Extrema (Funktionen mit zwei Variablen)

Transkript

1 Extrema (Funktionen mit zwei Variablen) Vorzeigeaufgaben: WS04/05 Aufgabe 4 HS11 Aufgabe 4 a) + b) Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge: WS05/06 Aufgabe 5 b) WS06/07 Aufgabe 4 HS10 Aufgabe 1 b) + c) HS1 Aufgabe 8 HS09 Aufgabe 4b HS09 Aufgabe 3 c HS08 Aufgabe 1b HS07 Aufgabe 3b ProbePrHS1 Aufgabe 8 gebrauchte Formeln: Extrema und Sattelpunkt (SP) bei zwei Variablen: - Im Innern: f x = 0 und f y = 0 Gleichungssystem, nach x und y auflösen. (fx = Ableitung nach x, fxx : mal nach x ableiten, fxy = fyx: 1 mal nach x und 1 mal nach y ableiten) A = f xx (x, y) f yy (x, y) (f xy (x, y)) berechnen für die eingesetzten Werte für x und y vom Gleichungssystem. (sofern x und x in den zweiten Ableitungen überhaupt noch vorkommen) A > 0 und f xx (x, y) > 0 Minimum, A > 0 und f xx (x, y) < 0 Maximum. A < 0 SP - Am Rand von D(f) Ungleichung vom Definitionsbereich als Gleichung nach y auflösen und in die Funktion einsetzen Funktion mit einer Variable - f(x). Extrema wie sonst berechnen. Globales Maximum / Minimum: Jedes Extrema ist ein lokales (=relatvies) Extrema. Wenn man jedoch mehrere Maxima / Minima hat, muss man herausfinden, welches das grösste / kleinste (und somit absolute) Maximum / Minimum ist - und zwar indem man die Funktionswerte der einzelnen Maxima / Minima ausrechnet und vergleicht. Funktionswerte der Randpunkte berechnen und mit Funktionswerten der Max./Min. im Innern vergleichen. 1

2 Prüfung WS04/05 - Aufgabe 4: b) Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f(x, y) = 3x + 3y xy 4x + 1y + 1. b) Lokales und globales Minimum: (0,-).

3 Prüfung HS11 - Aufgabe 4 a+b): Wir betrachten die Funktion f(x, y) = x + 8y xy mit Definitionsbereich D(f) = {(x, y) : x + y 45}. a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Sattelpunkte von f im Inneren von D(f). b) Bestimmen Sie das globale Maximum und Minimum von f auf D(f). a) lokales Minimum: P 1(0, 0) Sattelpunkte: P (4, 8) und P 3(4, 8). b) Globales Maximum: P 4a( 3, 6) und P 4b ( 3, 6), Globales Minimum: P 1(0, 0). 3

4 Prüfung WS05/06 - Aufgabe 5b: Extrema / Sattelpunkt b) Fassen Sie F = F (a, b) als Funktion in den Variablen a und b auf und bestimmen Sie die allfälligen Extrema dieser Funktion. F (a, b) = a 3 + b + ab 3a b b) relatives und absolutes Minimum in (3, 1 ). 4

5 Prüfung WS06/07 - Aufgabe 4: Wir betrachten die Funktion f : D R; f(x, y) = x + Bxy + y + 1. Dabei ist B R eine Konstante und D = {(x, y) R x + y 1} die abgeschlossene Einheitskreisscheibe. a) Wo hat f stationäre Stellen falls B ±? b) Geben Sie genau an, für welche Werte von B die Funktion f einen Sattelpunkt hat. c) Wählen Sie B = 1 und bestimmen Sie die Extrema von f im Innern von D. d) Wählen Sie B = 1 und bestimmen Sie die Extrema von f auf dem Rand von D. a) (0,0) b) Bedingung für Sattelpunkt: B > oder B <. c) relatives Minimum: (0,0) mit f(0, 0) = 1. d) Maximum auf dem Rand von f : ( 1, 1 ) und ( 1, 1 ) mit Maximalwert 5 ; Minimum auf dem Rand von f : ( 1, 1 ) und ( 1, 1 ) mit Minimalwert 3 5

6 Prüfung HS10 - Aufgabe 1 b+c): b) Welcher Bedingung muss die Konstante B R genügen, damit die Funktion f(x, y) = x + Bxy + 3y einen Sattelpunkt besitzt? c) Wie muss B in Teilaufgabe b) gewählt werden, damit die Funktion f(x, y) unendlich viele stationäre Stellen hat? b) f(x, y) hat genau dann einen Sattelpunkt, wenn B > 3 oder B < 3 gilt. c) B = ± 3. 6

7 Pr1 - Aufgabe 8: Die Funktion f(x, y) habe Definitionsbereich R R und sei folgendermassen definiert: f(x, y) = x xy + y + 1 Bestimmen Sie (lokale und globale) Extremalpunkte und deren Typ (Minimum, Maximum, Sattelpunkt). relatives und globales Minimum bei (0, 0). 7

8 Prüfung HS09 - Aufgabe 4b: Extrema / Sattelpunkt b) Fassen Sie F = F (a, b) als Funktion in den Variablen a und b auf und bestimmen Sie die allfälligen Extrema dieser Funktion. F (a, b) = a 3 + b + ab b) relatives und absolutes Minimum in (0,0). 8

9 Prüfung HS09 - Aufgabe 3b): b) Welcher Bedingung muss die Konstante B R genügen, damit die Funktion f(x, y) = x + Bxy + y + 1 einen Sattelpunkt besitzt? b) Bedingung für Sattelpunkt: B > oder B <. 9

10 ProbePr1 - Aufgabe 8: Die Funktion f(x, y) habe Definitionsbereich [ 1, 1] [ 1, 1] und sei folgendermassen definiert: f(x, y) = x + y x. Bestimmen Sie (globale und lokale) Extremalpunkte und deren Typ (Minimum, Maximum, Sattelpunkt). relatives und globales Minimum bei (0.5, 0), lokale Maxima bei (1, 1) und (1, 1), lokale und globale Maxima bei ( 1, 1) und ( 1, 1). ( lokale Minima bei (0.5, 1), (0.5, 1), ( 1, 0), (1, 0) ) 10