Funktionen. 1. Einführung René Descartes Cartesius (Frankreich, )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Funktionen. 1. Einführung René Descartes Cartesius (Frankreich, )"

Transkript

1 Mathematik bla Funktionen 1. Einführung 167 René Descartes Cartesius (Frankreich, )...führt das kartesische Koordinatensystem ein. Er beschreibt einen Punkt als ein Paar von reellen Zahlen und Kurven durch Gleichungen. Damit verbindet er Algebra und Geometrie Gottfried von Leibniz (Deutschland, )...erwähnt erstmals den Begriff Funktion. Gemäss seiner Definition beschreibt eine Funktion den Verlauf einer Kurve Leonhard Euler (Schweiz, )...definiert die Funktion als variable Grösse, die von einer andern Grösse abhängt. Er führt die Bezeichnung f(x) für den Funktionswert ein. 187 Lejeune Dirichlet (Deutschland, )...formuliert sinngemäss die heute gültige Definition: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Ausgangsmenge genau ein Element einer Zielmenge zuordnet. 1

2 Beispiel: Zuordnung Grad Fahrenheit Grad Celsius Fahrenheit ( F) Die Fahrenheit-Skala wird heute noch in englischsprachigen Ländern verwendet, insbesondere in den USA. Diese Temperaturskala wurde nach dem deutschen Physiker Daniel Gabriel Fahrenheit ( ) benannt. In Holland hat er das Quecksilber-Thermometer erfunden und 1714 die Fahrenheit-Skala nach folgenden Fixpunkten festgelegt. Als Nullpunkt wählte er die tiefste Temperatur, die er damals mit einer Mischung aus Eis und normalem Salz erreichen konnte. Als zweiten Fixpunkt legte er den Gefrierpunkt von Wasser auf F. Damit ergeben sich für die Körpertemperatur eines Menschen etwa 100 F Celsius ( C) Celsius wird in vielen Ländern der Welt als Temperaturmassstab verwendet. Festgelegt hat sie der schwedischen Astronom Anders Celsius ( ). 174 definierte er die Skala zwischen dem Gefrierpunkt von Wasser als Nullwert und dem unter athmosphährendruck kochenden Wasser mit 100 C. Lange Zeit wurde diese Skala auch "Centigrade" genannt wegen der 100er Teilung zwischen Schmelz- und Siedepunkt des Wassers. Weitere Temperaturskalen Kelvin (K) wird hauptsächlich in der wissenschaftlichen Sprache verwendet. Benannt wird Kelvin nach dem britischen Physiker Lord Kelvin of Largs ( ). Definiert ist die Kelvinskala vom Abstand her gleich wie die Celsiusskala, nur hat diese Skala einen andern Fixpunkt, den absoluten Nullpunkt bei -7,15 C als 0 Kelvin. Réaumur ( R) hatte früher eine Bedeutung. Die Skala hat die gleichen Fixpunkte wie Celsius, das Intervall besteht aber aus 80 Teilen zwischen Schmelz- und Siedepunkt des Wassers. Der französiche Physiker und Zoologe René-Antoine Réaumur ( ) legte diese Skala im Jahre 170 fest Umrechnung von Grad Celsius in Grad Fahrenheit: Es gilt: 0 C F Gefrierpunkt 100 C 1 F Siedepunkt Damit entsprechen den 100 Schritten zwischen 0 und 100 C genau 180 Schritte in F. Dies ergibt für 1 C-Schritt genau 1,8 F-Schritte, also 1 C-Schritt = 5 9 F-Schritte Wenn x die Temperaturangabe in C ist und y in F, ergibt sich folgende Umrechnung: Die Umrechnung dieser Celsiusschritte in Fahrenheitschritte: 9 x 5 Damit haben wir die Anzahl Celsiusschritte über dem Gefrierpunkt, in Fahrenheitschritte umgerechnet. Da bei 0 C bereits F gelten, müssen diese zu den berechneten Fahrenheitschritten addiert werden. 9 y = x + 5 Übungen - Rechne folgende Temperaturen in F um: 7 C 1 C 180 C - 10 C - Gib eine entsprechende Formel zur Umrechnung von F in C an.

3 . Definition und Darstellung von Funktionen Eine Funktion ist eine..., die... Element einer Ausgangsmenge... Element einer Zielmenge zuordnet. Begriffe: Funktionen werden in der Regel mit kleinen Buchstaben bezeichnet, z. B. die Funktion f. Die Ausgangsmenge heisst Definitionsmenge D. Die Elemente der Ausgangsmenge werden mit der Variablen x dargestellt, sie werden auch Stellen genannt, die Zahl, die dem x zugeordnet wird, wird in der Regel mit der Variablen y bezeichnet. Wir schreiben: f: x y (Die Funktion f ordnet der Zahl x den Wert y zu) Beispiel 1: Anna möchte via Internet spanische Nüsschen einkaufen. Pro Kilogramm muss sie Fr..50 bezahlen, dazu kommen Fr. 4.5 Portokosten pro Lieferung. Die Anzahl Kilo bezeichnen wir mit x. Jedem x-wert wird nun ein Kaufpreis (= Kosten für die Erdnüsschen plus Portokosten) zugeordnet. Den Kaufpreis bezeichnen wir mit y. Vervollständige folgende Tabelle: Anzahl Kilo Gesamtpreis in Fr. x = y = Gib die Formel an, mit welcher man den Gesamtpreis y aus den Anzahl Kilo x berechnen kann: y =... Die Gleichung, welche die Beziehung zwischen der Variablen x und der von ihr abhängigen Grösse y beschreibt, heisst Funktionsgleichung. Beispiel : Von einem Rechteck kennt man den Umfang, er beträgt 8cm. Wenn man nun die eine Seitenlänge x kennt, dann kann man die Länge der andern Seite y ausrechnen. Jedem x kann man demnach ein y zuordnen. Vervollständige die Tabelle: Seitenlänge x = Seitenlänge y = Gib die Formel an, mit welcher man die Seitenlänge y aus 1 cm der Seitenlänge x berechnen kann. 1,5 cm y =... cm,9,5 cm

4 Der Term rechts vom Gleichheitszeichen in der Funktionsgleichung, der angibt, wie man den Wert von y berechnet, heisst Funktionsterm. Für den Funktionsterm verwenden wir auch das Zeichen f(x), es bedeutet: Funktionswert an der Stelle x und entspricht dem y. Beispiel 1: Spanische Nüsschen f(x) =... Beispiel : Rechteck f(x) =... y 1 (/) ( Eine Funktion kann nicht nur als Tabelle oder als Gleichung dargestellt werden, es gibt auch eine grafische Darstellung im kartesischen Koordinatensystem: Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengeraden, die sich im 0-Punkt rechtwinklig schneiden. Die waagrechte Achse ist immer die x-achse, die senkrechte ist immer die y-achse x Ein Punkt im Koordinatensystem ist durch ein Zahlenpaar, die Koordinaten gegeben. Die erste Zahl ist die x-koordinate (auch Abszisse ) und gibt an wie viele Längeneinheiten der Punkt in x- Richtung vom 0-Punkt entfernt ist. Die zweite Zahl ist die y-koordinate (auch Ordinate ), sie gibt an wie viele Längeneinheiten der Punkt in y-richtung vom 0-Punkt entfernt ist. - Aufgabe 1: Trage im nebenstehenden Koordinatensystem die folgenden drei Punkte ein: A (-1 / ), B (1 / -), C (- / -) 4

5 Aufgaben.1 In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit => Häuschen) wird zuerst das Quadrat mit den Eckpunkten (/), (- / ), (- / -), ( / -) eingezeichnet. Innerhalb dieses Quadrates wird die Menge aller Punkte mit den Koordinaten (x / y) wobei x R und y R, markiert, für die folgende Bedingung erfüllt ist: a) x = b) x > - 1,5 c) y = x + 1 d) y = x. Aufgabe zum Satz von Pythagoras : Zeichne die Punkte A(6 / 0), B(9 / ), C(7 / 9) und D(0 / ) in ein Koordinatensystem und berechne die Streckenlängen a) AB b) AC c) AD d) BC 4. Gegeben ist die Funktion f(x) x 6 Berechne zu fünf x-werten die zugehörigen Funktionswerte, stellen Sie sie in der Tabelle dar und zeichnen Sie die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem (1 Längeneinheit => Häuschen). Wie sieht der Graph der Funktion aus wenn man die Funktionswerte zu allen x R bestimmt und graphisch darstellt? 1.4 Gegeben ist die Funktion f(x) x 1 Gleiche Aufgabe wie...5 Gegeben ist die Funktion f(x) x Gleiche Aufgabe wie...6 Gegeben ist die Funktion f(x) 1 x a) Berechne f(0), f(1), f(-), f( 8 ) b) Bestimme den Term f(f(n)) c) Für welchen Wert von x ist f(x) = 5?.7 Von einem Rechteck kennt man den Flächeninhalt, er beträgt 1 (Flächeneinheiten). Wenn man nun die eine Seitenlänge x kennt, dann kann man die Länge der andern Seite y ausrechnen. Jedem x kann man demnach ein y zuordnen (vgl. Beispiel ). Berechne zu einigen x-werten die zugehörigen Funktionswerte, stelle sie in der Tabelle dar und zeichne die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem (1 Längeneinheit => Häuschen). Wie sieht der Graph der Funktion aus wenn man die Funktionswerte zu allen x R bestimmt und graphisch darstellt?.8 Die beiden Punkte A(4 / ) und B(6 / 7) gehören zum Graph einer Funktion. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung..9 In einer Mathematik-Probe gibt der Lehrer für 0 Punkte die Note 1 und für das Maximum von 11 Punkten die Note 6. Stelle die Funktion, welche der Punktezahl die Note zuordnet in einem Koordinatensystem graphisch dar und beantworte anhand der Grafik die folgenden Fragen: a) Welchen Note erhält man für 8½ Punkte? b) Wie viele Punkte benötigt man mindestens, um eine genügende Note zu erhalten? 5

6 . Lineare Funktionen Definition: Eine Funktion, die durch eine Funktionsgleichung der Form y = mx + q dargestellt werden kann, heisst lineare Funktion. Ein Beispiel: y = x 5 m und q sind sogenannte Formvariablen, sie werden benötigt, um die Form der Funktion anzugeben. Wenn man eine bestimmte lineare Funktion angeben will, muss man für m und q je eine reelle Zahl einsetzen. Wenn man m und q verändert, dann erhält man auch eine andere Funktion und damit verändert sich auch das Aussehen der grafischen Darstellung der Funktion. Aufgabe.1: Zeichne in das Koordinatensystem die Graphen der folgenden Funktionen y = 1 x + 1 y = x 1 y = x y = 1 x + y = - x + 1 Steigung einer Geraden y f(b) f(a) s h Der Wert von m beeinflusst die Steigung der Geraden. Die Steigung einer Geraden ist das Verhältnis des Höhenunterschieds h zur waagrechten Strecke s: Steigung = s h dabei gilt gemäss Skizze h = f(b) f(a) und s = b a. a b x Steigung = f(b) f(a) b a 6

7 Da f eine lineare Funktion ist, kann man für x die Werte a und b einsetzen und es gilt: f(a) = m a + q und f(b) = m b + q. (mb q) (ma q) mb q ma q mb ma m(b a) Wir erhalten damit: Steigung = b a b a b a b a = m Damit ist bewiesen: m ist die... der Geraden. Eine Steigung wird oft (z.b. bei Strassen) in Prozent angegeben. Wie hängt diese Steigung in % mit unserer Definition zusammen? Werte für h und s: mathematische Steigung: Steigung in %: h h = 5 s = h = s = s h = 6 s = In der Funktionsgleichung y = mx + q erhält man q, wenn man für x den Wert 0 einsetzt: y = m 0 + q = q Wenn x also 0 ist - das ist auf der y-achse der Fall - dann gilt y = q. Damit liegt der Punkt ( 0 / q ) einerseits auf der y-achse, andererseits auf dem Graph. Das heisst: der Graph der Funktion y = mx + q schneidet die y-achse im Punkt ( 0 / q ). Aufgabe. Gegeben ist die Funktion f: y = 5 x - 4 a) Zeichne den Graph der Funktion f. b) Untersuche, ob der Punkt P(8 / 91) auf dem Graph von f liegt. c) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen. d) Welche Zahl wir durch die Funktion f sich selber zugeordnet? f: a a. e) Gib die Gleichung der Funktion g an, deren Graph durch Q(-4 / 0) geht und zum Graph von f parallel liegt. Aufgabe. Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die durch die Punkte P( - / 4 ) und Q( 6 / 7 ) geht. Aufgabe.4 Vereinfache so weit wie möglich und zeichne den Graph der Funktion Aufgabe.5 x 5x y x x 1 Gegeben ist die Funktion f: y = x - 5 a) Zeichne den Graph der Funktion f. b) Untersuche, ob der Punkt P(8 / 5) auf dem Graph von f liegt. c) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen. d) Welche Zahl wir durch die Funktion f sich selber zugeordnet? f: a a. e) Geben Sie die Gleichung der Funktion g an, deren Graph durch Q(-4 / 0) geht und zum Graph von f senkrecht steht. 7

8 4. Schnittpunkte von zwei Graphen Gegeben sind zwei lineare Funktionen: f(x) x und g(x) x Im Schnittpunkt der beiden Funktionen erhält man bei beiden Funktionstermen für den gleichen Wert von x den selben Wert für das y. Es gilt also : x = x Löse diese Gleichung nach x auf. Man erhält x =... und indem man dieses x in einer der Funktionsgleichung einsetzt ergibt sich y =... Damit hat der Schnittpunkt die Koordinaten S (... /... ) Dieses Vorgehen zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionen gilt immer: die beiden Funktionsterme gleichsetzen Gleichung nach x auflösen ergibt x x in einer der Funktionsgleichungen einsetzen ergibt y Aufgabe 4.1 a) Bestimme die Gleichung der linearen Funktion f, wobei f(-) = 5 und f(4) = -4 b) Wo schneidet der Graph von f die Koordinatenachsen? c) Bestimme die Gleichung der linearen Funktion g, deren Graph durch den Punkt P( / ) geht und die Steigung m = hat. d) Bestimme den Schnittpunkt der Graphen von f und g. Aufgabe 4. Gegeben sind zwei Funktionen: f(x) = x - 9 und g(x) = 4x + a) Berechne alle Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen. b) Berechne alle Schnittpunkte des Graphen von g mit den Koordinatenachsen. c) In welchen Punkten schneiden sich die beiden Graphen? Aufgabe 4. Wo schneidet die Gerade durch die Punkte P (1 / - 4 ) und Q (8 / 10) den Graph der Funktion g(x) = 0 x 8

Was ist eine Funktion?

Was ist eine Funktion? Lerndomino zum Thema Funktionsbegriff Kopiereen Sie die Seite (damit Sie einen Kontrollbogen haben), schneiden Sie aus der Kopie die "Dominosteine" zeilenweise aus, mischen Sie die "Dominosteine" und verteilen

Mehr

Lineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen

Lineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem Funktionen Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. Schreibweise: Funktion: f: x f (x)

Mehr

F u n k t i o n e n Lineare Funktionen

F u n k t i o n e n Lineare Funktionen F u n k t i o n e n Lineare Funktionen Dieses Muster entstand aus der Drehung einer Geraden um einen kleinen Kreis. Dieser kleine Kreis dreht wiederum um einen grösseren Kreis. ADSL Internetanschlüsse

Mehr

Einführungsbeispiel Kostenfunktion

Einführungsbeispiel Kostenfunktion Einführungsbeispiel Kostenfunktion Sie bauen eine Fabrik für Luxusautos auf und steigern die Produktion jeden Monat um 1000 Stück. Dabei messen Sie die jeweiligen Kosten und stellen sie grafisch dar. Die

Mehr

Mathematik - 1. Semester. folgenden Zahlenpaare die gegebene Gleichung erfüllen:

Mathematik - 1. Semester. folgenden Zahlenpaare die gegebene Gleichung erfüllen: Mathematik -. Semester Wi. Ein Beispiel Lineare Funktionen Gegeben sei die Gleichung y x + 3. Anhand einer Wertetabelle sehen wir; daß die folgenden Zahlenpaare die gegebene Gleichung erfüllen: x 0 6 8

Mehr

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag, Lineare Funktionen Aufgabe 1: Welche der folgenden Abbildungen stellen eine Funktion dar? Welche Abbildungen stellen eine lineare Funktion dar? Ermittle für die linearen Funktionen eine Funktionsgleichung.

Mehr

Funktionen: Einleitung

Funktionen: Einleitung Funktionen: Einleitung Funktionen sind fundamentale Instrumente der Mathematik zur Beschreibung verschiedener Zusammenhänge. E 1 E 2 E 3 Der Abbildungsbegriff Abb. 1 1: Darstellung einer Abbildung Oft

Mehr

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,

Mehr

Die Funktionsvorschrift f bedeutet: Multipliziere die gegebene Zahl mit m und addiere q.

Die Funktionsvorschrift f bedeutet: Multipliziere die gegebene Zahl mit m und addiere q. 8.6. Die lineare Funktion Einführendes Beispiel: Taxitarife in Schweizer Städten sind wie folgt aufgebaut: Für Fahrten ist eine Grundgebühr von Fr. 7.- und zusätzlich pro gefahrenen Kilometer pro km Fr..40

Mehr

Lösungen lineare Funktionen

Lösungen lineare Funktionen lineare Funktionen Lösungen 1 Lösungen lineare Funktionen Schnittpunkt gegeben bestimme Funktionsvorschrift. Flächeninhalt von eingeschlossenem Dreieck berechnen. Schnittwinkel gegeben, berechne Steigung.

Mehr

7.1.2 Lineare Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen - Lösungen

7.1.2 Lineare Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen - Lösungen 7.. Lineare Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen - Lösungen. Bestimme von den nachfolgenden Funktionsgleichungen zunächst die Schnittpunkte mit den Achsen; stelle sie danach im Koordinatensystem dar.

Mehr

Graph der linearen Funktion

Graph der linearen Funktion Graph der linearen Funktion Im unten stehenden Diagramm sind die Grafen der Funktionen f und g gezeichnet (a) Stelle die Gleichungen von f und g auf und berechne die Nullstellen der beiden Funktionen (b)

Mehr

mathphys-online EINFACHE UMKEHRFUNKTIONEN

mathphys-online EINFACHE UMKEHRFUNKTIONEN EINFACHE UMKEHRFUNKTIONEN Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite Einührungsbeispiel Der Begri Umkehrunktion 3 Die Umkehrunktion der linearen Funktion 3 Die Umkehrunktion der quadratischen Funktion Graphiken

Mehr

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient. Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m

Mehr

Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln

Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Gegeben sind die Parabeln: h(x) = 8 x + 3 x - 1 9 und k(x) = - 8 x - 1 1 8 x + 11 a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte A und C der Graphen

Mehr

Grundwissen 8 - Aufgaben Seite 1

Grundwissen 8 - Aufgaben Seite 1 Grundwissen 8 - Aufgaben 22.01.2016 Seite 1 1. Ergänze jede der folgenden Aussagen zum Rechnen mit Potenzen mathematisch sinnvoll und grammatikalisch korrekt. a) Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden

Mehr

Lineare Funktionen. Die lineare Funktion

Lineare Funktionen. Die lineare Funktion 1 Die lineare Funktion Für alle m, t, aus der Zahlenmenge Q heißt die Funktion f: x m x + t lineare Funktion. Die Definitionsmenge ist Q (oder je nach Zusammenhang ein Teil davon). Der Graph der linearen

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011

Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011 Lineare Funktion Wolfgang Kippels. März 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................

Mehr

6 Bestimmung linearer Funktionen

6 Bestimmung linearer Funktionen 1 Bestimmung linearer Funktionen Um die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man ihre Steigung ermitteln. Dazu sind entweder Punkte gegeben oder man wählt zwei Punkte P 1 ( 1

Mehr

Download. Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download. Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Download Otto Mar Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen Üben in drei Differenzierungsstufen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Hausaufgaben: Lineare Funktionen und Gleichungen Üben in drei

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012:

Inhalt der Lösungen zur Prüfung 2012: Inhalt der Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil... Wahlteil Analsis... 8 Wahlteil Analsis... Wahlteil Analsis... 4 Wahlteil Analtische Geometrie... 8 Wahlteil Analtische Geometrie... Pflichtteil Lösungen

Mehr

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung)

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 2006 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 22. Juni 2006 Prüfungsdauer: 09:00 12:00 Uhr Hilfsmittel:

Mehr

Funktionen in der Mathematik

Funktionen in der Mathematik R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 05.0.008 Funktionen in der Mathematik Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft

Mehr

Thema aus dem Bereich Analysis Funktionen 1.Grades

Thema aus dem Bereich Analysis Funktionen 1.Grades Thema aus dem Bereich Analysis -. Funktionen.Grades Inhaltsverzeichnis Einführung in den Funktionsbegriff Der Funktionsgraph und die Wertetabelle Was ist eine Funktion.Grades? Die Steigung einer Geraden

Mehr

4.1. Aufgaben zu linearen Funktionen

4.1. Aufgaben zu linearen Funktionen .. Aufgaben zu linearen Funktionen Aufgabe : Koordinatensystem a) Gib die Koordinaten der Punkte P - P 8 in dem rechts abgebildeten Koordinatensystem an. b) Markiere die Punkte A( ); B( ); C( ); D( );

Mehr

Quadratische Funktionen in Anwendung und Erweiterung des Potenzbegriffs

Quadratische Funktionen in Anwendung und Erweiterung des Potenzbegriffs und Erweiterung des Potenzbegriffs Schnittpunkte von Graphen 1. Die Funktionsterme werden gleichgesetzt zur rechnerischen Bestimmung der Koordinaten gemeinsamer Punkte.. Von der entstehenden Gleichung

Mehr

Repetitionsaufgaben: Einführung des Begriffes Funktion

Repetitionsaufgaben: Einführung des Begriffes Funktion Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Einführung des Begriffes Funktion Zusammengestellt von Jörg Donth, KSR Lernziele: - Sie kennen die Begriffe Funktion, Funktionswert, Argument der Funktion,

Mehr

a = 340 f x = 7,5x b) Der Auffüllzeitpunkt liegt bei x = 0. f 0 = 7, = 340 Der Futterbestand wurde vor 12 Tagen auf 340 kg aufgefüllt.

a = 340 f x = 7,5x b) Der Auffüllzeitpunkt liegt bei x = 0. f 0 = 7, = 340 Der Futterbestand wurde vor 12 Tagen auf 340 kg aufgefüllt. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite..8 Lineare Funktionen aus gegebenen Bedingungen Fall I: Eine Gerade mit der Steigung a verläuft durch den Punkt P ( ). Gesucht ist die Funktionsgleichung. Steigung:

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

Funktionsgraphen (Aufgaben)

Funktionsgraphen (Aufgaben) Gymnasium Pegnitz JS 9 August 2007 Funktionsgraphen (Aufgaben) 1. Betrachte die beiden linearen Funktionen f(x) = x + 2 und g(x) = x 3 und die quadratische Funktion p(x) = f(x) g(x) (a) Zeichne die Graphen

Mehr

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt.

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt. FrauOelschlägel Mathematik8 Lineare Funktionen Ü Datum 1. Die Punkte A 0 4 und liegen auf der Geraden h. und Q8,5,5 B10 0 liegen auf der Geraden g, die Punkte P 0,5 11 Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichungen

Mehr

HTBLA VÖCKLABRUCK STET

HTBLA VÖCKLABRUCK STET HTBLA VÖCKLABRUCK STET Relationen und Funktionen 2 INHALTSVERZEICHNIS 1. RELATIONEN... 3 2. FUNKTIONEN... 4 2.1. LINEARE FUNKTION... 6 Relationen und Funktionen 3 1. RELATIONEN Def.: Eine Relation zwischen

Mehr

Lineare Funktionen. Beispiele: y = 3x 1 y = 2x y = x 3 3. Im Koordinatensystem dargestellt erhalten wir folgende Geraden:

Lineare Funktionen. Beispiele: y = 3x 1 y = 2x y = x 3 3. Im Koordinatensystem dargestellt erhalten wir folgende Geraden: Lineare Funktionen Eine Funktion der Form x mx + b hat als Funktionsgleichung eine Gleichung der Form y = mx + b. Der Graph der Funktion ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-achsenabschnitt b.

Mehr

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen Klasse 8 Algebra.3 Steigung von Funktionsgraphen. Funktionen y Ist jedem Element einer Menge A genau ein E- lement einer Menge B zugeordnet, so nennt man die Zuordnung eindeutig. 3 5 6 8 Dies ist eine

Mehr

MATHEMATIK 7. Schulstufe Schularbeiten

MATHEMATIK 7. Schulstufe Schularbeiten MATHEMATIK 7. Schulstufe Schularbeiten 1. S c h u l a r b e i t Grundrechnungsarten mit ganzen Zahlen Koordinatensystem rationale Zahlen Prozentrechnung a) Berechne: [( 26) : (+ 2) ( 91) : ( 7)] + ( 12)

Mehr

Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung

Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung Lineare Funktionen Eine kurze Wiederholung Mathematik Einführungsphase Eine lineare Funktion ist zunächst einmal eine Funktion, d.h. eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-wert aus einem Definitionsbereich

Mehr

2. Mathematikschulaufgabe

2. Mathematikschulaufgabe 1.0 Lineare Funktionen: 1.1 Die Gerade g 1 hat die Steigung m 1 = - 0,5 und verläuft durch den Punkt P 1 (-1/-1,5). Bestimme die Gleichung der Geraden g 1. 1.2 Die Gerade g 2 steht auf der Geraden g 1

Mehr

Klasse Dozent. Musteraufgaben. Gegeben sind die folgenden Graphen. Gib jeweils die zugehörige Funktionsgleichung an! f(x) = g(x) = h(x) = k(x) =

Klasse Dozent. Musteraufgaben. Gegeben sind die folgenden Graphen. Gib jeweils die zugehörige Funktionsgleichung an! f(x) = g(x) = h(x) = k(x) = Musteraufgaben Fach: Mathematik - Lineare Funktionen Anzahl Aufgaben: 50 Diese Aufgabensammlung wurde mit KlasseDozent erstellt. Sie haben diese Aufgaben zusätzlich als KlasseDozent-Importdatei (.xml)

Mehr

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5

f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5 11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =

Mehr

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert.

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert. Lineare Funktionen - Term - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsterm zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsterm einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsterm einer

Mehr

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel: 1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen

Mehr

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion

Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen

Mehr

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis 3... 5 Wahlteil Analytische Geometrie... Wahlteil Analytische Geometrie... Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil

Mehr

Wiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln)

Wiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln) SEITE 1 VON 7 Wiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln) VON HEINZ BÖER 1. Regeln a) Funktionsvorschriften Normalform f(x) = a x² + b x + c Normalparabel: f(x) = x 2 Graf der Normalparabel Die einfachste

Mehr

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9. Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Mehr

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung) Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 004 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 4. Juni 004 Prüfungsdauer: 09:00-1:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer,

Mehr

Über das Entstehen neuer Funktionen

Über das Entstehen neuer Funktionen Leittet Über das Entstehen neuer Funktionen Bernhard Reuß Eine Anleitung zum Selbststudium c 2 beim Verfasser Vorgehensweise Mit Hilfe der nachfolgenden Informationen und Aufgaben werden Sie sehen, dass

Mehr

Mathematik Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2

Mathematik Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2 Mathematik Nachhilfe Blog Mathe so einfach wie möglich erklärt Mathematik Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2 Veröffentlicht am 3. September 2016 Neuigkeiten aus dem Mathe Unterricht Tim

Mehr

Die Funktionsvorschrift f bedeutet: Multipliziere die gegebene Zahl mit m und addiere q.

Die Funktionsvorschrift f bedeutet: Multipliziere die gegebene Zahl mit m und addiere q. 1 1.7. Die lineare Funktion Einführendes Beispiel: Die Taxitarife in Schweizer Städten sind etwa wie folgt aufgebaut: Für Fahrten ist eine Grundgebühr von Fr. 7.- und zusätzlich pro gefahrenen Kilometer

Mehr

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung

Kurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit

Mehr

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle.

Bestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle. Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 9 Üben xx Quadratische Funktion 1 Skizziere den Graphen der durch y = 0,5 x 2 + x - 4 gegebenen quadratischen Funktion. Bestimme dazu die Nullstellen,

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 8. Beispiel: m= 2,50 1 = 5,00. Gleichung: y=2,50 x. Beispiel: c=1,5 160=2,5 96=3 80=6 40=240.

Grundwissen Mathematik Klasse 8. Beispiel: m= 2,50 1 = 5,00. Gleichung: y=2,50 x. Beispiel: c=1,5 160=2,5 96=3 80=6 40=240. I. Funktionen 1. Direkt proportionale Zuordnungen Grundwissen Mathematik Klasse x und y sind direkt proportional, wenn zum n fachen Wert für x der n fache Wert für y gehört, die Wertepaare quotientengleich

Mehr

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten . Feststellungsprüfung Nachprüfung 19.0.005 1. Untersuchen Sie die Funktion p ( ) = + 16 auf Monotonie und geben Sie auf Grund dieses Ergebnisses die Lage des Scheitels an. (10. Der Graph einer ganz rationalen

Mehr

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen Eine Dokumentation von Sandro Antoniol Klasse 3f Mai 2003 Inhaltsverzeichnis: 1. Einleitung...3 2. Grundlagen...4 2.1. Symmetrieeigenschaften von Kurven...4 2.1.1. gerade Exponenten...4 2.1.2. ungerade

Mehr

1 Koordinatensystem. Grundlagen der Funktionentheorie Lineare Funktionen. Schuljahr 2016/2017. Inhalt

1 Koordinatensystem. Grundlagen der Funktionentheorie Lineare Funktionen. Schuljahr 2016/2017. Inhalt Berufskolleg Marienschule Lippstadt Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe - staatlich anerkannt - Schuljahr 06/07 Kurs: Mathematik AHR Kurslehrer: Langenbach Grundlagen der Funktionentheorie

Mehr

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Einzelne lineare Gleichungen mit zwei Variablen Bis jetzt haben wir nur lineare Gleichungen mit einer Unbekannten (x)

Mehr

R. Brinkmann Seite

R. Brinkmann  Seite R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9..8 Linearen Funktion Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen.

Mehr

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:

Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente: Inhalt: Punkte im Koordinatensstem Funktionen und ihre Schaubilder Punktprobe und Koordinaten berechnen Proportionale Funktionen 5 Steigung und Steigungsdreieck 6 Die Funktion = m + b 7 Funktionsgleichungen

Mehr

Mathematik I Pflichtteil - Nachtermin Aufgabe P 1. Klasse: Platzziffer: Punkte:

Mathematik I Pflichtteil - Nachtermin Aufgabe P 1. Klasse: Platzziffer: Punkte: Prüfungsdauer: Abschlussprüfung 2006 150 Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6 Mathematik I Pflichtteil - Nachtermin Aufgabe P 1 Name: Vorname: Klasse: Platzziffer: Punkte: P 1.0 Gegeben sind der

Mehr

F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen

F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen Eine Parabolantenne bündelt Radio- und Mikrowellen in einem Brennpunkt. Dort wird die Strahlung detektiert. Die Form einer Parabolantenne entsteht durch die

Mehr

Die vorliegende Arbeit besteht aus einem Pflicht- und einem Wahlteil. Im Wahlteil sind von den vier Wahlaufgaben mindestens zwei zu bearbeiten.

Die vorliegende Arbeit besteht aus einem Pflicht- und einem Wahlteil. Im Wahlteil sind von den vier Wahlaufgaben mindestens zwei zu bearbeiten. Realschulabschlussprüfung 2000 Mathematik Seite 1 Hinweise für Schülerinnen und Schüler: Die vorliegende Arbeit besteht aus einem Pflicht- und einem Wahlteil. Im Pflichtteil sind alle vier Aufgaben zu

Mehr

1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen

1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift

Mehr

Lineare Funktionen (=Linie)

Lineare Funktionen (=Linie) Was sind Funktionen? Wikipedia definiert das so: Lineare Funktionen (=Linie) Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell wird eine Funktion als Regel oder Vorschrift

Mehr

Name, Klasse, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Frederieke Sperke x Funktionsanpassung

Name, Klasse, Jahr Schwierigkeit Mathematisches Thema Frederieke Sperke x Funktionsanpassung Frederieke Sperke 12 16.11.2009 x Funktionsanpassung Verbinde die Strecken zwischen den Punkten A(-4/1) und B(-3/-3)mit der Strecke zwischen den Punkten C(4/2) und D(3/-1) knickfrei und exakt miteinander.

Mehr

KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT

KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT Abitur 2001 Mathematik (Grundkurs) Arbeitszeit: 210 Minuten Der Prüfling wählt nach Empfehlung durch die Lehrkraft je eine Aufgabe aus den Gebieten G 1, G 2

Mehr

Gleichsetzungsverfahren

Gleichsetzungsverfahren Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift

Mehr

Dieses Kapitel vermittelt:

Dieses Kapitel vermittelt: 2 Funktionen Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: wie die Abhängigkeit quantitativer Größen mit Funktionen beschrieben wird die erforderlichen Grundkenntnisse elementarer Funktionen grundlegende Eigenschaften

Mehr

Lineare Funktionen und Funktionenscharen

Lineare Funktionen und Funktionenscharen . Erkläre folgende Begriffe: a) Ursprungsgerade b) Steigung bzw. Steigungsdreieck c) Steigende u. fallende Gerade d) Geradenbüschel, Parallelenschar e) y- Achsenabschnitt f) Lineare Funktion g) Normalform

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

11 Üben X Affine Funktionen 1.01

11 Üben X Affine Funktionen 1.01 Üben X Aine Funktionen.0 Zeichne die Graphen zu olgenden Funktionsgleichungen! + + d c b a Augabenkarte von MUED Lösung X Aine Funktionen.0 + + d c b a Üben X Aine Funktionen.0 Bestimme die Funktionsgleichung

Mehr

KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT

KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT Abitur April/Mai 2002 Mathematik (Grundkurs) Arbeitszeit: 210 Minuten Der Prüfling wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten G 1, G 2 und G 3 zur Bearbeitung aus.

Mehr

Lineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen:

Lineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen: Lineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen - 3 2.0 Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen: steigt oder fällt der Graph der Funktion? schneidet der Graph die y-achse

Mehr

Aufgaben für die Klassenstufen 11/12

Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 mit Lösungen Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE1, OE2, OE3 Aufgaben OG1, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS1, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe

Mehr

Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R.

Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus C und nicht aus R. Aufgabe 1 Zahlenmengen, quadratische Gleichungen Gegeben ist eine quadratische Gleichung a 0 mit a R. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Diese Gleichung hat für einige a nur Lösungen aus

Mehr

Mathemathik-Prüfungen

Mathemathik-Prüfungen M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie

Mehr

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (nichttechnische Ausbildungsrichtung)

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 008 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 6. Juni 008 Prüfungsdauer: 09:00 1:00 Uhr Hilfsmittel: Elektronischer,

Mehr

Üben. Lineare Funktionen. Lösung. Lineare Funktionen

Üben. Lineare Funktionen. Lösung. Lineare Funktionen Zeichne die drei Graphen jeweils in dasselbe Koordinatensstem und beschreibe, worin sich die Graphen jeweils gleichen und worin sie sich unterscheiden. a) b) f : x x f : x x f f f : x : x : x x x x 0,

Mehr

1 Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung

1 Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung www.mathebaustelle.de. Einführungsbeispiel Archäologen untersuchen eine neu entdeckte Grabanlage aus der ägyptischen Frühgeschichte. Damit jeder

Mehr

1.1 Direkte Proportionalität

1.1 Direkte Proportionalität Beziehungen zwischen Größen. Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe x der doppelte, dreifache,... Wert der anderen Größe y zugeordnet.

Mehr

Direkt und indirekt proportionale Größen

Direkt und indirekt proportionale Größen 8.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 8 Direkt und indirekt proportionale Größen Direkte Proportionalität x und y sind direkt proportional, wenn zum doppelten, dreifachen,, n-fachen Wert für x der

Mehr

Übungen: Lineare Funktionen

Übungen: Lineare Funktionen Übungen: Lineare Funktionen 1. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen und berechnen Sie die Nullstelle. a) f: y = 2x - 3 b) f: y = -3x + 6 c) f: y = ¼ x + 3 d) f: y = - 3 / 2 x + 9 e) f: y =

Mehr

unabhängigen Variablen Eine Funktion dient der Beschreibung von Zusammenhängen zwischen mehreren verschiedenen Faktoren.

unabhängigen Variablen Eine Funktion dient der Beschreibung von Zusammenhängen zwischen mehreren verschiedenen Faktoren. Funktionsbegriff 2.1 2 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 2.1 Funktionsbegriff Eine Funktion dient der Beschreibung von Zusammenhängen zwischen mehreren verschiedenen Faktoren. In den Wirtschaftswissenschaften

Mehr

WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades

WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades WM.3.1 Die Polynomfunktion 1. Grades Wenn zwischen den Elementen zweier Mengen D und W eine eindeutige Zuordnungsvorschrift vorliegt, dann ist damit eine Funktion definiert (s. Abb1.), Abb1. wobei D als

Mehr

Crashkurs sin 2 x + 5 cos 2 x = sin 2 x 2 sin x = 3

Crashkurs sin 2 x + 5 cos 2 x = sin 2 x 2 sin x = 3 Crashkurs. Funktion mit Parameter/Ortskurve - Wahlteil Analysis.. Gegeben sei für t > die Funktion f t durch f t (x) = 4 x 4t x 2 ; x R\{}. a) Welche Scharkurve geht durch den Punkt Q( 4)? b) Bestimme

Mehr

2. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

2. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner . Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: AG1.1 Wissen über die Zahlenmengen,,, verständig einsetzen können

Mehr

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

2.2 Funktionen 1.Grades

2.2 Funktionen 1.Grades . Funktionen.Grades (Thema aus dem Bereich Analysis) Inhaltsverzeichnis Was ist eine Funktion.Grades? Die Steigung einer Geraden. Die Definition der Steigung.................................... Die Berechnung

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 8

Grundwissen Mathematik Klasse 8 Grundwissen Mathematik Klasse 8 1. Funktionen allgemein (Mathehelfer 2: S.47) Erstellen einer Wertetabelle bei gegebener Funktionsgleichung Zeichnen des Funktionsgraphen Ablesen von Wertepaaren ( x / f(x)

Mehr

Vorbereitungsaufgaben für den Teil 1 der 3. Klausur am

Vorbereitungsaufgaben für den Teil 1 der 3. Klausur am Vorbereitungsaufgaben für den Teil 1 der 3. Klausur am 24.2.15 1 NT 2013: Quadratische und lineare Funktionen Die abgebildete Parabel gehört zur Funktion f mit f(x) = x 2 5 x + 4. a) Zeige durch eine Rechnung,

Mehr

Merksatz. Definition des Begriffs Ableitung

Merksatz. Definition des Begriffs Ableitung Definition des Begriffs Ableitung Merksatz Die Ableitung einer Funktion an der Stelle ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt. Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten

Mehr

Aufgabe A1. Prüfungsdauer: 150 Minuten

Aufgabe A1. Prüfungsdauer: 150 Minuten Prüfungsdauer: 150 Minuten Aufgabe A1 A 1.0 Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC mit der Hypotenuse [AC]. Punkte P n liegen auf der Kathete [AB] und legen zusammen mit den Punkten B und C Dreiecke

Mehr

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1 III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare

Mehr

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV.

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV. LINEARE FUNKTIONEN heißt Anstieg oder Steigung heißt y-achsenabschnitt Graphen linearer Funktionen sind stets Geraden Konstante Funktionen Spezialfall Graphen sind waagerechte Geraden (parallel zur x-achse)

Mehr

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind.

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. Funktionen Station 1 Bestimmung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. m = f(x 2 ) f(x 1 )

Mehr

Kapitel 1:»Rechnen« c 3 c 4 c) b 5 c 4. c 2 ) d) (2x + 3) 2 e) (2x + 0,01)(2x 0,01) f) (19,87) 2

Kapitel 1:»Rechnen« c 3 c 4 c) b 5 c 4. c 2 ) d) (2x + 3) 2 e) (2x + 0,01)(2x 0,01) f) (19,87) 2 Kapitel :»Rechnen«Übung.: Multiplizieren Sie die Terme so weit wie möglich aus. a /5 a 5 Versuchen Sie, vorteilhaft zu rechnen. Übung.2: Berechnen Sie 9% von 2573. c 3 c 4 b 5 c 4 ( b 2 c 2 ) (2x + 3)

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 24 Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man (1) die Quadratur des Kreises, (2) die Dreiteilung

Mehr