D U A L - S Y S T E M. DOS für Einsteiger

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1 D U A L - S Y S T E M VHS-Kurs von Uwe Koch Das DUAL-System Uwe Koch Seite 1

2 Zur Darstellung von Zahlen gibt es verschieene Zahlensysteme. So unterscheiet man zunächst zwischen Aitionssystemen un Stellenwertsystemen. Bei Aitionssystemen haben einzelne Ziffern einen festen Wert un weren zur Bilung von Zahlen aiert, wie z.b. bei en römischen Zahlen. Dort hat X en Zahlenwert 10 un ie Zahl 30 wir urch reimaliges Aieren von 10 argestellt, also XXX. Bei en Stellenwertsystemen existieren verschieene Ziffern, eren Wert nicht nur urch ie Ziffer, sonern auch urch ie Stelle er Ziffer innerhalb er Zahl bestimmt wir. In unserem Dezimalsystem hat ie Ziffer 3 also en Wert rei, wenn sie als letzte Ziffer vor em Komma erscheint, un en Wert reißig, wenn sie als vorletzte Ziffer erscheint, u.s.w.. Normalerweise rechnen wir mit em Dezimalsystem, as heißt, wir verwenen Zahlen, ie aus en Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8 un 9 zusammengesetzt sin. Es existieren also insgesamt zehn Ziffern. Eine Zahl besteht aus mehreren Ziffern, eren Positionen innerhalb er Zahl en Wert er Stelle arstellen. Dieses System heißt Dezimalsystem, weil es zehn verschieene Ziffern hat, un ie einzelnen Stellen er Zahl Wertigkeiten haben, ie Potenzen von Zehn sin. Das heißt, ie erste Stelle hat en Wert Eins, ie zweite en Wert Zehn, ie ritte en Wert Hunert un so weiter. Die Zahl fünftausenreihunertunzwölf wir also argestellt als : 5 * * * * 1 Dieses kann man mathematisch auch so arstellen : 5 * * * * 10 0 Ebenso läßt sich ie Zahl reikommasiebenfünf so arstellen : 3 * * * 0.01 oer als : 3 * * * 10-2 Das DUAL-System Uwe Koch Seite 2

3 Wie man sieht lassen sich alle Stellen einer Zahl als Faktor für ie jeweilige Zehnerpotenz arstellen. Dieses Zehnersystem hat sich wegen seiner Übersichtlichkeit un er Möglichkeit ie Häne als 'Rechenmaschine' zu verwenen bei uns eingebürgert. Das DUAL-System Uwe Koch Seite 3

4 Aber vor nicht allzulanger Zeit war auch as Zwölfersystem noch gebräuchlich (Duzen, Gros usw.). In einigen Länern weren auch heute noch Maße urch anere Zahlensysteme argestellt. (Z.B. in Amerika ie Maßeinheiten für Flüssigkeiten : Gallonen, Quarts, Pints usw. ie alle nicht im Zehnersystem liegen.). Daraus ist zu erkennen, aß as Dezimalsystem zwar recht nützlich un einfach ist, jeoch ist es nicht ie einzige Art Zahlen arzustellen. Besoners für Computer ist es recht ungünstig mit em Dezimalsystem zu arbeiten. Ein Computer besteht ja bekanntlich aus elektrischen Schaltkreisen, un kann aher auch Zahlen nur urch elektrische Werte arstellen. Dabei wäre es zwar möglich, ie Ziffern es Dezimalsystems z.b. urch zehn verschieene Spannungen arzustellen, aber wegen er Unzulänglichkeiten er elektrischen Schaltkreise wären amit keine genauen Berechungen möglich. Deshalb arbeiten Computer nach einem aneren Verfahren. Sie verwenen nur ie beien Werte Spannung an un Spannung aus. Hierbei können keine Ungenauigkeiten auftreten. Allerings läßt sich nun auch as Dezimalsystem nichtmehr verwenen. Im Computer existieren also nur zwei Zustäne, Spannung an un Spannung aus. Diese beien Zustäne kann man auch urch ie beien Ziffern 0 un 1 arstellen. Wir haben beim Dezimalsystem gesehen, aß bei zehn Ziffern ie einzelnen Stellen eine Wertigkeit von Zehnerpotenzen hatten. Hier haben wir nur zwei Ziffern un brauchen nun Wertigkeiten von Zweierpotenzen. D.h. ie letzte Ziffer vor em Komma hat en Wert 1, ie vorletzte en Wert 2, ie nächste 4, ie nächste 8 un so weiter. Zur besseren Übersichtlichkeit kann man ie Ziffern in ein Schema eintragen ======================================== = = = = = = = = 255 Das DUAL-System Uwe Koch Seite 4

5 Für iese Beispiele habe ich Zahlen im Zweiersystem (Dualsystem) verwenet, ie acht Stellen haben. Eine einzelne Stelle nennt man Bit. Eine Kombination aus acht Bit nennt man Byte. Die obigen Beispiele bestehen also aus einem Byte. Man sieht auch, aß ie kleinste Zahl, ie man mit einem Byte arstellen kann ie Null ist (Beispiel 3). Die größte Zahl ist in Beispiel 4 argestellt, nämlich ie 255. Viele Arbeitsplatz-Rechner arbeiten intern mit Bauteilen, ie jeweils ein Byte in einem Arbeitsgang bearbeiten können. Der Computer kann also zunächst nur Zahlen zwischen 0 un 255 bearbeiten. Alle aneren Rechnungen im Computer weren urch Programme im Betriebssystem so umgeformt, aß nur Werte in iesem Bereich vorkommen. Für manche Dinge ist allerings ieser Zahlenbereich zu klein, zum Beispiel für ie interne Speicherverwaltung. Selbst einfachste Spielcomputer wie er C 64 haben wenigstens 64 Kilobyte Speicher. Das beeutet, aß in iesen Rechnern 64 * 1024 (65536) Speicherplätze für je ein Byte vorhanen sin. Diese Speicherplätze nehmen immer nur ein Byte auf. Daher müssen sämtliche Informationen so argestellt weren, aß sie in ein Byte passen. Da heißt, er Computer muß sich intern auch alle Buchstaben un Grafik- Symbole in einem Byte merken. Dazu hat as amerikanische Normungsinstitut eine Nummerierung er einzelnen Zeichen festgelegt, en sogenannten ASCII-Coe. (Siehe Anhang) Aber zurück zur Speicherverwaltung. Diese Speicherplätze haben alle eine Nummer von 0 bis Der Mikroprozessor (ie eigentliche Rechenschaltung) muß ie Nummer es Speicherplatzes an en Speicher ausgeben, wenn er einen Zahlenwert aus iesem Speicher haben will. Dafür muß er auch Zahlen in iesem Bereich berechnen können. Die Zahl läßt sich aber urch zwei Bytes arstellen,.h. urch 16 Bits.Die Mikroprozessoren in Heimun kleinen Personalcomputern arbeiten mit 8 Bit für Daten un 16 ( + 4 ) Bit für Aressen. Wenn man in Maschinensprache programmieren will, oer in Basic ie speziellen Fähigkeiten es Rechners (Musik, Grafik, Tricks usw.) nutzen will, ann wir ie Verwenung es Dualsystems mit en vielen Nullen un Einsen bal unübersichtlich un führt leicht zu Fehlern. Daher faßt man oft vier Dualziffern zu einer Hexaezimalziffer zusammen. Vier Dualziffern können ie Zahlen 0 bis 15 arstellen ================== = = 1 Das DUAL-System Uwe Koch Seite 5

6 : : : : : : = 15 Das DUAL-System Uwe Koch Seite 6

7 Diese Zahlen von 0 bis 15 stellt man ann urch 16 Ziffern ar. Unser Dezimalsystem hat aber nur ie zehn Ziffern von 0 bis 9, aher nimmt man für ie Ziffer 10 (keine Zahl!) en Buchstaben A, für ie 11 en Buchstaben B usw. bis 15 = F. So entstehen also ie sechzehn Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F es Hexaezimalsystems. Hieraus kann man ebenfalls alle Zahlen als Faktoren von Sechzehnerpotenzen arstellen ================================== = = A 2 = = = 4369 F F F F = Zwei Byte mit sechzehn Dualstellen weren also urch eine vierstellige Hexaezimalzahl argestellt, ein Byte entsprechen urch eine zweistellige Hexaezimalzahl. Die Dualzahlen weren nur verwenet, wenn man wirklich ie einzelnen Bits erkennen will. Normalerweise weren ie Hexaezimalzahlen verwenet, ie manchmal auch als Seezimalzahlen bezeichnet weren. Damit man Hexaezimalzahlen von Dezimalzahlen unterscheien kann, weren sie häufig urch ein vorangestelltes Dollarzeichen oer ein angehängtes h gekennzeichnet. Bei gemischter Verwenung er Zahlensysteme gibt es ann as angehängte für Dezimalzahlen un as b für Binärzahlen, also Dualzahlen. h z.b.: $5A = 5A b = = 90 Das DUAL-System Uwe Koch Seite 7

8 Mit all iesen Zahlensystemen kann man natürlich auch rechnen.dabei weren ieselben Rechenregeln angewenet wie bei en Dezimalzahlen. D.h. es entstehen genauso Überträge in ie höheren Stellen usw.. Beim Aieren von Dualzahlen weren ie Zahlen am Besten untereinaner geschrieben un ann Stelle für Stelle aiert. Dabei gilt: = = = = 0 un ie 1 in ie nächste Stelle b z.b b b Übertrag: b Genauso funktioniert as Aieren von Hexaezimalzahlen: z.b. h 0D h + 1E h Übertrag: h 2B 43 Schwieriger wir schon as Subtrahieren, enn wir haben ja bisher immer nur Zahlen Das DUAL-System Uwe Koch Seite 8

9 zwischen 0 un 255 für ein Byte gehabt. In iesem Zahlenbereich können aber keine negativen Zahlen argestellt weren, un aher wäre z.b. ie Rechnung 3-5 nicht möglich. Da man aber häufig subtrahieren muß, haben sich ie ersten Anwener es Dualsystems mehrere Abhilfemöglichkeiten überlegt. Das DUAL-System Uwe Koch Seite 9

10 Zunächst gibt es ie Möglichkeit, von en 8 Bit eines Bytes nur ie hinteren 7 zur Darstellung es Zahlenwertes zu verwenen un ie erste Stelle als Vorzeichen. Es wären ann Zahlen im Bereich von -127 bis +127 möglich, enn mit 7 Bits läßt sich als größte Zahl ie 127 arstellen. Eine Null als erste Stelle würe ann beeuten, aß ie Zahl positiv ist un eine Eins als erstes Bit wäre as negative Vorzeichen. Damit wäre jee Zahl zwischen 0 un 127 sowohl als positive als auch als negative Zahl möglich. Allerings leier auch ie Null,.h. es gäbe +0 un Das DUAL-System Uwe Koch Seite 10

11 Dabei würen große Schwierigkeiten beim Subtrahieren auftreten, a jetzt eine Null zuviel zwischen en positiven un en negativen Zahlen liegt. Daher verwenet man iese Methoe nicht so, sonern änert sie zunächst noch etwas. Dazu vertauscht man bei en negativen Zahlen ie Nullen un ie Einsen für en Zahlenwert, aber nicht beim Vorzeichen. aus für -1 wir für -1 Das allein behebt as Problem mit er oppelten Null noch nicht. Man muß zu er so entstanenen Zahl, em sogenannten 'Einerkomplement', noch eine 1 aieren un erhält ann as Zweierkomplement. aus für -1 wir für -1 Damit sieht ie Zahlenreihe wie folgt aus : Wie man sieht, ist jetzt ie negative Null verschwunen un afür eine weitere negative Zahl, ie -128, hinzugekommen. Außerem ist ie Zahl -128 im vorzeichenlosen Dualsystem genau um einen Wert größere als Man muß also immer wissen, welches Zahlensystems Das DUAL-System Uwe Koch Seite 11

12 verwenet wir. Der C64 arbeitet bei einstelligen Bytes fast ausschließlich mit vorzeichenlosen Dualzahlen,.h. es gibt nur Zahlen zwischen 0 un 255. Bei en Speicheraressen verwenet er C64 beie Systeme gemischt. Eingaben vom Benutzer weren als vorzeichenlose Werte zwischen 0 un entgegengenommen, Ausgaben weren aber im Zweierkomplement argestellt. Das heißt ie Zahlen liegen zwischen un Wenn man bei em Befehl 'PRINT FRE(0)' ein negatives Ergebnis erhält, muß man zu em Wert noch aieren um as richtige Ergebnis zu erhalten. Durch ie Darstellung im Zweierkomplement geht er Zahlenbereich zwar von +127 irekt nach -128, bzw. von nach bei Doppelbytes, über, afür ist jetzt aber ie Subtraktion sehr einfach geworen. Um eine Zahl von eine aneren zu subtrahieren, wir einfach er negative Wert nach en bekannten Regeln aiert. 1.Beispiel: 6-3 wir umgewanelt in 6 + (-3) Übertrag: Ergebnis: (1) Beispiel: 5-7 wir umgewanelt in 5 + (-7) Übertrag: Ergebnis: In Beispiel 1. entsteht ein Übertrag zur neunten Stelle, (in Klammern), er aber irekt bei er Berechnung ignoriert wir, a er Prozessor nur ie hinteren acht Bit es Ergebnisses abspeichert. Das DUAL-System Uwe Koch Seite 12

13 Die Multiplikation von Dualzahlen ist etwas umstänlich un wir auch nur in Maschinenprogrammen benötigt, a er Basicinterpreter iese Aufgaben für uns übernimmt, wenn wir in Basic programmieren. Daher möchte ich ie Multiplikation hier nicht weiter erklären. Es gibt aber noch zwei anere Verknüpfungen bei Dualzahlen, außer Aition/Subtraktion un Multiplikation/Division. Das sin ie 'UND - Verknüpfung' un ie 'ODER - Verknüpfung'. Bei er UND-Verknüpfung zweier Dualzahlen steht im Ergebnis nur an en Stellen eine 1, an enen in er ersten UND in er zweiten Zahl eine 1 steht. Beispiel: UND UND Man erkennt, aß eine solche Rechnung für Dezimalzahlen nicht sinnvoll ist, a nicht ersichtlich ist, warum eine Verknüpfung von 153 mit 170 als Ergebnis 136 hat. Anererseits kann man bei Dualzahlen leicht feststellen, welche Stellen zweier Zahlen gleich sin. Bei er ODER-Verknüpfung erscheint im Ergebnis an en Stellen eine 1, an enen entweer in er ersten ODER in er zweiten Zahl eine 1 steht. Beispiel: ODER ODER Auch hier ist eine solche Verknüpfung für Dezimalzahlen nicht sinnvoll. Bei Dualzahlen steht aber im Ergebnis eine 1 an allen Stellen, an enen bei einer von beien Zahlen eine 1 stan, bzw. es steht im Ergebnis eine 0 an allen Stellen, an enen eine 0 in beien Zahlen stan. Das DUAL-System Uwe Koch Seite 13

14 Man erkennt aran, aß ie UND-Verknüpfung für Einsen einer ODER-Verknüpfung für Nullen entspricht un umgekehrt. Diese beien Verknüpfungen braucht man z.b. wenn man nur ein einzelnes Bit innerhalb eines Bytes veränern will. Dieses kommt bei hochauflösener Grafik un bei Soun-Programmen sowie bei er Verwenung es USER - Ports vor, a hier einzelne Bits eine eigene besonere Beeutung haben. Beispiel: Es soll nur as 3. Bit in em Byte auf Eins gesetzt weren, unabhängig von en aneren Bits. Byte vorher: ODER (hier 3. Bit Eins) Byte nachher: Beispiel: Es soll nun as 2. Bit in em Byte auf Null gesetzt weren, unabhängig von en aneren Bits. Byte vorher: UND (hier 2. Bit Null) Byte nachher: Es gibt noch mehr solcher sogenannter 'logischer' Verknüpfungen, ie aber beim Programmieren in Basic nicht vorkommen. Die beien gerae verweneten Formen gibt es allerings auch in Basic. Dort heißt ie UND-Verknüpfung 'AND' un ie ODER- Verknüpfung 'OR'. Diese beien Befehle kann man in unterschielichen Zusammenhängen gebrauchen. Z.B. bei : IF (A<5) AND (A>2) THEN... Hier wir zuerst '(A<5)' kontrolliert un as Ergebnis in einem Byte gespeichert. Dabei beeutet JA = un NEIN = Dann wir '(A>2)' kontrolliert un as Ergebnis in einem weiteren Byte vermerkt. Danach weren ie beien Bytes mit UND verbunen un as Ergebnis für ie IF-Beingung verwenet. Das DUAL-System Uwe Koch Seite 14

15 Beispiel: A = 3 Dann ergibt (A<5) ein JA also un (A>2) ergibt auch JA also Jetzt kommt ie UND-Verknüpfung: UND Ergebnis JA für ie IF-Anweisung Beispiel: A = 1 Dann ergibt (A<5) wieer ein JA also aber (A>2) ergibt ein NEIN also Die UND-Verknüpfung ergibt : UND Ergebnis NEIN für ie IF-Anweisung Entsprechenes gilt für ie OR bzw. ODER - Anweisung. A n h a n g : ============= Zusammenfassung er ASCII-Zeichen nach er amerikanischen Norm: Nummer Zeichen Nummer Zeichen Nummer Zeichen Nummer Zeichen /00 (NUL) 32/20 (Space) 64/40 96/60 ' Das DUAL-System Uwe Koch Seite 15

16 1/01 (SOH) 33/21! 65/41 A 97/61 a 2/02 (STX) 34/22 " 66/42 B 98/62 b 3/03 (ETX) 35/23 # 67/43 C 99/63 c 4/04 (EOT) 36/24 $ 68/44 D 100/64 5/05 (ENQ) 37/25 % 69/45 E 101/65 e 6/06 (ACK) 38/26 & 70/46 F 102/66 f 7/07 (BEL) 39/27 ' 71/47 G 103/67 g 8/08 (BS) 40/28 ( 72/48 H 104/68 h 9/09 (HT) 41/29 ) 73/49 I 105/69 i 10/0A (LF) 42/2A * 74/4A J 106/6A j 11/0B (VT) 43/2B + 75/4B K 107/6B k 12/0C (FF) 44/2C, 76/4C L 108/6C l 13/0D (CR) 45/2D - 77/4D M 109/6D m 14/0E (SO) 46/2E. 78/4E N 110/6E n 15/0F (SI) 47/2F / 79/4F O 111/6F 0 16/10 (DLE) 48/ /50 P 112/70 p 17/11 (DC1) 49/ /51 Q 113/71 q 18/12 (DC2) 50/ /52 R 114/72 r 19/13 (DC3) 51/ /53 S 115/73 s 20/14 (DC4) 52/ /54 T 116/74 t 21/15 (NAK) 53/ /55 U 117/75 u 22/16 (SYN) 54/ /56 V 118/76 v 23/17 (ETB) 55/ /57 W 119/77 w 24/18 (CAN) 56/ /58 X 120/78 x 25/19 (EM) 57/ /59 Y 121/79 y 26/1A (SUB) 58/3A : 90/5A Z 122/7A z 27/1B (ESC) 59/3B ; 91/5B Ä 123/7B ä 28/1C (FS) 60/3C < 92/5C Ö 124/7C ö 29/1D (GS) 61/3D = 93/5D Ü 125/7D ü 30/1E (RS) 62/3E > 94/5E ^ 126/7E ß 31/1F (US) 63/3F? 95/5F _ 127/7F (Del) Das DUAL-System Uwe Koch Seite 16