Bemerkungen zur Kinetik des Balles im Tischtennissport

Transkript

1 Bemerkungen zur Kinetik des Balles im Tischtennissport von Albert Frosch Unter konsequenter Spezialisierung auf den Tischtennissport werden behandelt: Koordinatensysteme zur Beschreibung von Geschwindigkeit und Rotation. Der dezentrale Stoß Die Kopplung von Geschwindigkeit und Rotation Der Magnuseffekt und seine Auswirkungen Die Vorgänge beim Rückschlag im Falle des Topspins Aspekte des Schlägermaterials Für unsere Gymnasiasten, die gerade ihren D-Trainerschein gemacht hatten, schrieb ich vor längerer Zeit als Gedächtnisstütze einen "Kommentar zur Schlagtechnik im Tischtennisport". Diesen musste ich bald um einen Abschnitt erweitern, der sich mit der Rotation des Balles um eine beliebige Achse befasste. Dann haben unterschiedliche Anschauungen über den sogenannten "tangentialen Schlag" einen "theoretisch-mathematischen Anhang" provoziert. Schließlich habe ich meine Anmerkungen über die ideale Schlagausführung entfernt, weil sowieso jeder glaubt, die perfekte Schlagtechnik bereits zu beherrschen - und so ist diese Abhandlung entstanden. Lassen Sie mich mit einem Beispiel beginnen: Formel-1-fahren ist ein "Elite-Sport". Wenn sich ein Formel-1-Fahrer mit den aerodynamischen Interferenzen zweier im Windschatten fahrender Fahrzeuge beschäftigt, um sein Chancen und Risiken besser abschätzen zu können, findet wohl kaum jemand etwas Besonderes daran. Tischtennis ist ein Breitensport. Wenn sich ein Spieler mit den physikalischen Gesetzmäßigkeiten seines Sports beschäftigt, um sein Chancen und Risiken besser abschätzen zu können, bringt er sich in Gefahr, als "Spinner" zu gelten. Ungeachtet dieser Gefahr will ich mit Ihnen einige ausgewählte Aspekte unserer Sportart theoretischmathematisch betrachten. Dieses Papier ist keine Handlungsanleitung mit unmittelbarem Nutzen am Tisch! Vielleicht nützt es dem einen oder anderen ambitionierten Spieler dennoch schneller dahinter zu kommen, was ihm da gerade am Tisch widerfahren ist. In jedem Fall aber sollte es helfen, das Training effektiver zu gestalten und Sackgassen zu vermeiden. Es ist nicht möglich - ich sage sogar: nicht einmal wünschenswert - jeden Flugzustand eines Tischtennisballes mathematisch zu begleiten. Es ist aber möglich, und für das Verständnis der Zusammenhänge im Tischtennisspiel überaus hilfreich, sich mit der einen oder anderen speziellen Situationen detailliert zu beschäftigen. Dabei werde ich versuchen die Betrachtung ganz auf unseren Spezialfall hin auszurichten um dadurch den mathematischen Teil soweit "abzuspecken" wie es eben noch vertretbar ist. Um etwas Algebra und einige wenige Integrale und Differenziale werden wir aber trotzdem nicht ganz herumkommen. Die Kenntnis der tischtennisspezifischen Grundbegriffe wird vorausgesetzt. Inhalt 0. Beschreibung von Geschwindigkeit und Rotation im Raum. 1. Der dezentrale, tangentiale Stoß. Die Kopplung der Geschwindigkeit an die Rotation.. 2. Die reale Krafteinleitung. 3. Der Magnuseffekt für eine Kugel. 4. Messung der "Magnuskonstanten" für den Tischtennisball. 5. Die Wirkung des Magnuseffekts am Beispiel von Aufschlägen und Abschlägen auf Tischniveau. 6. Das Zusammenspiel von Rotation und Translation. 7. Detaillierte Diskussion des Rückschlags am Beispiel Topspin gegen Topspin. 8. Effekte beim Ball-Schlägerkontakt. Die Grenzen der Schläger. BKTTB-08.doc Seite 1 von 16 Seiten

2 0. Als erstes wollen wir uns mit der Beschreibung von Geschwindigkeit und Rotation in geeigneten Bezugssystemen beschäftigen. Wir ignorieren alle Feinheiten, welche Mathematik und Physik auf Lager haben und beschränken uns allein auf das, was uns hier weiter bringt. Ich kann sagen: "Dieser Tischtennisball hat eine Masse von 2,7 Gramm" oder schreiben: "m = 2,7 g". Die Masse "m" ist eine physikalische Größe; "2,7" ist die Maßzahl; "g" ist die Maßeinheit. Nichts davon hat einen Bezug zu den Dimensionen des Raumes, in dem diese Aussage gemacht wird. Eine physikalische Größe dieser Art nennt man ein Skalar. Ich kann aber auch feststellen: "Dieser Tischtennisball fliegt mit einer Geschwindigkeit von 10 Meter pro Sekunde", oder schreiben: v = 10 m/sec. Die Geschwindigkeit "v" ist eine physikalische Größe; "10" ist die Maßzahl; "m/sec" ist die Maßeinheit. (Die Bedeutung von "m" ist unterschiedlich je nachdem ob es sich um die physikalische Größe "Masse" oder die Dimension "Meter" handelt - eine leidvolle Erfahrung vieler Schüler.) Es interessiert mich aber sehr wohl wohin der Ball fliegt. Mit anderen Worten: die Geschwindigkeit hat einen Bezug zu den Dimensionen des Raumes, in dem sie beobachtet wird, oder wie es die Physiker sagen: Geschwindigkeit ist ein Vektor. Um diese Besonderheit auch in der Schreibweise zum Ausdruck zu bringen verwenden wir als Symbol für die Geschwindigkeit einen Buchstaben aus einem anderen Font. Unter den vielfältigen Möglichkeiten Vektoren darzustellen beschränken wir uns allein darauf, sie durch Pfeile im Raum darzustellen. Im Fall der Geschwindigkeit des Tischtennisballes zeigt der Pfeil in die Richtung, in die sich der Ball im Augenblick der Betrachtung bewegt. Die Länge des Pfeils darf ich zu Beginn der Untersuchung frei wählen - etwa so, dass die Maßzahl der Geschwindigkeit mit einer geeigneten Längeneinheit des Pfeils zusammen fällt. An diese Festlegung muss ich mich aber dann bis zum Ende der Untersuchung halten. Wie uns die Mathematiker lehren und die Physiker bestätigen darf ich eine Geschwindigkeit - also einen Vektor - nach gewissen Regeln in zwei oder mehrere Teilgeschwindigkeiten - Teilvektoren - zerlegen. Ich kann weder mathematisch noch "wirklich" physikalisch unterscheiden, ob der Ball mit der durch den ursprünglichen Vektor dargestellte Geschwindigkeit fliegt, oder ob er sich gleichzeitig mit den durch die Teilvektoren repräsentierten Geschwindigkeitsanteilen bewegt!!!. Die Regeln für die Zerlegung von Vektoren in Teilvektoren bzw. das Zusammensetzen von Vektoren aus Teilvektoren sind ganz einfach. Die Skizze zeigt eine Zerlegung in drei Anteile. Dort wo Teilvektor a endet beginnt Teilvektor b, und dort wo Teilvektor b endet beginnt Teilvektor c. Verbindet man nun den Anfang von Teilvektor a mit dem Ende von Teilvektor c so ergibt sich der resultierende Vektor r. Der Vektor r ist gleichwertig mit und physikalisch nicht unterscheidbar von der Summe der Teilvektoren a, b und c. Geht es darum eine dreidimensionale Aufgabe zu lösen darf einer der drei Teilvektoren nicht in der Ebene der beiden anderen liegen. Die Winkel zwischen den Teilvektoren dürfen im Prinzip beliebig gewählt werden. Ebenso ist die Lage der Vektoren frei wählbar. Es empfiehlt sich jedoch rechte Winkel zu nehmen und die Richtungen so zu wählen, dass sich das Ergebnis leicht interpretieren lässt - also z.b. parallel zu den Tischkanten bzw. senkrecht dazu. So könnten z.b. a und b in der Tischebene liegen und c senkrecht auf dieser Ebene stehen mit den Winkeln α und β von je 90 Grad. BKTTB-08.doc Seite 2 von 16 Seiten

3 Was wir über die Geschwindigkeit gefunden haben lässt sich ebenso auf die Rotation des Balles anwenden. Die Rotation des Balles wird durch seine Drehachse repräsentiert. Was die Richtung des die Rotation repräsentierenden Vektors angeht halten wir uns an die folgende Konvention: die Finger der rechten Hand umschließen den Ball so, dass die Finger in die Richtung zeigen, in die sich die Oberfläche des Balles dreht. Der Daumen zeigt dann in die (positive) Richtung des Vektors für die Rotation. Nehmen wir an, der Ball sei bei einem Aufschlag durch einen schrägen Schnittschlag so angedreht worden, dass die Rotation um seine Rotationsachse mit dem Vektor r dargestellt werden kann. Wiederum können wir diesen Rotationsvektor - aus Gründen der Zweckmäßigkeit - in drei Teilvektoren a, b und c zerlegen. (Auch hier passt die gleiche Skizze.) Ebenfalls aus Gründen der Zweckmäßigkeit wählen wir ihre Lage wie folgt: a liegt in der Tischfläche in Richtung der Flugbahn des Balles - genauer: der Projektion der Flugbahn senkrecht auf den Spieltisch (sozusagen dem "Schatten" der Flugbahn durch eine Lampe hoch über der Tischmitte). b liegt senkrecht zu a ebenfalls in der Tischfläche. c steht senkrecht auf der Tischfläche also senkrecht zu a und b. In diesem Fall steht b für die Achse der Vorwärts-/ Rückwärtsrotation, den beiden Ausprägungen der Längsrotation (pitch / Nickachse). Zeigt der Vektor nach rechts (siehe die Konvention oben) liegt Rückwärtsrotation vor. c steht für die Achse der Seitrotation im eigentlichen Sinn. (yaw / Gierachse). Sie erzeugt auf dem Tisch keinen Effekt, lässt den Ball in einer waagrechten, ebenen Kurve fliegen (Magnuseffekt) und sorgt auf dem Schläger des Rückschlägers für das seitliche Wegspringen des Balles. Die Rotation um die Achse des Vektors a wird - zur allgemeinen Verwirrung - häufig auch als Seitrotation bezeichnet (roll / Rollachse). Ich werde sie hier der Klarheit wegen Querrotation nennen. Sie führt zu einem seitlichen Wegspringen des Balles beim Berühren des Tisches, hat aber auf dem Schläger des Rückschlägers keine Wirkung sofern der Ball dort senkrecht auftrifft. Ich kann weder mathematisch noch "wirklich" physikalisch unterscheiden, ob sich der Ball um die durch den ursprünglichen Vektor dargestellte Rotationsachse dreht oder ob er gleichzeitig mit den durch die Teilvektoren repräsentierten Rotationsanteilen unterwegs ist!!!. Auf Grund dieser Tatsache ist es möglich und erlaubt, die einzelnen Teileffekte getrennt zu betrachten. Fliegt ein rotierender Ball durch die Luft, so entsteht dort, wo sich seine Oberfläche in Flugrichtung dreht ein Überdruck, auf der anderen Seite ein Unterdruck. Diese Erscheinung wird als Magnuseffekt bezeichnet. Im Abschnitt III beschäftigen wir uns ausführlich mit ihm. Die Vorwärtsrotation beim Topspin bewirkt ein schnelleres Sinken des Balles bzw. eine stärker gekrümmte Flugbahn. Die Rückwärtsrotation beim Schupf bewirkt einen Auftrieb, also ein langsameres Sinken des Balles bzw. eine flachere Flugbahn. Die durch den Magnuseffekt hervorgerufene Bahnkrümmung ist bei reiner Seitrotation (Drehachse senkrecht zum Tisch) am besten zu beobachten. Der in Flugrichtung drehenden Teil des Balles liegt auf der Kurvenaußenseite. Ein rotierender Ball ist ein Kreisel mit allen dazu gehörenden Eigenschaften wie wir sie z.b. von den verschieden Spielzeugen her kennen. Seine wichtigste Eigenschaft in diesem Zusammenhang: er wird alles daran setzen sein Rotationsachse beizubehalten bis seine Rotationsenergie aufgezehrt ist. BKTTB-08.doc Seite 3 von 16 Seiten

4 I. Sodann wenden wir uns dem sogenannten tangentialen Schlag zu. Wir stellen uns vor, wir haben einen Ball, der sich wenigstens für einen winzigen Augenblick irgendwo in der Luft und in Ruhe befindet. (Mögliche Situation: indirektes Balleimerzuspiel; der Ball springt vom Tisch zurück und befindet sich gerade im oberen Umkehrpunkt seiner Flugbahn.) Außerdem wollen wir im Augenblick noch so tun, als könnten wir eine Kraft an jedem beliebigen Punkt des Balles und in jeder beliebigen Richtung einwirken lassen. ρ M r S K Der Tischtennisball ist eine fast ideale, dünnwandige Hohlkugel mit dem Radius r und der Masse m. Aus Gründen der Symmetrie liegt der Massenmittelpunkt M im Zentrum. Der Ball besitzt somit das Trägheitsmoment J = ⅔ m r² (I.1) Wie in der nebenstehenden Skizze gezeigt, wirke am Punkt S am Umfang des Balles eine Kraft K. Wir spezialisieren die in der Theorie recht allgemein gehaltenen Gesetze für unseren Fall. Der zunächst kompliziert erscheinende Vorgang lässt sich mathematisch in zwei übersichtliche Teilvorgänge zerlegen die gleichzeitig ablaufen: 1. Die Kraft wirkt, als ginge sie durch den Massenmittelpunkt und überträgt dabei den linearen Impuls und die Translationsenergie auf den Massenmittelpunkt. 2. Die Kraft erzeugt mit Hilfe des "Hebelarmes" ρ also dem Lot von der Kraftrichtung auf den Massenmittelpunkt ein Drehmoment, mit dem sie den Drehimpuls und die Rotationsenergie bezüglich des Massenmittelpunktes (!) überträgt. Um das Lesen der Gleichungen zu erleichtern verzichten wir bewusst auf die Darstellung einiger Größen als Vektoren und auf die Bildung von Vektorprodukten. Dafür achten wir sorgfältig darauf, dass die dazu nötigen Voraussetzungen strikt erfüllt werden, dass also z.b. Kraft und Kraftarm senkrecht aufeinander stehen. Wenn hier und im Folgenden auf Geschwindigkeiten, Kräfte, Impulse, Momente etc. Bezug genommen wird, sprechen wir immer nur von den Beträgen dieser Größen! Da die Kraft währen des Stoßes keineswegs konstant ist, müssen wir über das Zeitintervall integrieren in welchem die Kraft einwirkt. Für den linearen Impuls gilt K dt = m v (I.2) Hierbei ist v die Fluggeschwindigkeit des Balles. Für den Drehimpuls gilt ρ K dt = J ω mit ω = u / r (I.3) Dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit und u die Umfangsgeschwindigkeit des rotierenden Balles. Setzen wir die Gleichungen I.2 in I.3 ein so erhalten wir bzw. ρ m v = J ω = ( ⅔ m r² ) ( u / r ) u = ( ρ / r ) ( 3 / 2 ) v Da Form und Masse des Balles konstant sind, sind Drehimpuls und Umfangsgeschwindigkeit zueinander proportional. Der Begriff Umfangsgeschwindigkeit ist jedoch anschaulicher. Deswegen werden wir ihn bevorzugt verwenden. Wir sehen hieraus: Während des Kraftstoßes entwickeln sich u und v proportional zueinander. Daher können wir im Weiteren auf Integrationen verzichten und uns mit den Mittelwerten begnügen. Für den rein tangentialen Schlag, also für ρ = r, ergibt sich 2 u = 3 v (I.4) BKTTB-08.doc Seite 4 von 16 Seiten

5 Wir können den Merksatz formulieren: Wirkt auf einen freien, ruhenden Tischtennisball eine tangentiale Kraft die ihn in Rotation mit der Umfangsgeschwindigkeit u versetzt, so wird er gleichzeitig parallel zu dieser Kraft auf die Bahngeschwindigkeit v beschleunigt. Dabei gilt: Entscheidend dabei ist, dass der Ball "frei" ist, das heißt, dass er nicht von einer Achse oder Ähnlichem geführt wird! Während die Kraft in der Kontaktzeit Impuls überträgt, überträgt sie entlang des Weges den sie wirkt auch Energie. Wie wir oben gesehen haben müssen wir nicht mehr integrieren. Bei tangentialer Krafteinleitung erhalten wir somit für die kinetische Energie E kin = ½ m v 2 (I.5) und die Rotationsenergie E rot = ½ J ω 2 = ⅓ m u 2 (I.6) Die Gesamtenergie E ges = E kin + E rot (I.7) Die Gleichungen I.6, I.5, I.4, I.1 einbeziehend erhält man E ges = v = 2 u 3 5 m v 2 = 4 5 m u 2 (I.8) 9 umd 2 E rot = 3 E kin (I.9) Wirkt auf einen freien, ruhenden Tischtennisball eine tangentiale Kraft die ihn in Rotation versetzt, so wird Rotationsenergie ( E rot ) und Translationsenergie ( E kin ) übertragen und zwar im Verhältnis E rot / E kin = 3 / 2 Die Impulsänderung und die Energieänderung erfolgen synchron. Um eine Vorstellung von den auftretenden Größen zu bekommen wollen wir ein grobes Zahlenbeispiel rechnen. Deshalb machen wir es uns auch leicht und nehmen die Kraft als konstant an. Sie wirke während der Zeit t = sec. Am Ende dieses Intervalls sei die Bahngeschwindigkeit v = 8 m/sec bzw. die Umfangsgeschwindigkeit u = 12 m/sec entsprechend 5730 Umdrehungen pro Minute. Der Ball hat die Masse m = 2, kg und den Radius r = 0,020 m. Wir haben also: m = 2, kg r = 0,020 m t = sec v = 8 m/sec u = 12 m/sec Da die Kraft konstant sei vereinfacht sich Gleichung I.2 zu K t = m v. Auflösen nach K und Einsetzen der Werte ergibt für die Kraft K = 7,2 kg m / sec 2 = 7,2 N Während des Stoßes kann die Kraft vorübergehend ein Mehrfaches dieses Wertes erreichen, aber eben nur für entsprechend kürzere Zeit. Die Maßeinheit "N" steht für die Krafteinheit "Newton". Zum Vergleich: Die Gewichtskraft eines Kilogramms - früher durfte man Kilopond (kp) dazu sagen - beträgt 9,81 N. Durch Einsetzen der Zahlenwerte in Gleichung I.8 erhalten wir für die Gesamtenergie E ges = 0,216 kg m 2 / sec 2 = 0,216 Joule Wie wir wissen, ist die Energie gleich der Kraft K mal dem Weg σ entlang dessen sie wirkt, also E ges = K σ Aufgelöst nach σ errechnet sich der Weg zu σ = E ges / K = ( 0,216 kg m 2 / sec 2 ) / (7,2 kg m / sec 2 ) = 0,030 m BKTTB-08.doc Seite 5 von 16 Seiten

6 Um zu sehen wie sich dieser Weg zusammensetzt und dass alles mit "rechten Dingen" zu geht, rechnen wir die Anteile umständlich über die Beschleunigungen nach. Von der lineare Bahnbeschleunigung b wissen wir b = K / m und es gilt für den während der Beschleunigungszeit zurückgelegten Weg x = b t 2 / 2 Somit erhalten wir für den Weg, den der Schwerpunkt des Balles zurücklegt x = K t 2 / ( 2 m) Einsetzen der Zahlenwerte ergibt x = 0,012 m Analog wissen wir von der Winkelbeschleunigung dω / dt = Ω = r K / J und von dem Winkel ϕ um den sich der Ball während der Beschleunigungszeit dreht ϕ = Ω t 2 / 2 Mit Gleichung I.1 erhalten wir für den Weg s, den der Angriffspunkt der Kraft am Umfang des Balles bezüglich des Schwerpunktes (!) zurücklegt, s = r ϕ = r 2 K t 2 / ( 2 J ) = 3 K t 2 / (4 m) Einsetzen der Zahlenwerte ergibt s = 0,018 m. Also: Während des Kraftstoßes überträgt der Schläger auf den Ball linearen Impuls und Drehimpuls. Außerdem dreht er den Ball an und wickelt - vom Schwerpunkt aus gesehen - an seinem Umfang die Strecke s ab. Gleichzeitig beschleunigt er aber auch den Schwerpunkt, also den Ballmittelpunkt, und bewegt diesen um die Strecke x. Somit arbeitet die Kraft entlang der Strecke σ = x + s = 0,012 m + 0,018 m = 0,030 m. Wir erhalten also auf diesem Weg den gleichen Wert für σ wie oben aus der globalen Betrachtung und wir haben gesehen wie die "Rädchen ineinandergreifen". Der Impuls, den der Schläger an den Ball abgibt, beträgt in diesem Beispiel K t = 0,0216 kg m/sec. Rechnet man für den Schlägerkopf mit einer Masse von M = 0,12 kg so bringt dieser einen Impuls M u = 1,44 kg m/sec mit - also rund das 65-fache des Impulses im Ball. Also: der Impuls im Ball ist klein gegenüber dem Impuls im Schläger (O.K., das ist wirklich nicht überraschend - wir werden es aber brauchen). Wir haben nun folgende Erkenntnisse gewonnen: Wir sehen, dass der Ball bei einem tangentialen Schlag über eine wesentlich längere Strecke mit dem Schläger in Kontakt bleibt als bei einem zentralen Schlag. Die Aussage über die Kopplung von "Spin und Speed" kann wie folgt verallgemeinert werden: Immer dann, wenn sich die Rotation auf Grund einer tangentialen Kraft ändert - also auch wenn sie verringert wird - wird dem Ball ein (linearer) Impuls (und daraus resultierend eine Geschwindigkeit) parallel zu dieser tangentialen Kraft übertragen. Wird eine ankommende Rotation vollständig "herausgebremst" beträgt die synchron mit dem (linearen) Impuls übertragene Translationsenergie 2/3 der ankommenden Rotationsenergie. Alle Aussagen gelten nur für die ideale Hohlkugel - damit aber hervorragend gut für einen Tischtennisball. II. ρ M Als Nächstes müssen wir uns um die Kraftübertragung im realen Fall kümmern. Die folgende Diskussion bezieht sich auf die Erzeugung von Vorwärtsrotation am freien, "ruhenden" Ball. α K 0 α K T K R r Schläger Ball u 0 α u T u R Wenn wir K 0 in einen tangentialen Anteil K T und einen radialen Anteil K R aufspalten können wir, wie die nebenstehende Skizze zeigt, das Drehmoment, das den Drehimpuls überträgt, verstehen als K 0 ρ = K 0 ( r cos α ) oder K T r = ( K 0 cos α ) r Wie wir sehen, führen beide Interpretationen zum gleichen Ergebnis. BKTTB-08.doc Seite 6 von 16 Seiten

7 Nach dem gleichen Schema wie bei den Kräften lassen sich auch die Geschwindigkeiten in einen radialen und einen tangentialen Anteil aufspalten. Aber wie groß muss die radiale Kraft sein? Um eine Vorstellung davon zu bekommen habe ich einen mit verschiedenen Gewichten belasteten halben Ball, auf verschiedene Schläger gelegt und ihn dann mit einem Dynamometer ("Federwaage") an einem dünnen Faden, der nahe dem Berührungspunkt angriff, über die Schlägerbeläge gezogen. Es zeigte sich, dass bei "guten", spinstarken Schlägern deutlich mehr als das Doppelte der Gewichtskraft des Balles erforderlich war um den Ball in Bewegung zu halten. Wir können also den Koeffizienten für Gleitreibung abschätzen zu µ > 2. Die Kraft, um den Ball in Bewegung zu bringen lag erwartungsgemäß noch etwas höher (Haftreibung). Auf Belägen mit langen Noppen hingegen war für das Gleiten nur rund die Hälfte der Gewichtskraft nötig. (Reibungskoeffizient µ 0,5) Anders herum ausgedrückt: Um mit einem spinstarken Schläger in einen Ball eine tangentiale Kraft K T einzuleiten genügt es, wenn weniger als die Hälfte dieser Kraft als Anpresskraft K R vorhanden ist. Wir haben im Grenzfall µ = K T / K R = cotg α und somit α = arc cotg µ Für µ > 2 errechnet sich α < 26,6 Grad. Um eine Vorstellung zu bekommen wie sich eine Veränderung des Reibungskoeffizienten auswirkt nehmen wir an, es gäbe auch einen Schläger mit einem extrem "griffigen" Belag mit µ = 4 so erhielten wir für α = 14,0 Grad Aus dieser Abschätzung können wir folgern, dass es genügt den Schläger um 20 ± 5 Grad aufzudrehen um einem "ruhenden" Ball maximalen Spin mitgeben zu können. Wir nehmen an, dass während des Ballkontaktes das Durchrutschen des Balles am Schläger zu einem Ende kommt und somit die Umfangsgeschwindigkeit u des Balles gleich wird mit u T, dem tangentialen Anteil der Schlägergeschwindigkeit. Die unten stehende Tabelle soll uns helfen eine Vorstellung zu bekommen wie sich die Größen mit dem Winkel α verändern. Wir haben: K T / K 0 = cos α K R / K 0 = sin α K T / K R = cotg α u T / u 0 = cos α u R / u 0 = sin α u T / u R = cotg α Drehwinkel α nach "offen" (rechts) in Grad cos α 1 0,9962 0,9848 0,9659 0,9397 0,9063 0,8660 0,8192 0, cos α in % 0 0,38 1,52 3,41 6,03 9,37 13,4 18,1 54,6 sin α 0 0,0872 0,1736 0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,8910 cos α / sin α = cotg α 11,43 5,67 3,73 2,75 2,14 1,732 1,428 0,510 Die Werte für cotg α in der untersten Zeile entsprechen dem mindestens erforderlichen Reibungskoeffizienten um die Kraft K 0 in den Ball einzuleiten. Die Werte für 1 - cos α in der zweiten Zeile beziffern die Verringerung von u = u T gegenüber u 0 also die Einbuße an Umfangsgeschwindigkeit, die wir hinnehmen müssen um die Kraft in einen "ruhenden" Ball einleiten zu können. Beim realen "tangentialen" Schlag auf einen freien, ruhenden Ball - der also nicht schon angeflogen kommt - und bei Verwendung eines "normalen" Schlägers (µ > 2 und α 25 Grad) kann die Umfangsgeschwindigkeit des Balles schon mehr als 90% der Bahngeschwindigkeit des Schlägers erreichen. (Und beim Rückschlag wird's noch besser, wie wir später sehen werden.) BKTTB-08.doc Seite 7 von 16 Seiten

8 III. Wir erzeugen die Rotation des Balles ja nicht nur um sein Absprungverhalten auf dem Tisch und auf dem Schläger zu beeinflussen, sondern auch um von der veränderten Flugbahn zu profitieren. Auf der Seite des Balles, die in Flugrichtung dreht, entsteht ein Überdruck, auf der gegenüberliegenden Seite ein Unterdruck. Diese Erscheinung heißt Magnuseffekt, benannt nach seinem Entdecker Heinrich Gustav Magnus ( ). Aber wie hängt er von der Rotation und der Geschwindigkeit ab und wie stark ist er? Der Magnuseffekt wird in der Literatur eher stiefmütterlich und nur für Zylinder behandelt. Es wird nicht eingegangen auf den Strömungsabriss an der Rückseite des Balles und auf die Beschaffenheit der Oberfläche. Soviel ist jedoch sicher: Der Über- bzw. Unterdruck ist proportional der Dichte des Mediums und dem Quadrat des Unterschiedes zwischen Bahn- und Umfangsgeschwindigkeit. Für die Druckdifferenz können wir also schreiben: p = c 1 ξ ٠ { (v + u) 2 - (v - u) 2 } = 4 c 1 ξ ٠ v ٠ u Hierbei ist ξ 1,3 kg/m 3 die Dichte der Luft und c 1 eine dimensionslose Konstante, die evtl. auch Oberflächeneigenschaften berücksichtigt. Aus dem Druck wird eine Kraft durch Multiplikation mit der Fläche A auf die er wirkt also K = p ٠ A. Diese Flächen sind in unserem Fall Halbkugeln. Uns interessiert aber nur, was zum Entstehen der Magnuskraft beiträgt. Wir gehen also von dem pragmatischen Ansatz aus A = c 2 ٠ r 2 π Hierbei ist c 2 wiederum eine dimensionslose Konstante. Sie enthält auch zwei Formfaktoren. Einen dafür, dass die Kräfte zwar radial an der Oberfläche angreifen uns aber nur der Anteil interessiert, der senkrecht auf der Fläche aus Bahngeschwindigkeit und Rotationsachse steht. Der zweite Formfaktor berücksichtigt, dass die Umfangsgeschwindigkeit des Balles zu den Durchstoßpunkten der Rotationsachse hin abnimmt. Wir bekommen also für die Magnuskraft im Tischtennisspiel K MTT = 4 c 1 ξ ٠ v ٠ u ٠ c 2 ٠ r 2 π = 4π٠c 1 c 2 ٠ξ r 2 ٠ v ٠ u Nun packen wir alle Größen, die in unserem speziellen Fall konstant sind, zu einer einzigen Konstanten C MTT zusammen, nennen sie die Magnuskonstante im Tischtennis und erhalten K MTT = C MTT ٠ v ٠ u C MTT = 4π٠c 1 c 2 ٠ξ r 2 Die Konstante C MTT hat, wegen ξ und r 2, die Dimension Kg/m. Die Magnuskraft im Tischtennisspiel ist proportional dem Produkt aus Bahngeschwindigkeit und Umfangsgeschwindigkeit. Wichtig: Ist eine der beiden Geschwindigkeiten klein oder null ist auch das Produkt klein oder null. Um dem Magnuseffekt nutzen zu können müssen wir also für ein ausgewogenes Verhältnis von Bahngeschwindigkeit v und der Umfangsgeschwindigkeit u sorgen! BKTTB-08.doc Seite 8 von 16 Seiten

9 IV. Aber wie groß ist denn nun die Konstante C MTT? Ein Experiment mit der Ballmaschine hilft uns weiter. Ein "NEWGY Robopong 2040" wird so eingestellt, dass die Bälle mit Y reiner Seitrotation in einem Bogen nach rechts den Auswurfkopf verlassen, d.h. die Rotationsachse steht senkrecht nach unten auf A j der Ebene der nebenstehenden Skizze. Da die Magnuskraft stets senkrecht zur Flugrichtung wirkt, bewegt sich der Ball auf einer Kreisbahn. Der Ball verlässt die Ballmaschine am Punkt A parallel i zur X-Achse. Während er die Strecke i zurücklegt, wird er um die Strecke j zur Seite abgelenkt. Die Gleichung für einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung R lautet R 2 = x 2 + y 2 Für den Ort des Balles können wir also auch schreiben R 2 = i 2 + ( R - j ) 2 = i 2 + R 2-2Rj +j 2 R = ( i 2 + j 2 ) / 2j (IV.1) Aufgrund der Konstruktion der Maschine sind im Augenblick des Auswurfs Umfangs- und Bahngeschwindigkeit gleich. Die Kraft, die einen Gegenstand auf einer Kreisbahn führt ist die Zentripedalkraft K p = mv 2 /R und sie ist in unserem Fall gleich der Magnuskraft. Wir haben also: mv 2 / R = K p K p = K MTT K MTT = C MTT ٠u٠v u = v Durch Einsetzen erhalten wir: C MTT = m / R Es mag überraschen, dass die Geschwindigkeit des Balles hier keine Rolle mehr spielt!!! Das Experiment zeigt über eine Flugstrecke i = 2,75m eine seitliche Abweichung für die Mehrzahl der Bälle von j = 0, ,26 m. Eingesetzt in Gleichung IV.1 ergibt sich ein Krümmungsradius R von rund 15m und hieraus die Konstante C MTT. X C MTT 180 ٠ 10-6 kg / m Fehlerfaktor ca.1,5 für ca. 70% Um den Aufwand in Grenzen zu halten wurde auf eine statistische Aufarbeitung des Experimentes verzichtet. Der angegebene Fehlerfaktor ist also nur eine Schätzung - vermutlich zur sicheren Seite!!! V. Bevor wir uns ansehen ob dieser Wert mit anderen Beobachtungen am Tisch zusammen passt, wollen wir die Flugbahn von Bällen in einem speziellen Fall betrachten. Der Abschlagpunkt A für den Ball sei nur wenig höher oder tiefer als der Auftreffpunkt B auf dem Tisch, jedenfalls sei die Höhendifferenz klein gegenüber der Höhe h, N die der Ball während der Zeit τ zunächst aufsteigt und dann in der h Netz G gleichen Zeit wieder sinkt. Während A der Flugzeit t legt der Ball die Strecke L zurück. (Um Verwechslungen Tisch L B vorzubeugen wird der Großbuchstabe verwendet.) Zur Erdbeschleunigung g addiert sich bei Vorwärtsrotation und positivem u die Beschleunigung a aus dem Magnuseffekt zur Gesamtbeschleunigung b. Wir haben also diese Beziehungen: K MTT = C MTT ٠u٠v b = g + a K MTT = a ٠ m h = bτ 2 / 2 t = 2τ L = v ٠ t Durch Einsetzen erhalten wir C MTT ٠ u٠v = K MTT = m٠a = m ( b - g ) = m (2h / τ 2 - g ) = m (2h / (t 2 / 4) - g) C MTT ٠ u٠v = m ( 8h / t 2 - g ) (V.1) C MTT ٠ u٠v = m ( 8 h v 2 / L 2 - g ) Zunächst wollen wir uns vergewissern wie brauchbar unsere Konstante C MTT ist, indem wir sie an den Messungen bei Überschnittaufschlägen prüfen. (V.2) BKTTB-08.doc Seite 9 von 16 Seiten

10 Wir spielen also einen freien, vor dem Schlag nicht sehr schnellen Ball mit Überschnitt. Wie wir aus GL I.4 ersehen, könnte im theoretischen Grenzfall die Umfangsgeschwindigkeit u des Balles das 1,5-fache der Mittelpunktsgeschwindigkeit v erreichen. u wird aber hinter diesem Wert zurückbleiben weil wir Anpresskraft erzeugen müssen wir einen kleinen Sicherheitszuschlag einrechnen müssen und der Ball beim ersten Tischkontakt an Rotationsenergie verliert und an Geschwindigkeit zunimmt. Wenn wir alle Einflüsse abschätzen und zusammen nehmen dürfte für den Ball bei seinem Flug über dem Tisch in etwa gelten u 1,1 v bzw. v 0,9 u Die Flugzeit zwischen den beiden Tischkontakten bei einem Überschnittaufschlag ist kaum unter 0,28 sec zu drücken, auch nicht bei einer minimalen Flughöhe h = 0,16m über dem Netz. Der Startpunkt A der uns interessierenden Flugstrecke liegt jetzt auf dem Tisch, unmittelbar hinter der Tischkante. Wir haben also folgende Werte: m = 2,7٠10-3 kg g = 9,81 m/sec 2 t = 0,28sec h = 0,16m L = 2,7m v = c٠ u c = 0.9 Wir formen V.1 um und erhalten C MTT = { m / ( u٠v )} ٠ ( 8h / t 2 - g ) = ( c٠m / v 2 ) ٠ ( 8h / t 2 - g ) = (c٠m/l 2 ) ٠ ( 8h - g٠t 2 ) Einsetzen der Zahlenwerte ergibt C MTT = 170,2 kg/m. Die gute Übereinstimmung mit dem Wert aus dem Experiment mit der Ballmaschine darf keinesfalls überbewertet werden!!! Sie zeigt lediglich, dass die Größenordnung vermutlich richtig ist. VI. Wir wollen uns einen Überblick verschaffen über das Zusammenspiel von u und v. Dazu bleiben wir zunächst noch beim Überschnittaufschlag wegen seiner Übersichtlichkeit. Wir stellen die Gleichung V.2 nach u = f ( v ) um und erhalten u = m / C MTT { (8 h / L 2 ) ٠ v - g / v } = {8 m h / (C MTT L 2 )} ٠ v - (m g / C MTT ) ٠ 1 / v Hierbei sind: m = 2,7٠10-3 kg g = 9,81 m/sec 2 (VI.1) h = 0,16m L = 2,7m C MTT = 180 ٠ 10-6 kg / m In der Gleichung VI.1 ist u somit die Umfangsgeschwindigkeit die nötig ist, um den Ball nach 2,7 Meter, also noch vor Ende des Tisches, wieder auf Tischniveau herunter zu bringen. Bei kleiner Bahngeschwindigkeit genügt die Schwerkraft aber mit steigender Bahngeschwindigkeit muss zunehmend der Magnuseffekt helfen. Am besten sehen wir uns die Beziehungen aus der Gleichung VI.1 in einer Grafik an. Umfangsgeschwindigkeit u in m/sec 20,0 15,0 10,0 5,0 Minimum für Platzierung Theoretischer Grenzwert u = 1,5 v Erreichbarer Wert u = 1,1 v 0,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 Bahngeschw indigkeit v in m/sec Aufgetragen sind horizontal die Bahngeschwindigkeit v des Balles und vertikal der Anteil der Umfangsgeschwindigkeit der zur Vorwärtsrotation und damit zum Abtrieb beiträgt. BKTTB-08.doc Seite 10 von 16 Seiten

11 Die obere, unterbrochene Linie zeigt die theoretisch höchstmögliche Umfangsgeschwindigkeit, die bei einem idealen tangentialen Schlag zusammen mit der Bahngeschwindigkeit entsteht, die aber, wie wir oben gesehen haben, in der Praxis kaum erreicht werden kann. Die strichpunktierte Linie darunter zeigt die Umfangsgeschwindigkeit, die bei einem Überschnittaufschlag gut erreichbar sein sollte. Die durchgezogene Linie zeigt die Umfangsgeschwindigkeit u aus der Gleichung VI.1 für L = 2,7m. Sie schneidet die beiden anderen Linien bei v = 9,8 m/sec bzw. bei v = 11,4 m/sec. Dies ist nur eine Zahlenbeispiel! Die absoluten Zahlenwerte hängen von der Wahl der Größen h, L und C MTT ab. Auch kann man den Grad der Abstraktion durch das mathematische Modell hinterfragen weil wir z.b. den Luftwiderstand nicht berücksichtigen. In jedem Fall ist das Modell aber geeignet, die grundlegende Problematik aufzuzeigen. In dem vorliegenden Zahlenbeispiel würde der Ball also mit v = 9.8m/sec und u = 10,8m/sec noch den Tisch erreichen. Nimmt man an, man könnte durch besondere Maßnahmen - bessere Technik, besseres Schlägermaterial - das Verhältnis u / v noch etwas steigern, dann könnte der Ball auch noch bei einer Bahngeschwindigkeit von ca. 10, ,8 m/sec den Tisch treffen. Der Gewinn an Geschwindigkeit läge aber doch nur im Bereich weniger Prozent. Bei noch höherer Bahngeschwindigkeiten sinkt die Chance, den Tisch noch zu erreichen, rapide und ab v = 11,4 m/sec geht der Ball immer ins Aus. Der Spielraum für v und u ist also nicht sehr groß. Bei dem Bemühen um möglichst schnelle Bälle ist das vorrangige Ziel also die Erzeugung von Rotation. Bis hierher haben wir uns mit dem Überschnittaufschlag beschäftigt. Die Betrachtung stimmt auch noch recht gut für einen Topspin, der in unmittelbarer Nähe zur eigenen Grundlinie abgeschlagen wird. Hierbei können wir sogar sehr dicht an die Grenze u = 1,5 v herankommen. Mit steigender Höhe des Abschlagspunktes entspannt sich dann die Situation zunehmend und oberhalb der Ebene, die aufgespannt wird von der gegnerischen Grundlinie G und der Oberkante des Netzes N ("Schussebene" - siehe obige Skizze), sind wir von allen Beschränkungen hinsichtlich v und u frei. Dann müssen wir nur noch gut zielen. Zur Abrundung können wir noch abschätzen bei welchen Geschwindigkeiten ein Unterschnittball anfängt "abzuheben". Wir sehen in Gleichung V.2 h 0 bzw. L gehen und erhalten u ٠ v = m ٠g / C MTT Das Minuszeichen steht für die Rückwärtsrotation! Wir setzen "großzügig" die Beträge (!) von u und v gleich, verwenden die Konstanten von oben und erhalten v = u = mg /CMTT 12 m/sec Das sind die ungefähren Werte für den Augenblick des Abschlags. Doch der Luftwiderstand zehrt an u und v und bald hat ihn die Erde wieder. VII. Mit der Erkenntnis, die wir uns bisher erarbeitet haben, wenden wir uns dem Rückschlag zu. Wir betrachten zunächst den Fall, der uns aus den Abschnitten V. und VI. bekannt ist, bei welchem der Ball von einem niedrigen Abschlagspunkt - höchstens halbe Netzhöhe - gespielt werden muss, bei dem also das Verhältnis von Umfangs- zu Bahngeschwindigkeit kritisch ist. Erst später erweitern wir die Betrachtung auf höhere und hohe Abschlagspunkte. Wenn nichts anders gesagt wird, schwebt uns immer der Fall Topspin gegen Topspin vor Augen. Der Ball kommt angeflogen mit dem (linearen) Impuls P r = m٠ v r. P r und v r sind gleich gerichtete Vektoren, verknüpft durch das Skalar der kleinen Masse m des Balles. Die Masse des Schlägers ist dagegen wenigstens 50-mal größer. Wir machen also nur einen vernachlässigbaren Fehler, wenn wir den Schläger wie eine "massive Wand" behandeln und ihn nicht in die Impulszerlegung mit einbeziehen. Dann können wir auch - der Anschaulichkeit wegen - statt vom Impuls nur von der Geschwindigkeit des Balles sprechen, und zu guter Letzt verzichten wir auch noch auf den Pfeil über dem Buchstaben v. BKTTB-08.doc Seite 11 von 16 Seiten

12 Wir können uns solche Vereinfachungen nur erlauben, wenn wir über die Richtungen aus anderer Quelle Bescheid wissen. Impulszerlegung und die Energiebilanz müssen gleichzeitig beachtet werden. Die Darstellung des Rückschlagereignisses beruht auf Schätzungen und Annahmen. Sie kann also nur beispielhaft und qualitativ sein! Dennoch zeigt sie die grundlegenden Zusammenhänge! v A1 γ Flugbahn des eintreffenden Balles Betrag von u A2 = u AG v AG v A2 Schläger v E2 γ γ -v E2 v EG v E0 v E1 Nur der Übersichtlichkeit wegen trifft der Ball in unserer Zeichnung am höchsten Punkt seiner Flugbahn auf den Schläger. Alle Winkel beziehen sich auf die Flugrichtung des Balles! Der Schläger sei im Augenblick noch in Ruhe! Der Ball trifft ihn unter dem Winkel γ mit der Geschwindigkeit v E0. Die Geschwindigkeit zerlegen wir in einen Anteil v E1 parallel zum Schlägerblatt und einen Anteil v E2 senkrecht dazu. Anders als bei v E1 kehrt sich die Richtung von v E2 um zu -v E2. Träte beim Kontakt mit dem Schläger kein Energieverlust auf, würden sich v E1 und -v E2 zu einem Geschwindigkeitsvektor addieren der den Betrag von v E0 hätte aber um den Winkel γ zur anderen Seite des Schlägerblattes zeigte oder, anders ausgedrückt, nur die Richtung hätte sich um den Winkel 2γ geändert. Mangels besserer Information und um die Situation übersichtlich zu halten, gehen wir davon aus, dass die beide Geschwindigkeitskomponenten v E1 und -v E2 um den gleichen Faktor - in unserem Beispiel ca. 0,7 - geschwächt werden. Der resultierende Vektor aus der Zerlegung der ankommenden Bahngeschwindigkeit v EG behält damit den Winkel γ zum Schläger bei. Bei der Richtungsumkehr von v E2 zu -v E2 entsteht eine Anpresskraft, die vom Winkel γ abhängt. Sie ersetzt teilweise oder vollkommen die Anpresskraft, die im Fall des ruhenden Balles (Abschnitt II.) durch das Anstellen des Schlägerblattes erreicht wurde. Wir benötigen jetzt nur noch einen äußerst kleinen oder gar keinen Anstellwinkel mehr und können mit hervorragender Näherung von einer tangentialen Krafteinleitung ausgehen. Als nächstes müssen wir uns um die Rotation kümmern. Im Falle Topspin gegen Topspin verlässt der Ball den Schläger mit umgekehrter Rotation. (Die Rotationsumkehr findet statt hinsichtlich eines äußeren Bezugssystems, nicht etwa hinsichtlich der Flugrichtung des Balles!) Um die Rotation, oder genauer den zugrunde liegenden Drehimpuls zu ändern bedarf es eines Drehmomentstoßes und diesem liegt eine dezentrale, z.b. tangentiale, Kraft zugrunde. Es ist unerheblich woher diese Kraft kommt und ob sie z.b. unter Mithilfe der elastischen Verschiebung des Belages zustande kommt oder nicht. In jedem Fall wirkt diese Kraft auch auf den Massenmittelpunkt und erzeugt daher einen linearen Impuls und damit Bahngeschwindigkeit. Wir haben diesen Sachverhalt im Abschnitt I. bereits ausführlich behandelt. Manche werden sich mit dieser globalen Betrachtung nicht zufrieden geben. Für sie werden wir also etwas mehr ins Detail gehen. Die Rotation des ankommenden Balles kommt in Kontakt mit dem Schlägerbelag. Hierdurch entsteht eine Kraft, die den Schlägerbelag zur Seite zu drücken versucht und dabei einen tangentialen Kraftstoß auf den Ball ausübt, der die Rotation vermindert. Bis der Kraftstoß die Rotation auf Null abgebremst hat, hat er dem Ball einen linearen Impuls erteilt, der den Anteil v A1 an der Bahngeschwindigkeit erzeugt. Dabei sind 2/3 der ankommenden Rotationsenergie in Translationsenergie umgewandelt worden. Das restliche Drittel der Rotationsenergie steck noch in der Deformation (seitlichen Verschiebung) des Schlägerbelags. Hierdurch erfährt der Ball weiterhin einen tangentialen Kraftstoß der nun zu 2/5 in weitere Translation (v + ) und zu 3/5 in die neue Rotation (u + ) umgewandelt wird. BKTTB-08.doc Seite 12 von 16 Seiten

13 Verwenden wir die Gleichungen aus Kapitel I. und hat der ankommende Ball die Umfangsgeschwindigkeit u 0 so erhalte wir E kin+ = 1/2 m v + 2 = 1/3 2/5 1/3 m u0 2 = 2/45 m u0 2 E rot+ = 1/3 m u + 2 = 1/3 3/5 1/3 m u0 2 = 3/45 m u0 2 und es folgt v + = 4 / 45 u 0 0,298 u 0 u + = 9/ 45 u 0 = 1 / 5 u 0 0,447 u 0 In der Praxis dürften diese Werte allerdings merklich geringer ausfallen, denn wir haben keine Verluste durch Reibung in und an den Belägen berücksichtigt! Insgesamt wirkt der Vorgang wie eine Erhöhung der tangentialen Schlägergeschwindigkeit und unterstützt so die aktive Schlagbewegung. Der Übersichtlichkeit wegen werden wir ihn als deren Bestandteil betrachten. Technisch schwache Spieler werden diese Unterstützung besonders schätzen. Wir setzten jetzt durch eine aktive Bewegung des Schlägers den Kraftstoß noch weiter fort, bis wir dadurch u A2 an Umfangsgeschwindigkeit und damit ebenfalls neu den Anteil v A2 an Bahngeschwindigkeit erzeugt haben. Für diesen Anteil des Schlages gelten die Überlegungen, die wir vom Überschnittaufschlag her kennen, sogar mit dem Vorteil, dass wir uns normalerweise nicht mehr um die Anpresskraft kümmern müssen und somit das theoretische Verhältnis u / v = 1,5 erreichen können. Gegen die Summe aus den Bahngeschwindigkeiten v A1 + v A2 können wir den nach hinten unten umgeleiteten Anteil der ankommenden Bahngeschwindigkeit v EG aufrechnen und erhalte schließlich v AG als resultierende Bahngeschwindigkeit. Bezüglich der Beträge(!) der Geschwindigkeiten in der obigen Darstellung des Rückschlags liegt die Annahme zugrunde, dass der Ball mit gleichgroßen Anteilen v E0 und u E0 ankommt. v E0 schrumpft wegen der Dämpfung im Schläger auf etwa 2/3 zu v EG. Dieses ist während des Spieles nur in seiner Richtung beeinflussbar. Die "Abbremsung" von u E0 verursacht das 2/3 so große v A1. Dieses ist gar nicht beeinflussbar. Die Beträge der Geschwindigkeiten v EG und v A1 würden sich in diesem Fall ziemlich genau ausgleichen. Wie wir bei der Diskussion des Überschnittaufschlags gesehen haben, sind wir an einem möglichst großen Wert für das Verhältnis u / v für den abfliegenden Ball interessiert, weil wir dann - und nur dann - mit großen Absolutwerten dieser beiden Größen spielen können. Die Umfangsgeschwindigkeit der abgehenden Rotation u AG stammt allein aus u A2. Also: u AG = u A2. Hat der ankommende Ball wenig Rotation entsteht nur ein kleines v A1 beim "Herauszubremsen" der Rotation. Ist er dann auch noch schnell bekommen wir ein großes v EG mit dem wir v A1 ausgleichen, evtl. sogar etwas überkompensieren können. Jetzt können wir "unseren" Topspin spielen mit Werten für u AG / v AG um 1,5 und vielleicht sogar darüber. Kommt hingegen ein relativ langsamer Ball mit sehr viel Rotation, ein sogenannter "weicher Topspin", dann entsteht auch sehr viel v A1 und wir haben nur wenig ankommende Bahngeschwindigkeit v EG zur Kompensation. Das Verhältnis u AG / v AG des abfliegenden Balles ist dann eher kleiner als 1,5. Wenn wir den Topspin jetzt "normal" spielen erhöht sich die Gefahr, dass der Ball hinter dem Tisch verschwindet. In allen Fällen ist ein großes v EG hilfreich. Wenig Energie verzehrende, "schnelle" Schläger sind also von Vorteil. Bis hierher haben wir nur die Fälle betrachtet, bei welchen die Höhe des Abschlagpunktes nahe dem Tischniveau lag. Wie wir schon im Abschnitt V. gesehen haben, sind wir von den Zwängen, die uns u und v bisher auferlegt haben dann frei, wenn die Höhe des Abschlagspunktes auf oder über der "Schussebene" liegt. Das ist die Ebene, die aufgespannt wird von der gegnerischen Grundlinie und der Netzoberkante. Für die Höhen dazwischen gibt es einen fließenden Übergang. Mit zunehmender Höhe des Abschlagpunktes können wir den Schläger weiter aufdrehen und den zentralen Anteil am Schlag und damit die Geschwindigkeit des Balles erhöhen. In unmittelbarer Umgebung der Schussebene sollte man aus Sicherheitsgründen immer noch mit etwas Schnitt spielen. Auch erhöht sich hierdurch die Zeit für den Kontakt zwischen Ball und Schläger und damit die Möglichkeit, den Ball zu führen. Wenn man wollte, könnte man den Schuss als Spezialfall des Topspins verstehen. BKTTB-08.doc Seite 13 von 16 Seiten

14 Sollte jemand einen Weg suchen, "fantasielose Topspinschlägereien" zu erschweren, kennt er jetzt das geeignete Mittel: die deutliche Vergrößerung der Netzhöhe. VIII. Um die Effekte, die beim Ball-Schläger-Kontakt ein Rolle spielen, werden häufig fantastische Geschichten gesponnen wenigstens zum Teil, um eine Quelle für wohltönende Werbesprüche am sprudeln zu halten. Vordergründig interessieren vor allem zwei Merkmale: Wie viel Spin kann ich mit einem tangentialen Schlag erzeugen? Wie "schnell" ist der Schläger? Gemeint ist dabei jedoch nicht die Geschwindigkeit des Schlägers selbst, sondern die eines Balles, der von einem solchen Schläger senkrecht zurückspringt. Die nähere Betrachtung zeigt jedoch einen außerordentlich komplexen Vorgang. Der Schläger ist ein passives Element. Er überträgt auf den Ball lediglich die Energie, die aus der Bewegung des Spielers und/oder aus der Energie des ankommenden Balles stammt. Beim Kontakt des Balles mit dem Schläger laufen nichtkonservative, also energieverzehrende Prozesse ab. Diese betreffen alle beteiligten Komponenten: das Holz, den Belag und den Ball. "Das Holz ist die Seele des Schlägers". Diese "alte Weisheit" besagt, dass das Holz die Grundschnelligkeit des Schlägers bestimmt; die Beläge haben erst zweitrangigen Einfluss. Damit die energieverzehrenden Verformungen im üblicherweise weicheren Kern des Holzes klein bleiben, müssen die oberen Schichten die auftretenden Kräfte über eine möglichst große Fläche verteilen. Sperrholz vom Baumarkt vermag das nicht. Schläger aus solchem Material sind Gift für Anfänger weil sie zum "Prügeln" zwingen und damit die Entwicklung einer sauberen Schnittschlagtechnik verhindern. Gelegentlich werden solche unbrauchbaren Schläger mit Formulierungen wie "Kontrolle über alles" beworben. Bei der Betrachtung der Deformation der Beläge spricht vieles dafür, dass die Energieverluste um so größer sind, je stärker die relative Verformung der elastischen Medien ist. D.h. bei einem bestimmten Ballkontakt ist die Kompression eines dicken Schwammes relativ geringer als die eines dünnen. Das unterstützt die allseits akzeptierte Beobachtung, nach welcher dicke Schwämme "schneller" sind als dünne. Die relativen Verluste dürften außerdem um so größer sein, je größer die auftretenden Kräfte sind (Powerplay. Siehe auch unten "Deformation der Bälle"). Durch die Deformation des Belages wird die Kontaktfläche zwischen Ball und Belag vergrößert. Es gibt indes keinen Hinweis darauf, dass sich dadurch der Reibungskoeffizient verändern könnte. Gleichzeitig erhöht sich der Umschlingungswinkel. Dieser verbessert zwar die Krafteinleitung in den Ball, wirkt aber letztlich nur wie ein stärkeres Anstellen des Schlägerblattes. Die Vergrößerung der Kontaktfläche und des Umschlingungswinkels wirken beide zugunsten der Spinstärke des Schlägers. Klebrige Beläge verzehren beim wieder Ablösen des Balles einen kleinen, im Allgemeinen jedoch vernachlässigbaren Energiebetrag. Die fraglichen Effekte sind nicht nur kraft- bzw. druckabhängig sondern allem Anschein nach auch noch winkelabhängig (Siehe auch [1]). Dies verwundert nicht angesichts des stark asymmetrischen Aufbaus der zur Zeit üblichen Beläge, die, soweit mir bekannt ist, alle Noppen haben, innen oder außen. Die Effekte können sich besonders zu kleinen Einfallswinkeln hin also solchen von wenigen Grad zur Oberfläche besonders ausprägen. Allgemein gilt: je spinstärker ein Schläger in einer gegebenen Situation ist, desto mehr wirkt sich die Rotation des ankommenden Balles an ihm aus. Noppenbeläge gehören überwiegend zu den eher spinschwachen Belägen. Die Rotation eines ankommenden Balles kann teilweise erhalten bleiben, hat dann aber nach dem Kontakt mit dem Schläger wegen der umgekehrten Flugrichtung umgekehrte Wirkung. D.h. aus einem starken Topspinball wird nach dem Kontakt mit einem Noppenschläger in der Regel ein Ball mit mittelstarker Rückwärtsrotation. Darauf muss sich der Topspinspieler einstellen. Ein Ball, der mit Rotation auf dem Schläger ankommt, wird in jedem Fall die Oberfläche das Belages gegenüber dem Holz seitlich verschieben. Wie winzig oder groß dieser Effekt auch sein mag, hat die zwischengespeicherte Energie dennoch bei einem aktiven Spiel keinen qualitativen(!) Einfluss auf die Merkmale des abfliegenden Balles. Gleichwohl hat sie in definierten Grenzen das Potenzial, wie eine Erhöhung der Tangentialgeschwindigkeit des Schlägers zu wirken. (Siehe auch die Diskussion des Rückschlags im Abschnitt VII.) In der Vergangenheit wurden solche Effekte durch spezielle Techniken noch gefördert wie z.b. der des Frischklebens. BKTTB-08.doc Seite 14 von 16 Seiten

15 Messungen von Tiefenbacher [1] aus dem Jahre 1993 können so gedeutet werden, dass bei hohen Relativgeschwindigkeiten zwischen Ball und Schläger die Energieverluste durch die Deformation des Balles die Energieverluste durch die Deformation des Belages übertreffen (Powerplay!). Es ist vorstellbar, dass ein dickerer Belag, mit einem in der Härte optimierten Schwamm zu einer besseren Einbettung, einer geringeren Deformation des Balles und damit zu einer Verbesserung der Energiebilanz des gesamten Systems führt. Die Deformation des Balles behindert das Abrollen des Balles. Außerdem verringert sie den "Hebelarm" für die Erzeugung des Drehimpulses und wirkt so ähnlich wie ein stärkeres Anstellen des Schlägerblattes. Hier könnten die Gründe dafür zu finden sein, warum ambitionierte Spieler auf harte, d.h. sich weniger deformierende, Bälle Wert legen. Besonders schwer zu fassen ist die Schlägereigenschaft, die mit "Kontrolle" umschrieben wird. Der Begriff suggerieret, der Spieler habe die Möglichkeit, während des Schläger-Ball-Kontaktes eine letzte Korrektur an Flugrichtung, Geschwindigkeit und Spin des abfliegenden Balles vorzunehmen. Nach meinem Wissensstand liegt die Kontaktzeit im Bereich weniger Millisekunden und ist daher einfach zu kurz für eine aktive Korrektur. Vielmehr dürfte es sich ganz wesentlich um ein subjektives Empfinden handeln. Einerseits möchte der Spieler den Ball am Schläger spüren. Er braucht dieses "Erlebnis", um sein Timing und sein "Gefühl" für die nächsten Schlägen zu festigen. Er möchte aber auch nicht den Eindruck bekommen, der Ball würde ein "Eigenleben" entwickeln. Hierbei dürften auch die Spitzenwerte und der zeitliche Verlauf der gespürten Kräfte sowie die Masse des Schlägers und seine Verteilung ("Balance") eine wichtige Rolle spielen. Für die Leistungsfähigkeit des Schlägers gibt es also eine harte Obergrenze. Sie ist erreicht, wenn -- das Holz keine Energie verzehrt -- es zu keinem Schlupf zwischen Ball und Belag kommt und -- der Belag bei Pressung und Scherung keine Energie verzehrt. Gute Wettkampfschläger erreichen heute in all diesen Punkten hohe Werte, sodass für "sensationelle" Verbesserungen kein nennenswerter Spielraum mehr vorhanden sein dürfte. Wir sind am Ende der Ausführungen angekommen. Ich habe die Gesichtspunkte gestreift, die nach meiner Ansicht die Basis bilden für das Verständnis des Geschehens beim Tischtennisspiel. Mit dem erarbeiteten Rüstzeug, entsprechend angewandt, ist es auch möglich Schupfduelle und Schnittwechsel zu verstehen. Und das haben wir geleistet: -- Wir können Rotation und Geschwindigkeit in geeigneter Weise in Vektoren zerlegen, die uns die Interpretation erleichtern. Wir verstehen, dass bei der Veränderung von Rotation zwangsläufig auch Translation erzeugt wird. Wir haben ein Vorstellung über die Größenordnung von Impuls und Energie in einem Ball und der beim Ball-Schläger-Kontakt auftretenden Kraft bekommen. Wir haben eine Vorstellung über den Gleitreibungskoeffizienten am Schläger und die daraus folgenden Bedingungen für die Krafteinleitung in den Ball. Wir haben uns eine tischtennisspezifische Beziehung erarbeitet wie die Magnuskraft von Bahn- und Umfangsgeschwindigkeit des Balles abhängt. Wir haben einen Zahlenwert für eine überschlägige Berechnung des Magnuseffekts gemessen. Wir haben diesen Wert mit Beobachtungen aus dem realen Spiel verglichen. Wir verstehen das Zusammenspiel von Umfangs- und Bahngeschwindigkeit in ausgewählten, kritischen Fällen. Wir haben uns die Vorgänge beim Rückschlag veranschaulicht. Wir haben über das komplexe Problemen der Tischtennisschläger "philosophiert". BKTTB-08.doc Seite 15 von 16 Seiten