Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13

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1 TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+ X () = grad () = () Gegeben sei ein Funktion ( ) =2 +3. Geben Sie an, für welche Kurve gilt ( ) =5. Man bezeichnet Kurven konstanten Funktionswertes als Niveaukurven. Um welche Art von Kurve handelt es sich in diesem Beispiel? =1 = ist eine Gerade. Beispiel 2: Warum ist die Funktion ( ) = im Punkt (0 0) nicht stetig? h i lim lim ( ) 0 0 lim lim ( ) 0 0 = 0 1 = lim 0 = Beispiel 3: Gegeben sei die Funktion ( ) = ln ( 0). Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Hilfe: (ln ) =1. = = ln = =6 2 = = 1

2 Beispiel 4: Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene zur Funktion = ( ) = im Punkt (1 1(1 1)). Daher lautet die Gleichung der Tangentialebene Beispiel 5: Zeigen Sie durch Koordinatendarstellung, dass gilt 1 ( ) = (1 1) + grad (1 1) 1 4 = (11) = 4+10( 1) + 5( 1) = grad()= grad + grad Nach der Kettenregel gilt für die einzelnen Komponenten des Gradienten ()= + Da grad =( 1 ), gilts dies für alle Komponenten und daher auch für den Vektor. Beispiel 6: Gegeben sei die Funktion ( ) = Berechnen Sie die lineare Approximation der Funktion in der Nähe des Punktes ( ) =(1 0). Beispiel 7: 4 grad ( ) = (1 0) = 1 1 ( ) = (1 0) + grad (1 0) 4 1 = 1+ =1+4( 1) + 1 = Gegeben sei die Funktion ( ) = = ln. Berechnen Sie die Größe ohne Rechner durch lineare Approximation im Punkt (1 3). 2

3 Beispiel 8: (1 3) = 1 3 =1 ln grad = 1 ln = 3 ln grad (1 3) = ln 0 1 ( ) ' (1 3) + grad (1 3) =1+3( 1) = ' =106 (exakt: ). Sie befinden sich in den Bergen. Das Höhenprofil ihrer näheren Umgebung lässt sich durch die Gleichung ( ) = beschreiben, wobei die Höhe für jeden Punkt ( ) angibt. Sie befinden sich am Ort (1 1), der dann die Höhe =5aufweist. In welche Richtung müssen sie laufen um möglichst schnell Höhe zu gewinnen? Wie gross ist der Anstiegswinkel? In welche Richtungen müssen Sie sich bewegen, um ihre jetzige Höhe ( =5) beizubehalten? Der Gradient des Höhenprofils ist grad ( ) =( ) = An ihrem Ort (1,1) ist der Gradient 21 grad (1 1) = 18 Um die Steigung zu ermittlen wird die Richtungsableitung verwendet. Diese ist definiert als ( ) = grad ( ) Die Steigung soll in Richtung des Gradienten ermittelt werden. Deshalb ist der Einheitsvektor in Richtung des Gradienten, grad ( ) = grad ( ) Damit ist die gesuchte Steigung (11) grad (1 1) (1 1) = grad (1 1) grad (1 1) = grad (1 1) = p =3 85 3

4 Der Steigungswinkel ist dann tan = 3 85 = arctan(3 85) = 8793 Da diese Steigung anscheinend zu stark ist bleiben wir wohl besser auf einer Höhe. Das heißt, wir suchen eine unbekannte Richtung = + für die gilt grad = = 0 Dies liefert keine eindeutige Richtung, sondern nur ein Verhältnis von zu Richtung, Beispielsweise für =6wird =6 +7. Ergänzungsaufgaben Beispiel 9: = ( ) Drücken Sie folgende Funktionen durch Kombinationen von sin und cos aus: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: sin tan ln( ) ln ln( ) (ln ) Umkehrfunktionen: sin = cos tan = cos 2 ln( ) = ln = ln = ln ln (ln ) = 1 = ln 4

5 Beispiel 10: Gegeben sei die Funktion ( ) = Berechnen Sie für einen beliebigen Punkt ( 0 0 ) erst die Richtung des geringsten Anstiegs (d.i. der Tangentenvektor zu =const) und dann die Richtung des steilsten Anstiegs von (d.i. der Gradient). Zeichnen Sie die Niveaulinien =const. Beweisen Sie, dass der Tangentenvektor senkrecht auf den Gradienten steht. Die Niveaulinien sind Kreise. Die Parameterdarstellung des Kreises mit dem Radius = p lautet 0 = cos 0 = sin. Der Vektor vom Ursprung zum Punkt ( 0 0 ) ist mit [0 2] cos () = sin Die Tangente ist daher Speziell im Punkt ( 0 0 ) ist die Tangente Der Gradient im Punkt ( 0 0 ) ist = () sin = cos grad ( 0 )= 0 = 0 ( 0 ) ( 0 ) 20 = 2 0 Daher ist das Skalarprodukt grad ( 0 )= =0, woraus folgt, dass die Tangente senkrecht auf den Gradient steht. Somit ist der Gradient in der Tat die Richtung des steilsten Anstiegs. Beispiel 11: Sei die Abildung definiert durch ( ) =. Bestimmen Sie einen Punkt 0 =( ) auf der Strecke zwischen den Punkten =(1 1 0) und =(0 1 1) mit () ( ) = grad ( 0 ) ( ) Dies entspricht der Approximation einer Sehne durch eine parallele Tangente (siehe Skizze für 1 Dimension). Hilfe: Berechnen Sie zuerst für beliebige Punkte im Raum die rechte Seite dieser Gleichung und überlegen Sie, welche Punkte die Gleichung erfüllen. Überlegen Sie dann, welche dieser Punkte auf der Strecke zwischen 5

6 und liegen. Es gilt () =( )=0und = 1 0 () = () ( )=( ) 1 Die Bedingung () ( ) = grad ( 0 ) ( ) erfüllen also alle Punkte für die =0oder = ist, d.h. 0 = 0 0 und 0 = mit belieben Werten für 0 0 Jetzt bleibt zu prüfen, welche dieser Punkte auf der Strecke zwischen und liegen. Dazu schreiben wir die Gerade zwischen den Punkten als () = + ( ) = 1 1 ( [0 1]). Offenbar sind die Punkte ( ) nicht auf der Strecke (). Daher bleiben nur die Punkte ( ) mit der Bedingung 0 = 1 0 = =1 = 1 2 6