Funktionen. 1. Einführung René Descartes Cartesius (Frankreich, )

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1 Mathematik bla Funktionen 1. Einführung 167 René Descartes Cartesius (Frankreich, )...führt das kartesische Koordinatensystem ein. Er beschreibt einen Punkt als ein Paar von reellen Zahlen und Kurven durch Gleichungen. Damit verbindet er Algebra und Geometrie Gottfried von Leibniz (Deutschland, )...erwähnt erstmals den Begriff Funktion. Gemäss seiner Definition beschreibt eine Funktion den Verlauf einer Kurve Leonhard Euler (Schweiz, )...definiert die Funktion als variable Grösse, die von einer andern Grösse abhängt. Er führt die Bezeichnung f(x) für den Funktionswert ein. 187 Lejeune Dirichlet (Deutschland, )...formuliert sinngemäss die heute gültige Definition: Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Ausgangsmenge genau ein Element einer Zielmenge zuordnet. 1

2 Beispiel: Zuordnung Grad Fahrenheit Grad Celsius Fahrenheit ( F) Die Fahrenheit-Skala wird heute noch in englischsprachigen Ländern verwendet, insbesondere in den USA. Diese Temperaturskala wurde nach dem deutschen Physiker Daniel Gabriel Fahrenheit ( ) benannt. In Holland hat er das Quecksilber-Thermometer erfunden und 1714 die Fahrenheit-Skala nach folgenden Fixpunkten festgelegt. Als Nullpunkt wählte er die tiefste Temperatur, die er damals mit einer Mischung aus Eis und normalem Salz erreichen konnte. Als zweiten Fixpunkt legte er den Gefrierpunkt von Wasser auf F. Damit ergeben sich für die Körpertemperatur eines Menschen etwa 100 F Celsius ( C) Celsius wird in vielen Ländern der Welt als Temperaturmassstab verwendet. Festgelegt hat sie der schwedischen Astronom Anders Celsius ( ). 174 definierte er die Skala zwischen dem Gefrierpunkt von Wasser als Nullwert und dem unter athmosphährendruck kochenden Wasser mit 100 C. Lange Zeit wurde diese Skala auch "Centigrade" genannt wegen der 100er Teilung zwischen Schmelz- und Siedepunkt des Wassers. Weitere Temperaturskalen Kelvin (K) wird hauptsächlich in der wissenschaftlichen Sprache verwendet. Benannt wird Kelvin nach dem britischen Physiker Lord Kelvin of Largs ( ). Definiert ist die Kelvinskala vom Abstand her gleich wie die Celsiusskala, nur hat diese Skala einen andern Fixpunkt, den absoluten Nullpunkt bei -7,15 C als 0 Kelvin. Réaumur ( R) hatte früher eine Bedeutung. Die Skala hat die gleichen Fixpunkte wie Celsius, das Intervall besteht aber aus 80 Teilen zwischen Schmelz- und Siedepunkt des Wassers. Der französiche Physiker und Zoologe René-Antoine Réaumur ( ) legte diese Skala im Jahre 170 fest Umrechnung von Grad Celsius in Grad Fahrenheit: Es gilt: 0 C F Gefrierpunkt 100 C 1 F Siedepunkt Damit entsprechen den 100 Schritten zwischen 0 und 100 C genau 180 Schritte in F. Dies ergibt für 1 C-Schritt genau 1,8 F-Schritte, also 1 C-Schritt = 5 9 F-Schritte Wenn x die Temperaturangabe in C ist und y in F, ergibt sich folgende Umrechnung: Die Umrechnung dieser Celsiusschritte in Fahrenheitschritte: 9 x 5 Damit haben wir die Anzahl Celsiusschritte über dem Gefrierpunkt, in Fahrenheitschritte umgerechnet. Da bei 0 C bereits F gelten, müssen diese zu den berechneten Fahrenheitschritten addiert werden. 9 y = x + 5 Übungen - Rechne folgende Temperaturen in F um: 7 C 1 C 180 C - 10 C - Gib eine entsprechende Formel zur Umrechnung von F in C an.

3 . Definition und Darstellung von Funktionen Eine Funktion ist eine..., die... Element einer Ausgangsmenge... Element einer Zielmenge zuordnet. Begriffe: Funktionen werden in der Regel mit kleinen Buchstaben bezeichnet, z. B. die Funktion f. Die Ausgangsmenge heisst Definitionsmenge D. Die Elemente der Ausgangsmenge werden mit der Variablen x dargestellt, sie werden auch Stellen genannt, die Zahl, die dem x zugeordnet wird, wird in der Regel mit der Variablen y bezeichnet. Wir schreiben: f: x y (Die Funktion f ordnet der Zahl x den Wert y zu) Beispiel 1: Anna möchte via Internet spanische Nüsschen einkaufen. Pro Kilogramm muss sie Fr..50 bezahlen, dazu kommen Fr. 4.5 Portokosten pro Lieferung. Die Anzahl Kilo bezeichnen wir mit x. Jedem x-wert wird nun ein Kaufpreis (= Kosten für die Erdnüsschen plus Portokosten) zugeordnet. Den Kaufpreis bezeichnen wir mit y. Vervollständige folgende Tabelle: Anzahl Kilo Gesamtpreis in Fr. x = y = Gib die Formel an, mit welcher man den Gesamtpreis y aus den Anzahl Kilo x berechnen kann: y =... Die Gleichung, welche die Beziehung zwischen der Variablen x und der von ihr abhängigen Grösse y beschreibt, heisst Funktionsgleichung. Beispiel : Von einem Rechteck kennt man den Umfang, er beträgt 8cm. Wenn man nun die eine Seitenlänge x kennt, dann kann man die Länge der andern Seite y ausrechnen. Jedem x kann man demnach ein y zuordnen. Vervollständige die Tabelle: Seitenlänge x = Seitenlänge y = Gib die Formel an, mit welcher man die Seitenlänge y aus 1 cm der Seitenlänge x berechnen kann. 1,5 cm y =... cm,9,5 cm

4 Der Term rechts vom Gleichheitszeichen in der Funktionsgleichung, der angibt, wie man den Wert von y berechnet, heisst Funktionsterm. Für den Funktionsterm verwenden wir auch das Zeichen f(x), es bedeutet: Funktionswert an der Stelle x und entspricht dem y. Beispiel 1: Spanische Nüsschen f(x) =... Beispiel : Rechteck f(x) =... y 1 (/) ( Eine Funktion kann nicht nur als Tabelle oder als Gleichung dargestellt werden, es gibt auch eine grafische Darstellung im kartesischen Koordinatensystem: Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengeraden, die sich im 0-Punkt rechtwinklig schneiden. Die waagrechte Achse ist immer die x-achse, die senkrechte ist immer die y-achse x Ein Punkt im Koordinatensystem ist durch ein Zahlenpaar, die Koordinaten gegeben. Die erste Zahl ist die x-koordinate (auch Abszisse ) und gibt an wie viele Längeneinheiten der Punkt in x- Richtung vom 0-Punkt entfernt ist. Die zweite Zahl ist die y-koordinate (auch Ordinate ), sie gibt an wie viele Längeneinheiten der Punkt in y-richtung vom 0-Punkt entfernt ist. - Aufgabe 1: Trage im nebenstehenden Koordinatensystem die folgenden drei Punkte ein: A (-1 / ), B (1 / -), C (- / -) 4

5 Aufgaben.1 In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit => Häuschen) wird zuerst das Quadrat mit den Eckpunkten (/), (- / ), (- / -), ( / -) eingezeichnet. Innerhalb dieses Quadrates wird die Menge aller Punkte mit den Koordinaten (x / y) wobei x R und y R, markiert, für die folgende Bedingung erfüllt ist: a) x = b) x > - 1,5 c) y = x + 1 d) y = x. Aufgabe zum Satz von Pythagoras : Zeichne die Punkte A(6 / 0), B(9 / ), C(7 / 9) und D(0 / ) in ein Koordinatensystem und berechne die Streckenlängen a) AB b) AC c) AD d) BC 4. Gegeben ist die Funktion f(x) x 6 Berechne zu fünf x-werten die zugehörigen Funktionswerte, stellen Sie sie in der Tabelle dar und zeichnen Sie die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem (1 Längeneinheit => Häuschen). Wie sieht der Graph der Funktion aus wenn man die Funktionswerte zu allen x R bestimmt und graphisch darstellt? 1.4 Gegeben ist die Funktion f(x) x 1 Gleiche Aufgabe wie...5 Gegeben ist die Funktion f(x) x Gleiche Aufgabe wie...6 Gegeben ist die Funktion f(x) 1 x a) Berechne f(0), f(1), f(-), f( 8 ) b) Bestimme den Term f(f(n)) c) Für welchen Wert von x ist f(x) = 5?.7 Von einem Rechteck kennt man den Flächeninhalt, er beträgt 1 (Flächeneinheiten). Wenn man nun die eine Seitenlänge x kennt, dann kann man die Länge der andern Seite y ausrechnen. Jedem x kann man demnach ein y zuordnen (vgl. Beispiel ). Berechne zu einigen x-werten die zugehörigen Funktionswerte, stelle sie in der Tabelle dar und zeichne die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem (1 Längeneinheit => Häuschen). Wie sieht der Graph der Funktion aus wenn man die Funktionswerte zu allen x R bestimmt und graphisch darstellt?.8 Die beiden Punkte A(4 / ) und B(6 / 7) gehören zum Graph einer Funktion. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung..9 In einer Mathematik-Probe gibt der Lehrer für 0 Punkte die Note 1 und für das Maximum von 11 Punkten die Note 6. Stelle die Funktion, welche der Punktezahl die Note zuordnet in einem Koordinatensystem graphisch dar und beantworte anhand der Grafik die folgenden Fragen: a) Welchen Note erhält man für 8½ Punkte? b) Wie viele Punkte benötigt man mindestens, um eine genügende Note zu erhalten? 5

6 . Lineare Funktionen Definition: Eine Funktion, die durch eine Funktionsgleichung der Form y = mx + q dargestellt werden kann, heisst lineare Funktion. Ein Beispiel: y = x 5 m und q sind sogenannte Formvariablen, sie werden benötigt, um die Form der Funktion anzugeben. Wenn man eine bestimmte lineare Funktion angeben will, muss man für m und q je eine reelle Zahl einsetzen. Wenn man m und q verändert, dann erhält man auch eine andere Funktion und damit verändert sich auch das Aussehen der grafischen Darstellung der Funktion. Aufgabe.1: Zeichne in das Koordinatensystem die Graphen der folgenden Funktionen y = 1 x + 1 y = x 1 y = x y = 1 x + y = - x + 1 Steigung einer Geraden y f(b) f(a) s h Der Wert von m beeinflusst die Steigung der Geraden. Die Steigung einer Geraden ist das Verhältnis des Höhenunterschieds h zur waagrechten Strecke s: Steigung = s h dabei gilt gemäss Skizze h = f(b) f(a) und s = b a. a b x Steigung = f(b) f(a) b a 6

7 Da f eine lineare Funktion ist, kann man für x die Werte a und b einsetzen und es gilt: f(a) = m a + q und f(b) = m b + q. (mb q) (ma q) mb q ma q mb ma m(b a) Wir erhalten damit: Steigung = b a b a b a b a = m Damit ist bewiesen: m ist die... der Geraden. Eine Steigung wird oft (z.b. bei Strassen) in Prozent angegeben. Wie hängt diese Steigung in % mit unserer Definition zusammen? Werte für h und s: mathematische Steigung: Steigung in %: h h = 5 s = h = s = s h = 6 s = In der Funktionsgleichung y = mx + q erhält man q, wenn man für x den Wert 0 einsetzt: y = m 0 + q = q Wenn x also 0 ist - das ist auf der y-achse der Fall - dann gilt y = q. Damit liegt der Punkt ( 0 / q ) einerseits auf der y-achse, andererseits auf dem Graph. Das heisst: der Graph der Funktion y = mx + q schneidet die y-achse im Punkt ( 0 / q ). Aufgabe. Gegeben ist die Funktion f: y = 5 x - 4 a) Zeichne den Graph der Funktion f. b) Untersuche, ob der Punkt P(8 / 91) auf dem Graph von f liegt. c) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen. d) Welche Zahl wir durch die Funktion f sich selber zugeordnet? f: a a. e) Gib die Gleichung der Funktion g an, deren Graph durch Q(-4 / 0) geht und zum Graph von f parallel liegt. Aufgabe. Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die durch die Punkte P( - / 4 ) und Q( 6 / 7 ) geht. Aufgabe.4 Vereinfache so weit wie möglich und zeichne den Graph der Funktion Aufgabe.5 x 5x y x x 1 Gegeben ist die Funktion f: y = x - 5 a) Zeichne den Graph der Funktion f. b) Untersuche, ob der Punkt P(8 / 5) auf dem Graph von f liegt. c) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen. d) Welche Zahl wir durch die Funktion f sich selber zugeordnet? f: a a. e) Geben Sie die Gleichung der Funktion g an, deren Graph durch Q(-4 / 0) geht und zum Graph von f senkrecht steht. 7

8 4. Schnittpunkte von zwei Graphen Gegeben sind zwei lineare Funktionen: f(x) x und g(x) x Im Schnittpunkt der beiden Funktionen erhält man bei beiden Funktionstermen für den gleichen Wert von x den selben Wert für das y. Es gilt also : x = x Löse diese Gleichung nach x auf. Man erhält x =... und indem man dieses x in einer der Funktionsgleichung einsetzt ergibt sich y =... Damit hat der Schnittpunkt die Koordinaten S (... /... ) Dieses Vorgehen zur Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionen gilt immer: die beiden Funktionsterme gleichsetzen Gleichung nach x auflösen ergibt x x in einer der Funktionsgleichungen einsetzen ergibt y Aufgabe 4.1 a) Bestimme die Gleichung der linearen Funktion f, wobei f(-) = 5 und f(4) = -4 b) Wo schneidet der Graph von f die Koordinatenachsen? c) Bestimme die Gleichung der linearen Funktion g, deren Graph durch den Punkt P( / ) geht und die Steigung m = hat. d) Bestimme den Schnittpunkt der Graphen von f und g. Aufgabe 4. Gegeben sind zwei Funktionen: f(x) = x - 9 und g(x) = 4x + a) Berechne alle Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen. b) Berechne alle Schnittpunkte des Graphen von g mit den Koordinatenachsen. c) In welchen Punkten schneiden sich die beiden Graphen? Aufgabe 4. Wo schneidet die Gerade durch die Punkte P (1 / - 4 ) und Q (8 / 10) den Graph der Funktion g(x) = 0 x 8