2. Theorie des Haushalts
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- Carsten Schreiber
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1 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen. Theorie des Haushalts Theorie des Verbraucherverhaltens Theorie des Faktorangebots Vorgehensweise in drei Schritten: ) Konsumentenpräferenzen ) Budgetrestriktion 3) Haushaltsoptimum nnahme des Homo oeconomicus VWL I/WS 007/08 84
2 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen. Konsumentenpräferenzen Präferenzen beschreiben, wie ein Haushalt verschiedene Güterbündel für sich in eine Rangfolge bringt. Präferenzrelationen: schwache Präferenz: Ein Haushalt bewertet ein Güterbündel (x,x ) mindestens so hoch wie das Güterbündel B (x, x ): f B Indifferenz: Ein Haushalt bewertet ein Güterbündel (x, x ) gleich hoch wie B B das Güterbündel B (x, x ): B strikte Präferenz: Gilt f B aber nicht Bf, so bewertet der Haushalt das B B Güterbündel (x, x ) höher als das Güterbündel B (x, x ): f B B B VWL I/WS 007/08 85
3 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen nnahmen über Präferenzen: Vollständigkeit: Für jedes Paar denkbarer Güterbündel (x, x ) und B (x, x ) gilt fboder Bf oder beides. Reflexivität: Jedes Güterbündel ( x, x ) ist mindestens so gut, wie es selbst, d.h. ( x, x ) f (x, x ). Transitivität: Wenn für drei beliebige Güterbündel (x, x ), B (x, x ) und C C C (x, x ) gilt, fbund Bf C, dann gilt auch f C. Nichtsättigung: Gilt für zwei Güterbündel (x, x ) und B (x, x ) (mit B), daß von jedem Gut mindestens genau so viel enthält wie B, dann gilt f B. Stabilität der Präferenzen: Im betrachteten Zeitraum ändern sich die Präferenzen des Haushalts nicht. B B B B B B VWL I/WS 007/08 86
4 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x B H E x G D x bbildung.: Güterbündel und Präferenzen x VWL I/WS 007/08 87
5 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x B H K E x L D G x x bbildung.: Konstruktion einer Indifferenzkurve VWL I/WS 007/08 88
6 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x H B E x G D U x x bbildung.3: Eine Indifferenzkurve VWL I/WS 007/08 89
7 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x D B U 3 U U VWL I/WS 007/08 90 x bbildung.4: Eine Indifferenzkurvenschar
8 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x D B bbildung.5: Indifferenzkurven können sich nicht schneiden VWL I/WS 007/08 9 x
9 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen weitere nnahme über Präferenzen: strikte Konvexität: Ist ein Haushalt zwischen zwei Güterbündeln und B mit ( B) indifferent, dann gilt für jede Mischung (Linearkombination) C der beiden Güterbündel C = α + ( α) B, mit 0 α : C f B. konvexe Menge: lle Punkte auf einer Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten einer konvexen Menge sind ebenfalls Elemente der Menge. VWL I/WS 007/08 9
10 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x B C = α + ( α) B VWL I/WS 007/08 93 x bbildung.6: Konvexität der Präferenzen
11 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen (a) konvexe Präferenzen (b) Nicht-konvexe Präferenzen x B x B x (c) konkave Präferenzen x x B x bbildung.7: Konvexe und nicht-konvexe Präferenzen VWL I/WS 007/08 94
12 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x tan α = x / x x α B x D E VWL I/WS 007/08 95 x bbildung.8: Die Grenzrate der Substitution
13 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Grenzrate der Substitution: GRS = x x du= 0 infinitesimale Betrachtung: GRS = dx dx du= 0 VWL I/WS 007/08 96
14 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x B D E bbildung.9: Sinkende Grenzrate der Substitution VWL I/WS 007/08 97 x
15 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Spezialfälle: x U U U 3 U 4 bbildung.0: Vollkommene Substitutionsgüter VWL I/WS 007/08 98 x
16 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x U 4 U 3 U U bbildung.: Vollkommene Komplementärgüter VWL I/WS 007/08 99 x
17 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x U U U 3 U 4 VWL I/WS 007/08 00 x bbildung.: x ist ein neutrales Gut
18 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x U U U 3 bbildung.3: x ist ein Ungut x VWL I/WS 007/08 0
19 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Nutzenfunktionen Der Nutzen gibt den zahlenmäßigen Wert des Niveaus der Bedürfnisbefriedigung an, das durch den Konsum eines bestimmten Güterbündels erreicht wird. Nutzenfunktion: mathematische Beziehung zwischen einem Güterbündel und einem Nutzenniveau: U = U(x,x ) schwache Präferenz: f B wenn U(x, x ) U(x, x ) B B = Indifferenz: B wenn U(x, x ) U(x, x ) B B strikte Präferenz: > f B wenn U(x, x ) U(x, x ) B B VWL I/WS 007/08 0
20 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Unterscheidung von ordinaler und kardinaler Nutzenmessung Messung auf einer kardinalen Skala ist eindeutig bis auf eine positive lineare Transformation U ~ = a + b U, b > 0. ordinale Nutzenfunktion ordnet Güterbündel in einer Rangordnung an. kardinale Nutzenfunktion legt nicht nur die Rangordnung verschiedener Güterbündel zueinander fest, sondern bestimmt auch die relative Größe der Nutzendifferenzen zwischen verschiedenen Güterbündeln eindeutig. VWL I/WS 007/08 03
21 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Beispiel: nna wählt zwischen verschiedenen Güterbündeln Güterbündel Nutzen (U) Flasche Limonade 4 Becher Eis 8 Kinobesuch 6 Transformation: U ~ = U, Güterbündel Nutzen (U ~ ) Flasche Limonade 0 Becher Eis 8 Kinobesuch 4 Wichtig: Weder ordinale noch kardinale Nutzenmessung erlaubt interpersonelle Nutzenvergleiche! VWL I/WS 007/08 04
22 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Exkurs: Ursprünge der Nutzentheorie (Jeremy Bentham (748-83)): Nature has placed mankind under the governance of two sovereign masters, pain and pleasure. It is for them alone to point out what we ought to do, as well as to determine what we shall do.... The principle of utility recognizes this subjection.... By the principle of utility is meant that principle which approves or disapproves of every action whatsoever, according to the tendency it appears to have to augment or diminish the happiness of the party whose interest is in question. Jeremy Bentham, n Introduction to the Principles of Morals and Legislation, Veröffentlichung 83, Chapter I. VWL I/WS 007/08 05
23 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen ordinale Nutzenfunktionen darf man jeder monotonen (ordnungserhaltenden) Transformationen unterziehen. monotone Transformation f(u): Wenn U > U B, dann gilt auch f(u ) > f(u B ). Beispiele: positive lineare Transformation: U ~ = a + b U, b>0. logarithmische Transformation: U ~ = ln(u), für U 0. Quadratwurzel: U ~ = U, für U 0. Transformation: U ~ = U, Güterbündel Nutzen (U) Nutzen ( U ~ = U ) Flasche Limonade 4 Becher Eis 8,83 Kinobesuch 6 4 VWL I/WS 007/08 06
24 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen U x, x x x U x, x x x bbildung.4: Nutzenfunktion U(x,x ) = 4x 0.9 x 0.5 VWL I/WS 007/08 07
25 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen bbildung.5: Indifferenzkurvenschar VWL I/WS 007/08 08
26 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Häufig verwendet: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion β γ U (x, x ) = x x, β, γ > 0 Beispiel: Ermittlung einer Indifferenzkurve aus einer Nutzenfunktion für β=γ=. U (x =, x ) x x Wie lautet die Indifferenzkurve für U = 50? VWL I/WS 007/08 09
27 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen 00 U x, x x x 0 bbildung.6: Nutzenfunktion U(x,x ) = x x VWL I/WS 007/08 0
28 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen bbildung.7: Indifferenzkurve für U = 50 VWL I/WS 007/08
29 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Nutzenfunktion für perfekte Substitute: U(x,x ) = a x + b x allgemeine Form der Indifferenzkurven: U a x + b x = U x = x b b a Nutzenfunktion für perfekte Komplemente: U(x,x ) = min{a x, b x } VWL I/WS 007/08
30 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x U /b U /b tan α = -(a/b) bbildung.8: Indifferenzkurvenverlauf bei vollkommenen Substitutionsgütern x VWL I/WS 007/08 3
31 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen x x = (a/b)x x = U /b U U x = U /a bbildung.9: Indifferenzkurvenverlauf bei vollkommenen Komplementärgütern VWL I/WS 007/08 4 x
32 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen partielle Nutzenfunktion: (x, x ) U erste partielle bleitung der Nutzenfunktion nach der Menge eines Gutes: Grenznutzen (marginal utility) des Gutes. Grenznutzen von x : U x U(x,x) = 0 x x U(x 0,x ) läßt man 0 x x 0: MU U(x, x = x ) VWL I/WS 007/08 5
33 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen U U U(x,x ) U 0 α tan α = U/ x x 0 x bbildung.0: Grenznutzen I x VWL I/WS 007/08 6
34 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Grenznutzen von x : U x U(x,x) = 0 x x U(x,x 0 ) läßt man 0 x x 0: MU = U(x x, x ) allgemein: MU h U(x, x ) =, h =,. x h verbreitete nnahme: U(x, x x ) < 0, U(x x, x ) <0 VWL I/WS 007/08 7
35 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Gesetz vom abnehmenden Grenznutzen U U U(x,x ) U 0 x 0 x bbildung.: Grenznutzen II x VWL I/WS 007/08 8
36 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen GRS und Grenznutzen Entlang einer Indifferenzkurve gilt U = = U(x, x ) U. Das totale Differential der Nutzenfunktion ist U(x, x ) U(x, x ) du = dx + dx = MUdx + x x MU dx. Entlang einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant, d.h. du = 0 0 = MU + MU dx = MU dx dx MU dx dx dx du= 0 = MU MU, d.h. dx GRS = = dx du= 0 MU MU. VWL I/WS 007/08 9
37 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen α x α tan α = GRS =MU /MU bbildung.: GRS und Grenznutzen VWL I/WS 007/08 0 x
38 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Eine monotone Transformation beeinflußt die GRS nicht: z.b. U ~ = a + b U: MU ~ = b MU MU ~ = b MU dx b MU GRS = = = dx b MU du= 0 MU MU GRS bei vollkommenen Substitutionsgütern: U(x,x ) = a x + b x GRS dx = dx = du= 0 a b VWL I/WS 007/08
39 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: β γ β, γ > U(x, x ) = x x, 0 GRS dx = dx du= 0 = βx γx β γ x β γ x = βx γx VWL I/WS 007/08
40 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen monotone Transformation: logarithmierte Cobb-Douglas-Funktion U(x, x ) = β ln x + γ ln x, β, γ > 0 MU MU = = β x γ x U(x x, x ) = x β, U(x x, x ) = x γ. GRS dx = dx du= 0 = β x γ x = βx γx VWL I/WS 007/08 3
41 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen weitere Transformation: Cobb-Douglas-Funktion potenzieren mit β + γ β γ β+γ β+γ U (x, x ) = x x, β, γ > 0 Definition: β γ α = ( α) =, d.h. wir schreiben β + γ β + γ α α U(x, x ) = x x > α > 0 VWL I/WS 007/08 4
42 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen GRS dx = dx du= 0 = αx ( α α α x α α )x x = αx ( α)x = βx γx VWL I/WS 007/08 5
43 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen U x, x x 0 x bbildung.3: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion mit α = 0.5 VWL I/WS 007/08 6
44 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen bbildung.4: Indifferenzkurvensystem für Cobb-Douglas-Nutzenfunktion (α = 0.5) VWL I/WS 007/08 7
45 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen 5 4 U(x,x = 5) 3 U(x,x = ) bbildung.5: Partielle Nutzenfunktion für Cobb-Douglas-Nutzenfunktion (α = 0,5) VWL I/WS 007/08 8
46 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen MU (x =5) MU (x =) bbildung.6: Grenznutzen von x bei x = und x = 5 für Cobb-Douglas- Nutzenfunktion (α = 0.5) VWL I/WS 007/08 9
47 . Theorie des Haushalts. Konsumentenpräferenzen Literatur: Breyer (007), S. 5-3, 7-3. Pindyck/Rubinfeld (005), S. 0-. Varian (007), Kap VWL I/WS 007/08 30
48 . Theorie des Haushalts. Budgetbeschränkung. Budgetbeschränkung p x + p x I p : Preis von x p : Preis von x I: Einkommen Gibt der Haushalt das ganze Einkommen aus, so ist die Budgetbeschränkung: p x + p x = I p x = x p p I VWL I/WS 007/08 3
49 . Theorie des Haushalts. Budgetbeschränkung x I p p p I/p x = x p x + p x I I/p tan α = -(p /p ) bbildung.7: Die Budgetrestriktion α x VWL I/WS 007/08 3
50 . Theorie des Haushalts. Budgetbeschränkung x I /p I 0 /p x = 0 I p p p x x = I p p p x I 0 /p I /p bbildung.8: Einkommensänderungen und die Budgetgerade x VWL I/WS 007/08 33
51 . Theorie des Haushalts. Budgetbeschränkung x I /p I 0 /p x = I p p0 p x I/p 0 x = I p I/p p p bbildung.8: Preisänderungen und die Budgetgerade x x VWL I/WS 007/08 34
52 . Theorie des Haushalts. Budgetbeschränkung VWL I/WS 007/08 35 proportionale Änderung aller Preise: x p p p I x p p p I x µ = µ µ µ = proportionale Änderung von Einkommen und Preisen: x p p p I x p p p I x = µ µ µ µ = Literatur: Pindyck/Rubinfeld (005), S. -6. Varian (007), Kap..
53 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum.3 Haushaltsoptimum x x B B x Budgetgerade x B x VWL I/WS 007/08 36 U 3 U U bbildung.9: Das Haushaltsoptimum x
54 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Steigung von Indifferenzkurve und Budgetgerade ist gleich: p GRS = oder p MU = MU p p -- Grenznutzenverhältnis gleich Preisverhältnis. MU = p MU p -- Grenznutzen pro usgabeneinheit ist bei beiden Gütern gleich. -- Gleichheit des internen ustauschverhältnisses (GRS) und des externen ustauschverhältnisses (Preisverhältnis). VWL I/WS 007/08 37
55 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum x U U U 3 B x B =I/p bbildung:.30: Randlösung für das Haushaltsoptimum I VWL I/WS 007/08 38 x
56 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum x x B =I/p B U 3 U U x bbildung:.3: Randlösung für das Haushaltsoptimum II VWL I/WS 007/08 39
57 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Ermittlung des Haushaltsoptimums mit dem Lagrange-nsatz Gegeben: Zielfunktion: (Nutzenfunktion) max x,x U(x,x ) Nebenbedingung: I = p x + p x. Schritt: Umformung der Nebenbedingung zu: 0= p x + p x - I. Schritt: Bilden der Lagrange-Funktion: Z(x,x,λ) = U(x,x ) - λ( p x + p x - I) VWL I/WS 007/08 40
58 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum 3. Schritt: Maximierung von Z über x,x. Notwendige Bedingungen. Ordnung: Z = MU λp = 0 x Z = MU λp = 0 x Z = p x p x + I = 0 λ () () (3) Umformung von () und () zu MU = λ ( ), MU = λp ( ) p Division von () durch (): MU MU λp p = = (4) λp p VWL I/WS 007/08 4
59 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Lösung von (3) und (4) ergibt das nutzenmaximierende Güterbündel x * = x (p,p,i) x * = x (p,p,i) Die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung werden nicht überprüft. Ein Maximum ist sichergestellt, da die Nutzenfunktion quasikonkav und die Budgetmenge konvex ist. VWL I/WS 007/08 4
60 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum x U U 3 U D E B bbildung.3: Nicht-konvexe Präferenzen und Haushaltsoptimum I VWL I/WS 007/08 43 x
61 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum x U U 3 U C B bbildung.33: Nicht-konvexe Präferenzen und Haushaltsoptimum II VWL I/WS 007/08 44 x
62 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Rechenbeispiel: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion Zielfunktion: (Nutzenfunktion) max x,x x α x -α Nebenbedingung: I = p x + p x VWL I/WS 007/08 45
63 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Fall perfekter Substitute: U(x,x ) = a x + b x allgemeine Form der Indifferenzkurven: x U a =, b b x VWL I/WS 007/08 46
64 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum x U 3 U U Steigung = -(a/b) Steigung = -(p /p ) VWL I/WS 007/08 47 x = I/p bbildung.34: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern Fall I x
65 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum x U 3 U U Steigung = -(a/b) = -(p /p ) bbildung.35: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern Fall II VWL I/WS 007/08 48 x
66 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum x x = I/p Steigung = -(a/b) U U U 3 Steigung = -(p /p ) bbildung.36: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern Fall III VWL I/WS 007/08 49 x
67 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Fall perfekter Komplemente U(x,x ) = min{a x, b x } a p x + p x = I und x = x b VWL I/WS 007/08 50
68 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum x x = (a/b)x x U 3 U U x x bbildung.37: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Komplementärgütern VWL I/WS 007/08 5
69 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Beispiel 3.4: Ein Treuhandfonds für die Hochschulausbildung (Pindyck/Rubinfeld (005), S. 34f.) Konsum (C) D C B C B U 3 U U usbildung usbildung B usbildung bbildung B.: Zweckgebundener Transfer I VWL I/WS 007/08 5
70 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Konsum (C) C B C B U U usbildung usbildung B usbildung bbildung B.: Zweckgebundener Transfer II VWL I/WS 007/08 53
71 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Konsum (C) C C B U B U usbildung usbildung B usbildung bbildung B.3: Zweckgebundener Transfer III VWL I/WS 007/08 54
72 . Theorie des Haushalts.3 Haushaltsoptimum Literatur: Breyer (007), 3-6. Pindyck/Rubinfeld (005), S. 7-34, Varian (007), Kap. 5. VWL I/WS 007/08 55
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