55. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulrunde) Olympiadeklasse 8 Lösungen

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1 55. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulrunde) Olympiadeklasse 8 Lösungen c 2015 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. Alle Rechte vorbehalten Lösung 6 Punkte Es sei n die gesuchte kleinstmögliche Anzahl von Zinnsoldaten. Da beim Aufstellen der Zinnsoldaten in Zweierreihen ein Soldat übrig bleibt, muss n + 1 durch 2 teilbar sein. Da beim Aufstellen der Zinnsoldaten in Dreierreihen zwei Soldaten übrig bleiben, muss n+1 durch 3 teilbar sein. Da beim Aufstellen der Zinnsoldaten in Viererreihen drei Soldaten übrig bleiben, muss n+1 durch teilbar sein. Die Zahl n+1 muss also durch 2, 3 und und daher durch 12 teilbar sein. Folglich ist n+1 ein von 0 verschiedenes Vielfaches von 12. Da beim Aufstellen der Zinnsoldaten in Fünferreihen kein Soldat übrig bleibt, muss n durch 5 teilbar sein. Folglich ist n der durch 5 teilbare Vorgänger eines Vielfachen von 12. Unter den Vielfachen 12, 2, 36, 8,... von 12 ist 36 die erste Zahl, deren Vorgänger durch 5 teilbar ist. Folglich gilt n = 35. Mathematicus hat mindestens 35 Zinnsoldaten Lösung 8 Punkte Das ursprüngliche Darlehen betrage x Euro. 1 Zum ersten Termin wurden( x+50) Euro getilgt. Es blieb eine Restschuld von(x (1 x+50)) Euro, also von ( 3 x 50) Euro. Zum zweiten Termin wurden ( 1 5 (3 x 50) + 60) Euro, also ( 3 x + 50) Euro getilgt. Es 20 verblieb eine Restschuld von (( 3 x 50) ( 3 x+50)) Euro, wegen 3 3 = 15 3 = 12 = also ( 3 x 100) Euro. 5 Zum dritten Termin wurden ( 1 2 (3 x 100)+50) Euro, also ( 3 x) Euro getilgt. Es verblieb 5 10 eine Restschuld von (( 3 x 100) ( 3 x)) Euro, also von ( 3 x 100) Euro Zum vierten Termin beglich Herr Meyer den Restbetrag von 200 Euro. Daher gilt 10 x = 200, also x = Das ursprüngliche Darlehen betrug 1000 Euro. Lösungsvariante: Da Herr Meyer zum vierten Termin noch den Restbetrag von 200 Euro hatte, hatte er nach der Zahlung beim dritten Termin noch 200 Euro Schulden. 1

2 Da er beim dritten Termin von der Restschuld die Hälfte und noch 50 Euro zahlte, hatte er zuvor ((200+50) 2 =) 500 Euro Schulden. Da er beim zweiten Termin den fünften Teil und noch 60 Euro tilgte, hatte er zuvor (( ) 5 =) 700 Euro Schulden. Da er beim ersten Termin den vierten Teil seiner Schuld und noch 50 Euro tilgte, hatte er zuvor ((700+50) =) 1000 Euro Schulden Lösung 9 Punkte Wir bezeichnen die Anzahlen der Münzen, die Anton, Bernd, Claus, Daniel und Eugen erhalten haben, in dieser Reihenfolge mit a, b, c, d und e. Nach der Aufgabenstellung gilt dann und 0 < a < b < c < d < e a+b+c+d+e = n. Da a, b, c, d und e ganze Zahlen sind und wegen (1) folgt a 1, b 2, c 3, d und e 5. Hieraus und aus (2) folgt n = a+b+c+d+e 15. Wir erfassen daher nun tabellarisch ab n = 15, welche den Bedingungen (1) und (2) genügenden Anzahlen a, b, c, d und e möglich sind. Um zu entscheiden, wer gegebenenfalls die Anzahl der Münzen eindeutig ermitteln kann, braucht man nur in den zur betrachteten Anzahl n an Münzen gehörenden Zeilen zu schauen, ob es eine Spalte gibt, bei der eine Zahl z nur einmal auftritt. (Diese Zahlen sind in der Tabelle fett markiert.) Der zu dieser Spalte gehörende Freund kann die Zeile mit dieser Zahl z und daher diese Verteilung der Münzen eindeutig erkennen. n a b c d e Wer? jeder jeder Daniel, Eugen Daniel, Eugen Daniel, Eugen Eugen Claus, Eugen Daniel, Eugen Eugen Daniel niemand Bernd, Eugen Bei n {15,16,17,18} kann in jedem der auftretenden Fälle mindestens einer der Freunde die Verteilung der Münzen erkennen. Bei n = 19 kann keiner der Freunde die Verteilung a = 1, b = 2, c =, d = 5 und e = 7 erkennen, da Anton in weiteren vier Fällen nur eine Münze hat, Bernd in weiteren drei Fällen genau 2 Münzen hat, Claus in einem weiteren Fall auch genau Münzen hat, Daniel in zwei (1) (2) 2

3 weiteren Fällen auch genau 5 Münzen hat und Eugen in einem weiteren Fall auch genau 7 Münzen hat. Daher ist n = 19 die kleinste Zahl, zu der es eine Verteilung gibt, bei der keiner der Freunde aus diesen Angaben eindeutig herausfinden kann, wie viele Münzen die einzelnen Freunde erhalten haben Lösung 10 Punkte Teil a) Wir betrachten das Dreieck APM. Nach Schritt (K2) gilt AM = AP, weswegen das Dreieck APM gleichschenklig mit der Basis MP ist. Daher liegt der Punkt A auf der nach Schritt (K3) konstruierten Mittelsenkrechten m MP der Strecke MP. Es sei C der Mittelpunkt der Strecke MP. Nach Schritt (K3) liegt C auf m MP und es gelten AC = m MP und CM = 1 MP. Nach Schritt (K1) folgt CM = r. Der Punkt C liegt also 2 auf dem Kreis k. Nach Schritt (K3) steht m MP senkrecht auf der Strecke MP und daher auch senkrecht auf der Strecke CM. Da eine Gerade, die durch einen Punkt eines Kreises verläuft und in diesem Punkt senkrecht auf dem zugehörigen Radius steht, eine Tangente des Kreises ist, folgt, dass m MP die Tangente des Kreises k im Punkt C ist. Daher ist m MP eine Tangente an den Kreis k durch den Punkt A. Entsprechend folgt, dass die Mittelsenkrechte m MQ der Strecke MQ auch eine Tangente an den Kreis k durch den Punkt A ist. P m MP C k 1 k M A D m MQ Q k 2 L a 3

4 Teil b) Die Konstruktion der Kreise k 1 und k 2 ist stets möglich. Der Kreis k 1 schneidet den Kreis k 2 genau dann in zwei Punkten, wenn seine Radiuslänge kleiner als das Doppelte des Abstandes von A und M ist. Da A außerhalb des Kreises k um M liegt und dieser Kreis die Radiuslänge r hat, ist der Abstand von A und M größer als r. Das Doppelte des Abstandes von A und M ist folglich größer als 2r. Da der Kreis k 1 die Radiuslänge 2r hat, gibt es daher stets genau zwei Schnittpunkte der Kreise k 1 und k 2. Folglich sind die Schritte (K1) und (K2) stets durchführbar. Da die in Schritt (K2) konstruierten Punkte P und Q den Abstand 2r zu M haben, sind M und P sowie M und Q verschiedene Punkte, weswegen die Konstruktion der Mittelsenkrechten m MP und m MQ in Schritt (K3) auch stets durchführbar ist. Diese Tangentenkonstruktion ist daher stets durchführbar. Teil c) Für die Konstruktionszeichnung siehe Abbildung L55081 a. Teil d) Eine weitere Konstruktion nutzt den Thaleskreis zur Strecke AM: (K1) Man konstruiert den Mittelpunkt K der Strecke AM. (K2) Man zeichnet den Kreis k 1 um K mit der Radiuslänge KM und bezeichnet die Schnittpunkte der Kreise k und k 1 mit C und D. Die Geraden AC und AD sind dann die beiden gesuchten Tangenten. Für die Konstruktionszeichnung siehe Abbildung L55081 b. C mmp k 1 k M K A D m MQ L b

5 Punktverteilungsvorschläge Die nachstehenden Angaben zur Punktverteilung sowohl für die gesamten Aufgaben als auch für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer einheitlichen Bewertung dienen. Dies vereinfacht für die Schülerinnen und Schüler ein Nachvollziehen der Bewertung und ermöglicht für die Organisatoren Vergleiche zum Zweck der Entscheidung über die Teilnahme an der nächsten Runde. Bei der Vielfalt der Lösungsvarianten ist es nicht möglich, Vorgaben für jede Variante zu machen; das Korrekturteam möge aus den Vorschlägen ableiten, welche Vergabe dem in der Schülerlösung gewählten Ansatz angemessen ist. Dabei können auch Lösungsansätze, die angesichts der Aufgabenstellung sinnvoll erscheinen, aber noch nicht erkennen lassen, ob sie wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhalten. Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs ausreichend bekannt gemacht werden. Es wird aber empfohlen, zumindest den prozentualen Anteil der Punkte für Teillösungen beizubehalten. Aufgabe Insgesamt: 6 Punkte Erkennbarer, möglicherweise zum Ziel führender Lösungsansatz... 1 Punkt Ermittlung einer geeigneten Menge von Vielfachen... 3 Punkte Auswahl der kleinstmöglichen Anzahl Punkt Korrektes Ergebnis... 1 Punkt Aufgabe Insgesamt: 8 Punkte Nutzung einer prinzipiell geeigneten Lösungsstrategie... 1 Punkt Begründete Angabe von Teil- oder Zwischenergebnissen Punkte Korrektes Ergebnis... 1 Punkt Hinweis: Bekanntlich ist aus logischer Sicht in dieser Aufgabe keine Probe erforderlich und deshalb auch nicht Bestandteil der Lösung. Es sollte aber jedem Teilnehmenden nicht nur bei dieser Aufgabe klar sein, dass Selbstkontrolle immer zweckmäßig ist. Aufgabe Insgesamt: 9 Punkte Es ist eine prinzipiell geeignete Lösungsstrategie erkennbar... 2 Punkte Lückenlose und korrekte Untersuchungen in einem geeigneten Intervall einschließlich begründeter Angabe von Schranken... 5 Punkte Begründetes und korrektes Resultat... 2 Punkte Aufgabe Insgesamt: 10 Punkte Die Aufgabe ist für Klausuren nicht geeignet, weil sich ein beträchtlicher Teil der Teilnehmer mithilfe selbst gewählter Medien zur Lösung erforderliche Kenntnisse aneignen muss. Teil a)... 3 Punkte Teil b)... 2 Punkte Teil c) Punkte Teil d)... 3 Punkte 5

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