Die Wellenfunktion ψ(r,t) ist eine komplexe skalare Größe, da keine Polarisation wie bei elektromagnetischen Wellen beobachtet wurde.

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1 2. Materiewellen und Wellengleichung für freie Teilchen 2.1 Begriff Wellenfunktion Auf Grund des Wellencharakters der Materie können wir den Zustand eines physikalischen Systemes durch eine Wellenfunktion ψ(r,t) beschreiben. Das Betragsquadrat ψ(r,t) 2 =ψ*ψ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Nachweis von Teilchen am Ort r zur Zeit t. Die Wellenfunktion ψ(r,t) ist eine komplexe skalare Größe, da keine Polarisation wie bei elektromagnetischen Wellen beobachtet wurde. Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zur Zeit t am Ort r im Volumenelement d 3 r zu finden: w(r,t) d 3 r = ψ(r,t) 2 d 3 r=ψ*ψ d 3 r. Wahrscheinlichkeitsdichte w(r,t) = ψ(r,t) 2 =ψ*ψ Für ein einzelnes Teilchen muss gelten: w(r,t) d 3 r = ψ(r,t) 2 d 3 r= ψ*ψ d 3 r=1 Normierung: Erfüllt ψ(r,t) nicht diese Bedingung, kann es immer normiert werden. r,t 2 r,t = r,t 2 d 3 r 16

2 Wellenfunktion ψ(r,t) Wahrscheinlichkeiten sind positiv definite Größen. Nur das Betragsquadrat besitzt eine direkte physikalische Bedeutung. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude (Wellenfunktion) selbst ψ(r,t) nicht. Für viele gleichartige Teilchen (Photonen) ergibt sich eine Intensitätsverteilung durch Superposition der Wellenfunktionen und Berechnung des Betrages der resultierenden Wellenfunktion. ψ(r,t) 2 = groß -> viele Teilchen ψ(r,t) 2 =0 kein Teilchen In der QM kommt es zu Interferenz wenn Alternativen existieren, die zum gleichen Messergebnis führen. Wird durch die Versuchsdurchführung eine der Alternativen ausgeschlossen verschwindet die Interferenz. Materiewellen sind keine spezifischen physikalischen Eigenschaften, sondern können als statistisches Verhalten interpretiert werden. Der Nachweis durch einen Einzelprozeß zeigt immer nur den Teilchencharakter. Materiewellen können als Wahrscheinlichkeitswellen interpretiert werden. -> statistische Interpretation der QM 17

3 Motivation zur Schrödingergleichung Wir suchen eine Gleichung, aus der die Wellenfunktionen für Teilchen bestimmt werden können. Die Schrödingergleichung kann nicht streng aus ersten Prinzipien abgeleitet werden. Wir versuchen die Schrödingergleichung in Analogie zu Lichtwellen auf Grund des Welle-Teilchen Dualismus plausibel zu machen. Welle-Teilchen Dualismus ist experimentell sehr gut gesichert alle Teilchen mit festem Impuls haben eine Wellenlänge (de Broglie 1924) QM als allgemeine Theorie sollte die makroskopisch korrekte klassische Mechanik als Grenzfall enthalten. (Hamilton-Jacobi Theorie: Wirkungswellenkonzept) 18

4 2.2 Lichtwellen (Wiederholung aus der ED) Wellengleichung aus Maxwellschen Gleichungen der ED für elektrische Feld E r,t = 1 c 2 2 t 2 E r,t Lösung durch Ansatz für ebene Wellen = x 2 y 2 E r,t = E 0 e i k r t ist eine Lösung falls ω=c k allg. Lösung: E r,t = d 3 k E 0 k e i k r t Wellenvektor k zeigt die Ausbreitungsrichtung der Welle (Coulomb F=e Re E) z.b. k x-achse E(x, t)=e 0 cos(k x -ωt) Periode τ : E(x,t+τ)=E(x,t) -> ωτ = 2π ω = 2π/τ = 2π v Wellenlänge λ: E(x+λ,t)=E(x,t) -> kλ = 2π k = 2π/λ aus ω=c k -> 2π v = c 2π/λ -> v λ = c Interferenz: E werden addiert (Superpositionsprinzip), da die Maxwellschen GL. lineare DGL sind Intensität: ~ Energiestromdichte (Poyntingvector) ~ Re E 2 z 2 Re E 1 Re E 2 2 = Re E 1 2 Re E Re E 1 Re E 2 Intensitäten (Bilder) addieren sich nicht! 19

5 Einschub aus der Relativitätstheorie ED ist eine relativistische Theorie (c=lichtgeschwindigkeit) eine analoge relativistische Wellengleichung führt zur Quantenelektrodynamik. E=mc 2 E 2 = m 2 c 4 = p 2 c 2 + m 02 c 4 Energie und Masse wachsen mit dem Impuls (Geschwindigkeit). Übergang zur klassischen Mechanik ergibt sich für kleine p (c>> v ) E= m 0 2 c 4 p 2 c 2 =m 0 c 2 1 p2 c 2 m 0 2 c 4~m 0c p 2 c 2 m 2 0 c =m 0c p 2 m 0 1 x ~1 1 2 x... Licht m 0 =0 Photonen haben keine Ruhemasse, aber einen Impuls -> E 2 = p 2 c 2 E = p c p= p E = hv = ћω = ћ c k = p c -> p= ћk ( p = ћk ) E = ћω p = ћk Energie eines Photons Impuls eines Photons Damit lassen sich auch jedem Teilchen mit festem Impuls eine Wellenlänge zuordnen. da k= k =2π/λ p= ћk = ћ 2π/λ = h / λ de Broglie

6 2.3 Relativistische Gleichung für Materiewellen (Klein-Gordon Gleichung) In Analogie zur ED und ebenen Wellen als Lösungsansatz suchen wir eine Gleichung für Materiewellen (Teilchen), für die ψ(r,t) eine Lösung ist. r,t = 0 e i k r t Auf Grund der experimentellen Befunde zum Welle-Teilchen Dualismus fordern wir außerdem, das die Energie und Impuls Beziehungen für Licht gelten sollen. E = ћω p = ћk Energie Impuls Wir starten von der relativistischen Gleichung mit m 0 0: E 2 = m 2 c 4 = p 2 c 2 + m 02 c 4. Einsetzen der Energie und Impuls Beziehungen und Multiplikation mit ψ(r,t) gibt: Klein-Gordon Gleichung 1926 ħ 2 2 =ħ 2 c 2 k 2 m 0 2 c 4 ħ 2 2 t 2 = ħ2 c 2 m 2 0 c 4 (für m 0 =0 bekannte Gleichung für Licht) = i t =i k x j j 1 2 c 2 t = m 2 0c 2 2 ħ 2 21

7 2.4 Nicht relativistische Gleichung für Materiewellen (Schrödinger Gleichung 1926) Wir starten von der klassischen Mechanik, fordern aber die Gültigkeit des Energie und Impuls Beziehungen für Licht auf Grund des Welle-Teilchen Dualismus. r,t = 0 e i k r t Es gilt also E = p 2 /2m, E = ћω, p = ћk ħ = ħ2 k 2 2m i ħ t = ħ2 2 m = i t =i k x j j Für ein Teilchen in einem externen Potential U(r) erhält man eine Verallgemeinerung durch die klassische Hamiltonfunktion H = p 2 /2m + U(r), die die klassische Gesamtenergie des Systemes beschreibt. r,t i ħ = ħ2 r,t U r r,t t 2m Schrödingergleichung: Axiom, nicht streng herleitbar Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger * 12. August 1887 in Wien-Erdberg 4. Januar 1961 in Wien Nobelpreis Physik

8 2.5 Wellenpakete und Kohärenzlänge Ein Gaußsches Wellenpaket ist eine Welle, die mit einer Gaußfunktion moduliert ist (Multiplikation der Wellenfunktion mit einer Gaußfunktion). Eine Besonderheit liegt darin, dass die Fouriertransformation einer Gaußfunktion (und damit die Frequenzverteilung) wieder eine Gaußfunktion ergibt. ψ ψ*ψ Kohärenzlänge = Länge des Wellenzuges In Wirklichkeit hat man es nicht mit unendlich ausgedehnten Wellen (ebene Wellen), sondern immer mit Wellenpaketen zu tun. Damit es zu Interferenz kommen kann, muss die Kohärenzlänge l c groß gegenüber der Messapparatur sein. z.b. realistische Zeiten für die Abstrahlung eines Photons von einem Atom betragen 23 τ~10-8 s. Damit ergibt sich eine Kohärenzlänge l c =c*τ ~ 3m des Wellenpaketes.