Kapitel 2.1: Die stochastische Sicht auf Signale Georg Dorffner 67
|
|
- Christian Bachmeier
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 2.1: Die stochastische Sicht auf Signale 215 Georg Dorffner 67
2 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse sind von Zufall geprägte Zeitreihen x n f x, n 1 xn2,... n vorhersagbarer Teil, Signal Einfachster Fall: Random walk zufälliger Teil, Rauschen x n x n1 n Unabhängig identisch verteilt, i.i.d. z.b. normalverteilt 215 Georg Dorffner
3 Stochastische Beschreibung: Momente Verteilung der Amplitudenwerte 12 Random walk 14 EEG 1 15 EEG Momente: k k E x n Erwartungswert der k-ten Potenz 1.: Mittelwert, 2.: Varianz, 3.: Schiefe, 4.: Kurtosis 215 Georg Dorffner 69
4 Weißes Rauschen 4 3 ε n... Zufällige Werte Amplitude: Gauss-verteilt Amplitude Spektrum: gleichverteilt (daher weiß ) Enthält alle Frequenzen gleich stark Amplitude Frequency 215 Georg Dorffner 7
5 Autokorrelation Korrelation eines Signals mit sich selbst, für alle belibeige Zeitverschiebungen Beispiele: 7 x 15 random walk 2 x 14 EEG 1 1 sinus Georg Dorffner 71
6 Signal-Rausch-Verhältnis Verhältnis zwischen Signal und Rauschen P 2 S SNR S SNR P 2 N wenn Mittelwert N Beispiel: verrauschter Sinus Georg Dorffner
7 Autoregression Stelle ein Signal als Linearkombination von vergangenen Werten dar: x n q b i1 i x ni n Rauschen 8 Entspricht Regression des Signals auf sich selbst ( auto ) x(n) ε -6 Bestimme mit Methode -8-1 der kleinsten Quadrate x(n-1) 215 Georg Dorffner 73
8 AR-Koeffizienten als Signalbeschreibung AR-Modell dient der Vorhersage Wenn Fehler gleich weißes Rauschen: AR-Koeffizienten beschreiben das Signal b(i) b(i) b(i) Wenn Vorhersage-Fehler>2*sdev(ε n ) Änderung der Signalcharakteristik ( novelty detector ) 215 Georg Dorffner 74
9 AR-Modell als Filter x n q b i1 i x ni n ε n + x n z -1 Rekursiver Filter mit Rauschen als Input Da weißes Rauschen alle Frequenzen enthält: Filter schneidet Spektrum des Signals heraus + + b 1 b 2 z Georg Dorffner 75...
10 AR-Modell und FFT Frequenzantwort des AR-Filters: Amplitude Frequency Kann als Alternative zu Spektrum (mit grober Frequenzauflösung) betrachtet werden 215 Georg Dorffner 76
11 Zusammenfassung AR-Modell (aus Daten geschätzt) dient zur Beschreibung des Signals Direkte Beziehung zu Spektrum (über weißes Rauschen) Vorteile/Eigenschaften: Recheneffizient Probabilisische Beschreibung möglich Annäherung (keine exakte Beschreibung) 215 Georg Dorffner 77
12 Kapitel 2.2: Independent Component Analysis 215 Georg Dorffner 78
13 Das Cocktail-Party Problem Vgl. Hyvärinen & Oja (2) Annahme: 2 Tonquellen, 2 Mikrofone an verschiedenen Orten Signale werden linear gemischt: x1, n a11s1, n a12s2, Allgemein: xn As n x 2, n a 21 s 1, n a 22 s n 2, n Gesucht: Originalsignale s n Mischmatrix A ist unbekannt 215 Georg Dorffner 79
14 ICA Ausgangspunkt: Annahme x As Gesucht: Signale s s Wx A 1 x blind source separation Möglich (unter weiteren Annahmen, s.u.), bis auf Multiplikative Faktoren ( Amplitude der Quellen) Reihenfolge (Permutation) Beachte: Zeitindex weggelassen, Daten liegen als Beispiele vor 215 Georg Dorffner 8
15 2-dimensionales Beispiel 2 3 s 1, s 2 : gleich verteilte Zufallsvariablen A 2 1 s 1 und s 2 unabhängig! x 1 und x 2 abhängig! Originalrichtungen können rekonstruiert werden 215 Georg Dorffner 81
16 2-dimensionales Beispiel 2 s 1, s 2 : gaussverteilt A Keine eindeutige Richtung 215 Georg Dorffner 82
17 Bedingungen für ICA Mindestens so viele Mischungen wie Quellen Quellen müssen unabhängig sein Def: s1, s2 unabhängig iff Quellen dürfen nicht Gauss-verteilt sein (oder maximal eine) Quellen sollten Mittelwert und Varianz 1 haben Vorverarbeitung ( pre-whitening ) p s s p s p, s Georg Dorffner 83
18 Der Ansatz Beobachtung: Nach Grenzwertsatz tendiert die Summe von beliebigen Verteilungen zur Gaussverteilung Betrachte eine mögliche Quelle (w ist Zeilenvektor von W=A -1 ) y w T x z A T w Neue Variable y w T x w T As z T s y ist eine Linearkombination ( Summe ) der Originalsignale, y ist mehr Gaussverteilt als jedes Originalsignal mache y so nicht-gauss wie möglich Genau dann, wenn nur eine Komponente von z nicht ist y s i 215 Georg Dorffner 84
19 Nicht-Gaussianität Gesucht: Maß, wie nicht-gauss eine Verteilung ist Lernproblem: Optimierung des Maßes (z.b. Gradientenverfahren) Independent Components entsprechen den Minima Mögliches Maß: Kurtosis kurt 4 2 y E y 3 E y 2 Entspricht: Mittelwert der 4. Potenzen minus der quadrierten Varianz Für Gauss-Verteilung: kurt(y)= kurt(y)>: Supergauss (leptokurtisch) kurt(y)<: Subgauss (platykurtisch) 215 Georg Dorffner 85
20 Laplace.Verteilung Kurtosis - Beispiele Leptokurtisch, Hat heavy tails Platykurtisch Mehr Masse in Der Mitte 215 Georg Dorffner 86
21 Visualisierung Beispiel von oben In jeder Richtung, die nicht parallel zum Rand geht, gilt: Verteilung ist Linearkombination aus den beiden Signalen, daher eher Gauss-verteilt Maximale Nicht-Gaussianität: Gleichverteilung in Richtung des Randes Je nach Startpunkt verschiedene ICs gefunden 215 Georg Dorffner 87
22 Alternative Maße Negentropy J y H ygauss H y H Maß der Geordnetheit, für Gauss maximal Approximation notwendig, z.b: J y Mutual information p k i1 i E I y pylog py berücksichtig Beziehung der Signal untereinander Maximum likelihood H G y EG y i dy y, y, y H y H y 1 2, i m gauss m i1 G i bel. nichtquadrat. Fkt. i 215 Georg Dorffner 88
23 ICA und PCA Principal Component Analysis: Richtungen der größten Varianz Müssen orthogonal aufeinander stehen Koordinatentransformation ICA: Richtungen der stärksten Nicht-Gauss-Verteilungen Müssen nicht orthogonal sein 215 Georg Dorffner 89
24 Zusammenfassung ICA bietet eine interessante Methode der Identifizierung zugrundeliegender Signale oder Prozesse Verwandt mit PCA, projection pursuit Anwendungen in der Signalverarbeitung, Zeitreihenverarbeitung, Bildverarbeitung Ist eine Form der statistischen Signalverarbeitung (Schätz- bzw. Lernverfahren) 215 Georg Dorffner 9
Earth Magnetic Field. Climate. Sediments. endogene processes (e.g. bio-activity) magnetization. exogene processes (e.g.
Independent Component Analysis (ICA) und ihre Möglichkeiten in den Geowissenschaften Norbert Marwan Arbeitsgruppe Nichtlineare Dynamik Universität Potsdam Inhalt 1. Motivation 2. Independent Component
MehrBlind Source Separation: Eine Einführung
Blind Source Separation: Eine Einführung 1 Blind Source Separation: Eine Einführung A Tutorial for the Course Computational Intelligence http://www.igi.tugraz.at/lehre/ci Michael Wohlmayr Signal Processing
MehrZeitreihenanalyse. Seminar Finanzmathematik. Andreas Dienst SS Einleitung - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe. 2.
Seminar Finanzmathematik - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe 3. Zusammen - fassung Zeitreihenanalyse Andreas Dienst SS 2006 Zeitreihen: Definition und Motivation - Begrüßung - Motivation - Inhaltsangabe
MehrZeitreihenanalyse. H.P. Nachtnebel. Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau. Definitionen und Anwendung
.. Zeitreihenanalyse H.P. Nachtnebel Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau Definitionen und Anwendung Definition Zeitreihe zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten
MehrEinfaktorielle Varianzanalyse
Kapitel 16 Einfaktorielle Varianzanalyse Im Zweistichprobenproblem vergleichen wir zwei Verfahren miteinander. Nun wollen wir mehr als zwei Verfahren betrachten, wobei wir unverbunden vorgehen. Beispiel
MehrELEMENTARE EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE STATISTIK
DIETER RASCH ELEMENTARE EINFÜHRUNG IN DIE MATHEMATISCHE STATISTIK MIT 53 ABBILDUNGEN UND 111 TABELLEN ZWEITE, BERICHTIGTE UND ERWEITERTE AUFLAGE s-~v VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1970
MehrStatistik für Bachelorund Masterstudenten
Walter Zucchini Andreas Schlegel Oleg Nenadic Stefan Sperlich Statistik für Bachelorund Masterstudenten Eine Einführung für Wirtschaftsund Sozialwissenschaftler 4y Springer 1 Der Zufall in unserer Welt
Mehr1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere
MehrAnnahmen des linearen Modells
Annahmen des linearen Modells Annahmen des linearen Modells zusammengefasst A1: Linearer Zusammenhang: y = 0 + 1x 1 + 2x 2 + + kx k A2: Zufallsstichprobe, keine Korrelation zwischen Beobachtungen A3: Erwartungswert
MehrKapitel 8: Zeitdiskrete Zufallssignale
ZHAW, DSV2, 2007, Rumc, 8-1 Kapitel 8: Zeitdiskrete Zufallssignale Inhaltsverzeichnis 1. STOCHASTISCHER PROZESS...1 2. STATISTISCHE EIGENSCHAFTEN EINER ZUFALLSVARIABLEN...2 3. STATISTISCHE EIGENSCHAFTEN
MehrDer Mythos des Mittelwertes
Der Mythos des Mittelwertes Neue Methodenlehre der Statistik Von o. Universitätsprofessor Dr. Friedrich Sixtl 2., überarbeitete und erweiterte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsübersicht
MehrDeskriptive Beschreibung linearer Zusammenhänge
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei k > 2 unabhängigen Stichproben 9.4 Beispiel: p-wert bei Varianzanalyse (Grafik) Bedienungszeiten-Beispiel, realisierte Teststatistik F = 3.89,
MehrTheorie Parameterschätzung Ausblick. Schätzung. Raimar Sandner. Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik"
Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik" Gliederung 1 2 3 Worum geht es hier? Gliederung 1 2 3 Stichproben Gegeben eine Beobachtungsreihe x = (x 1, x 2,..., x n ): Realisierung der n-dimensionalen
MehrStatistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Sheldon M. Ross Statistik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 3. Auflage Aus dem Amerikanischen übersetzt von Carsten Heinisch ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spektrum Inhalt Vorwort zur dritten
MehrÜbersicht der Vorlesung
Übersicht der Vorlesung 1. Einführung 2. Bildverarbeitung 3. Morphologische Operationen 4. Bildsegmentierung 5. Merkmale von Objekten 6. Klassifikation 7. Dreidimensionale Bildinterpretation 8. Bewegungsanalyse
MehrRechnernutzung in der Physik Teil 3 Statistische Methoden der Datenanalyse
Rechnernutzung in der Physik Teil 3 Statistische Methoden der Datenanalyse Karlsruher Institut für Technologie Ulrich Husemann Institut für Experimentelle Kernphysik, Karlsruher Institut für Technologie
MehrStatistische Datenanalyse
Werner A. Stahel Statistische Datenanalyse Eine Einführung für Naturwissenschaftler 3., durchgesehene Auflage vieweg VII 1 Einleitung 1 1.1 Was ist Statistische Datenanalyse? 1 1.2 Ziele 6 1.3 Hinweise
MehrStatistik II. Regressionsrechnung+ Regressionsanalyse. Statistik II
Statistik II Regressionsrechnung+ Regressionsanalyse Statistik II - 16.06.2006 1 Regressionsrechnung Nichtlineare Ansätze In einigen Situation könnte man einen nichtlinearen Zusammenhang vermuten. Bekannte
MehrWichtige Definitionen und Aussagen
Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge
MehrGewöhnliche Autokorrelationsfunktion (ACF) eines stationären Prozesses {X t } t Z zum Lag h
5. Die partielle Autokorrelationsfunktion 5.1 Definition, Berechnung, Schätzung Bisher: Gewöhnliche Autokorrelationsfunktion (ACF) eines stationären Prozesses {X t } t Z zum Lag h ρ X (h) = Corr(X t, X
MehrUwe Hassler. Statistik im. Bachelor-Studium. Eine Einführung. für Wirtschaftswissenschaftler. ^ Springer Gabler
Uwe Hassler Statistik im Bachelor-Studium Eine Einführung für Wirtschaftswissenschaftler ^ Springer Gabler 1 Einführung 1 2 Beschreibende Methoden univariater Datenanalyse 5 2.1 Grundbegriffe 5 2.2 Häufigkeitsverteilungen
Mehr1 Einführung Ökonometrie... 1
Inhalt 1 Einführung... 1 1.1 Ökonometrie... 1 2 Vorüberlegungen und Grundbegriffe... 7 2.1 Statistik als Grundlage der Empirischen Ökonomie... 7 2.2 Abgrenzung und Parallelen zu den Naturwissenschaften...
Mehri =1 i =2 i =3 x i y i 4 0 1
Aufgabe (5+5=0 Punkte) (a) Bei einem Minigolfturnier traten 6 Spieler gegeneinander an. Die Anzahlen der von ihnen über das gesamte Turnier hinweg benötigten Schläge betrugen x = 24, x 2 = 27, x = 2, x
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 12. Übung SS 18: Woche vom
Übungsaufgaben 12. Übung SS 18: Woche vom 2. 7. 6. 7. 2018 Stochastik VI: Zufallsvektoren; Funktionen von ZG Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...
MehrÜbung V Lineares Regressionsmodell
Universität Ulm 89069 Ulm Germany Dipl.-WiWi Michael Alpert Institut für Wirtschaftspolitik Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Ludwig-Erhard-Stiftungsprofessur Sommersemester 2007 Übung
MehrGrundgesamtheit und Stichprobe
Grundgesamtheit und Stichprobe Definition 1 Die Menge der Untersuchungseinheiten {U 1,U 2,...,U N } heißt Grundgesamtheit. Die Anzahl N der Einheiten ist der Umfang der Grundgesamtheit. Jeder Einheit U
MehrStatistische Methoden der Datenanalyse Wintersemester 2011/2012 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Statistische Methoden der Datenanalyse Wintersemester 2011/2012 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Dr. Stan Lai und Prof. Markus Schumacher Physikalisches Institut Westbau 2 OG Raum 008 Telefonnummer
Mehr1 Stochastische Konvergenz 2
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere
MehrProbeklausur - Statistik II, SoSe 2017
Probeklausur - Statistik II, SoSe 2017 Aufgabe 1: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (15 Punkte) Gegeben sei ein zweidimensionaler stetiger Zufallsvektor X = (X 1, X 2 ) T mit der gemeinsamen Dichtefunktion
MehrStatistik, Datenanalyse und Simulation
Dr. Michael O. Distler distler@kph.uni-mainz.de Mainz, 13. Juli 2011 Ziel der Vorlesung Vermittlung von Grundkenntnissen der Statistik, Simulationstechnik und numerischen Methoden (Algorithmen) Aufgabe:
MehrComputergrafik 2: Übung 6. Korrelation im Orts- und Frequenzraum, Filtern im Frequenzraum, Wiener Filter
Computergrafik : Übung 6 Korrelation im Orts- und Frequenzraum, Filtern im Frequenzraum, Wiener Filter Quiz Warum Filtern im Frequenzraum? Ideales Tiefpassfilter? Parameter? Eigenschaften? Butterworth-Filter?
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik
Karl Mosler Friedrich Schmid Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Vierte, verbesserte Auflage Springer Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufalls Vorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1
MehrVerfahren zur Datenanalyse gemessener Signale
Verfahren zur Datenanalyse gemessener Signale Dr. rer. nat. Axel Hutt Vorlesung 4 zum Übungsblatt Aufgabe 1: sin( (f 3Hz)5s) sin( (f +3Hz)5s) X T (f) 1 i f 3Hz f +3Hz Nullstellen: T=5s: T=1s: f=3hz+2/5s,
MehrStatistik II. Lineare Regressionsrechnung. Wiederholung Skript 2.8 und Ergänzungen (Schira: Kapitel 4) Statistik II
Statistik II Lineare Regressionsrechnung Wiederholung Skript 2.8 und Ergänzungen (Schira: Kapitel 4) Statistik II - 09.06.2006 1 Mit der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten können wir den statistischen
Mehr10 Statistisches Schätzen
10 Statistisches Schätzen 620 10 Statistisches Schätzen 10.1 Punktschätzung 623 10.1.1 Schätzer und ihre Gütekriterien 623 10.1.2 Erwartungstreue 627 10.1.3 Erwartete quadratische Abweichung (MSE) 634
MehrTrim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, :34 P.M. Page 11. Über die Übersetzerin 9. Einleitung 19
Trim Size: 176mm x 240mm Lipow ftoc.tex V1 - March 9, 2016 6:34 P.M. Page 11 Inhaltsverzeichnis Über die Übersetzerin 9 Einleitung 19 Was Sie hier finden werden 19 Wie dieses Arbeitsbuch aufgebaut ist
MehrStatistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber
Statistik II IV. Hypothesentests Martin Huber 1 / 22 Übersicht Weitere Hypothesentests in der Statistik 1-Stichproben-Mittelwert-Tests 1-Stichproben-Varianz-Tests 2-Stichproben-Tests Kolmogorov-Smirnov-Test
MehrJohn Komlos Bernd Süssmuth. Empirische Ökonomie. Eine Einführung in Methoden und Anwendungen. 4y Springer
John Komlos Bernd Süssmuth Empirische Ökonomie Eine Einführung in Methoden und Anwendungen 4y Springer 1 Einführung 1 1.1 Ökonometrie 1 2 Vorüberlegungen und Grundbegriffe 7 2.1 Statistik als Grundlage
MehrPhilipp Sibbertsen Hartmut Lehne. Statistik. Einführung für Wirtschafts- und. Sozialwissenschaftler. 2., überarbeitete Auflage. 4^ Springer Gabler
Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne Statistik Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler 2., überarbeitete Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil I Deskriptive Statistik 1 Einführung
Mehry = b 0 + b 1 x 1 x 1 ε 1. ε n b + b 1 1 x n 2) Hat die Größe x einen Einfluss auf y, d.h. gilt die Hypothese: H : b 1 = 0
8 Lineare Modelle In diesem Abschnitt betrachten wir eine spezielle Klasse von statistischen Modellen, in denen die Parameter linear auftauchen Wir beginnen mit zwei Beispielen Beispiel 8 (lineare Regression)
Mehr3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS)
3 Grundlagen statistischer Tests (Kap. 8 IS) 3.1 Beispiel zum Hypothesentest Beispiel: Betrachtet wird eine Abfüllanlage für Mineralwasser mit dem Sollgewicht µ 0 = 1000g und bekannter Standardabweichung
MehrEinführung in die Maximum Likelihood Methodik
in die Maximum Likelihood Methodik Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Gliederung 1 2 3 4 2 / 31 Maximum Likelihood
Mehr7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle
7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle Regelmäßigkeiten in der Entwicklung einer Zeitreihe, um auf zukünftige Entwicklung zu schließen Verwendung zu Prognosezwecken Univariate Zeitreihenanalyse
Mehr13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
MehrMathematik für Biologen
Dirk Horstmann Mathematik für Biologen 2. überarbeitete und ergänzte Auflage & Springer Spektrum 1 Einstieg und grafische Darstellungen von Messdaten 1 1.1 Grafische Darstellung von Daten und unterschiedliche
MehrGrundgesamtheit und Stichprobe
Grundgesamtheit und Stichprobe Definition 1 Die Menge der Untersuchungseinheiten {U 1,U 2,...,U N } heißt Grundgesamtheit. Die Anzahl N der Einheiten ist der Umfang der Grundgesamtheit. Jeder Einheit U
Mehr13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen
13 Grenzwertsätze 13.1 Das Gesetz der großen Zahlen Der Erwartungswert einer zufälligen Variablen X ist in der Praxis meist nicht bekannt. Um ihn zu bestimmen, sammelt man Beobachtungen X 1,X 2,...,X n
MehrSignalverarbeitung 2. Volker Stahl - 1 -
- 1 - Überblick Bessere Modelle, die nicht nur den Mittelwert von Referenzvektoren sondern auch deren Varianz berücksichtigen Weniger Fehlklassifikationen Mahalanobis Abstand Besseres Abstandsmaß basierend
MehrStatistik II. Regressionsanalyse. Statistik II
Statistik II Regressionsanalyse Statistik II - 23.06.2006 1 Einfachregression Annahmen an die Störterme : 1. sind unabhängige Realisationen der Zufallsvariable, d.h. i.i.d. (unabh.-identisch verteilt)
Mehr7. Übung: Aufgabe 1. b), c), e) Aufgabe 2. a), c), e) Aufgabe 3. c), e) Aufgabe 4. Aufgabe 5. Aufgabe 6. Aufgabe 7. Aufgabe 8. Aufgabe 9.
7. Übung: Aufgabe 1 b), c), e) Aufgabe a), c), e) Aufgabe 3 c), e) Aufgabe 4 b) Aufgabe 5 a) Aufgabe 6 b) Aufgabe 7 e) Aufgabe 8 c) Aufgabe 9 a), c), e) Aufgabe 10 b), d) Aufgabe 11 a) Aufgabe 1 b) Aufgabe
MehrStatistik II: Signifikanztests /2
Medien Institut : Signifikanztests /2 Dr. Andreas Vlašić Medien Institut (0621) 52 67 44 vlasic@medien-institut.de Gliederung 1. Korrelation 2. Exkurs: Kausalität 3. Regressionsanalyse 4. Key Facts 2 I
MehrStatistik, Datenanalyse und Simulation
Dr. Michael O. Distler distler@kph.uni-mainz.de Mainz, 5. Juli 2011 Zunächst: PCA (Hauptkomponentenanalyse) ist eine mathematische Prozedur, die eine Anzahl von (möglicherweise korrelierten) Variablen
MehrVorlesung 12a. Schätzen von Parametern. Teil 2
Vorlesung 12a Schätzen von Parametern Teil 2 1 Unser Logo der ersten Stunde: X P ϑ (X da) = ρ ϑ (da), ϑ Θ S 2 Ein Logo der Statistik: Θ ˆϑ t X S P ϑ (X da) = ρ ϑ (da), ϑ Θ Θ... Parameterraum S... Beobachtungsraum
MehrPrüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Stochastik Marco Boßle Jörg Hörner Marcel Thoms Mathematik Online Herbst 211 PV-Kurs HM 3 Stochastik 1-1 Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitsraum (WR): Menge
MehrStatistics, Data Analysis, and Simulation SS 2017
Statistics, Data Analysis, and Simulation SS 2017 08.128.730 Statistik, Datenanalyse und Simulation Dr. Michael O. Distler Mainz, 4. Mai 2017 Dr. Michael O. Distler
MehrElementare Stochastik
Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Elementare Stochastik Mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte Bearbeitet von Herbert Kütting, Martin J. Sauer, Friedhelm Padberg 3. Aufl. 2011.
MehrEGRESSIONSANALYSE AVID BUCHATZ NIVERSITÄT ZU KÖLN
1 EGRESSIONSANALYSE AVID BUCHATZ NIVERSITÄT ZU KÖLN UFBAU 1 Historie 2 Anwendungen / Ziele 3 Lineare Regression/ Beispiel KQ 4 Nichtlineare Regression 5 Eigenschaften der Schätzer istorie früheste Form
Mehr1.8 Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung
1.8 Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung Der Kolmogorov-Smirnov-Test ist einer der klassischen Tests zum Überprüfen von Verteilungsvoraussetzungen. Der Test vergleicht die Abweichungen der empirischen
MehrArbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik
Helge Toutenburg Michael Schomaker Malte Wißmann Christian Heumann Arbeitsbuch zur deskriptiven und induktiven Statistik Zweite, aktualisierte und erweiterte Auflage 4ü Springer Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrVarianzvergleiche bei normalverteilten Zufallsvariablen
9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Varianzvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9.3 Varianzvergleiche bei normalverteilten Zufallsvariablen Nächste Anwendung: Vergleich der Varianzen σa 2 und σ2
MehrSTATISTISCHE METHODEN UND IHRE ANWENDUNGEN
STATISTISCHE METHODEN UND IHRE ANWENDUNGEN Von Dr. rer. nat. Erwin Kreyszig o. Professor für Statistik an der Universität Karlsruhe mit 82 Abbildungen und zahlreichen Tabellen Vierter, unveränderter Nachdruck
Mehr5. Spezielle stetige Verteilungen
5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für
Mehr70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen
70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70. Motivation Zufallsvariablen sind nicht immer diskret, sie können oft auch jede beliebige reelle Zahl in einem Intervall [c, d] einnehmen. Beispiele für solche
MehrAufgabe 1 (8= Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten:
Aufgabe 1 (8=2+2+2+2 Punkte) 13 Studenten haben die folgenden Noten (ganze Zahl) in der Statistikklausur erhalten: Die Zufallsvariable X bezeichne die Note. 1443533523253. a) Wie groß ist h(x 5)? Kreuzen
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
MehrUniversität Potsdam Institut für Informatik Lehrstuhl Maschinelles Lernen. Bayes sches Lernen. Niels Landwehr
Universität Potsdam Institut für Informatik Lehrstuhl Maschinelles Lernen Bayes sches Lernen Niels Landwehr Überblick Grundkonzepte des Bayes schen Lernens Wahrscheinlichstes Modell gegeben Daten Münzwürfe
MehrBZQ II: Stochastikpraktikum
BZQ II: Stochastikpraktikum Block 5: Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren Randolf Altmeyer February 1, 2017 Überblick 1 Monte-Carlo-Methoden, Zufallszahlen, statistische Tests 2 Nichtparametrische Methoden
MehrBeispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung)
Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung) Aufgabe (Anwendung der Chebyshev-Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable mit E(X) = µ und var(x) = σ a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
Mehr2. Stochastische ökonometrische Modelle. - Modelle der ökonomischen Theorie an der Wirklichkeit überprüfen
.1. Stochastische ökonometrische Modelle.1 Einführung Ziele: - Modelle der ökonomischen Theorie an der Wirklichkeit überprüfen - Numerische Konkretisierung ökonomischer Modelle und deren Analse. . Variierende
MehrGrundlagen der Probabilistik
Grundlagen der Probabilistik Gliederung Einleitung Theoretische Grundlagen der Stochastik Probabilistische Methoden Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen
MehrStatistik Klausur Sommersemester 2013 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!
Statistik 2 1. Klausur Sommersemester 2013 Hamburg, 26.07.2013 A BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname:............................................................................ Vorname:.............................................................................
Mehr3 Trend- und Saisonkomponenten
3 Trend- und Saisonkomponenten Schritte bei der Analyse von Zeitreihendaten : Plot ; Identifikation von Strukturbrüchen, Ausreißern etc. ; Modellansatz, z.b. klassisches Komponentenmodell X t = m t + s
MehrChi-Quadrat-Verteilung
Chi-Quadrat-Verteilung Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/chi-quadrat-verteilung 1 von 7 6/18/2009 6:13 PM Chi-Quadrat-Verteilung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Die Chi-Quadrat-Verteilung ist
MehrTeil: lineare Regression
Teil: lineare Regression 1 Einführung 2 Prüfung der Regressionsfunktion 3 Die Modellannahmen zur Durchführung einer linearen Regression 4 Dummyvariablen 1 Einführung o Eine statistische Methode um Zusammenhänge
MehrMarcel Dettling. GdM 2: LinAlg & Statistik FS 2017 Woche 12. Winterthur, 17. Mai Institut für Datenanalyse und Prozessdesign
Marcel Dettling Institut für Datenanalyse und Prozessdesign Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften marcel.dettling@zhaw.ch http://stat.ethz.ch/~dettling Winterthur, 17. Mai 2017 1 Verteilung
MehrVorwort zur fünften Auflage. Liste der Beispiele. Häufig benutzte Symbole und Bezeichnungen
Vorwort zur fünften Auflage Liste der Beispiele Häufig benutzte Symbole und Bezeichnungen v xiv xvii 1 Einleitung 1 1.1 Typische Aufgaben der Datenanalyse 1 1.2 Zum Aufbau dieses Buches 2 1.3 Zu den Programmen
MehrAufgabe 1 (20 Punkte)
Augabe 1 (20 Punkte) Es wird ein Sprachsignal x(t) betrachtet, das über eine ISDN-Teleonleitung übertragen wird. Das Betragsspektrum X() des analogen Signals kann dem nachstehenden Diagramm entnommen werden.
MehrStatistische Kennwerte und -funktionen. Dr.-Ing. habil. H. Nobach
Statistische Kennwerte und -funktionen Dr.-Ing. habil. H. Nobach 1. Einführung Statistische Kennwerte und -funktionen, wie Mittelwert Varianz Wahrscheinlichkeitsdichte Autokorrelation spektrale Leistungsdichte
Mehr3 Trend- und Saisonkomponenten
3 Trend- und Saisonkomponenten Schritte bei der Analyse von Zeitreihendaten : Plot ; Identifikation von Strukturbrüchen, Ausreißern etc. ; Modellansatz, z.b. klassisches Komponentenmodell X t = m t + s
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler 1 Inhalt der heutigen Vorlesung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenfassung der vorherigen Vorlesung Übersicht über Schätzung und
MehrInhaltsverzeichnis. Vorwort 13. Teil I Beschreibende Statistik 17. Kapitel 1 Statistische Merkmale und Variablen 19
Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Teil I Beschreibende Statistik 17 Kapitel 1 Statistische Merkmale und Variablen 19 1.1 Statistische Einheiten und Grundgesamtheiten 19 1.2 Merkmale und Merkmalsausprägungen
MehrDie Regressionsanalyse
Die Regressionsanalyse Zielsetzung: Untersuchung und Quantifizierung funktionaler Abhängigkeiten zwischen metrisch skalierten Variablen eine unabhängige Variable Einfachregression mehr als eine unabhängige
MehrInhaltsverzeichnis. Daniel von Grünigen. Digitale Signalverarbeitung. mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme
Inhaltsverzeichnis Daniel von Grünigen Digitale Signalverarbeitung mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme ISBN (Buch): 978-3-446-44079-1 ISBN (E-Book): 978-3-446-43991-7 Weitere
Mehr1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsräume. Ein erster mathematischer Blick auf Zufallsexperimente...
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume Ein erster mathematischer Blick auf Zufallsexperimente.......... 1 1.1.1 Wahrscheinlichkeit, Ergebnisraum,
Mehr4.2 Moment und Varianz
4.2 Moment und Varianz Def. 2.10 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: EX p
MehrStatistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de
rbu leh ch s plu psych Heinz Holling Günther Gediga hogrefe.de Bachelorstudium Psychologie Statistik Testverfahren 18 Kapitel 2 i.i.d.-annahme dem unabhängig. Es gilt also die i.i.d.-annahme (i.i.d = independent
MehrStatistik, Datenanalyse und Simulation
Dr. Michael O. Distler distler@kph.uni-mainz.de Mainz, 2. November 2009 Poisson-Verteilung Die Poisson-Verteilung ist gegeben durch: P(r) = µr e µ r! Der Mittelwert ist: r = µ Die Varianz ergibt sich aus
MehrLösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK
Institut für Stochastik Dr. Steffen Winter Lösungen zur Klausur GRUNDLAGEN DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND STATISTIK für Studierende der INFORMATIK vom 17. Juli 01 (Dauer: 90 Minuten) Übersicht über
MehrSeminar Quantitatives Risikomanagement
Seminar Quantitatives Risikomanagement Multivariate Modelle II Toni Bastgen Mathematisches Institut der Universität zu Köln Sommersemester 2008 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg Inhaltsverzeichnis
MehrBildverarbeitung: Filterung. D. Schlesinger () Bildverarbeitung: Filterung 1 / 17
Bildverarbeitung: Filterung D. Schlesinger () Bildverarbeitung: Filterung 1 / 17 Allgemeines Klassische Anwendung: Entrauschung (Fast) jeder Filter basiert auf einem Modell (Annahme): Signal + Rauschen
Mehr1.2 Technische Herausforderungen
. Technische Herausforderungen Mehrwegeausbreitung (Forts.) Dispersion (Delay Spread) Intersymbolinterferenz (ISI) x 0 3 Mittenfrequenz.4 GHz, Sichtverbindung (LOS).8.6 Impulsantwort g(t) in /s.4. 0.8
MehrMathematische Statistik Aufgaben zum Üben. Schätzer
Prof. Dr. Z. Kabluchko Wintersemester 2016/17 Philipp Godland 14. November 2016 Mathematische Statistik Aufgaben zum Üben Keine Abgabe Aufgabe 1 Schätzer Es seien X 1,..., X n unabhängige und identisch
Mehr