WS 2009/10. Diskrete Strukturen

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1 WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel II - Grundlagen Mathematische und notationelle Grundlagen Mengen Relationen und Abbildungen Aussagen- und Prädikatenlogik Beweismethoden Wachstum von Funktionen 2

3 Programme brauchen mehr Ressourcen (Zeit, Speicher, ) je größer ihre Eingabe wird (gemessen z.b. in bits). Die Laufzeit (Speicherverbrauch) wird durch eine Funktion f(x) dargestellt, mit f(x) das Maximum der Laufzeiten des Programms über alle Eingaben der größe x. Wir sind an einer Abschätzung des Wachstums von f(x) interessiert. Wenn f(x) schneller wächst als g(x), dann wird f(x) immer irgendwann größer als g(x) werden (für ausreichend große Werte von x). 3

4 Beispiel: Eine Web-Seite soll entwickelt werden, die Benutzerdaten bearbeitet. Programm A benötigt f A (n)=140n+500 Mikrosekunden um n Einträge zu bearbeiten. Programm B benötigt f B (n)=n 2 +20n+2500 Mikrosekunden für n Einträge. Welches Programm soll verwendet werden? 4

5 Wert der Funktion Kapitel II Grundlagen; Wachstum Eine kleine Berechung zeigt: f A (n)=140n+500 Für 20 n 100 ist n 2 +20n n f B (n)=n 2 +20n wachsendes n

6 Die multiplikativen Konstanten 140, 1, 20, und die additiven Konstanten 500, 2500 sind meistens schwer zu bestimmen (und abhängig von Einzelheiten der Implementierung). Oft ist nur bekannt: Programm A braucht an + b Mikrosekunden Programm B braucht cn 2 + dn + e Mikrosekunden für nicht allzu große Konstanten a,..., e. Wichtig ist nun: unabhängig von den Werten von a,,e gibt es immer eine Zahl n 0 so dass ab n 0 Daten das Programm A schneller ist als B. Die Zahl selbst hängt von a,,e ab, aber sie existiert 6 immer!

7 Wir sagen, dass f A (n) langsamer als f B (n) wächst: ab einem gewissen Punkt liegt f A (n) stets unter f B (n) Wir führen die Groß-O-Notation ein, um diesen Sachverhalt zu formalisieren. Diese wurde von Paul Bachmann ( ) entwickelt, von Edmund Landau ( ) verbreitet, und von D. E. Knuth in der Algorithmenanalyse eingeführt Das O wird auch Landau Symbol genannt. Informell ist O(f) die Menge der Funktionen, die langsamer oder so schnell wie f wachsen. Die genaue Definition kommt auf der nächsten Folie. 7

8 Def. (Groß-O-Notation): f( n) Ο( g( n)) genau dann, wenn 0 0 c 0, n,so dass n n f( n) c g( n) f wächst bis auf einen konstanten Faktor nicht schneller als g 8

9 Warum f(n) c g(n) statt f(n) g(n)? Nehmen wir an, f(n) = an+b g(n) = cn+d für Konstanten a,,d. Wir wollen f und g als Funktionen betrachten, die genau so schnell wachsen. Mit der Definition auf der vorigen Folie gilt f 2 O(g) und g 2 O(f). 9

10 Beachte O(g) ist eine Menge von Funktionen. Statt f O(g) sagt man auch : f ist höchstens von der Ordnung g, oder f ist O(g), oder (unsauber) f = O(g) 10 Meistens werden nur Funktionen N 0 N 0 betrachtet (oder N N 0 ), dann ist der Absolutbetrag überflüssig. Manchmal werden auch Funktionen von R R oder das Verhalten für x a betrachtet.

11 Veranschaulichung der Groß-O-Notation: c g(n) f(n) n 11 n 0

12 Veranschaulichung der Groß-O-Notation: c g(n) f(n) n 12 n 0

13 Def. (Klein-O-Notation): f( n) o( g( n)) genau dann, wenn 0 0 c 0, n, so dass n n f( n) c g( n) f wächst echt langsamer als g 13

14 Def. (Groß-omega-Notation): f( n) Ω( g( n)) genau dann, wenn 0 0 c 0, n, so dass n n f( n) c g( n) 0 f wächst bis auf einen konstanten Faktor nicht langsamer als g 14

15 Def. (Klein-Omega-Notation): f( n) ω( g( n)) genau dann, wenn 0 0 c 0, n, so dass n n f( n) c g( n) f wächst echt schneller als g 15

16 Veranschaulichung der Klein-Omega-Notation: f(n) c g(n) n 16 n 0

17 Def. (Groß-Theta-Notation): f ( n) Θ( g( n)) genau dann, wenn f ( n) Ο( g( n)) und f ( n) Ω( g( n)) f wächst (bis auf konstante Faktoren) genauso schnell wie g. Die Funktion f wird sowohl von oben als auch von unten durch g beschränkt. 17

18 Veranschaulichung der Groß-Θ-Notation: c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) n 18 n 0

19 Beispiel Zeige, dass f(n) = 30n+8 O(n). Wir müssen also zeigen, dass c,n 0 : n>n 0 : 30n+8 cn. Annahme: c = 31, n > n 0 =8. 19 Daraus folgt: cn = 31n = 30n + n > 30n+8.

20 Wert der Funktion Kapitel II Grundlagen; Wachstum Beachte, dass 30n+8 nicht überall kleiner als 31n ist. Aber es ist kleiner als 31n für n > 8. cn = 31n 30n+8 n 20 n>n 0 =8 wachsendes n

21 Beispiel Zeige, dass f(n) = n 2 +1 O(n 2 ). Wir müssen also zeigen, dass c,n 0 : n>n 0 : n 2 +1 cn 2. Annahme: c = 2, n > n 0 =1. 21 Daraus folgt: cn 2 = 2n 2 = n 2 +n 2 > n 2 +1.

22 Behauptung n Für Polynome f( x) a x gilt f( x) O x. i 0 i i n 22

23 Behauptung Beweis 23 Für Polynome f( x) a x gilt f( x) O x. i 0 n n n i i i 0 i 0 x 1 : f ( x) a x a x i i n n n i n n = x ai x x ai i 0 i 0 i i : c n

24 Eine Funktion ist O(g) wenn Konstanten c und n 0 existieren, die die Bedingung erfüllen. Aber, die speziellen Werte von c und n 0, die die Bedingung erfüllen, sind nicht eindeutig; jeder Wert größer als c und/oder n 0 erfüllt die Bedingung auch. In der Regel sind wir jedoch nicht daran interessiert, die kleinsten Werte von c und n 0 zu finden. 24

25 Bemerkungen zur O-Notation. O( ), als Relation gesehen, ist transitiv: f O(g) g O(h) f O(h) Wenn g O(f) und h O(f), dann ist g+h O(f). c>0: O(cf) = O(f+c) = O(f c) = O(f). f 1 O(g 1 ) f 2 O(g 2 ) f 1 f 2 O(g 1 g 2 ) f 1 +f 2 O(g 1 +g 2 ) = O(max(g 1,g 2 )) = 25 O(g 1 ) wenn g 2 O(g 1 )

26 Behauptung: n! O(n n ). Beweis: n N: n! = n (n-1) 2 1 < 1 n n. 26

27 Behauptung: log b n! O(n log b n) Beweis: n,b N, b 2 : log b n! = log b n + log b (n-1)+ + log b 1 1 n log b n 27

28 Behauptung: 2 n 2 o(2 2n ) Beweis: Zu zeigen: 8 c>0 9 n 0 2 N 8 n n 0 : 2 n < c 2 2n Sei c>0 beliebig. Wähle n 0 = 1+log(1/c). Sei nun n n 0 beliebig: c 2 2n = c 2 n 2 n c 2 n 0 2 n = c 2 (1/c) 2 n > 2 n 28

29 Behauptung: Beweis: (8n > 0) " n 1 X k=1 ln k < n! = O n + 1) e ( n e )n Z n 1 ln x dx < nx ln k < k=2 Z n+1 1 ln x dx # 29

30 Es gilt Z n 1 ln x dx = x ln x x n 1 = n ln n n + 1 und Also Z n+1 1 ln x dx = (n + 1) ln(n + 1) n 8n 2 N n ln n n + 1 < ln n! < (n + 1) ln(n + 1) n und damit oder ³ n e e n n e n 1 n! (n + 1) n+1 e n n ³ µ n n n! (n + 1) n (n + 1) e e n ³ n e n 30

31 Auch ausserhalb der Analyse des Wachstumsverhaltens von Funktionen wird die O-Notation verwendet. 31 z.b., zur Abschätzung von Termen, die nicht besonders wichtig sind. Wenn O(g) als Term in einem arithmetischen Ausdruck verwendet wird bedeutet dies: eine Funktion f aus der Menge der Funktionen y(n) + O(g(n)) := {y (n) : ( f(n) O(g). O(g(n)): y (n) = y(n) + f(n))}

32 Beispiel (Formel zur Annäherung für die Fakultät): n n 1 1 n! 2 n 1 O e 12 n n 2 32 Der letzte Term ist für alle n > n 0 kleiner oder gleich c 1/n 2. Da 1/n 2 für große n gegen 0 geht, wird der Fehler der Annäherung kleiner je größer n wird.

33 Relationen zwischen Wachstumsrelationen O( f ) ( f ) o( f ) f Θ( f ) ( f ) 33

34 Beispiel: Eine Funktion, die O(n) aber weder o(n) noch Θ(n) ist. 34

35 Strikte Ordnung von Funktionen: Anmerkung: 35 Häufig schreibt man f g für f o(g) Beachte, dass f f( n) lim 0. n gn ( ) Sei k > 1. Dann gilt: 1 log 2 log 2 n log 2 n log 2k n n 1/k n n log 2 n n k k n n! n n g

36 Beispiele Wachstumsverhalten Annahme: eine Operation dauert 10-9 Sekunden, log n = log 2 n 36

37 Hierarchie von Größenordnungen Größenordnung O(1) O(log n) O(log 2 n) O(n) O(n log n) O(n 2 ) O(n 3 ) k 1 O(n k ) Name konstante Funktionen logarithmische Funktionen quadratisch logarithmische Funktionen lineare Funktionen n log n-wachsende Funktionen quadratische Funktionen kubische Funktionen polynomielle Funktionen 37

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