Fachrechnen für Bauberufe. 1 Arithmetik Algebra. 2 Proportionalität. 3 Trigonometrie. 4 Planimetrie. 5 Stereometrie. 6 Allgemeines Rechnen

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1 Fachrechnen für Bauberufe 1 Arithmetik Algebra 2 Proportionalität 3 4 Planimetrie 5 Stereometrie 6 Allgemeines Rechnen

2 Inhaltsverzeichnis im rechtwinkligen Dreieck Winkeleinheiten Andere Winkelmasse Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Darstellung der trigonometrischen Funktionen Der Einheitskreis Umrechnen Prozentwert [%] in Grad [ ] Theoretische Aufgaben Aufgaben aus der Praxis Der Sinussatz Der osinussatz Abbildungsverzeichnis Abbildung 2-1: Einheitskreis... 6 Bemerkung Ausgabe 2013 Der Autor: Reto antamessi Seite 2 von 30

3 1 1.1 im rechtwinkligen Dreieck Theoretische Grundlagen Die theoretischen Grundlagen finden Sie im Formelbuch Kapitel Geometrie für Zeichnerinnen und Zeichner der Fachrichtung Ingenieurbau. 1.2 Winkeleinheiten Dreht man einen Strahl um seinen Ausgangspunkt, so entsteht ein Winkel. Als Drehrichtung wurde die Linksdrehung festgelegt. Eine Umdrehung ist in 360 Teile = 360 (Grad) unterteilt. 1 = 60 (Minuten) = 3'600 (Sekunden) 1 = 60 Je nach Grösse unterscheidet man: Spitze Winkel α < 90 Rechte Winkel α = 90 Stumpfe Winkel 180 > α > 90 Gestreckter Winkel α = 180 Überstumpfer Winkel α > 180 Umrechnung von Minuten und Sekunden in Dezimalstellen: Beispiel: = 75.??? Prinzip: 1. Umrechnung in Sekunden 36 ' 60'' + 17'' = 2'177'' 3'600'' = 1 2. Umrechnung in Dezimalstellen 1'' 1 = 3'600 Resultat: = '177 2'177'' = = '600 Umrechnung von Dezimalstellen in Minuten und Sekunden: Beispiel: = 21???? Prinzip: 1. Umrechnung in Sekunden 2. Umrechnung in Minuten und Sekunden Resultat: = = 3'600'' = '600'' = 2'970'' 60'' = 1' 2'970'' = 49.5'= 49'30'' 60 Seite 3 von 30

4 1.3 Andere Winkelmasse Neugrad (gon) 90 = 100 gon auf dem Taschenrechner mit GRAD bezeichnet Umrechnung von Grad, Minuten und Sekunden in gon Beispiel: =?? gon 10 14' 38'' 10 Prinzip: α gon = gon 9 α '600 9 Umrechnung von gon in Grad, Minuten und Sekunden: Beispiel: 138,4682 gon =?????? Prinzip: gon = Abspalten des ganzahligen Anteils 121 Re st = = 60' ' = ' Abspalten des ganzahligen Anteils 55' Rest=0.2828' 1' = 60'' ' 60'' = 16.97'' '17'' Bogenmass (rad) auf dem Taschenrechner mit RAD bezeichnet Das Bogenmass gibt die Grösse eines Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zum Radius in einem (gedachten) Kreis an. Der Umfang eines vollen Kreises ist das 2π-fache seines Radius. In ihm wird die Grösse eines Winkels durch die Länge des entsprechenden Bogens am Einheitskreis gemessen. Das ist in der nebenstehenden Skizze dargestellt: Anstatt den Winkel α in Grad anzugeben, dient die Länge des blauen Bogenstücks als Mass für seine Grösse. Der volle Winkel ist im Bogenmass durch den Umfang des Einheitskreises gegeben, d.h. durch 2π. Im Kreis gilt die Proportion: Kreisumfang Vollwinkel = Kreisbogen Zentriwinkel 2π r 360 = b α b π π r α 180 b = α Bogenmass b = α = wobei α in Grad r π r Seite 4 von 30

5 1.4 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Die Seiten werden wie folgt bezeichnet: a = Gegenkathete des Winkels α b = Ankathete des Winkels α c = Hypotenuse oder: a = Ankathete des Winkels β b = Gegenkathete des Winkels β c = Hypotenuse Seitenverhältnis Funktion Abkürzung Gegenkathete Hypothenuse Sinus des Winkels sin (...) Ankathete Hypothenuse osinus des Winkels cos (...) Gegenkathete Ankathete Tangens des Winkels tan (...) Ankathete Gegenkathete otangens des Winkels cot (...) sin GK Hyp a c ( α ) = = GK = Hyp sin ( α ) GK Hyp = sin ( α) cos AK Hyp b c ( α ) = = AK = Hyp cos ( α ) AK Hyp = cos ( α) tan GK Ak a b ( α ) = = GK = AK tan ( α ) GK AK = tan ( α) cot AK GK b a ( α ) = = AK = GK cot ( α ) AK GK = cot ( α) Seite 5 von 30

6 2 Darstellung der trigonometrischen Funktionen 2.1 Der Einheitskreis Theoretische Grundlagen Im Einheitskreis, Radius = 1 kann jeder beliebige Funktionswert grafisch bestimmt werden. Abbildung 2-1: Einheitskreis Übungen: Zeichnen Sie im Einheitskreis die Winkel 30, 45 und 60 in der folgenden Seite ein. Betrachten Sie den Radius als 1 und ermitteln Sie grafisch (herausmessen!) die Funktionswerte sin, cos, tan und cot! 1. Tragen Sie die gemessenen Werte in die untenstehende Tabelle ein! 2. Vergleichen Sie die Werte mit dem Taschenrechner Gemessene Werte: Winkel sin cos tan cot Seite 6 von 30

7 2.1.2 Winkelfunktionen am Einheitskreis Radius r = 1 Seite 7 von 30

8 2.1.3 Berechnung am rechtwinkligen Dreieck Die meisten Taschenrechner mit Winkelfunktionen können auf Altgrad (Deg) oder Neugrad (Grad) eingestellt werden. 1 = 60 ; 1 = 60 rechter Winkel = 90 In der Vermessung (Geometer) werden normalerweise Neugrade verwendet, wobei der Winkel in dezimaler Schreibweise angegeben wird, z.b gon. (rechter Winkel = 100 gon) Elektronentaschenrechner: 1. Funktion gesucht Winkel gegeben, Winkel im Dezimalbruch eingeben! z.b. α = 30 Gesucht ist der Sinus (sin) 2. Winkel gesucht Funktionswert gegeben! z.b. sin(α) = 0.5 Gesucht ist der Winkel α 3. Winkel umrechnen Vom Dezimalbruch in Grad und Minuten Vorgehen: 30 eingeben Taste sin drücken es erscheint 0.5 Vorgehen: 0.5 eingeben Taste INV oder arc(sin) oder sin -1 drücken es erscheint 30; hier sind es 30 z.b. α = Vorgehen: mal 60 = Minuten; oder mit Taste DD > DMS 4. Winkel umrechnen Von Minuten in Dezimalbruch z.b. α = Vorgehen: 15 durch 60 = oder mit Taste DMS > DD Hinweis: Bei den Rechnern fehlt die otangens- Funktion (cot). Der cot ist jedoch der Umkehrwert (Reziprokwert) des Tangens (tan) also: cot (α) = tan (α) -1 Die Neigungsangaben in Grad und Prozent verlaufen nicht proportional! Somit kann die Umrechnung nur über den Tangens und niemals über eine Proportion erfolgen! Höhe 100 % Wert = tan ( α) = Grundlinie %-Wert 100 Seite 8 von 30

9 2.1.4 Übungsaufgaben Berechnen Sie aus den Funktionswerten die zugehörigen Winkel in Dezimalen (4 Stellen) sowie in Grad, Minuten und Sekunden! (auf 4 Stellen nach dem Komma!) sin cos tan cot Ermitteln Sie die fehlenden Werte: a b c α β cm cm cm 43.5 cm cm m ' m m ' m '... b a h A α c β B Seite 9 von 30

10 3 Umrechnen Prozentwert [%] in Grad [ ] Beispiel: Dachneigung α Neigung in % Höhe a Grundlinie b Im Prozentrechnen ist die horizontale Grundlinie 100%! Der %- Wert der Dachneigung wird nach folgender Formel berechnet: Höhe 100 % Wert = Grundlinie In der entspricht das Seitenverhältnis Höhe : Grundlinie dem Tangens. Höhe a tan ( α ) = = Grundlinie b Die beiden Formeln können einander gegenübergestellt werden und es folgt daraus: tan ( α) %-Wert = 100 % Wert = tan α 100 ( ) Merke: Die Neigungsangaben in Grad und Prozent verlaufen nicht proportional! Somit kann die Umrechnung nur über den Tangens und niemals über eine Proportion erfolgen! Seite 10 von 30

11 4 Theoretische Aufgaben Aufgabe 1: 17 Bestimmen Sie die Distanz x auf 3 Stellen genau. x 4.70m 6.40m Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Höhe h auf 3 Stellen genau m h 3: Berechnen Sie die Fläche. (Resultat in auf 2 Stellen genau) 0.70m m Seite 11 von 30

12 h Fachrechnen für Bauberufe Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Winkel α, β und γ, sowie die Strecken x, y und z. Massangaben in cm (Winkel in Dezimalen auf 4 Stellen Strecken auf mm genau!) γ 18 z α β /2 β 48 5 x y 5: Satteldach mit Gehrschild. Berechnen Sie: 2a.1 die Strecke a.2 die Höhe h (auf 3 Stellen genau) 2a 2a 34 12m Seite 12 von 30

13 Aufgabe 6: Die Steigung einer Strasse beträgt 12. Bestimmen Sie den Steigungswinkel. Aufgabe 7: Eine Rampe misst (schräg gemessen) 15 m. Welche Höhe überwindet sie: a) bei einer Steigung von 15%? b) bei einem Steigungswinkel von 15? Aufgabe 8: Eine Treppe ist bestimmt durch folgende Grössen: Steigung 17.5 cm, Anzahl Auftritte 15, Auftrittbreite 28 cm. Berechnen Sie: a) die Geschosshöhe b) die Lauflänge c) den Steigungswinkel in Grad d) die Neigung in % Seite 13 von 30

14 14 Fachrechnen für Bauberufe Aufgabe 9: Von der abgebildeten Differenz Treppe beträgt das Mass a = 30 cm und das Treppenfleisch 14 cm. 180 Berechnen Sie: 1. die Podeststärke d 2. den Neigungswinkel α 3. die Länge L der Treppenuntersicht d α a 119 L : Berechnen Sie die Winkel α, β und γ Seite 14 von 30

15 5 Aufgaben aus der Praxis Aufgabe 1: Berechnen Sie die Turmhöhe h wenn α=15 43 und β=47 18 betragen. Aufgabe 2: Mit einem Vermessungsinstrument wurden folgende Elemente gemessen: Instrumentenhöhe = 1.65m Reflektorhöhe = 1.79m Höhenwinkel α = gon Schiefe Distanz D = 47.18m Berechnen Sie a) Den Höhenunterschied der Punkte A und B b) Die Horizontaldistanz AB Seite 15 von 30

16 Aufgabe 3: Eine Bergstrasse mit einer horizontalen Länge von 3.2 km hat einen Höhenunterschied von 350m. gon Die ersten 2/3 der horizontalen Länge sollen mit einer Steigung von 7.55 gebaut werden. a) Wie gross ist die Steigung des oberen Drittels der Strasse in Gon? b) Die wirkliche Länge der Strasse? Aufgabe 4: Im Felde wurde von einem Punkt A die Steigung zum Fusse eines Baumes mit 12%, diejenige zur Baumkrone mit 96% gemessen. Die schräge Länge vom Punkt A zum Fuss des Baumes beträgt m. Berechnen Sie die Höhe des Baumes (2 Kommastellen genau!) Seite 16 von 30

17 Aufgabe 5: Von einem Aussichtsturm sieht man das gegenüberliegende Seeufer unter dem Neigungswinkel α = 6.34 Gon und das nähere Seeufer unter dem Neigungswinkel β = 9.76 Gon. Wie breit ist der See an dieser Stelle? (2 Kommastellen genau!) Aufgabe 6: Ein trapezförmiges Grundstück soll in drei flächengleiche Teile aufgeteilt werden. Die Grenzen zwischen den einzelnen Parzellen sollen senkrecht zu den Grundlinien verlaufen. Berechnen Sie die Masse x,y und z auf cm genau. (Resultat auf cm genau) Seite 17 von 30

18 Aufgabe 7: Berechnen Sie die durch das Hindernis nicht messbare Strecke AB. α = 44. Β = 55. Aufgabe 8: Um eine unzugängliche Höhe zu bestimmen, werden im Feld die Winkel α und β gemessen. α = 16., β = 11. Berechnen Sie anhand der Aufnahmen: a) das Kontrollmass x b) die Höhe H Seite 18 von 30

19 Aufgabe 9: Im Gelände kann die Distanz P1-P2 nicht direkt gemessen werden. Berechnen Sie: a) die Distanz aus den Koordinaten, wenn: P1 = / P2 = / b) das Azimut P1 P2 Aufgabe 10: Berechnen Sie für das dargestellt Dach: a) Die Kotenhöhen A und B (auf cm genau) b) Die Sparrenmasse x und y (auf mm genau) c) Die Masse m der beiden Sparren (in kg auf 1 Stelle genau) Seite 19 von 30

20 5.1 Der Sinussatz Theoretische Grundlagen Die theoretischen Grundlagen finden Sie im Formelbuch Kapitel Geometrie für Zeichnerinnen und Zeichner der Fachrichtung Ingenieurbau. Der Sinussatz Die voran gegangenen Kapitel behandelten die rechtwinkligen Dreiecke. Schiefwinklige Dreiecke kann man mit der nur berechnen, wenn durch eine Dreieckshöhe das schiefwinklige Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke zerlegt wird. Im allgemeinen Dreieck AB gilt: AD : h = b sin α ( ) ( ) ( ) ( ) BD : h = a sin β a sin β = b sin α b hc a A α c D β B Daraus ergibt sich der Sinussatz: Die Dreieckseiten verhalten sich wie die Sinuswerte der entsprechenden Winkel. ( ) ( ) ( ) a:b : c = sin α : sin β : sin γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a:b = sin α : sin β oder a: sin α = b : sin β a: c = sin α : sin γ oder a: sin α = c : sin γ b : c = sin β : sin γ oder b : sin β = c : sin γ Seite 20 von 30

21 5.1.2 Beispiele zum Sinussatz Aufgabe 1: a =? b =? c = m α = β = γ =? B β a c b α A A =? Aufgabe 2: a =? b = m a β B c =? α =? β = γ = A =? γ b c A Seite 21 von 30

22 Aufgabe 3: a = m b = m b c =? c =? α = 27 β =? β =? a a α A γ =? γ =? A =? A =? B β c Aufgabe 4: a = m b =? b =? c = m a b α = β =? β =? γ =? γ =? A =? A =? B β c α A Seite 22 von 30

23 5.2 Der osinussatz Theoretische Grundlagen Die theoretischen Grundlagen finden Sie im Formelbuch Kapitel Geometrie für Zeichnerinnen und Zeichner der Fachrichtung Ingenieurbau. Der osinussatz Der Sinussatz ist immer dann anwendbar, wenn unter den bekannten Stücken des Dreiecks eine Seite und ihr Gegenwinkel bekannt sind. Sind drei Seiten oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, so muss der osinussatz angewendet werden. Zeichnet man im Dreieck AB die Höhe ein, so entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, für welche gilt: Im spitzwinkligen Dreieck AB gilt: AD : h = b q BD : h a c q = 2 ( ) 2 ( ) ( ) b q a c q = b q = a c 2cq + q b q = a c + 2cq q b a c 2cq = + a = b 2cq + c ( ) q = b cos α A α b q c hc D a β B a b c 2bc cos ( ) = + α Analog im stumpfwinkligen Dreieck AB: Daraus ergibt sich der osinussatz: a2 b2 c2 2bc cos b a c 2ac cos ( ) = + α = + β ( ) c = a + b 2ab cos γ hc γ b a q α β D A c B Seite 23 von 30

24 5.2.2 Beispiele zum osinussatz Aufgabe 1: a = m b = m c = m α =? a γ b α A β =? γ =? A =? B β c 2: B a = m β b =? c = m a c α =? β = γ =? A =? γ b α A Seite 24 von 30

25 Aufgabe 3: a = m b = m c = m α =? β =? γ =? A =? B A Aufgabe 4: B a = m b = m c =? α =? β =? γ =? A =1' A Seite 25 von 30

26 5.2.3 Aufgaben aus der Praxis Aufgabe 1: Zwei Punkte A und B sind m voneinander entfernt. Um ihre Entfernung zu einem dritten unzugänglichen Punkt zu bestimmen, sind folgende Winkel gemessen worden: Winkel α = Winkel β = Wie lang sind die Strecken a und b? Aufgabe 2: Von der Plattform eines Leuchtturmes, der 35 m über der Meeresoberfläche liegt, werden zwei Segelschiffe A und B beobachtet. Mit einem Theodolit misst man den Horizontalwinkel zwischen den Segelschiffen und die dazugehörigen Höhenwinkel. Mit den gemessenen Daten kann die Entfernung der beiden Schiffe untereinander berechnet werden. Höhenwinkel zu Schiff A: -14. Höhenwinkel zu Schiff B: -11. Horizontalwinkel: 118. (aus der Horizontale) (aus der Horizontale) Berechnen Sie die Entfernung der beiden Schiffe zueinander. Seite 26 von 30

27 Aufgabe 3: Zwei Punkte A und B am Ufer eines Flusses sind 45 m voneinander entfernt. Am anderen Ufer steht ein Baum. Es werden folgende Winkel gemessen: Winkel AB = 72.35, Winkel AB = Wie breit ist der Fluss? Aufgabe 4: Zwei geradlinige Arme eines Flussdeltas, die einen Winkel von bilden, schneiden ein dreieckiges Stück Land ab. Wie gross ist die Fläche des Landes, wenn die Arme 17.4 km und 34.3 km lang sind? Aufgabe 5: Auf einem Situationsplan sind Höhenkurven mit einer Aequidistanz von einem Meter eingetragen. Der Kartenmassstab ist 1:2500. Welches Gefälle (%) besteht zwischen den Höhenkurven 423 und 436 eines Hanges, wenn ihr Abstand auf der Karte 15.2 cm beträgt? (Das Resultat weist keine Kommastellen auf) Seite 27 von 30

28 6: Folgende Elemente wurden mit einem Theodolit gemessen: - Strecke A-B - Strecke B - Winkel α Wie lang ist die Strecke b und wie gross sind die Winkel β und γ? Aufgabe 7: Berechnen Sie für den skizzierten Dachbinder in Stahl die Systemlängen für die Stäbe O, S und V auf ganze mm. p=10% O 1000mm S x x x 7410mm V Seite 28 von 30

29 Aufgabe 8: Die Kräfte = 253 N und = 174 N können durch die Resultierende R = 364 N ersetzt werden. Welchen Winkel schliessen beide Kräfte ein? Aufgabe 9: Für die polaren Geländeaufnahmen des Grundstücks müssen Sie vorgängig die Daten des Aufnahmepunktes Px bestimmen. Daten Geometer: PP PP Feldaufnahmen: Distanz D = m Winkel β = 136. Höhendifferenz PP 56 Px = m Berechnen Sie folgende Daten: a) Das Azimut PP 56 Px b) Die Koordinaten von Px c) Die Meereshöhe von Px Seite 29 von 30

30 Aufgabe 10: Der Antennenmast eines Fernsehturmes hat die Höhe h = 75 m. Von einem Geländepunkt P werden Spitze und Fusspunkt des Antennenmastes unter den Höhenwinkeln θ = 24,3 und ψ = 17,7 gegenüber der Horizontalen gesehen. Berechnen die Höhe des Fernsehturmes mit Sendemast! (Resultat auf 2 Stellen) Aufgabe 11: Von einer Hauptstrasse zweigt bei P ein Feldweg nach rechts ab und führt zum Hause der Familie A. Ich wollte aber die Familie B besuchen, hätte also - wie mir die Frau von Familie A erklärt - die Hauptstrass 141m später bei Q nach links verlassen müssen. Ich entscheide mich direkt durch die Büsche zum Haus der Familie B durchzuschlagen (siehe Skizze). Wie weit muss ich gehen, um bei der Familie B zu sein? (Resultat auf 2 Stellen) Seite 30 von 30