibe: m z = (19,81 ±,1)g und r z = (5, ±,1)mm. bei 3 Schwingungen Kontrolle i t o,i in s 187, 186,88 186,64 186,7 186,66 183,18 186,4 bei 1 Schwingungen, mit Zusatzgewicht i t z,i in s 15,8 15,87 15,97 15,97 15,87 15,85 Tab. : benötigte Zeit für 3 bzw. zehn Drehschwingungen sowie ein Kontrollwert bei starker Pendelbewegung Der bei starker Quer- und Längsschwingung zusätzlich zur Drehschwingung aufgenommene Kontrollwert zeigt, dass Pendelbewegungen und Schwingungen des Drahtes keinen oder einen vernachlässigbar kleinen Einfluss auf die Periodendauer der Drehschwingung haben. 3

4 Der sechste Messwert der ersten Messreihe weicht offensichtlich stark von den anderen ab; mit hoher Wahrscheinlichkeit wurde die Messungen eine halbe Periodendauer zu spät begonnen. Deswegen wird dieser Wert korrigiert und im Folgenden als t o,6 = 186,18 s + t t 5 +t 7 = 186,9 s angesehen. Es ergibt sich daraus 6 3 für die Mittelwerte und Standardabweichungen t o = 186,66 s t z = 15,89 s σ t,o =,5 s σ t,z =,6 s Die Unsicherheit der Mittelwerte setzt sich aus dem Rundungsfehler der Stoppuhr ±,1 s, dem Konfidenzintervall ± σ n und dem systematischen Fehler der Stoppuhr ±t s zusammen, woraus sich folgende vollständige Ergebnisse für die Zeiten und die Periodendauern T ergeben: t o = (186,66 ±,)s t z = (15,89 ±,1)s T o = (6, ±,8)s T z = (1,589 ±,6)s Aus Gleichung () ergibt sich die Unsicherheit des Torsionsmoduls [ 16 m π r 4 l G = R 8 ( To + Tz ) + 16 l π r 4 m R 8 ( To + Tz ) + 64 l m π r r R 8 ( To + Tz ) + 56 l m π r 4 R R 1 ( T o + T z ) + 64 l m π r 4 T o T o R 8 ( T o + T z ) 4 sodass das vollständige Ergebnis wie folgt lautet: G = (37 ± 5)GPa Für die Poisson-Zahl und den Kompressionsmodul gilt µ = E G 1 E K = 3 (1 µ) + 64 l m π r 4 T z T z R 8 ( T o + T z ) 4 Die Unsicherheiten lassen sich nicht berechnen, da alle Größen voneinander abhängig sind, die Kovarianz allerdings unbekannt ist. Es ergeben sich also folgende Ergebnisse: µ =,3 K = 95,5 GPa ] 1 4

5 3 Vergleich der Ergebnisse Für Elastizitätsmodul und Poissonzahl lassen sich Vergleichswerte im Kohlrausch finden. Diese stimmen gut mit den im Experiment gewonnen Ergebnissen überein: E ref = 15 GPa E E = (98 ± 7)GPa und µ ref =,35 µ E =,3. Auch die auf der Website des Kupferinstituts 3 gefundenen Referenzwerte für den Elastizitätsmodul E ref = ( )GPa sowie den Torsionsmodul G ref = ( )GPa stimmen mit den hier gewonnenen Ergebnissen überein. Sowohl die Unsicherheit des Elastizitätsmoduls als auch die des Torsionsmoduls wird von der Unsicherheit des Durchmessers des Drahtes dominiert. Dieser Term ist in beiden Fällen mindestens drei Größenordnungen größer als alle anderen. Hier ließen sich die Werte also besonders stark verbessern, wenn entweder ein dickerer Draht - der dann möglicherweise auch genauer vermessen werden kann - zusammen mit schwereren Massen verwendet würde. Die Zeitmessung zur Bestimmung der Periodendauer der Drehschwingung ließe sich durch den Einsatz einer Lichtschranke verbessern, allerdings sind die hier entstehenden Unsicherheiten im Gegensatz zu denen des Drahtes vernachlässigbar. Kohlrausch_3_Tabellen_und_Diagramme_Mechanik.pdf, Seite

6 l in mm Daten Fit Fit-Funktion: p(1) x p(1) =.311 ± χ DoF = m in Gramm Residuen Abb. 1: linearer Fit des ersten Datensatzes; p 1 = (3,18 ±,7) 1 3 mm/g l in mm Daten Fit Fit-Funktion: p(1) x p(1) =.311 ± χ DoF = Residuen m in Gramm Abb. : linearer Fit des zweiten Datensatzes; p = (3,18 ±,7) 1 3 mm/g 6