5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

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1 5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer Normlform. Im Fll = b ist E, b : + = ein Kreis mit Rdius Sei nun b. Wir setzen c := b. Es ist < c <. Die Schnittpunkte ± und von E mit den Achsen heißen Hupt- und Nebenscheitel. Die Zhlen und b heißen große und kleine Hlbchse von E. Die ±b c c Punkte f = und f = heißen die Brennpunkte von E. ε = c ist die Ezentrizität von E. Es ist < ε <. Für + b = =. E liegt lso innerhlb des Kreises um mit Rdius. E ist 5. Stz: E = {p R = dp, f + dp, f }.

2 Beweis: Sei p = R mit dp, f = dp, f. + c + = c + qudrieren + c + c + = 4 + c + c + 4 c + 4 c + = 4 4c c + c + = 4 c + b b + = 4 b = b + =, d.h. p E b Sei nun umgekehrt p = E. Dnn gilt + b = b = ε und dher dp, f = c + = c + b + = Wegen p ε folgt = ε + ε = ε dp, f = ε; nlog zeigt mn dp, f = + ε. Es folgt dp, f + dp, f = ; dmit ist 5. gezeigt. Aus 5. ergibt sich die sog. Gärtner Konstruktion der Ellipse: Eine Schnur der Länge wird in den beiden Brennpunkten f und f befestigt. Führt mn einen Zeichenstift entlng der gespnnten Schnur, so beschreibt dieser eine Ellipse. Tngenten n E: Nch Kpitel V, 8 ist T p E : p + b = die Tngente n E im Punkt p = E. Prmeterdrstellung von t = T p E : v := dem Normlenvektor = n von t. Es folgt b p + bp steht senkrecht uf

3 3 T p E = p + R p + bp denn p T p E Alterntive Herleitung der Formel 3: cosϕ Behuptung: Die Kurve pϕ := b sin ϕ durchläuft E genu ein ml. = ϕ, ϕ < π ϕ cos ϕ b sinϕ + Beweis: = cos ϕ + sin ϕ = pϕ E. b Sei umgekehrt E, d.h. p p + p u b =. Dnn liegt = p v b u uf dem Einheitskreis u + v =. Schreibe q = in Polrkoordinten: v Es gibt genu ein ϕ mit ϕ < π, so dss u = cosϕ und v = sin ϕ. Es ϕ folgt p = u = cosϕ, = bv = b sin ϕ und =. ϕ sin ϕ Leite pϕ nch ϕ b: p ϕ = für ϕ < π. In der b cos ϕ Anlsis lernt mn: Der Geschwindigkeitsvektor p ϕ gibt die Richtung der Tngente n die Kurve E = {pϕ ϕ < π} im Punkt = pϕ n. Es folgt p T p E = p + R b p. 5. Optische Bedeutung der Brennpunkte: Ein von f usgehender Lichtstrhl wird n der Ellipse so reflektiert, dss er dnch durch f geht. Beweis: Der von f usgehende Strhl s treffe E im Punkt p =, lso s h = f p. b Wie gesehen ist = p ein Normlenvektor von t = T p E. p b g := p + R n ist die Normle von E im Punkt p, d.h. g t und p g. Setze h := f p; α = h, g; 3

4 h := f p; α := h, g, v := c fp = ; v = f + c p =. Nch den Gesetzen der Optik geht der von f usgehende Lichtstrhl durch f genu dnn, wenn α = α Einfllswinkel = Ausfllswinkel. Es ist lso z.z.: cos α = cos α. Beweis: Nch ist v = εp und v = + εp. n, v = bp p c + b p = bp c + b p + b p = bp c + b = b εp = b v. Anlog:, n, v = b v. Es folgt cosα = b v = b = b v = cos n v n n v α. Prbeln: Sei c und P = P c := { } = 4c Eine Qudrik Q R heißt Prbel, wenn Q P c, für ein c >. P c ist eine Prbel in euklidischer Normlform. Der Punkt heißt Scheitel und c f = Brennpunkt von P. Die Achse heißt Achse, l : = c Leitlinie von P. 4

5 5.3 Stz. P = {p dp, f = dp, l} c Beweis: Sei p = R und f =. Dnn ist dp, f = c + und dp, l = + c. Also ist dp, f = dp, l c + = + c = 4c p P. Tngenten n P: Sei p = P. Nch Kp. V, 8 ist 4 t := T p P : = c + cp = c + p die Tngente n P im Punkt p. Alterntive Herleitung von 4: P besteht us den Punkten p = 4c, R P = 4c Leite p nch b: p = c. Rich- Anlsis: Für = p = 4c ist p = tungsvektor von t = T p P und dher p t = T p P = p + R c Somit ist n = ein Normlenvektor von T p P und Wegen c T p P : + c = d, d R c = p c T p P P ist d = p + p c = p + 4cp c = p + p = p. Dmit ist + c = p eine Gleichung für T p P. Multipliktion mit c ergibt: T p P : = cp + 5

6 die Formel 4 von oben. 5.4 Refleionseigenschft der Prbel: Ein vom Brennpunkt usgehender Lichtstrhl wird n der Prbel prllel zur Achse reflektiert. Beweis: Sei p = E, g : = p Prllele zur Achse durch p c {q} := g l q = Nch 5.3 ist ds Dreieck q, p, f gleichschenklig. Zeige: t = T p P q f D q, p, f gleichschenklig ist, folgt drus: t ist die Winkelhlbierende des Dreiecks q, p, f bei p. Es folgt: Die Normle von P im Punkt p teilt uch den Winkel zwischen den Gerden f p und g. Nch den Gesetzen der Optik Einfllswinkel = Ausfllswinkel wird dher der Strhl von f durch p längs g reflektiert. Beweis von : c fq = c T p P : c + = cp, d.h. = fq ist ein Normlenvektor von T p P und T p P fq. Hperbeln: Seien, b > und H = H,b = { } b = Eine Qudrik Q mit Q H,b heißt Hperbel. H,b ist eine Hperbel in metrischer Normlform. heißt Mittelpunkt und ± ±c Scheitel von H. mit c := + b sind die Brennpunkte von H. Die Gerden = ± b nennt mn die Asmptoten n H. Geometrische Bedeutung der Asmptoten: H ist gegeben durch die Gleichung = = ± b. Es gilt: lim ± =. Fzit: Für ± nähert sich den Asmptoten = ± b. 6

7 5.6 Stz: H,b = {p dp, f dp, f = ±} Beweis: dp, f = c + cp + dp, f = c + + cp + dp, f = dp, f ± c + cp + = c + + cp ± 4 c + + cp + cp + = ± c + + cp + c + cp + 4 = c + + cp + + b = + b 4 = b b = b p p = p H b Tngenten n H: Nch Kpitel V, 5 ist die Tngente n H im Punkt p = T p H : p = b H. 7