Computer Vision: Kalman Filter

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1 Computer Vision: Kalman Filter D. Schlesinger TUD/INF/KI/IS D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 1 / 8

2 Bayesscher Filter Ein Objekt kann sich in einem Zustand x X befinden. Zum Zeitpunkt i sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung pi (xi ) bekannt (Achtung!!! Nicht der Zustand xi, sondern Wahrscheinlichkeitsverteilung). Gegeben sei ein statistisches Bewegungsmodell p(xi+1 xi ) Daraus ergibtp sich die (a-priori) Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände xi+i als pi+1 (xi+1 ) = p (x ) p(xi+1 xi ) Prediction x i i i Gegeben sei ein Beobachtungsmodell p(oi+1 xi+1 ), o O Die Wahrscheinlichkeitsverteilung im i+1 Zeitpunkt ergibt sich als pi+1 (xi+1 ) pi+1 (xi+1 oi+1 ) pi+1 (xi+1 ) p(oi+1 xi+1 ) Correction dient als a-priori Wahrscheinlichkeitsverteilung für den nächsten Schritt. D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 2 / 8

3 Markovsche Ketten Die Zustandsmenge X ist diskret. + ziemlich allgemein, da beliebige diskrete Modelle repräsentiert werden können für große Zustandsräume meist nicht geeignet (wegen Zeitkomplexität) Markovsche Ketten mit kontinuierlicher Zustandsmenge... D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 3 / 8

4 Kalman Filter [Kalman, 1960] Zustände und Beobachtungen sind Vektoren x R n bzw. o R m Bewegungsmodell und Beobachtungsmodell sind linear x i+1 = A x i + ɛ, o i = B x i + δ A und B sind n n bzw. n m Matrizen ɛ R n und δ R m sind Gaussch verteilte Störungen, d.h. p(ɛ) = N (0, Σ ɛ) exp( ɛ T Σ 1 ɛ ɛ), p(δ) = N (0, Σ δ ) exp( δ T Σ 1 δ δ) mit Mittelwerten = 0 und Kovarianzmatrizen Σ ɛ und Σ δ Beispiel: Zustand x = [x, y, v x, v y] beschreibt die Lage (x, y) und die Geschwindigkeit (v x, v y) eines Objektes im R 2. Es gilt für fast gleichförmige Bewegung ( t ist der Zeitschritt): x i+1 = x i + t v x,i + O( t 2 ) y i+1 = y i + t v y,i + O( t 2 ) v x,i+1 = v x,i + O( t) v y,i+1 = v y,i + O( t) Der Zustand im i + 1 Zeitpunkt ist eine lineare Kombination mit Störungen O( ) D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 4 / 8

5 Kalman Filter In der Matrixform: x i+1 y i+1 v x,i+1 v y,i+1 Für die Beobachtung analog: (nur die Lage wird beobachtet). = 1 0 t t [ ] [ ox,i = o y,i ] x i y i v x,i v y,i x i y i v x,i v y,i + ɛ + δ 2D 3D (R 6 ) 6D (mit Winkeln) (R 12 )... D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 5 / 8

6 Kalman Filter Annahme: im ersten Zeitpunkt p(x 0 ) = N ( x 0, Σ 0 ) 1) Prediction ist die Faltung zweier Gaussiane p i+1 (x i+1 ) = p i (x i ) p(x i+1 x i ) dx i exp [ (x i x i ) T Σ 1 i (x i x i ) ] [ ] exp (x i+1 Ax i ) T Σ 1 ɛ (x i+1 Ax i ) dx i Ergebnis wieder ein Gaussian N ( x i+1, Σ i+1 ). 2) Correction ist komponentenweise Multiplikation zweier Gaussiane p i+1 (x i+1 o i+1 ) = p i+1 (x i+1 ) p(o i+1 x i+1 ) [ exp (x i+1 x i+1 )T Σ 1 i+1 (x i+1 x i+1 [ )] ] exp (o i+1 Bx i+1 ) T Σ 1 δ (o i+1 Bx i+1 ) Ergebnis wieder ein Gaussian N ( x i+1, Σ i+1 ). Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden nicht explizit neu berechnet, sondern die Parameter (Mittelwerte und Kovarianzmatrizen) werden propagiert. D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 6 / 8

7 Kalman Filter Anwendungsbeispiel [Yedidya, Hartley, 2008] Verfolgung von Blutgefäßen: Gesucht wird eine Trajektorie Ein Objekt bewegt sich entlang einer Bahn (Blutgefäß) und wird dabei verfolgt Zustand beschreibt Position, Geschwindigkeit, Dicke, unterwegs gesehene Grauwerte usw. D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 7 / 8

8 Partikel Filter Nachteil des Kalman Filters: nur Gaussiane für komplizierte Zustandsräume ungeeignet. (i) Besser Mischungen von Gaussianen, z.b. p(ɛ) = k w kn (µ k, Σ ɛk ). Das Problem die Anzahl der Komponenten wächst (selbst bei linearen Modellen). i j = ij kann nicht parametrisch propagiert werden. i Ausweg: man approximiere ständig durch Mischung mit konstanter Anzahl der Komponenten (nach χ 2, Likelihood etc.). (ii) Allgemeinere Fälle nicht lineare Bewegungsmodelle, d.h. Ax wird zu a(x) und Bx wird zu b(x) z.b. lokal linearisieren... Zu (i) und (ii) man approximiere die Berechnungen durch Sampling: würfele x entsprechend p i (x i ) propagiere x = a(x ) berechne p(o i+1 x ) (vergleiche o i+1 mit b(x )) entscheide, ob x in die Lernstichprobe aufgenommen wird (accept/reject) so generierte Lernstichprobe von x gehorcht p i+1 (x i+1 ) Manchmal ist es gar nicht nötig, die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu spezifizieren gearbeitet wird immer mit den Samples. CONDENSATION (Conditional Density Propagation) eine bestimmte Art davon. D. Schlesinger () Computer Vision: Kalman Filter 8 / 8