Kapitel 2.1: Die stochastische Sicht auf Signale Georg Dorffner 67

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1 Kapitel 2.1: Die stochastische Sicht auf Signale 215 Georg Dorffner 67

2 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse sind von Zufall geprägte Zeitreihen x n f x, n 1 xn2,... n vorhersagbarer Teil, Signal Einfachster Fall: Random walk zufälliger Teil, Rauschen x n x n1 n Unabhängig identisch verteilt, i.i.d. z.b. normalverteilt 215 Georg Dorffner

3 Stochastische Beschreibung: Momente Verteilung der Amplitudenwerte 12 Random walk 14 EEG 1 15 EEG Momente: k k E x n Erwartungswert der k-ten Potenz 1.: Mittelwert, 2.: Varianz, 3.: Schiefe, 4.: Kurtosis 215 Georg Dorffner 69

4 Weißes Rauschen 4 3 ε n... Zufällige Werte Amplitude: Gauss-verteilt Amplitude Spektrum: gleichverteilt (daher weiß ) Enthält alle Frequenzen gleich stark Amplitude Frequency 215 Georg Dorffner 7

5 Autokorrelation Korrelation eines Signals mit sich selbst, für alle belibeige Zeitverschiebungen Beispiele: 7 x 15 random walk 2 x 14 EEG 1 1 sinus Georg Dorffner 71

6 Signal-Rausch-Verhältnis Verhältnis zwischen Signal und Rauschen P 2 S SNR S SNR P 2 N wenn Mittelwert N Beispiel: verrauschter Sinus Georg Dorffner

7 Autoregression Stelle ein Signal als Linearkombination von vergangenen Werten dar: x n q b i1 i x ni n Rauschen 8 Entspricht Regression des Signals auf sich selbst ( auto ) x(n) ε -6 Bestimme mit Methode -8-1 der kleinsten Quadrate x(n-1) 215 Georg Dorffner 73

8 AR-Koeffizienten als Signalbeschreibung AR-Modell dient der Vorhersage Wenn Fehler gleich weißes Rauschen: AR-Koeffizienten beschreiben das Signal b(i) b(i) b(i) Wenn Vorhersage-Fehler>2*sdev(ε n ) Änderung der Signalcharakteristik ( novelty detector ) 215 Georg Dorffner 74

9 AR-Modell als Filter x n q b i1 i x ni n ε n + x n z -1 Rekursiver Filter mit Rauschen als Input Da weißes Rauschen alle Frequenzen enthält: Filter schneidet Spektrum des Signals heraus + + b 1 b 2 z Georg Dorffner 75...

10 AR-Modell und FFT Frequenzantwort des AR-Filters: Amplitude Frequency Kann als Alternative zu Spektrum (mit grober Frequenzauflösung) betrachtet werden 215 Georg Dorffner 76

11 Zusammenfassung AR-Modell (aus Daten geschätzt) dient zur Beschreibung des Signals Direkte Beziehung zu Spektrum (über weißes Rauschen) Vorteile/Eigenschaften: Recheneffizient Probabilisische Beschreibung möglich Annäherung (keine exakte Beschreibung) 215 Georg Dorffner 77

12 Kapitel 2.2: Independent Component Analysis 215 Georg Dorffner 78

13 Das Cocktail-Party Problem Vgl. Hyvärinen & Oja (2) Annahme: 2 Tonquellen, 2 Mikrofone an verschiedenen Orten Signale werden linear gemischt: x1, n a11s1, n a12s2, Allgemein: xn As n x 2, n a 21 s 1, n a 22 s n 2, n Gesucht: Originalsignale s n Mischmatrix A ist unbekannt 215 Georg Dorffner 79

14 ICA Ausgangspunkt: Annahme x As Gesucht: Signale s s Wx A 1 x blind source separation Möglich (unter weiteren Annahmen, s.u.), bis auf Multiplikative Faktoren ( Amplitude der Quellen) Reihenfolge (Permutation) Beachte: Zeitindex weggelassen, Daten liegen als Beispiele vor 215 Georg Dorffner 8

15 2-dimensionales Beispiel 2 3 s 1, s 2 : gleich verteilte Zufallsvariablen A 2 1 s 1 und s 2 unabhängig! x 1 und x 2 abhängig! Originalrichtungen können rekonstruiert werden 215 Georg Dorffner 81

16 2-dimensionales Beispiel 2 s 1, s 2 : gaussverteilt A Keine eindeutige Richtung 215 Georg Dorffner 82

17 Bedingungen für ICA Mindestens so viele Mischungen wie Quellen Quellen müssen unabhängig sein Def: s1, s2 unabhängig iff Quellen dürfen nicht Gauss-verteilt sein (oder maximal eine) Quellen sollten Mittelwert und Varianz 1 haben Vorverarbeitung ( pre-whitening ) p s s p s p, s Georg Dorffner 83

18 Der Ansatz Beobachtung: Nach Grenzwertsatz tendiert die Summe von beliebigen Verteilungen zur Gaussverteilung Betrachte eine mögliche Quelle (w ist Zeilenvektor von W=A -1 ) y w T x z A T w Neue Variable y w T x w T As z T s y ist eine Linearkombination ( Summe ) der Originalsignale, y ist mehr Gaussverteilt als jedes Originalsignal mache y so nicht-gauss wie möglich Genau dann, wenn nur eine Komponente von z nicht ist y s i 215 Georg Dorffner 84

19 Nicht-Gaussianität Gesucht: Maß, wie nicht-gauss eine Verteilung ist Lernproblem: Optimierung des Maßes (z.b. Gradientenverfahren) Independent Components entsprechen den Minima Mögliches Maß: Kurtosis kurt 4 2 y E y 3 E y 2 Entspricht: Mittelwert der 4. Potenzen minus der quadrierten Varianz Für Gauss-Verteilung: kurt(y)= kurt(y)>: Supergauss (leptokurtisch) kurt(y)<: Subgauss (platykurtisch) 215 Georg Dorffner 85

20 Laplace.Verteilung Kurtosis - Beispiele Leptokurtisch, Hat heavy tails Platykurtisch Mehr Masse in Der Mitte 215 Georg Dorffner 86

21 Visualisierung Beispiel von oben In jeder Richtung, die nicht parallel zum Rand geht, gilt: Verteilung ist Linearkombination aus den beiden Signalen, daher eher Gauss-verteilt Maximale Nicht-Gaussianität: Gleichverteilung in Richtung des Randes Je nach Startpunkt verschiedene ICs gefunden 215 Georg Dorffner 87

22 Alternative Maße Negentropy J y H ygauss H y H Maß der Geordnetheit, für Gauss maximal Approximation notwendig, z.b: J y Mutual information p k i1 i E I y pylog py berücksichtig Beziehung der Signal untereinander Maximum likelihood H G y EG y i dy y, y, y H y H y 1 2, i m gauss m i1 G i bel. nichtquadrat. Fkt. i 215 Georg Dorffner 88

23 ICA und PCA Principal Component Analysis: Richtungen der größten Varianz Müssen orthogonal aufeinander stehen Koordinatentransformation ICA: Richtungen der stärksten Nicht-Gauss-Verteilungen Müssen nicht orthogonal sein 215 Georg Dorffner 89

24 Zusammenfassung ICA bietet eine interessante Methode der Identifizierung zugrundeliegender Signale oder Prozesse Verwandt mit PCA, projection pursuit Anwendungen in der Signalverarbeitung, Zeitreihenverarbeitung, Bildverarbeitung Ist eine Form der statistischen Signalverarbeitung (Schätz- bzw. Lernverfahren) 215 Georg Dorffner 9

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