Übungsaufgaben Analoge und digitale Filter EI/DSV/Dr. Metz Arbeitsstand: /adf.doc

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1 Übungsaufgaben Analoge und digitale Filter EI/DSV/Dr Metz Arbeitsstand: 537 /adfdoc Seminarthema Kettenbruch Partialbruchentwicklung als Verfahren zur Schaltungsanalyse und - synthese Aufgabe Gegeben sind zwei Polynome z(p): z 4 p + p + 9 p) = Kettenbruch erster Art (fallender Exponent) p + 4 p ( p + p z( p) = Kettenbruch zweiter Art (steigender Exponent) 3 4 p + p Entwickeln Sie die zugehörigen Abzweigschaltungen in z(p) mit dem zugehörigen PN Diagrammen Diskutieren Sie die Gesetzmäßigkeiten der PN Verteilungen in Verbindung mit den abgespaltenen Bauelementen in den Schaltungen 3 In beiden Kettenbruchzerlegungen erfolgt zuerst die Abspaltung eines Pols im Ursprung Welches Bauelement resultiert aus der jeweiligen Abspaltung? Wie unterscheiden sich die Schaltungen insgesamt? Aufgabe Gegeben ist folgende RC-Abzweigschaltung: R R ½ C ¼ C Analysieren Sie die gegebene Schaltung durch eine Kettenbruchentwicklung und geben Sie das Polynom z(p) an Ermitteln Sie daraus Pole und Nullstellen (PN Bild) Aufgabe 3 Gegeben ist folgendes Polynom geordnet nach steigenden Potenzen : p + p z( p) = 3 p + p

2 3 Synthetisieren Sie die Schaltung und geben Sie das PN Bild an 3 Vergleichen Sie das Polynom und die Schaltung mit Aufgabe und diskutieren Sie die Unterschiede Aufgabe 4 In der Vorlesung wurde gezeigt, dass jede echt gebrochene Funktion, allgemein F(p), mit teilerfremden Zähler- und Nennerpolynom eindeutig in Partialbrüche der Form F ( p) = A p + B p + C σ p σ p + ω Verwendet man Schaltungsstrukturen der nachfolgenden Form R L R C C und entwickelt ein z(p) in eine Normalform, die der obigen Funktion F(p) entspricht, kann man mittels Koeffizientenvergleich oder Grenzwertmethode diese in Partialbrüche zerlegen, und so die normierten und entnormierten Bauelementewerte ermitteln Aufgabe 4 Ermitteln Sie z(p) von obiger Serien-Parallelschaltung und schreiben Sie diesen in einen F(p) äquivalenten Ausdruck Aufgabe 4 Gegeben sind die Pole einer obigen Schaltungskonfiguration mit σ ω und ± j sowie die folgenden Parameter : σ σ = 5 jt +jt ω = ω = +3 F F=F F σ = σ = -jt Bestimmen Sie die Koeffizienten A und B und daraus die fehlenden zwei Nullstellen

3 3 Aufgabe 43 Gegeben ist folgendes Polynom z(p): z p + 54 p + p) = ( p + 5) ( p + p + ) ( Entwickeln Sie für obiges Polynom die Widerstandspartialbruchschaltung z(p) Bestimmen Sie dazu mittels Koeffizientenvergleich die Koeffizienten A, B und C sowie die normierten Bauelemente R, C, R, L, und C Entnormieren Sie die Bauelemente ω = π 4kHz mit und R B = 8Ω B Aufgabe 44 Gegeben ist folgende Schaltung: R R L C C Untersuchen Sie diese bezüglich einer möglichen Partialbruchschaltung und bestimmen Sie dazu z(p) wie in Aufgabe 4 Aufgabe 45 Gegeben ist folgendes Polynom Y(p): 3 p + 4 p Y ( p) = 4 p + p + 9 Entwickeln Sie für obiges Polynom die LC-Leitwertspartialbruchschaltung Y(p Verwenden Sie zur Bestimmung der normierten BE-Werte den Koeffizientenvergleich Entnormieren Sie mit ω = π khz und B Z = ω L = kω B B

4 4 Seminarthema: Anwendungen zur Vierpoltheorie Aufgabe 5 Gegeben ein überbrückter T-Vierpol: Z Z Z Z 5 Bestimmen Sie die A-Parameter Lösungshinweis: Zerlegen Sie den überbrückten T-Vierpol in zwei geeignete Teilvierpole Bestimmen Sie dazu als Zwischenschritt die entsprechenden Parameter der Teilvierpole unter Benutzung der Tabellen aus der Vorlesung Für die Umrechnung des Zwischenergebnisses in die A-Parameter verwenden Sie ebenfalls die tabellarischen Umrechnungsbeziehungen aus der Vorlesung 5 Bestimmen Sie die Leerlaufspannungsübersetzung und Kurzschlussstromübersetzung 53 Überprüfen Sie die obige Schaltung auf Widerstands- und Übertragungssymmetrie 54 Bestimmen Sie den Wellenwiderstand Aufgabe 6 Gegeben ein -Vierpol als Zusatzaufgabe: Z Z 3 Z 4 Z Bestimmen Sie die Leerlaufspannungsübersetzung

5 Seminarthema 3: RLC Resonanzkreise, Schwingkreis als Widerstandtransformator Aufgabe 7 Gegeben ist der folgende Reihenschwingkreis 5 Uo R i Z(p) L C R s 7 Bestimmen Sie den Widerstandsverlauf z(p) unter Verwendung eines gemeinsamen Widerstandes R = Ri + Rs 7 Skizzieren Sie das PN Diagramm und geben Sie den prinzipiellen Verlauf der Nullstellen an Ermitteln Sie dazu die Bestimmungsgleichung für das komplexe Nullstellenpaar 73 Bestimmen Sie z( jω), z( jω), ϕ( ω) 74 Werten Sie den Resonanzfall aus und bestimmen Sie die Resonanzfrequenz ω 75 Diskutieren Sie an Hand der Ortkurve, Betragskurve und Phasenkurve für die 3 Fälle ω = ω, ω = + die Besonderheiten des, Reihenschwingkreises unter Berücksichtigung der Kennwerte Verlustfaktor d, Güte Q und Bandbreite B R f d =, Q =, B = ω L d Q

6 6 6 s - n *Z* S 35 3 Betragskurve *Z* = f (T) Z n , , Ortskurve Z f(t) = E 8E 6E 4E +E E -E 4E 6E 8E +9E R= 5S n 55 Z Phasenkurve n=f (T) T,H µf 5S 4 s - a) b) Z Reihenschwingkreis a) Ortskurve b) Betrag und Phase Aufgabe 8 Gegeben ist der folgende Parallelschwingkreis R i R C C R L L R

7 7 8 Bestimmen Sie den Leitwertsverlauf Y(p) und daraus z(p) unter Verwendung eines gemeinsamen Widerstandes R p = R i R L R c R ; G=/R p 8 Skizzieren Sie das PN Diagramm und geben Sie den prinzipiellen Verlauf der Polstellen an Ermitteln Sie dazu die Bestimmungsgleichung für das komplexe Polstellenpaar 83 Bestimmen Sie z( jω), z( jω), ϕ( ω) 84 Werten Sie den Resonanzfall aus und bestimmen Sie die Resonanzfrequenz ω 85 Diskutieren Sie an Hand der Ortkurve, Betragskurve und Phasenkurve für die 3 Fälle ω = ω, ω = + die Besonderheiten des, Parallelschwingkreises unter Berücksichtigung der Kennwerte Verlustfaktor d, Güte Q und Bandbreite B L d = ω R p, Q = B = d, f Q

8 8 4 U[mV] U=f(T) Q= o,h 3 S :F U e=3,6v s - T Aufgabe 9: In dem folgenden Beispiel ist eine Möglichkeit zur Verwendung des Schwingkreises als Widerstandstransformator aufgezeigt Berechnen Sie für diesen Fall der Transformation eines kleinen Spulenwiderstandes in einen großen Parallelwiderstand die Transformationsbedingung für R = f, L, R ) p ω ( s C L R s C L R p R p = (T L) / R s L = L bei kleinem Verlustwinkel

9 9 Seminarthema 4 Filterentwurf Analogfilter nach Katalog Aufgabe Gegeben ist das folgende Toleranzschema: a s min 5dB a D max 3dB 3,4kHz 4,3kHz T,6 T Tg = T k Tiefpaß-Dämpfungs-Toleranzschema δ ω n Bestimmen Sie den Grad n einer Potenzfunktion, die D = gerade erfüllt Hierbei ist D die Dämpfung, δ eine reelle Konstante, n eine natürliche Zahl, a smin die minimale Sperrdämpfung, a Dmax die maximale Durchlassdämpfung, ω die Grenzfrequenz, ω auf die Grenzfrequenz normierte Frequenz g k Ermitteln Sie die Systemfunktion in der Linearfaktordarstellung sowie als ν ν a ν p + a ν p + Polynom der Form G ( p) = ν ν b p + b p + ν ν 3 Geben Sie die konkrete Schaltung mit den normierten Bauelementen an 3 Entnormieren Sie die Bauelemente mit R = R = kω B i ω = Π 3,4kHz =,4 Hz B und 4 Bestimmen Sie die Pollagen eines Potenztiefpasses für n=5 Lösungsansatz: G( p) G( p) = + D ( ω) mit ω = p j

10 Seminarthema 5 Entwurfsmöglichkeiten Digitaler Filter Aufgabe Entwerfen Sie ein FIR Filter von vorgegebener diskreter Stoßantwort g{k}={,8;,5;;-,6;,4} Ermitteln Sie aus der Struktur den Ausdruck für die diskrete Faltung y( n) = f ( α k, x( n k)) und die Übertragungsfunktionen G ( f ), G (z) 3 Entwerfen Sie ein digitales Filter von vorgegebener PN Verteilung I m {z} +j +j,3 +j, +j, - -j, -j, -j,3,5,6,8,9 R e {z} -j Nullstellen Z =,5 Z =,8+j, Z 3 =,8-j, Pole Z p =,9+j, Z p =,9-j, Z p3 =,6+j,3 Z p4 =,6-j,3 4 Gegeben ist folgender Butterworth Prototyp Tiefpaß (N=) entsprechend Katalog (Tabelle 64 S6 aus der Vorlesung) mit fg/fa=/4 x(n),5,5 z - + y(n) Machen Sie eine Tiefpaß-Hochpaßtransformation mit fg/fa=/5 entsprechend Tabelle 68 aus der Vorlesung Ermitteln Sie G(z*) und skizzieren Sie die zugehörige Hochpassschaltung /Schrüfer/ Digitale Signalverarbeitung S 6ff

11 5 Gegeben sind folgende Koeffizienten eines FIR Filters {a, a, a, a 3 } = {, -,99,,57, -,4583} Das zugehörige Polynom für das FIR Filter lautet wie folgt: G I 3( z),99 z +,575 z, 458 = z Berechnen Sie die zugehörigen Koeffizienten k bis k3 für das 3 stufige Analysefilter in Latticestruktur Benutzen Sie dazu den in der Vorlesung angegeben Algorithmus für die iterative Umrechnung (siehe auch Oppenheim/Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung S 365) x[n] z - z - z - a a a a 3 -,99 +,575 -,458 3-stufiges FIR Filter y[n] x[n] x j [] x j [] x j [] x j [3] k -k -k 3 y[n] -k -k -k z - z - z - U j [] U j- [] U j [] U j- [] U j [] U j- [] U j [3] 3-stufiges Analysefilter Latticestruktur Die Bezeichnungen xj[i] und Uj[i] sind angenommene Zwischenwerte für die Erstellung eines Algorithmus

12 Seminarthema 6 Digitalfilterentwurf mit MATLAB Aufgabe Entwerfen Sie ein digitales Filter zur Beseitigung des Gleichanteils aus einem digitalen Datenstrom Gegeben ist das nachfolgende Toleranzschema: Fs = 6 Hz Fstop = 4 Hz Fpass = Hz Astop = 35 db Apass = db Match exactly = stopband Entwerfen Sie jeweils eine FIR- und eine IIR-Struktur und vergleichen Sie beide Filtertypen bezüglich Ihrer Struktur, Koeffizienten, Phase, Verzögerungszeit, Rechenaufwand nach dem Entwurf Aufgaben: Welcher Filtertyp eignet sich für diese Aufgabenstellung? Vergleichen Sie Ihren Vorschlag mit dem vorgegebenen Toleranzschema Öffnen Sie mit dem Aufruf simulink im Command Window den SIMULINK Library Browser Öffnen Sie unter File ein New Model 3 Wählen Sie im Signal Processing Blockset das Verzeichnis Filtering aus und öffnen Sie das Unterverzeichnis Filter Designs Dort befindet sich befindet sich der Entwurfsblock Digital Filter Designs (FDATOOL)

13 3 Platzieren Sie diesen Block auf der Simulink Oberfläche Mit einem Doppelklick öffnen Sie das Filter Design &Analysis Tool 4 Die gleiche Filterentwurfsoberfläche erzeugen Sie mit dem Aufruf fdatool im Command Window 5 Welche Unterschiede für eine Weiterverarbeitung des entworfenen Filters ergeben sich bei den Vorgehensweisen nach 3 und 4? 6 Übertragen Sie das oben angegebene Toleranzschema in die Eingabemasken des Filter Design &Analysis Tools 7 Entwerfen Sie einen FIR Hochpass mit der Designmethode Equiripple und der Option Minimum Order und betätigen Sie dazu den Knopf Design Filter Exportieren Sie das entworfene Filter an Workspace als Coeffizients Verwenden Sie dazu unter File die Aktion EPORT Verwenden Sie anschließend Realize Model und speichern Sie Struktur und Koeffizientensatz unter (Pfad wird im Seminar angegeben) ab 8 Entwerfen Sie einen IIR Hochpass mit der Designmethode Butterworth und Minimum Order und der Option Match exactly im Stopband und betätigen Sie dazu den Knopf Design Filter Exportieren Sie das entworfene Filter an Workspace als Coeffizients Verwenden Sie dazu unter File die Aktion EPORT Verwenden Sie anschließend Realize Model und speichern Sie Struktur und Koeffizientensatz unter (Pfad wird im Seminar angegeben) ab 9 Diskutieren Sie jetzt die Entwürfe für FIR und IIR Filter bezüglich Struktur, Koeffizienten, Phase, Verzögerungszeit, Rechenaufwand Öffnen Sie auf der Simulink Oberfläche unter Tools einen Real Time Workshop Generieren Sie C_Code unter Build Model Überprüfen Sie anschließend die Leistungsfähigkeit der entworfenen Filter Öffnen Sie das Startup Tool mit sptool im Command Window Verwenden Sie als Eingangssignal den vorgegebenen sig3 Vektor aus der Spalte Signals Dieser wurde vorher als wave File in ein *mat File konvertiert damit es in das sptool importiert werden konnte Dazu waren folgende Schritte notwendig: 3 [y, Fs, bits] = wavread( gitarwav ) 4 y+5=test 5 save( test ); test entspricht dann nach dem Import sig3 Vektor 6 Filtern Sie nun das gleichanteilsbehaftete Signal sig3 mit den beiden von Ihnen importierten Filtern FIR und IIR Verknüpfen Sie dazu den sig3 Vektor mit einem der beiden Filter mit Apply Die jeweiligen Ausgangssignale erscheinen in der Spalte Signals 7 Erzeugen Sie von beiden Ausgangssignalen ein Spektrum und diskutieren Sie die Unterschiede gegenüber dem sig Vektor (Originalfile mit dem geringsten Gleichanteil) 8 Zusatzaufgabe: Entwickeln Sie für jeden Teilmodul der Potenz Grades einen Quelltext in C (selbst programmieren)