Computational Geometry, MU Leoben

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1 Computational Geometry, MU Leoben Computational Geometry Lehrveranstaltung: Darstellende Geometrie I, Übungen SS Übungsleiterin: S. Prabitz-Hallama Gabelstück Stoffgebiet: Durchdringungen 1

2 2 1 Aufgabenstellung Das zur xz-ebene und zur yz-ebene symmetrische Objekt (Figur 1) besteht aus Teilen eines Drehzylinders Φ (Achse a parallel zur x-achse, Radius = 24mm) und eines Torus Ψ (Achse = x-achse, Mittenkreis m in der yz-ebene; Mittenkreisradius = 37mm, Meridiankreisradius = 21mm). Stellen Sie das Objekt in Grund-, Auf- und Kreuzriss dar, und konstruieren Sie insbesondere: 1. die Durchdringungskurve c von Φ und Ψ punktweise, 2. in mindestens einem Punkt allgemeiner Lage von c die Tangente und 3. die auf c auftretenden Umrisspunkte. DIN A4 Querformat O (185/65), O (185/175), O (75/175) Figur 1. Angabe.

3 Darstellende Geometrie I, Übungen, SS 2011: Gabelstück 3 2 Konstruktionsbeschreibung 2.1 Allgemeine Punkte der Durchdringungskurve c Der Zylinder Φ ist zweitprojizierend, erscheint also im Aufriss als Kreis, weshalb der Aufriss der gesuchten Durchdringungskurve c Teil dieses Kreises ist. Da sowohl der Drehzylinder Φ als auch der Torus Ψ symmetrisch bzgl. der xz-ebene und bzgl. der yz-ebene liegen, gilt das auch für deren Durchdringungskurve c = Φ Ψ. Nach Konstruktion eines Punktes P von c erhält man daher durch Spiegelung an diesen beiden Ebenen drei weitere Punkte von c. Bei den beiden zu verschneidenden Drehflächen Φ und Ψ handelt es sich um Drehflächen mit parallelen Achsen: Die beiden Achsen liegen parallel zur x-achse. Als Hilfsfläche zur Konstruktion eines allgemeinen Punktes der Durchdringungskurve verwenden wir deshalb eine Ebene normal zur x-achse. Eine solche Hilfsebene ε schneidet den Drehzylinder Φ nach einem Kreis k und den Torus Ψ nach zwei Kreisen l und l (Figur 2). Die im Schnitt von k und l bzw. k und l liegenden Punkte gehören der Durchdringungskurve c an. Bei der in Figur 2 gewählten Lage der Hilfsebene ε erhalten wir insgesamt vier solche Schnittpunkte P, P 1, P, P 1, wobei P und P 1 bzw. P und P 1 symmetrisch bzgl. der xz-ebene liegen. Durch Spiegelung der vier Punkte an der yz-ebene erhält man vier weitere Punkte, auf deren Bezeichnung in Figur 2 verzichtet wurde. Figur 2. Konstruktion allgemeiner Punkte der Durchdringungskurve c.

4 4 2.2 Tangente in einem allgemeinen Punkt von c Die Tangente t P in einem Punkt P von c kann im Aufriss unmittelbar eingetragen werden, da der Aufriss von c Teil eines Kreises ist (Figur 3). Um die Raumlage der Tangente t P festzulegen, verwenden wir das Normalenverfahren: Die Tangente t P an c in P steht normal zur Verbindungsebene ν der beiden Flächennormalen n Φ und n Ψ. Die Normale n Φ des Drehzylinders Φ im Punkt P schneidet die Drehzylinderachse a rechtwinklig in einem Punkt 1 und kann daher in Grund- und Aufriss leicht eingetragen werden. Da a zweitprojizierend ist, handelt es sich bei n Φ um eine zweite Hauptgerade. Die Normale n Ψ des Torus Ψ schneidet die Torusachse (= x-achse) in einem Punkt 2 und den Mittenkreis m in einem Punkt 3. n Ψ kann daher zunächst im Aufriss eingetragen werden und anschließend durch Angittern über den Punkt 3 in den Grundriss übertragen werden. Damit wir die Tangente t P auch im Grundriss einzeichnen können, benötigen wir eine erste Hauptgerade h 1 der Ebene ν = n Φ n Ψ. Der Aufriss h 1 von h 1 ist horizontal. Wir legen die Hauptgerade h 1 etwa durch den Punkt 1 und können sie anschließend durch Angittern in den Grundriss bringen. Wegen des Satzes vom rechten Winkel 1 gilt: t P h 1. Durch Angittern übertragen wir t P anschließend in den Kreuzriss. Dabei wird etwa der Schnittpunkt 4 von t P mit der yz-ebene verwendet. Figur 3. Konstruktion der Tangente t P an c im Punkt P. 1 Bei Normalprojektion erscheint ein rechter Winkel wieder als solcher, wenn einer der beiden Winkelschenkel parallel zur Bildebene liegt.

5 Darstellende Geometrie I, Übungen, SS 2011: Gabelstück Spezielle Punkte auf c Der in der yz-ebene liegende Punkt L von c besitzt eine zweitprojizierende Tangente t L, denn t L ist die Schnittgerade der zweitprojizierenden Tangentialebene τ Φ,L in L an Φ und der ebenfalls zweitprojizierenden Tangentialebene τ Ψ,L in L an Ψ (Figur 4). Analoges gilt für den zweiten in der yz-ebene liegenden Punkt R von c. Der auf der z-achse liegende Punkt D ist gemeinsamer Punkt von Φ und Ψ und gehört daher der Durchdringungskurve c an. In D besitzen Φ und Ψ dieselbe Tangentialebene τ D. Diese ist parallel zur xy-ebene. Mit D liegt daher ein Doppelpunkt von c vor: die Kurve c läuft zweimal durch D und besitzt deshalb auch zwei Tangenten in D. Die beiden Tangenten lassen sich nicht mit der unter 2.2 beschriebenen Methode konstruieren. Figur 4. Der Doppelpunkt D von c und die Punkte L, R in der yz-ebene. 2.4 Die auf c auftretenden Konturpunkte Die Kontur des Drehzylinders Φ für den Grundriss besteht aus den beiden Erzeugenden u und v (Figur 5), die wie alle Zylindererzeugenden aufrissprojizierend sind. Die auf u bzw. v liegenden Punkte U, U 1 bzw. V, V 1 der Durchdringungskurve c lassen sich mit der unter 2.1 beschriebenen Methode in Grund- und Kreuzriss bringen. Da die Tangentialebene von Φ längs u bzw. jene längs v erstprojizierend ist, berührt c die Gerade u bzw. v in U, U bzw. V, V. Die den Doppelpunkt D beinhaltende Zylindererzeugende e D ist Konturerzeugende von Φ für den Kreuzriss; c berührt daher e D in D. Die beiden Plattkreise p und p des Torus Ψ gehören sowohl der ersten als auch der dritten Kontur von Ψ an (Figur 5): Die Trägerebene τ p von p bzw. τ p von p ist ja 2. Hauptebene und berührt Ψ längs p bzw. p.

6 6 Die der Durchdringungskurve c angehörenden Punkte W, W 1 bzw. W, W 1 von p bzw. p sind daher sowohl Konturpunkte für den Grund- als auch für den Kreuzriss. c berührt p bzw. p in W, W 1 bzw. W, W 1. Analoges gilt für c. Figur 5. Die auf c auftretenden Konturpunkte U, U, V, V und W, W, W 1, W 1 In Figur 6 ist das Gabelstück samt der Durchdringungskurve c unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit in Grund-, Auf- und Kreuzriss dargestellt. Die auftretenden Konturpunkte sind eingetragen. Figur 7 zeigt eine schattierte Ansicht des Objekts.

7 Darstellende Geometrie I, Übungen, SS 2011: Gabelstück 7 Figur 6. Resultat. Figur 7. Schattierte Ansicht des Objekts.