Komplexe Kurvenintegrale

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1 Komplexe Kurvenintegrle nlog zu Kurvenintegrlen: Sei : [, b] D R n ein stükweiser C Weg, f : D R und F : D R n gegeben. Dnn htten wir in Anlysis II/III die beiden Kurvenintegrle. und 2. Art f (x)ds = b f ((t)) ċ dt bzw. F(x)d x = b F((t)), ċ(t) dt Definition Sei D C ein Gebiet, f : D C stetig und : [, b] D ein stükweiser C Weg. Dnn ist = b f ((t))ċ(t)dt ds komplexe Integrl von längs der Kurve. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85 Eigenshften der komplexen Integrtion ) Der Wert des komplexen Integrls ist unbhängig von der Prmetrisierung der Kurve. 2) Bei Änderung der Durhlufrihtung gilt = Hier ist ( )(t) = (b + t( b)), t. 3) Linerität (α + βg(z)) = α + β g(z) (α, β C) 4) Additivität bzgl. des Integrtionsweges: = Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 9 / 85

2 Eigenshften der komplexen Integrtion II 5) Es gilt die Abshätzung Mn berehnet direkt = b sup z Bild() f ((t))ċ(t)dt b ċ(t) dt }{{} Bogenlänge L(). b b f ((t)) ċ(t) dt sup f ((t)) ċ(t) dt t b Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 9 / 85 e Sei = z und (t) = re it mit t 2π. Dnn gilt z = 2π = ir 2 re it 2π ( rie it) dt e 2it dt = ir 2 = r 2 2π 2π (os(2t) + i sin(2t))dt sin(2t))dt + i r 2 2π os(2t))dt =. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85

3 e II Sei = z und (t) = re it mit t 2π. Dnn gilt 2π ( z = re it rie it) 2π dt = ir 2 dt = r 2 2πi. Sei = /z und (t) = re it mit t 2π. Dnn gilt z = z z 2 = r 2 z = 2πi. Es gilt mit (t) = z + re it, { t 2π die Beziehung (z z ) n 2πi : für n = = : für n Z \ { } Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85 e III (Fortsetzung) (z z ) n = 2π = r n+ ( re it ) 2π n (rie it )dt = ir n+ 2π sin((n + )t))dt + i e i(n+)t dt 2π os((n + )t))dt = { 2πi : für n = : für n Z \ { } Nur für n = vershwindet ds Integrl niht und es gilt = 2πi. z z Frge: Worn liegt ds? Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85

4 Integrtion von Reihen Stz Ist = k= f k (z) eine Reihe stetiger Funktionen, die uf dem Gebiet D C gleihmäßig konvergiert, und ist : [, b] D ein stükweiser C Weg, so gilt = f k (z). k= D die Reihe stetiger Funktionen gleihmäßig konvergiert, ist uh die Grenzfunktion stetig und dher uh integrierbr und n k= f k (z) = R n (z). Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85 Integrtion von Reihen II (Fortsetzung) Gleihmäßige Konvergenz bedeutet: ε > : N(ε) : n N, z D : R n (z) < ε. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85

5 Komplexe Integrle Aus der gleihmäßigen Konvergenz folgt sofort R n (z) ε L() und dmit lim n R n (z) =. Sei (t) = re it, t 2π und z > r. Dnn gilt: =. z z z =r Behte: Der Punkt z liegt ußerhlb des Kreises (t). Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85 Komplexe Integrle (Fortsetzung) Mn berehnet unter Verwendung der geometrishen Reihe: = z z z z =r z = z z z =r z =r z k k= z k, denn es gilt z <. Aufgrund der gleihmäßigen Konvergenz gilt z z =r k= z k z z k = k= z k+ z =r z k = d mn Integrtion und Summtion vertushen knn. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85

6 zur Vorbereitung der Lurent Reihe (Vorgriff uf die Lurent Reihe) Eine Reihe der Form = k= k (z z ) k = k (z z ) k k= }{{} nlog zur Tylor Reihe + k= k (z z ) k }{{} negtive Potenzen nennt mn eine Lurent Reihe. Sie konvergiert lokl gleihmäßig und bsolut in einem Kreisring R < z z < R 2. Für R < r < R 2 und (t) = z + re it, t 2π gilt dher = (z z ) k = 2π i. z z =r k= k z z =r Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS / 85 Cuhysher Integrlstz Der Cuhyshe Huptstz Wir htten im Abshnitt 3. mit der Kurve (t) = z + re it, t 2π die Aussge { 2πi : für n = (z z ) n = : für n Z \ { } Frge: Wnn vershwindet ds Integrl über geshlossene Kurven? Stz (Cuhysher Integrlstz) Ist G C ein einfh zusmmenhängendes Gebiet, f : G C eine holomorphe Funktion und : [, b] G eine geshlossene stükweise C Kurve, so gilt stets =. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 / 85

7 Zum Cuhyshen Integrlstz Der Cuhyshe Huptstz Bemerkung Alle drei (fett gedrukten) Vorussetzungen sind notwendig: ) Die Funktion = z ist niht holomorph und es gilt: z. z = 2) Ds Gebiet G = {z C : z } ist niht einfh zusmmenhängend und es gilt:. z z = 3) Die Kurve ist niht geshlossen und es gilt: z, (t) = e (+i)t, t 2π. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 / 85 Der Cuhyshe Huptstz des Cuhyshen Integrlstzes Wir setzen (t) = (x(t), y(t)) T und f (x, y) = u(x, y) + i v(x, y): = = b (uẋ vẏ)dt + i ( u v ) d x +i b (uẏ + vẋ)dt ( v u ) d x. Bei beiden Vektorfelder (u, v) T und (v, u) T ist wegen der CR DGL s die Integrbilitätsbedingung erfüllt: ( ) ( ) u v rot = u v y + v x =, rot = v u y u x =. Dher existiert ein Potentil und beide Integrle sind wegen der geshlossenen Kurve identish gleih Null. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 2 / 85

8 Wegunhängige Integrle Der Cuhyshe Huptstz Korollr Ist G C einfh zusmmenhängend, holomorph uf G und, 2 : [, b] G, so folgt us () = 2 () und (b) = 2 (b) = 2 d.h. ds Integrl ist wegunbhängig. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 3 / 85 Stmmfunktionen Der Cuhyshe Huptstz Stz (Existenz einer Stmmfunktion) Sei G C, holomorph uf G, z G ein fester Punkt und setze für z G F(z) = f (ξ)dξ z mit einer beliebigen stükweisen C Kurve, die z und z verbindet. Dnn ist F(z) eine Stmmfunktion von, d.h. es gilt F (z) =. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 4 / 85

9 Stmmfunktion II Es gilt F(z + h) F(z) h = h = z+h z Der Cuhyshe Huptstz f (ξ)dξ = h f (z + th)dt. f (z + th)h dt Drus folgt F(z + h) F(z) h = sup t [,] (f (z + th) )dt f (z + th) Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 5 / 85 fur h. Stmmfunktionen III Der Cuhyshe Huptstz Korollr Ist uf einem einfh zusmmenhängenden Gebiet G holomorph und F(z) eine Stmmfunktion von, so gilt für lle stükweisen C Kurven : [, b] G = F((b)) F(()). Wir betrhten mit, b R,, b > ds Integrl +i b z 2. i b Die Funktion = /z 2 ist holomorph uf dem einfh zusmmenhängenden Gebiet G mit G = C \ {x R : x }. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 6 / 85

10 Wegunbhängigkeit Der Cuhyshe Huptstz Dmit ist obenstehendes Integrl wegunbhängig. Behte: Ds Gebiet G ist gerde die komplexe Ebene ohne die negtive reelle Ahse. Integrtion: Wir setzen (t) = + i t, b t b und erhlten z 2 = b b i ( + i t) 2 dt = + i t b b Stmmfunktion: +i b i b = z 2 = i b + i b = ( ) +i b z i b 2ib 2 + b 2 = 2ib 2 + b 2. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 7 / 85 Homotopie Der Cuhyshe Huptstz Definition Sei G C ein Gebiet,, : [, b] G zwei geshlossene Wege (Kurven) in G. Mn nennt und homotop, flls eine stetige Abbildung Φ : [, b] [, ] G existiert mit Φ(t, ) = (t), Φ(t, ) = (t) t [, b] Φ(, s) = (), Φ(b, s) = (b) s [, ] Ein Weg heißt nullhomotop wenn er zum konstnten Weg homotop ist, d.h. wenn mn den Weg stetig zum Punkt zusmmenziehen knn. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 8 / 85

11 Nullhomotope Wege Der Cuhyshe Huptstz Bemerkung Anstelle des einfhen Zusmmenhngs genügt es, im Cuhyshen Integrlstz zu fordern, dss nullhomotop ist. Folgerung us dem Cuhyshen Integrlstz: Sei holomorph uf einem Gebiet G. Dnn gilt für zwei geshlossene Wege und :, homotop =. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 9 / 85 Homotopie im Der Cuhyshe Huptstz Für jede einfh geshlossene Kurve, die den Punkt z C (einml) im positiven Sinn umläuft, gilt = 2πi. z z Denn (t) ist homotop zu (t) = z + e it, t 2π. Definition Für eine geshlossene, stükweise C Kurve : [, b] C \ {z } heißt Uml (, z ) = 2πi z z die Umlufzhl von bezüglih des Punktes z. Die Umlufzhl ist stets eine gnze Zhl und gibt n, wie oft der Weg Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 / 85 den Punkt z in mthemtish positivem Sinne umläuft.

12 Cuhyshe Integrlformel Die Cuhyshe Integrlformel, Tylor Entwiklung Stz (Cuhyshe Integrlformel) Sei holomorph uf einem Gebiet G, z G und : [, b] G \ {z } ein zum Punkt z homotoper Weg, der z im positiven Sinn einml umläuft. Dnn gilt f (z ) = 2πi z z Der Weg läßt sih innerhlb von G \ {z } uf einen Kreis k r (t) = z + re it, t 2π zusmmenziehen. Dher gilt = z z k r z z = 2π f (z + re it ) re it ire it dt. Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 / 85 Cuhyshe Integrlformel Die Cuhyshe Integrlformel, Tylor Entwiklung z z = k r = i 2π z z = 2π f (z + re it )dt. f (z + re it ) re it ire it dt Im Grenzfll r erhlten wir offensihtlih die Beziehung D ds Integrl i 2π f (z + re it )dt 2πif (z ). z z ber unbhängig von r ist, folgt = 2πif (z ). z z Reiner Luterbh (Universität Hmburg) Komplexe Funktionen SS 26 2 / 85