ANalysis Of VAriance (ANOVA) 2/2

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1 ANalysis Of VAriance (ANOVA) 2/2 Markus Kalisch

2 Wdh: ANOVA - Idee ANOVA 1: Zwei Medikamente zur Blutdrucksenkung und Placebo (Faktor X). Gibt es einen sign. Unterschied in der Wirkung (kontinuierlich Y)? Y ~ X + ε 1-weg ANOVA ANOVA 2: Zwei Medikamente zur Blutdrucksenkung, Placebo (Faktor X1) und Geschlecht (Faktor X2). Gibt es einen sign. Unterschied in der Wirkung (kontinuierlich Y) (evtl. geschlechterspezifisch)? Y ~ X1 + X2 + ε 2-weg ANOVA ((Vorname Nachname))

3 Wdh: 1-weg ANOVA g: Anzahl Gruppen 3 p: Anzahl Beob. pro Gruppe 10 Ann: p in jeder Gruppe gleich Streuung zwischen Gruppen: Between-Sum-of-Squares (SS B ) RSS der Gruppenmittelwerte (rote Kreuze) um den totalen Mittelwert (blaue Linie) SS B = p g i=1 Y i. Y.. 2 Senkung Blutdruck [mmhg] Y 2. Y 1. Y.. M1 M2 P Medikament Y 3. Streuung innerhalb Gruppen: Within-Sum-of-Squares (SS W ) RSS der Einzelbeobachtungen (schwarze Kreise) um die einzelnen Mittelwerte (rote Kreuze) SS W = g p i=1 j=1 Y ij Y i. 2 Teststatistik SS B SS W Markus Kalisch

4 Wdh: 1-weg ANOVA - Modell Y ij = μ + α i + ε ij, ε ij ~ N 0, σ 2 iid g Technische Nebenbedingung: i=1 αi = 0 H 0 : α 1 = α 2 = = α g = 0 Teststatistik: T = Theorie: Falls H 0 stimmt SS B/(g 1) SS W /(g p 1 ) = MS B MS W Degrees of freedom (Df) Analyse der Varianzen Mean Squares T ~ F g 1,g p 1 Damit kann ein Hypothesentest mit den üblichen 6 Schritten durchgeführt werden Markus Kalisch

5 Wdh: 1-weg ANOVA-Tabelle g = 3, p = 10 Senkung Blutdruck [mmhg] M1 M2 P Medikament g 1 = 2 g*(p-1)=27 SS B = SS W = MS B = = MS W = = 23.8 F = = Markus Kalisch

6 Normalverteilungsannahme Die Blutdrucksenkung Y soll mit dem Faktor X (Stufen M1, M2 und P) erklärt werden. Dazu verwenden wir eine 1-weg ANOVA. Die Annahmen der 1-weg ANOVA beinhalten, dass Y normalverteilt ist. Richtig oder falsch? Markus Kalisch

7 2-weg ANOVA: Modell ohne Interaktion Oft gibt es mehr als einen Faktor. Bsp: - Medikament (Faktor M: M 1 - Medikament, M 2 - Placebo) - Geschlecht (Faktor G: G 1 - Mann, G 2 - Frau) Das einfachste Modell ist dann (ohne Interaktion): Y ijk = μ + α i + β j + ε ijk Messung von Person k mit Medikament i und Geschlecht j Effekt von Geschlecht j Fehlerterm Effekt von Medikament i 7

8 2-weg ANOVA: Modell mit Interaktion Y ijk = μ + α i + β j + δ ij + ε ijk, ε ijk ~ N 0, σ 2 iid Effekt von Medikament Effekt von Geschlecht Evtl. Interaktion: Geschlechtsspezifischer Effekt von Medikament 3 Nullhypothesen: H 0,1 : α i = 0 für alle i Kein Medikamenten-Effekt H 0,2 : β j = 0 für alle j Kein Geschlechter-Effekt H 0,3 : δ ij = 0 für alle i, j Kein Geschlechtsspezifischer Effekt von Medikament (keine Interaktion) 8

9 Modell-Visualisierung: Ohne Interaktion E[Y] Y ijk = μ + α i + β j + ε ijk Linien parallel Effekt von G bei M 1 Effekt von M bei G 1 M 1 M 2 9

10 Modell-Visualisierung: Mit Interaktion E[Y] Y ijk = μ + α i + β j + δ ij + ε ijk Linien nicht parallel Effekt von G bei M 1 Effekt von M bei G 1 M 1 M 2 10

11 Interaktionsplot in R Funktion interaction.plot 11

12 y 2-weg ANOVA: Test 1 / 2 p: Gruppengrösse (10) g: Anz. Geschlechter (2) m: Anz. Medikamente (2) Mm Mw Pm Pw g SS MG = p Keine WW: Y ijk = μ + α i + β j + ε ijk WW: Y ijk = μ + α i + β j + δ ij + ε ijk SS M = p g SS G = p m SS Res = m g i=1 j=1 m g m i=1 g j=1 i=1 j=1 k=1 Y i.. Y 2 Y.j. Y 2 Y ij. Y i.. Y.j. + Y 2 p Y ijk Y ij. 2 Teststatistiken: H 0,1 : SS M SS Res ; H 0,2 : SS G SS Res ; H 0,3 : SS MG SS Res 12

13 2-weg ANOVA: Test 2 / 2 Sum of Squares: SS M, SS G, SS MG, SS Res Degrees of Freedom df M : m 1; df G : g 1; df MG : m 1 g 1 ; df Res : m g (p 1) Mean Squares: MS M = SS M df M ; MS G = SS G df G ; MS MG = SS MG df MG ; MS Res = SS Res df Res Teststatistik und Verteilung unter H 0,1, H 0,2 und H 0,3 : Falls H 0,1 stimmt: T 1 = MS M MS Res Falls H 0,2 stimmt: T 2 = MS G MS Res Falls H 0,3 stimmt: T 3 = MS MG MS Res ~ F dfm ;df Res ~ F dfg ;df Res ~ F dfmg ;df Res 13

14 2-weg ANOVA: Tabelle Medikament hat Effekt Geschlecht hat Effekt Effekt vom Medikament hängt vom Geschlecht ab 14

15 Effektstärke: ANOVA & TukeyHSD 15

16 Effektstärke: ANOVA & TukeyHSD 16

17 Effektstärke: ANOVA & TukeyHSD 17

18 Spezialfälle: Richtige Zuordnung? ANOVA output: 1 A 2 B C 3 18

19 Interpretation: ANOVA & TukeyHSD vs. Lineare Regression Methoden technisch gesehen gleichwertig ABER: In der Praxis völlig unterschiedliche Interpretation ANOVA & TukeyHSD: Totale Effekte Lineare Regression: Effekte bzgl. Referenzlevel X Referenzlevel: Medikamentengruppe, Frauen 19

20 Interpretation: Lineare Regression Wie gross ist E Y in Referenzgruppe? X (Keine Entsprechung in TukeyHSD) 20

21 Interpretation: Lineare Regression Wie ändert sich E Y, wenn man in der Referenzgruppe Frauen von Medikament zu Placebo wechselt? X (Entspricht P:F-M:F in TukeyHSD; VI & p-wert wegen Korrektur für multiples Testen in TukeyHSD anders) 21

22 Interpretation: Lineare Regression Wie ändert sich E Y, wenn man in der Referenzgruppe Medikament von Frauen zu Männer wechselt? X (Entspricht M:M-M:F in TukeyHSD; VI & p-wert wegen Korrektur für multiples Testen in TukeyHSD anders) 22

23 Interpretation: Lineare Regression Um wieviel ist der Medikamenten-Effekt bei Männern anders als bei Frauen? X (Entspricht (P:M-M:M P:F-M:F); kein entsprechendes VI oder p-wert in TukeyHSD) 23

24 Mehr als zwei Faktorstufen (Bsp: Empfinden nach Schmerzmittel) 24

25 Residuenanalyse bei ANOVA Y ijk = μ + α i + β j + δ ij + ε ijk, ε ijk ~ N 0, σ 2 iid 1. Daten in jeder Gruppe normalverteilt 2. Gleiche Varianz in Gruppen 3. Unabhängige Fehler ε ij In R: Funktion plot wie bei Linearer Regression Vorteil: Balanciertes Experiment (gleiche Anzahl pro Gruppe): ANOVA ist robuster gegenabweichungen obiger Annahmen Markus Kalisch

26 Randomized Block Design: Verallgemeinerung des gepaarten t-test Gepaarter t-test: Pro Person Medikament & Placebo Reihenfolge Medi / Placebo pro Person zufällig Randomized Block Design: Pro Person mehrere Medikamente & Placebo Reihenfolge Medi / Placebo pro Person zufällig Auswertung: 2-weg ANOVA Y ~ Medikament + Person Blockfaktor (hier Person ): Nicht von Interesse; nur um Streuung zu reduzieren Konvention: Keine Interaktion mit Blockfaktor Markus Kalisch

27 Bsp: Randomized Block Design Medikament gegen Juckreiz 10 freiwillige Männer zw. 20 und 30 Eine Behandlung pro Tag: Medikamentengabe; anschliessend Anwendung von Mittel, das starken Juckreiz auslöst (Juckbohne) Zielgrösse: Dauer des Juckreizes (in Sekunden) 5 Medikamente, 1 Placebo, einmal keine Behandlung Jede Person bekam jede Behandlung einmal; Reihenfolge zufällig Markus Kalisch

28 Bsp: Juckreiz Markus Kalisch

29 Bsp: Juckreiz Es gibt sign. Unterschiede bzgl. Behandlungserfolg Einzig zulässige Aussage: Papavarine ist sign. wirksamer als Placebo. Markus Kalisch