Die zehn Apollonischen Probleme

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1 Die zehn pollonischen robleme Norbert Hungerbühler, Zürich 1 Einleitung Neben den klassischen Dreieckskonstruktionen bilden in der Schulgeometrie seit je her die reisberührungsprobleme ein Reservoir an ufgaben um geometrische egriffe zu üben. Dabei wird meist auf eine eigene Systematik für dieses Gebiet verzichtet, nicht zuletzt deshalb, da einige der erührungsaufgaben wohl sehr elegante Lösungen zulassen, deren theoretischer Hintergrund in der Schule jedoch meist fehlt: zum eispiel die berühmte onstruktion von Gergonne, die das roblem löst, einen reis zu konstruieren, der drei gegebene reise berührt (siehe etwa [1]). Dieser aufwendige theoretische Hintergrund muss nicht sein: Wir wollen hier die klassischen zehn pollonischen robleme auf elementare Weise lösen. Dabei setzen wir nicht mehr als die enntnis des Ähnlichkeitsbegriffs, der Sekantensätze und des Sehnenvierecks voraus. 2 Die zehn pollonischen robleme (pollonius von erge ca v. Chr.) Ein reis wird im generischen Fall festgelegt durch drei estimmungsstücke. Diese estimmungsstücke können sein eine angente, ein unkt auf der eripherie, ein berührender reis. Daher sind mit diesen estimmungsstücken zehn verschiedene ufgaben möglich: Suche einen reis, der gegeben ist durch Lösungen der zehn pollonischen robleme Im folgenden wollen wir die trivialen Fälle, nämlich dass ein unkt mit einem weiteren etimmungsstück inzident ist, aus der Diskussion ausschliessen. In den Figuren sind die gegebenen estimmungsstücke dick, alle Hilfslinien dünn gezeichnet. 3.1 Dieses roblem entspricht natürlich der onstruktion des Umkreises eines Dreiecks Der ittelpunkt des gesuchten reises ist der Schnittpunkt der drei ittelsenkrechten der Strecken 1 2, 2 3 und 3 1. Es existiert genau eine Lösung. Falls kollinear sind, ist der gesuchte reis zu einer Geraden entartet. 1

2 3.2 Hier wollen wir zwei Lösungsmöglichkeiten angeben. Vom trivialen Fall 1 2 sehen wir ab Lösung mit Sekanten-angentensatz Nach dem Sekanten-angentensatz muss für den gesuchten reis gelten 1 2 = () 2 1 Damit ist die Strecke konstruierbar. geht dann durch die unkte 1 2, womit die ufgabe auf den Fall zurückgeführt ist. 2 Die onstruktion des unktes erfolgt zum eispiel so: Ist 1 ein beliebiger Hilfskreis durch 1 und 2, so gilt, wiederum nach dem Sekanten-angentensatz 1 2 = ( 1 ) 2. Somit ist 1 = =. Es existieren daher zwei Lösungen, falls 1 und 2 auf derselben Seite von liegen. ndernfalls gibt es keine Lösung ' " Lösung mit einer Symmetriebetrachtung Spiegelt man an der ittelsenkrechten der Strecke 1 2 so ist auch das Spiegelbild 1 eine angente an den gesuchten reis. Damit ist die ufgabe zurückgeführt auf den Fall. 3.3 Sei 1 ein beliebiger Hilfskreis durch 1 und 2, der den gegebenen reis schneidet. Der Sekanten-angentensatz angewendet auf und 1 liefert nacheinander 1 2 = Q 1 Q 2 = () 2 Somit ist der erührungspunkt von mit dem gesuchten reis, und die ufgabe ist auf den Fall zurückgeführt. Q 1 Q 2 1 ' 1 2 Es existieren zwei Lösungen (die zweite erhält man, wenn man von aus noch die zweite mögliche angente an legt), falls 1 und 2 beide ausserhalb oder beide innerhalb von liegen. ndernfalls gibt es keine Lösungen. 2

3 3.4 Sei 1 ein beliebiger Hilfskreis, der die beiden angenten 1 und 2 berührt. ufgrund der Ähnlichkeit bezüglich S ist Q 1 1. Es existieren zwei Lösungen. Die zweite Lösung erhält man, wenn man die onstruktion mit Q 2 an der Stelle von Q 1 durchführt. S 2 Q 1 Q Wir wollen annehmen, dass =, dass und auf derselben Seite von liegen und dass ausserhalb von liegt. Der Fall erlaubt eine analoge Diskussion wie der hier behandelte. CD ist ein Sehnenviereck, da sich gegenüberliegende Winkel auf einen gestreckten Winkel ergänzen. Somit folgt aus dem Sekanten-angentensatz, angewandt auf den Umkreis von CD und den gesuchten reis nacheinander ED E = EC E EC E = E E lso gilt ED E = E E. Somit ist konstruierbar und geht durch, und tangiert, womit die ufgabe auf den Fall zurückgeführt ist. E. ' C ' ' D. E Die onstruktion erfolgt nun so: Sei 1 ein Hilfskreis durch die unkte, D und (Fall ). Dann erscheint als Schnittpunkt der Gerade E mit 1. Ist F = E, so findet man die unkte und gemäss der ufgabe (siehe Figur). Der gesuchte reis ist dann der Umkreis von respektive von. D ' ' ' F '' 1 emerkung: Falls =, so ist die Gerade E eine angente an den gesuchten reis mit erührungspunkt : dieser Fall ist einfach zu diskutieren. 3

4 Insgesamt hat die ufgabe vier Lösungen. Neben den zwei oben konstruierten gibt es nämlich noch zwei Lösungen, welche von innen berühren: us der Ähnlichkeit der Dreiecke CEF und E folgt EC E = E EF und aus dem Sehnensatz für den gesuchten reis erhält man danach E EF = E E, womit wiederum konstruierbar ist. C.. F E ' ' ' 3.6 Im Dreieck 1 2 ist die ussenwinkelsumme 2α + 2β + 2γ = 2π, d.h. α + β + γ = π. Daraus folgt sofort, dass sich im Viereck CD gegenüberliegende Winkel zu einem gestreckten Winkel ergänzen. Daher ist CD ein Sehnenviereck. Der Sekantensatz angewandt auf dessen Umkreis und den gesuchten reis liefert S S = SD SC = S S. Da C Ähnlichkeitszentrum von und 2 ist, gilt D 2 Q. us 1 D 2 Q folgt andererseits, dass S Ähnlichkeitszentrum von 1 und 2 ist. Somit ist zunächst S und dann konstruierbar, und die ufgabe ist auf den Fall zurückgeführt. ' Q ' C γ β γ β D α α 1 1 S 2 2 H Die Lösung konstruiert man nun wie folgt: Sei ein Hilfskreis durch die unkte. Dann erhält man als Schnittpunkt der Geraden S mit. Ist weiter H = S F und G der erührungspunkt der angente von H an 2, so findet man den gesuchten reis als Umkreis der unkte G. Es gibt im allgemeinen vier Lösungen: die genaue Diskussion erfolgt ähnlich wie im Falle. ' F G S 4

5 3.7 Diese onstruktion entspricht der onstruktion der In- und nkreise eines Dreiecks. Die gesuchten Zentren sind die Schnittpunkte der inneren und äusseren Winkelhalbierenden der gegebenen angenten. Im allgemeinen besitzt die ufgabe vier Lösungen. 3.8 Sei ein zum gesuchten reis konzentrischer reis mit einem um R vergrösserten Radius (R der Radius des gegebenen reises ). Ist ein reis der 1, 2 und berührt, so ist ein reis, der 1, 2 berührt und durch geht. Dabei sind 1 und 2 die arallelen zu 1 und 2 im bstand R. Damit ist diese ufgabe auf den Fall zurückgeführt. Im allgemeinen gibt es vier Lösungen. ' 1 ' " 1 2 ' Sei ein zum gesuchten reis konzentrischer reis mit einem um R 1 vergrösserten Radius (R 1 der Radius des kleineren der gegebenen reise i ). Ist ein reis der 1, 2 und von aussen berührt, so ist ein reis, der 2 und berührt und durch 1 geht. Dabei ist die arallele zu im bstand R 1 und 2 der zu 2 konzentrische reis mit um R 1 vermindertem Radius. Damit ist diese ufgabe auf den Fall zurückgeführt. Im allgemeinen gibt es acht Lösungen, die man mit analogen Überlegungen findet. " 1 ' ' ' 3.10 Sei ein zum gesuchten reis konzentrischer reis mit einem um R 1 vergrösserten Radius (R 1 der Radius des kleinsten der gegebenen reise i ). Ist ein reis der 1, 2 und 3 von aussen berührt, so ist ein reis, der 2 und 3 berührt und durch 1 geht. Dabei sind 2 und 3 zu 2 respektive 3 konzentrische reise mit um R 1 verminderten Radien. Damit ist diese ufgabe auf den Fall zurückgeführt. " 1 ' ' ' 3 3 Diese ufgabe besitzt im allgemeinen acht Lösungen. 5

6 Literatur [1] arcel erger, Geometry, vol. 1, erlin (etc.): Universitext, Springer, 1987 dresse des Verfassers: Norbert Hungerbühler, athematik Departement, EH Zürich, CH-8092 Zürich dresse: 6