Festkörperelektronik 2008 Lösungen zum Übungsblatt 1

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1 Lichttechnisches Institut Universität Karlsruhe (TH) Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer Dipl.-Phys. Alexander Colsmann Kaiserstrasse Karlsruhe Festkörperelektronik 1. Übungsblatt 17. April 2008 Musterlösung 1. Photoeffekt (a) In welchem Wellenlängenbereich liegt der sichtbare Teil des Spektrums elektromagnetischer Strahlung? ( ) Abb. 1: Spektrum elektromagnetischer Strahlung Der sichtbare Bereich des Spektrums reicht etwa von der Wellenlänge 400 nm (7, Hz, violettes Licht) bis 800 nm (3, Hz, rotes Licht). Die Empfindlichkeit des Auges ist allerdings von Mensch zu Mensch unterschiedlich, weswegen diese Grenzen nur als Mittelwerte zu verstehen sind. (b) Wie groß sind die Frequenzen und Energiequanten (in Elektronenvolt bzw. Joule) einer Rundfunkwelle (λ=1000 m), einer UKW-Welle (λ=3 m) und weicher Röntgenstrahlung (λ = 10 8 m)? ( ) Die Wellenlänge λ und die Frequenz ν sind verknüpft über λν = c, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Energie eines Quants der Strahlung, also eines Photons, ergibt sich zu W = hν. Wir erhalten also: Rundfunkwelle (λ=1000 m) ν = 300 khz, W = J = 1, ev Seite L4

2 UKW-Welle (λ=3 m) ν = 100 MHz, W = 6, J = 4, ev Rundfunkwelle (λ=10 8 m) ν = Hz, W = J = 124, 3 ev (c) Eine Photozelle enthält eine Kaliumkathode (W a = 2, 25 ev). Berechnen Sie die Grenzfrequenz für das Auftreten des Photoeffekts. Welche Geschwindigkeit haben die schnellsten Elektronen bei Beleuchtung mit UV-Licht (100 nm). Wird die Geschwindigkeit bei Strahlung mit halber Wellenlänge doppelt so groß? ( ) Die Grenzfrequenz ν G des Photoeffekts ist diejenige Frequenz, bei der die Energie der einfallenden Strahlungsquanten gerade ausreicht, um einem Elektron die Austrittsarbeit aus dem jeweiligen Material zu übertragen, also W P hoton = hν G! = W A. Daraus folgt für Kalium ν G = W A /h = 5, Hz λ G = 552, 5 nm. Da das UV-Licht über eine kürzere Wellenlänge, also eine höhere Frequenz als die Grenzfreqenz verfügt, tragen die einzelnen Quanten mehr Energie als zum Herausschlagen der Elektronen aus dem Kalium nötig. Diese kann zum Beispiel in kinetische Energie des Elektrons umgesetzt werden.wenn wir davon ausgehen, dass das Photon seine gesamte Energie auf das Elektron überträgt und dieses sich vor dem Stoß in Ruhe befindet, folgt aus dem Energieerhaltungssatz: W P hoton = hν! = W A + W kin,elektron = W A m ev 2 max (1) Damit erhalten wir für die maximale Geschwindigkeit v max : v max = 2 m (hν W A) = 1, m/s (2) Wie man sieht handelt einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen v max und ν, damit wächst die Geschwindigkeit nicht linear mit der Frequenz der einfallenden Photonen. (d) Wie groß muss die anglegte Spannung U sein, damit die aus einer Magnesium- Kathode (W A =3,7 ev) durch Licht mit der Wellenlänge 302 nm herausgeschalgenen Elektronen gerade nicht die Anode erreichen? ( ) Seite L5

3 Wenn zwischen zwei Punkten eine Spannung U angelegt wird, müssen Elektronen als Träger einer Elementarladung die Energie W pot = eu aufbringen, um in Feldrichtung von einem Punkt zum anderen zu gelangen. In unserem Fall kann diese Energie durch die kinetische Energie des Elektrons aufgebracht werden, also W pot = eu! = W kin = 1 2 m ev 2 Wieder liefern die einfallenden Photonen die Energie, die maximale kinetische Energie ist also W kin = W P hoton W A = 0, 41 ev Da nun U =! W kin /e sein muss, folgt für die Spannung U = 0, 41 V. (e) Zur richtigen Belichtung eines Films mit Silberkörnern benötigt man bei 550 nm etwa 10 6 J/m 2. Wie viele Photonen sind für 1 mm 2 lichtempfindliche Fläche nötig? ( ) Ein Lichtquant bei 550 nm trägt W P hoton = hc/λ = 3, J Energie. Auf die Fläche A von 1 mm 2 benötigt man für die Belichtungsdosis S = 10 6 J/m 2 also n = S A/W P hoton 2, Photonen. 2. Doppelspalt-Experiment (a) Skizzieren Sie ein Doppelspalt-Experiment für Wasserwellen und Gewehrkugeln. Was ist der gravierendste Unterschied zwischen beiden Fällen? ( ) Im Falle von Gewehrkugeln denken wir im Teilchenbild. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass die Kugeln immer als Ganzes einschlagen und sich nie Seite L6

4 Abb. 2: Doppelspalt-Experiment mit Gewehrkugeln [Quelle: David M. Harrison, Dept. of Physics, Univ. of Toronto] zwei Kugeln in die Quere kommen. Die Kugeln passieren die Spalte und können dabei bei Kontakt mit den Rändern abgelenkt werden. Hierbei sind starke Ablenkungen unwahrscheinlich, so dass die größte Häufigkeit der Einschläge am Einschlagspunkt der unabgelenkten Kugeln zu finden ist und nach außen stetig abnimmt (2(a) und (b)). Wenn beide Spalte offen sind, addieren sich die beiden Einschlagshäufigkeiten der Einzelspalte (2(c)). Wir erwarten nicht, dass ein offener zweiter Spalt einen Einfluss darauf hat, wie die Kugel an dem ersten Spalt abgelenkt wird. Abb. 3: Doppelspalt-Experiment mit Wasser [Quelle: David M. Harrison, Dept. of Physics, Univ. of Toronto] Seite L7

5 Wenn wir den Doppelspalt nun in ein mit Wasser gefülltes Gefäß stellen und eine Wellenmaschine anwerfen, ergibt sich folgendes Bild: Öffnet man nur einen Spalt, so entsteht an diesem eine Kreiswelle. Die breitet sich kreisförmig im Gefäß aus, ihre Amplitude wird am Rand des Gefäßes detektiert. Die Amplitude einer solchen Welle nimmt mit dem Abstand von ihrem Entstehungspunkt ab. Somit finden wir erneut ein Maximum der Amplitude der Welle direkt hinter dem offenen Spalt (3(a)). Beim gleichzeitigen Öffnen beider Spalte (3(c)) entstehen nun an beiden Spalten Kreiswellen. Hier erwarten wir, im Gegensatz zu den Gewehrkugeln, dass sich diese beeinflussen. In der Tat zeigen sich am Schirm Interferenzeffekte. Fallen zwei Wellenberge aufeinander, so addieren sich ihre Amplituden, fällt Wellenberg auf Wellental, so können sich beide Teilwellen gegenseitig auslöschen und das Wasser bleibt glatt. (b) Nun wird das Doppelspalt-Experiment mit Elektronen ausgeführt. Welche überraschenden Ergebnisse erhält man? ( ) Erstaunlicherweise ergibt sich bei entsprechender Dimensionierung des für Elektronen eine Verteilung der Auftreff-Wahrscheinlichkeiten auf der Detektionswand, die qualitativ der im Wasserbassin entspricht. Man sieht also Interferenzeffekte. Daraus folgt, dass man Elektronen Welleneigenschaften zuschreiben muss, was mit der Physik des 19. Jahrhunderts nicht vereinbar war. (c) Der Abstand des Detektionsschirms vom Doppelspalt sei L, der Abstand beider Spalte d. Leiten Sie die Bedingung für das Auftreten konstruktiver (destruktiver) Interferenz an einem Punkt x auf dem Schirm (siehe Abb. 4) in Abhängigkeit der Wellenlänge der einfallenden Elektronen her. Gehen Sie davon aus, dass der Abstand vom Spalt zum Schirm L im Vergleich zum Spaltabstand d und x sehr groß ist. ( ) Für konstruktive Interferenz müssen sich die Laufwege der Wellen, die von den beiden Spalten aus starten (l und l ), gerade um ein ganzahliges Vielfaches der Elektronen-Wellenlänge unterscheiden (oder gleich sein). Damit muss l l = mλ sein, wobei m eine ganze Zahl ist. Die Strecken l und l können wir mit dem Satz des Pythogoras mit den gegebnen Größen d, x und L ausdrücken und kommen zu: Seite L8

6 Abb. 4: Skizze zum Doppelspalt-Experiment l = l = L 2 + (x + d/2) 2 (3) L 2 + (x d/2) 2 (4) Der Gesamtausdruck lautet also: mλ = l l = L 2 + (x + d/2) 2 L 2 + (x d/2) 2 (5) Wir werden die Wurzelausdrücke in 5 vereinfachen. Dazu ziehen wir zunächst den Ausdruck L 2 vor die Wurzel und erhalten für den ersten Teil: l = L 1 + (x + d/2) 2 /L 2 = L 1 + x 2 /L 2 + xd/l 2 + d 2 /(4L 2 ) }{{} sehr klein (6) Nun kann man den Wurzelterm in eine Taylorreihe um x = 0 entwickeln, da nach Aufgabenstellung (x 2 + xd)/l 2 << 1 brechen wir die Reihenentwicklung nach dem ersten Glied ab. Die Taylorentwicklung einer Funktion f(x) um x = x 0 ergab sich zu: f(x) = ν=0 f (ν) (x 0 ) (x x 0 ) ν (7) ν! Wir erhalten somit: Seite L9

7 ( ) l (x) = L(1 + f (x = 0)x) = L 1 + d 1 + x 2 /L 2 + xd/l 2 x dx ( x=0 = L (( 1 2x x2 /L 2 + xd/l 2 L + d )) ) x 2 L 2 x=0 = L + dx 2L Für den Teil l kommen wir auf gleiche Art und Weise zu l (x) = L dx 2L und folglich für den gesuchten Ausdruck zu: mλ = l l = dx L x = mλl d Auf das gleiche Ergebnis kann man auch kommen, wenn man begründet durch die große Entfernung des Detektionsschirms vom Doppelspalt annimmt, dass beide Teilstrahlen die Spalte parallel verlassen. Man legt den Schnittpunkt damit ins Unendliche, was bei Licht durch das Einsetzen einer Sammellinse auch leicht experimentell durchgeführt werden kann. (d) Wie groß ist der Abstand zweier benachbarter Intensitätsmaxima für den Schirm aus der vorherigen Aufgabe? Die Quantenmechanik gilt nicht nur für Elektronen, sondern auch für Gewehrkugeln. Argumentieren Sie mit Hilfe dieses Ergebnisses, warum wir trotzdem mit Gewehrkugeln keine Interferenzen beobachten können (Für diesen Fall gilt L=10 m, d=10 cm, m Kugel =5 g, v Kugel =1000 km/h). ( ) Wenn da erste Maximum die Ordnung m (z.b. 3) hat, hat das nächste die Ordnung m + 1 (z.b. 4). Damit folgt x 1 = mλl/d, x 2 = (m + 1)λL/d und für den Abstand x = λl/d. Über die de-broglie-beziehung können wir der Gewehrkugel eine Wellenlänge zuordnen: λ K = h p = (8) h m Kugel v Kugel = 4, m (9) Daraus folgt für den Abstand der Interferenzmaxima x = 4, m. Wir sehen, dass der Abstand zwischen zwei Maxima verschwindend gering ist, wir Seite L10

8 integrieren immer über zahllose Interferenzen, daraus ergibt sich die klassische Verteilung der Gewehrkugeln. (Achtung: Die Modellierung der Gewehrkugel mit nur einer einzigen ebenen Welle dient nur zur groben Veranschaulichung und darf nicht zu ernst genommen werden.) Abb. 5: Skizze zum Doppelspalt-Experiment mit Gewehrkugeln 3. Schrödingergleichung, Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte (a) Vergleichen Sie die Schrödingergleichung für V (x, t) = 0 mit der Wellengleichung des elektrischen Feldes. Welches sind die wichtigsten Gemeinsamkeiten, wo unterscheiden sich die beiden? ( ) Die Wellengleichung fürs elektrische Feld ergibt sich zu: c 2 2 E(x, t) = 2 E(x, t) t 2 2 x Die Schrödingergleichung eines freien Teilchens dagegen lautet: (10) ψ(x, t) j t = 2 2 ψ(x, t) 2m 2 x (11) Zunächst ergibt sich als formaler Unterschied, dass die Wellengleichung auch die Zeit in der zweiten Ableitung enthält. Dieser Umstand führt, obwohl beide Gleichungen durch ebene Wellen (g(x, t) = A exp j (k x x ωz)) gelöst werden, zu unterscheidlichen Beziehungen zwischen der Wellenzahl k x und der Kreisfrequenz ω. Eine solche Beziehung nennt man Dispersionsrelation, sie reflektiert den unterschiedlichen Charakter der Photonen, deren Zeitentwicklung als Teile eines elektrischen Feldes die Wellengleichung enthält, und den Elektronen, deren zeitliche Änderung durch die Schrödingergleichung ausgedrückt wird. Des Seite L11

9 Weiteren benutzt man zwar für beide Gleichungen komplexe Lösungsansätze, im Falle der Wellengleichung ist das aber nur ein Rechentrick. Um Aussagen über das elektrische Feld als Messgröße zu machen, muss man wieder in die Welt der reellen Funktionen gelangen. Die Lösungen der Schrödingergleichung dagegen sind echte komplexe Funktionen. Das ist gestattet, weil die Wellenfunktion an sich keinen Messwert darstellt und somit nicht reell sein muss. (b) Zeigen Sie, dass ebene Wellen Lösungen der Schrödingergleichung für zeitlich konstante Potentiale sind. ( ) Eine ebene Welle wird beschrieben durch g(x, t) = A exp j (k x x ωt). Wobei A die Amplitude der Welle, k x die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz sind. Die Schrödingergleichung ist definiert als: ψ(x, t) j t = ( 2 ) 2 2m 2 x + V (x) ψ(x, t) (12) Setzt man nun die ebene Welle ein und wertet die Ableitungen aus, so erhält man: ωa exp j (k x x ωt) = Was offenbar gilt, falls: ( ) 2 kx 2 2m + V (x) A exp j (k x x ωt) (13) ω = ( ) 2 kx 2 2m + V (x) (14) Hier sei darauf hingewiesen, dass auf der linken Seite der Ausdruck, der nach de- Broglie die Energie mit der Kreisfrequenz verknüpft, steht (W = ω). Rechts finden wir die potentielle Energie plus einen Term, den wir über die zweite de-broglie-beziehung p = k und dem klassischen Zusammenhang p = mv umformen können zu: 2 k 2 x 2m = p2 2m = 1 2 mv2 = W kin, klassisch (15) Dieser Term kann also mit der kinetischen Energie verknüpft werden. Seite L12

10 (c) Zeigen Sie, dass eine Überlagerung mehrerer ebener Wellen, die Lösungen der SGL sind, diese ebenfalls löst. ( ) Wir machen den Ansatz s(x, t) = ag 1 (x, t)+bg 2 (x, t), wobei a und b Konstanten und g 1 und g 2 die ebenen Wellen sind. Eingesetzt in die Schrödingerleichung erhalten wir: j (ag 1(x, t) + bg 2 (x, t)) t = ( 2 ) 2 2m 2 x + V (x) (ag 1 (x, t)+bg 2 (x, t)) (16) Mit der Linearität der partiellen Ableitungen folgt: aj (g 1(x, t)) + bj (g 2(x, t)) (17) ) t ) t = a ( 2 2 2m 2 x + V (x) g 1 (x, t) + b ( 2 2 2m 2 x + V (x) g 2 (x, t) (18) Umsortieren der Terme führt zu: [ a j (g 1(x, t)) t [ +b j (g 2(x, t)) t ) ] ( 2 2 2m 2 x + V (x) g 1 (x, t) (19) ) ] 2 2m 2 x + V (x) g 2 (x, t) = 0 (20) ( 2 Diese Bedingung ist immer erfüllt, weil die Terme in den Klammern jeweils immer zu Null werden, da g 1 und g 2 jeweils die Schrödingergleichung lösen. Seite L13

11 4. Compton-Streuung (a) Informieren Sie sich über das Experiment der Compton-Streuung. Fassen Sie zusammen, was dabei passiert. Warum wird das Compton-Streuungs- Experiment ebenfalls als ein Experiment angesehen, das mit den klassischen Vorstellungen über elektromagnetische Strahlung und Materie nicht vereinbar ist? ( ) Beim Experiment zur Compton-Streuung werden Röntgenstrahlen auf einen Festkörper geschickt. Eine Messung der Strahlung um diesen Festkörper herum ergibt nun, dass neben Strahlung der Wellenlänge λ 0 der einfallenden Röntgenstrahlung auch Strahlung mit größerer Wellenlänge λ S vorkommt. Das Auftreten dieser Strahlung hängt stark von dem Winkel ab, unter dem wir den Festkörper beobachten. Wir gehen davon aus, dass an den Elektronen des Festkörper gestreute Röntgenstrahlung detektiert wird. Die bis zu Comptons Experimenten verwendeten klassischen Modelle der Streuung von elektromagnetischen Wellen an Photonen konnten die Beobachtungen nicht erklären. Nach diesen Modellen erwartete man eine konstante Intensität des gestreuten Lichts über den Winkel sowie keine Änderung der Wellenlänge (elastische Streuung). Compton gelang im Teilchenbild des Lichts eine recht einfache Beschreibung dieses Phänomens, indem er von einem Stoß eines Photons der Röntgenstrahlung mit dem Elektron ausging und die Energie- und Impulserhaltung forderte. Hier zeigt elektromagnetische Strahlung somit ihre Teilcheneigenschaften. (b) Stellen Sie die Formeln auf, die aus Energie- und Impulserhaltung für die Compton-Streuung folgen. ( ) Vor dem Stoß wird das Elektron als ruhend angenommen, das Röntgen-Photon nähere sich dem Elektron entlang der x-achse (siehe Abb. 6). Nach dem Stoß befindet sich das Elektron nicht mehr in Ruhe. Damit gilt für die Energieerhaltung: hν 0 = hν S + W kin, Elektron (21) Da das Elektron sehr schnell werden kann, müssen die relativistischen Beziehungen für Energie und Impuls angesetzt werden (siehe Experimentalphysik). Seite L14

12 W kin, Elektron = m 0c 2 1 β 2 m 0c 2 (22) Hier ist m 0 die Ruhenergie des Elektrons und β = v/c. Auch der Impuls muss erhalten bleiben, die Photonen haben jeweils den Impuls p = k, also: k 0 = k S + m 0 v 1 β 2 (23) Nach einigen Manipulationen folgt für die Änderung der Wellenlänge λ der Strahlung in Abhängigkeit des Streuwinkels φ: λ = 2h m 0 c sin2 φ/2 (24) Abb. 6: Schema der Compton-Streuung 5. Franck-Hertz-Versuch (a) Lesen Sie nach, was sich hinter dem Franck-Hertz-Versuch verbirgt. Beschreiben Sie den Versuchsaufbau und erklären Sie, was dieser Versuch über die Quantisierung von Energie aussagt. ( ) Der Versuchsaufbau des Franck-Hertz-Versuchs ist in Abbildung 7 skizziert. Elektronen werden aus einer Glühkathode emittiert, zwischen Kathode und einem durchlässigen Gitter beschleunigt und treten dann in ein schwaches bremsendes Potential zwischen Gitter und Anode ein. Der Strom zwischen Gitter und Anode wird gemessen. Der ganze Aufbau befindet sich in einem Glaskolben, in dem sich Gas aus Quecksilberatomen mit einem niedrigen Druck befindet. Nun verändert man die Beschleunigungsspannung U B. Der Strom steigt Seite L15

13 zunächst wie erwartet an, bricht aber bei der Spannung von 4,9 V plötzlich ein. Gleiches passiert bei Vielfachen dieser Spannung. Eine plausible Erklärung dieses Phänomens liefert die Quantisierung der Energieniveaus im Quecksilber. Sobald die Elektronen genug Energie erhalten haben, um die Hüllenelektronen des Quecksilbers vom Grundzustand in den nächsthöheren Zustand zu befördern, das sind 4,9 ev, findet dieser inelastische Stoß statt. Die Elektronen erreichen nun nicht mehr die Anode und der Strom fällt. Haben die Elektronen das Doppelte der notwendigen Energie, können sie mit zwei Atomen inelastisch stoßen. Es wird immer ein fester Energiebetrag abgegeben, was die Quantisierung der Elektronenenergie im Quecksilberatom beweist. Abb. 7: Skizze des Franck-Hertz-Versuchsaufbaus [Quelle: (b) Warum heißt h Plancksches Wirkungsquantum? ( ) In der Physik bezeichnet man als Wirkung das Produkt einer Energie mit der Zeit. Da h die Einheit einer Wirkung (Js) hat, und die Wirkung in Portionen der Größe h gequantelt ist, kommt es zu der Bezeichnung. 6. Welle-/Teilchen-Dualismus (a) Der (durchschnittliche) Mensch kann Licht der Wellenlänge 600 nm gerade noch mit bloßem Auge wahrnehmen, wenn es in den Sehzellen der Netzhaut eine Energie von mindestens W = J umsetzt. Um wie viele Photonen muss es sich dabei mindestens handeln? ( ) Die Anzahl der benötigten Photonen N errechnet sich zu: Seite L16

14 N = W W P hoton = W hc/λ 6 (25) Ein Vergleich mit Aufgabe 1 (e) zeigt, dass unser Auge ein extrem empfindlicher Detektor sein kann. Es ist hingegen sehr schwierig, mit technischen Mitteln eine Detektor-Empfindlichkeit von wenigen Photonen zu erreichen. (b) Bestimmen Sie die de-broglie Wellenlänge einer Bowlingkugel mit der Masse m b =8 kg und der Geschwindigkeit 4 m/s. Erötern Sie an diesem Beispiel, warum wir hier die Effekte der Wellennatur nicht beobachten. ( ) Es gilt: Mit p = mv folgt unmittelbar: λ = h p λ BK = h mv = m Wir sehen erneut, dass die extrem kleine Wellenlänge die Detektion der Welleneigenschaften unmöglich macht. (c) Bestimmen Sie die de-broglie Wellenlänge λ e eines Elektrons mit der für ein Elektronenmikroskop typischen kinetischen Energie W=20 kev. ( ) Es gilt: Mit W kin = p2 2m 7. Bohr-Einstein-Disput λ = h p (nichtrelativistisch, hier gerade noch erlaubt) folgt: λ e = h 2mW = 8, m Von 1927 bis 1935 führten Albert Einstein und Niels Bohr eine, hauptsächlich postalisch ausgetragene, Debatte über die Grundlagen der gerade neu entstehenden Quantenmechanik. (a) Lesen Sie nach, welche Positionen Bohr und Einstein hierbei vertraten. ( ) Eine gute Darstellung findet sich unter Einstein_debates. Seite L17

15 (b) Einstein brachte im Zuge dieses Diskurs einige Gedankenexperimente auf. Skizzieren Sie diese. Wie hat Bohr für die jeweiligen Fälle argumentiert, um Einsteins Angriffe abzuwehren? ( ) Das erste von Einstein in den Ring geworfene Experiment ist eine Erweiterung des Doppelspalt-Experiments. Um in einem Doppelspaltexperiment herauszufinden, welchen der beiden Wege ein Elektron genommen hat, ohne die Interferenz zu zerstören, schlug er vor, vor dem Doppelspalt S2 einen beweglich gelagerten Einzelspalt S1 zu platzieren (Abb. 8). Wenn nun ein Elektron am Punkt P des Schirms detektiert würde, wäre über eine Messung der Richtung des Impulses des bewegten Einzelspaltes klar, welchen Spalt in S2 das Elektron passiert hätte (Beim Stoß des Elektrons am Spalt gilt Impulserhaltung). Gleichzeitig sollten weiter die Interferenzen zu sehen sein, da die zusätzliche Einzelspalt die Beugung am Doppelspalt nicht beeinflusst. Bohr widerlegte Einstein, indem er mit der Orts-/Impulsunschärfe des Spalts S1 argumentierte. Der Impuls des Spalts S1 muss sehr genau gemessen werden, damit die gewünschte Aussage über die Flugrichtung des Elektrons getroffen werden kann. Über die Orts-Impuls-Unschärfe folgt dann, dass der Ort des Spalts eine recht große Unschärfe hat. Verändert sich jedoch der Ort, so Ändert sich auch das Interferenzmuster auf dem Detektionsschirm. Die Unsicherheit in der Lage des Spalts überträgt sich in eine Unsicherheit in der Position der Interfernzextrema, was gleichbedeutend mit einem Verschmieren und somit Verschwinden der Interferenzen ist (siehe Abb. 9.) Abb. 8: Einsteins Gedankenexperiment Die weiteren Gedankenexperimente finden sich unter: Seite L18

16 Abb. 9: Einsteins Gedankenexperiment (c) Was verbirgt sich hinter dem Begriff Kopenhagener Deutung der Quantenemchanik? ( ) Eine gute Darstellung findet sich unter Einstein_debates. 8. Unschärferelation (a) Was bedeutet der Begriff Unschärferelation konkret? Welche anderen Größen als Ort und Impuls sind ebenfalls über Unschärfe-Relationen verknüpft? ( ) Die Unschärferelation macht die Aussage, dass eine gleichzeitige, beliebig genaue Messung von Ort und Impuls unmöglich ist. In der Quantenmechanik wird dieses Prinzip für alle physikalischen Systeme als gültig angenommen. In unserem Bild der Materiewellen ist das Auftreten eines solchen Zusammenhangs eigentlich nicht verwunderlich. Stellt man sich einen kurzen Wellenzug vor, so besteht dieser nicht mehr aus einer einzigen ebenen Welle, die einen wohldefinierten Wellenzahl und damit einen wohldefinierten Impuls hat. Wir benötigen ebene Wellen mit verschiedenen Wellenzahlen k, die im Bereich des endlichen Pulses x konstruktiv und sonst destruktiv interferieren. Es ergibt sich, dass das Produkt gerade ungefähr 1 ist, also x k 1, mit der Beziehung p = k folgt so x p. Eine ähnlich Beziehung finden wir für Frequenz und Zeit. Auch hier hilft eine Erklärung über klassische Wellenphänomene. Will man die Frequenz eines Tones sehr genau bestimmen, so muss man über einen langen Zeitraum messen. Will man dagegen die Messzeit sehr genau bestimmen, kann man keine große Genauigkeit in der Frequenz erreichen. Seite L19

17 (b) Die Position eines Wassertropfens von 1mm Durchmesser soll mit einer Genauigkeit von 10 3 mm bestimmt werden. Was folgt daraus für die quantenmechanische Unschärfe der Geschwindigkeit? ( ) Der Wassertropfen hat ein Volumen von Die Masse des Tropfens ergibt sich aus V = 4 3 πr3 = 5, m 3 ρ H2 O = 1000 kg m 3 m = ρv = 5, kg Aus der Unschärferelation x p = 2 folgt v = 2m x = m s 1 (c) Ein Elektron, das sich im attraktiven Coulombfeld e 2 /4πɛ 0 r eines Protons bewegt, fällt nach der klass. Physik (unter Abstrahlung elektromagnet. Strahlung) ins Zentrum. Schätzen Sie den Impuls des Elektrons ab, das sich im Abstand r um den Kern bewegt. Bestimmen Sie hieraus das Gesamtpotential Φ, in dem sich das Elektron befindet. Bestimmen Sie aus dem Minimum des Potentials den Abstand des Elektrons zum Proton und die Energie des Elektrons. ( ) Unter der Annahme, daß x > x und p > p, gilt x p 2 Damit ergibt sich der Impuls des Elektrons zu p = 2r Daraus folgt die kinetische Energie des Elektrons zu W kin = p2 2m e = 2 8m e r 2 Seite L20

18 Das Gesamtpotential ist dann W Ges = W kin + W pot = 2 8m e r e2 2 4πɛ 0 r Das Elektron befindet sich im Minimum des Potentials ( Ableitung). 2 e2 W Ges = 4m e r + 3 4πɛ 0 r 2 r = 4πɛ 0 2 4e 2 m e = 1, m Der korrekte Bohr sche Radius beträgt r B = 0, 5 Å. W Ges = 8, J = 54 ev Da das Elektron immer mindestens die Energie W ges trägt, kann es nicht wie im klass. Bild in den Atomkern stürzen. 9. Streuung an Elektronen (a) Sie wollen mittels eines Streuexperiments nachprüfen, ob sich Elektronen wirklich wie im Bohrschen Atommodell vorausgesagt auf Kreisbahnen um den Kern bewegen. Um eine vernünftige Auflösung zu erhalten, müssen Sie Strahlung verwenden, deren Wellenlänge höchstens 1/20 der aufzulösenden Strukturgröße beträgt. Strahlung welcher Frequenz benötigen Sie mindestens, wenn Sie ein Wasserstoffatom im Grundzustand vermessen wollen? ( ) Der Bohrsche Radius für den Grundzustand ist a 0 = 5, m. So brauchen wir Strahlung mit einer Wellenlänge von höchstens λ = 2, m. Für die Frequenz ergibt sich über c = λν: ν = c/λ = 1, Hz (26) (b) Berechnen Sie die Energie eines Photons der Mess-Strahlung aus dem letzten Aufgabenteil. Vergleichen Sie diese Energie mit der Ionisierungsenergie von Wasserstoff und erläutern Sie, was das für das im letzten Aufgabenteil vorgestellte Experiment bedeutet. Welche grundsätzliche Besonderheit beim Messen in der Quantenmechanik offenbart sich hier? ( ) Seite L21

19 Die Energie der Photonen der Mess-Strahlung angegeben in ev berechnet sich zu: W = hν = 46, 87 kev (27) Wenn man bedenkt, dass die Ionisierungsenergie für Wasserstoff bei 13,6 ev liegt, wird das Dilemma offensichtlich. Die Streuung des Photons am Elektron während des Messprozesses führt unweigerlich zu einer deutlichen Veränderung seines Zustands (in unserem Fall wahrscheinlich der Ionisation). Damit kann keine weitere Ortsmessung an dem Wasserstoffatom im Grundzustand vorgenommen werden, da der Zustand durch die Messung verändert wird. Dies zeigt deutlich, dass die klassische Annahme einer idealisiert wechselwirkungsfreien Messung auf quantenmechanischen Energieskalen unzulässig ist. (c) Wie muss man vorgehen, um trotzdem Ergebnisse mit der vorgestellten Messung zu erhalten? ( ) Will man trotzdem Aussagen über den Aufenthaltsorts eines Elektrons im Wasserstoffatom machen, so muss man für die oben beschriebene Messung für eine große Anzahl von gleichartigen Atomen durchführen. Da glücklicherweise alle Wasserstoffatome gleich sind, ist solch eine Ensemble-Messung bei sorgfältiger Durchführung auch mit guter Genauigkeit möglich. Man erhält pro Atom somit einen Messwert, danach muss man am nächsten Atom weitermessen. Seite L22