Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

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1 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Teil 10: Integralrechnung Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2010/11 Internetseite zur Vorlesung: neumann/

2 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Der Integralbegriff Zugänge zum Integral Mögliche Zugänge zum Integral Probleme der Zugänge Flächenberechnung über Ober- und Untersumme Exaktifizierung des Integralbegriffs Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

3 Mögliche Zugänge zum Integral 1. Bestimmung von orientierten (!) Flächeninhalten bzw. Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen (Ober- und Untersummen Riemann-Integral) 2. Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens 3. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen (siehe 1. Teil der Vorlesung) Alle drei Aspekte sind bei der Behandlung der Differentialrechnung von Bedeutung und sollten berücksichtigt werden. Aber: In welcher Reihenfolge und mit welcher Gewichtung?

4 Mögliche Zugänge zum Integral 1. Bestimmung von orientierten (!) Flächeninhalten bzw. Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen (Ober- und Untersummen Riemann-Integral) 2. Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens 3. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen (siehe 1. Teil der Vorlesung) Alle drei Aspekte sind bei der Behandlung der Differentialrechnung von Bedeutung und sollten berücksichtigt werden. Aber: In welcher Reihenfolge und mit welcher Gewichtung?

5 Probleme der Zugänge Zu 1.: Bestimmung von (orientierten!) Flächeninhalten bzw. Flächeninhaltsfunktionen unter Funktionsgraphen (Ober- und Untersummen) Klassischer Zugang, der nach wie vor einen wichtigen Aspekt bei der Behandlung des Integrals darstellen sollte ABER: Gefahr der Identifikation: Integral = Flächeninhalt Häufig Vernachlässigung der Orientierung

8 Probleme der Zugänge Aufgabe aus TIMMS

9 Probleme der Zugänge Außerdem: Zu frühe analytische Definition des Riemann-Integrals b a f (x)dx = lim n U n = lim n = O n ( ) falls lim U n = lim = O n n n führt zu Missverhältnis von begrifflichem und terminologischem Anspruch gegenüber realisiertem Niveau der Diskussion (KIRSCH)

10 Probleme der Zugänge Zu 2.: Bestimmung von Stammfunktionen - Umkehrung des Ableitens Über das Zusammentragen bisheriger Erkenntnisse: Funktion f mit f (x) = c f (x) = a x Flächeninhaltsfunktion A mit A(x) = c x A(x) = 1 2 a x2 f (x) = x 2 A(x) = 1 3 x3 f (x) = x 3 A(x) = 1 4 x4 gelangt man zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als Definition: b a f (x)dx := F(b) F(a) mit F (x) = f (x)

11 Probleme der Zugänge Einseitig rechnerische Orientierung Begrifflicher Zugang (was ist ein Integral?) kommt zu kurz Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sollte eine wichtige Erkenntnis sein, wird aber zur Definition degradiert. Antididaktische Inversion

12 Probleme der Zugänge Einseitig rechnerische Orientierung Begrifflicher Zugang (was ist ein Integral?) kommt zu kurz Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sollte eine wichtige Erkenntnis sein, wird aber zur Definition degradiert. Antididaktische Inversion

13 Integration als Rekonstruktion von Beständen Zu 3: Motivation der Integration über Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen Integrieren heißt Rekonstruieren (DANCKWERTS/VOGEL)

14 Integration als Rekonstruktion von Beständen Ein Einstiegsbeispiel In eine leere Badewanne wird eine gewisse Zeit Wasser eingelassen, dann die Wasserzufuhr gestoppt, gleichzeitig der Abfluss geöffnet und nach einer Weile wieder geschlossen: Wie viel Wasser befindet sich nach einer beliebigen Zeit t in der Wanne? Stellen Sie die Wassermenge als (stückweise definierte) Funktion in Abhängigkeit von der Zeit dar und fertigen Sie einen Graphen dieser Funktion an.

15 Integration als Rekonstruktion von Beständen. Aus der der Zuflussgeschwindigkeit des Wassers zu jedem Zeitpunkt wird auf die Wassermenge in der Wanne zu jedem Zeitpunkt zurückgeschlossen. Zuflussgeschwindigkeit: Ableitung V (t) momentane Änderungsrate der Wassermenge Aus der Änderungsrate V die Funktion V wiederhergestellt (rekonstruiert).

16 Integration als Rekonstruktion von Beständen Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist integrare. Vorteil des Zugangs: Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren Integral als orientierter Flächeninhalt Integral als Umkehrung der Ableitung Sinnvolle Anwendungsaufgaben nach Einführung des Integralbegriffs

17 Integration als Rekonstruktion von Beständen Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist integrare. Vorteil des Zugangs: Grundverständnis vom Integrieren als Rekonstruieren Integral als orientierter Flächeninhalt Integral als Umkehrung der Ableitung Sinnvolle Anwendungsaufgaben nach Einführung des Integralbegriffs

18 Zusammenfassung Vorgeschlagener Ablauf: 1. Rekonstruktion von Beständen aus Änderungen 2. Bestimmung von Flächeninhalten Ober- und Untersumme 3. Integral als Umkehrung der Ableitung: Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung

19 Ober- und Untersumme unter der Normalparabel: Die Streifenmethode des Archimedes Annäherung an den Flächeninhalt A, der von der Kurve zu f (x) = x 2 und der x Achse eingeschlossen wird. 1. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;1], Teilung in n = 4 gleich große Teilintervalle

20 Ober- und Untersumme für n = 4 Für Rechtecke der Breite 1 4 : Breite Höhe Untersumme U 4 = 1 4 f ( 0 4 ) f ( 1 4 ) f ( 2 4 ) f ( 3 4 ) U 4 = 1 4 ( ) = , 22(FE) Obersumme O 4 = 1 4 f ( 1 4 ) f ( 2 4 ) f ( 3 4 ) f ( 4 4 ) O 4 = 1 4 ( ) = 64 0, 47(FE) U 4 < A < O 4

26 Ober- und Untersumme für n Teilintervalle 2. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;1], Teilung in n gleich große Teilintervalle

27 Ober- und Untersumme für n Teilintervalle für I=[0;x] 3. Schritt: Betrachtung des Intervalls I=[0;x] für n Teilintervalle der Länge x n

28 Aufgabe zu Schritt 2 und 3: a) Zu Schritt 2: Ermitteln Sie U n und O n für f (x) = x 2 über dem Intervall I = [0, 1]. Verwenden Sie dazu die Summenformel und bestimmen Sie lim n U n bzw. lim n O n. b) Zu Schritt 3: n k 2 = 1 6 n (n + 1) (2n + 1) Ermitteln Sie wieder lim n U n bzw. lim n O n jedoch nun für I = [0; x]. k=1 c) Ermitteln Sie lim U n bzw. lim O n für I = [0; x] n n für die Funktion f zu f(x) = 2x 2 + x.

29 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Der Integralbegriff/ Integralrechnung Zugänge zum Integral Mögliche Zugänge zum Integral Probleme der Zugänge Flächenberechnung über Ober- und Untersumme Exaktifizierung des Integralbegriffs Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

30 Exaktifizierung des Integralbegriffs Definitionen Eine Funktion f sei in einem Intervall [a, b] definiert und beschränkt. ζ = [t 0,..., t n ] sei eine Zerlegung von [a, b]. Untersumme von f bei der Zerleg. ζ: S f (ζ) = n 1 (t i+1 t i ) inf f (x) x [t i,t i+1 ] n 1 Obersumme von f bei der Zerleg. ζ: S f (ζ) = (t i+1 t i ) sup f (x) i=0 x [t i,t i+1 ] Die untere Grenze der Menge aller Obersummen heißt Oberintegral (Infimum aller Obersummen). Die obere Grenze der Menge aller Untersummen heißt Unterintegral (Supremum aller Untersummen). Sind Ober- und Unterintegral gleich, dann heißt die Funktion f in [a, b] integrierbar und der gemeinsame Wert von Ober- und Unterintegral heißt bestimmtes (Riemann-)Integral von f in [a, b]. i=0

31 Exaktifizierung des Integralbegriffs Schulbuchdefinition: Sei f eine in einem Intervall [a; b] definierte Funktion, die in jedem abgeschlossenen Teilintervall von [a; b] einen kleinsten und einen größten Funktionswert hat. Haben "die" Folge (U n ) der Untersummen und "die" Folge (O n ) der Obersummen einen gemeinsamen Grenzwert, d. h. lim U n = lim O n, n n so heißt dieser gemeinsame Grenzwert bestimmtes Integral der Funktion f im Intervall [a; b]: b a f (x) dx Bei dieser Definition werden bereits, ohne dies explizit zu erwähnen, spezielle Folgen von Unter- und Obersummen vorausgesetzt. Das bestimmte Integral ist eine Zahl.

34 Exaktifizierung des Integralbegriffs Definition der Integralfunktion: Sei f integrierbar über [a, x] für alle x [a, b], so heißt F a : x F a (x) = x a f (t) dt für x [a, b] Integralfunktion von f zur unteren Grenze a und oberen Grenze x. f(t) heißt Integrandfunktion.

35 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Anschaulicher Zusammenhang von Ableiten und Integrieren Änderungsrate a = v t Lokale Änderungsrate für t 0, geometrische Deutung: Tangentensteigung Allgemein: Aus Bestandsfunktion F die Änderungsratenfunktion f = F ermitteln. Geschwindigkeits gewinn a(t) t Für t 0: v(t + t) = v(t) + a(t) t Rekonstruktion der Geschwindigkeitsfunktion aus den Änderungsraten Allgemein: Aus Änderungsfunktion f die Bestandsfunktion F = f ermitteln.

39 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Zusammenhang von Ableiten und Integrieren Auch anhand des Beispiels Badewanne lässt sich der Zusammenhang von Ableiten und Integrieren rückblickend diskutieren. Anschauliche Erfahrung : Ableiten und Integrieren sind Umkehroperationen. Die gleich lautende rechnerische Erfahrung sollte ebenfalls bereits gemacht worden sein..

42 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung Singular/Plural? Zwei (zusammenhängende) Fragen: 1. Wie lässt sich ermitteln, ob eine Funktion f eine Stammfunktion besitzt? Wenn ja, wie lässt sich eine Stammfunktion bestimmen? 2. Wie lässt sich eine Funktion F aus ihrer als bekannt angenommenen Änderungsrate F allgemein rekonstruieren?

45 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Zwei Antworten (Hauptsätze): 1. f sei stetig in [a; b] und es sei F a (x) := x a f (t) dt, x b. Dann gilt F a(x) = f (x) für alle x [a; b]. Integralfunktion ist bei stetigen Funktionen differenzierbar und eine Stammfunktion. 2. Sei f integrierbar über [a; b] und F eine beliebige Stammfunktion von f. Dann gilt für a x b : F a (x) = Bestimmte Integrale b Stammfunktion berechnen. a x a f (t) dt = F(x) F(a) f (x)dx lassen sich mithilfe einer beliebigen

46 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Zwei Antworten (Hauptsätze): 1. f sei stetig in [a; b] und es sei F a (x) := x a f (t) dt, x b. Dann gilt F a(x) = f (x) für alle x [a; b]. Integralfunktion ist bei stetigen Funktionen differenzierbar und eine Stammfunktion. 2. Sei f integrierbar über [a; b] und F eine beliebige Stammfunktion von f. Dann gilt für a x b : F a (x) = Bestimmte Integrale b Stammfunktion berechnen. a x a f (t) dt = F(x) F(a) f (x)dx lassen sich mithilfe einer beliebigen

47 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Der Begriff Stammfunktion Definition: Seien f, F Funktionen, definiert in einem Intervall [a; b]. F ist eine Stammfunktion von f in [a; b], wenn F differenzierbar in [a; b] ist und F = f gilt. Satz: Sind F 1, F 2 Stammfunktionen einer Funktion f in einem Intervall [a; b], dann unterscheiden sich F 1 und F 2 höchstens um eine additive Konstante. Genauer gesagt gilt dies, falls der Definitionsbereich zusammenhängend ist.

50 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Der Begriff Stammfunktion Begriffe Eine Stammfunktion ist eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitung f ist. Ein Unbestimmtes Integral oft auch Klasse aller Stammfunktionen genannt: : F(x) + c = f (x) dx ; c R

51 Didaktik der Mathematik der S II, Integralrechnung Sommersemester 2010/11