2 Kegelschnitte, Normalformen und Konstruktion

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1 Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 8. August Kegelschnitte, Normalformen und Konstruktion Aufgabe. bis.5: Parabeln Aufgabe.6 bis.9: Kreis, Elipse, Hyperbel Aufgabe.0 bis.: Ungleichungen Aufgabe.3: Kurvendiskussion Aufgabe.: Normalformen (F+H.3) a : nach rechts/links geonete Parabel: (y y s ) = p (x x s ) nach oben/unten geonete Parabel: (x x s ) = p (y y s ) (x s ; y s ) heisst der Scheitelpunkt und p die Onung der Parabel. a Formeln und Hilfen zur Hoheren Mathematik, Verlag Binomi. Zeichnen und bestimmen Sie die Normalform der folgenden Parabeln a) durch die Punkte P = (; 0), P = (; ) und P 3 = (0; ) b) durch P, P und P 4 = (; ) c) durch P, P 5 = (; ) und P 6 = (0; ). Bestimmen Sie die Tangenten vom Punkt P 7 = (3; 3) an die Parabel durch P, P und P 3..3 Bestimmen Sie die Normalen vom Punkt P 7 = (3; 3) auf die Parabel durch P, P und P 3..4 Bestimmen Sie fur die Parabel K durch P, P und P 3 eine Gerade L (die Leitlinie der Parabel) und einen Punkt F (den Brennpunkt der Parabel) so, dass gilt: Die Parabel K ist die Menge aller Punkte P, die zu der Leitlinie L und dem Brennpunkt jeweils gleichen Abstand haben. (siehe auch F+H 7.9).5 Zeigen Sie: Zur Symmetrieachse einer Parabel einfallende parallele Strahlen werden an der Parabel derart reektiert, dass sie durch den Brennpunkt verlaufen.

2 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Losung Aufgabe.: Tangentenbedingung Eine Tangente, die den Graphen der Funktion y = f(x) in einem Beruhrpunkt (x; f(x)) trit, hat die Gleichung also y = m x + n mit m = f 0 (x) und f(x) = m x + n y = f 0 (x) x + (f(x) f 0 (x) x) = f(x) + f 0 (x) (x x) () Wenn diese Tangente durch einen Punkt P = (x 0 ; y 0 ) gehen soll, muss die folgende Tangentenbedingung\ erfullt sein: " Normalenbedingung y 0 = f(x) + f 0 (x) (x 0 x) oder f 0 (x) = f(x) y 0 x x 0 () Eine Normale, die den Graphen der Funktion y = f(x) in einem Beruhrpunkt (x; f(x)) trit, hat die Gleichung y = m x + n mit m = f 0 (x) und f(x) = m x + n also y = f 0 (x) x + f(x) + f 0 (x) x = f 0 (x x) + f(x) (3) (x) Wenn diese Normale durch einen Punkt P = (x 0 ; y 0 ) gehen soll, muss die folgende Normalenbedingung\ erfullt sein: " y 0 = f 0 (x) (x 0 x) + f(x) oder f 0 x x 0 (x) = (4) f(x) y 0

3 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Losung Aufgabe. (Normalformen): a) Parabel durch die Punkte P = (; 0), P = (; ) und P 3 = (0; ) Die Gleichung der Parabel lautet (x ) = y mit (x s ; y s ) = (; 0) und p =. b) Parabel durch die Punkte P, P und P 4 = (; ) Die Gleichung der Parabel lautet y = (x ) mit (x s ; y s ) = (; 0) und p =. c) Parabel durch die Punkte P, P 5 = (; ) und P 6 = (0; ) Die Gleichung der Parabel lautet (x ) = y mit (x s; y s ) = (; 0) und p =. 4 Losung Aufgabe. (Tangenten): Tangenten vom Punkt P 7 = (3; 3) an die Parabel durch P, P und P 3 Es ist nach.a) y = (x ) die Gleichung der Parabel durch die drei Punkte P, P und P 3. Folglich gilt fur einen Punkt (x; f(x)) auf dieser Parabel f(x) = (x ). Ferner ist f 0 (x) = (x ) und folglich f 0 (x) = (x ). In der Gleichung () ist mit (x 0 ; y 0 ) = P 7 = (3; 3) dann (x ) = (x ) 3 x 3 Hieraus ergibt sich (x ) (x 3) = x x + 3 oder x 6 x + 8 = 0 Damit ergeben sich folgende Beruhrpunkte auf der Parabel fur Tangenten von dem Punkt P 7 an die Parabel: P 8 = (4; 9) und P 9 = (; ). Losung Aufgabe.3 (Normalen): Normalen vom Punkt P 7 = (3; 3) auf die Parabel durch P, P und P 3 Es ist nach.a) y = (x ) die Gleichung der Parabel durch die drei Punkte P, P und P 3. Folglich gilt fur einen Punkt (x; f(x)) auf dieser Parabel f(x) = (x ). Ferner ist f 0 (x) = (x ) und folglich f 0 (x) = (x ). In der Gleichung (4) ist mit (x 0 ; y 0 ) = P 7 = (3; 3) dann x 3 (x ) = (x ) 3 Hieraus ergibt sich (x ) [(x ) 3] = x + 3 oder x 3 6 x + x + = 0 Damit ergibt sich zunachst folgende Wertetabelle fur die Kurve y = x 3 6 x + x + zur Bestimmung der Losungen dieser Gleichung: x y x y x y

4 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Daraus ergeben sich folgende Schnittpunkte auf der Parabel fur Normalen von dem Punkt P 7 an die Parabel: P 0 = (:75; 3:07), P = (0:57; 0:9) und P = ( 0:3; :7). Aufgabe. Parabeln Aufgabe.3 Wertetabelle y = x 3 6 x + x + Aufgabe.3 Nullstellen y = x 3 6 x + x + Losung Aufgabe.4 (Geometrischer Ort: Leitlinie und Brennpunkt): Es seien L die durch die Gleichung y = beschriebene Gerade und F der Punkt 4 F = (x F ; y F ) = (; 4 ). Ferner sei P = (x p; y p ) ein beliebiger Punkt auf der nach Aufgabe.a bestimmten Parabel y = (x ) durch die Punkte P, P und P 3, also y p = (x p ). Der Abstand d G zwischen der Geraden L und dem Punkt P ist dann d G = y p + 4. Entsprechend wird der Abstand d F zwischen der dem Punkt F und dem Punkt P bestimmt: s d F = = q (x p x F ) + (y p y F ) = v u t yp + y p y p + (x p ) + y p 4! s = yp 4 + s y p + = yp = y p + 4 = d G Also ist L die gesuchte Leitlinie und F der Brennpunkt.

5 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Losung der Aufgabe.5 (Brennpunkteigenschaft der Parabel): Aufgabe.5 Brennpunkteigenschaft Es treen Strahlen parallel zur y-achse auf eine parabolisch geformte Schale mit der Gleichung y = x. Die Strahlen werden an der Parabel reektiert (Einfallswinkel = Ausfallswinkel). Es werde der Strahl x = a fur ein a > 0 betrachtet. Er trit auf die Parabel im Punkt A = (a; a ). Fur die Tangente in A an die Parabel betragt die Steigung m A = a; sie schneide die x-achse im Punkt B. - Die Abhangigkeit des Einfallswinkels (zwischen einfallendem Strahl und der Tangente an die Parabel) von der Lage des Punktes A lat sich beschreiben durch tan = tan() = m A = a () Der Strahl werde nun in A an der Parabel reektiert. Sein Austrittswinkel ist, der Schnittpunkt mit der x-achse werde mit C bezeichnet. Zu bestimmen ist dann zunachst die Steigung m R des aus A austretenden reektierten Strahles. Dazu werde der Winkel, unter dem dieser Strahl die x-achse trit, mit bezeichnet. Es gilt dann also m R = tan() () In jedem Dreieck ist die Winkelsumme gleich, also auch in dem Dreieck < A; B; C >: = oder = pi a und damit nach () m R = tan() = tan a = Einsetzen von () in diese Gleichung ergibt m R = a a tan( a) = tan() tan () = 4 a 4 a = tan () tan() Nun soll der Schnittpunkt (0; n) des reektierten Strahles mit der y-achse bestimmt werden. Von dem reektierten Strahl mit der Gleichung y = m R x + n sind bekannt:. die Steigung m R (in Abhangigkeit von A = (a; a ) nach (3)).. der Punkt A, der nach Konstruktion auf dieser Geraden liegt. Damit lat sich n berechnen: n = y m R x = a 4 a 4 a a = a a + 4 = 4 Aus (4) ist deutlich, da n unabhangig ist von a: also gehen fur jedes beliebige a die an der Parabelschale reektierten Strahlen durch den Punkt (0; ). Dieser Punkt heit daher der 4 Brennpunkt der Parabel. (3) (4)

6 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.6: Kegelschnitte Untersuchen Sie, welche Kegelschnitte durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden, und skizzieren Sie die Kurven in der x,y-ebene : Aufgabe.6a) y = x Losung Aufgabe.6a): Parabel mit Scheitel (0; 0) und Onung p = Aufgabe.6b) y x 4 y + = 0 Losung Aufgabe.6b): (y ) = (x + ) Parabel mit Scheitel ( ; ) und Onung p = 4 Aufgabe.6d) y = x y Losung Aufgabe.6d): y = 0 oder y = x zwei Geraden. Aufgabe.6c) x 4 x + y = Losung Aufgabe.6c): 5 (x ) = y Parabel mit Scheitel (; 5 ) und Onung p =

7 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.7 und.8: Kreise Normalform: Kreis mit Radius r um Mittelpunkt (x m ; y m ): (x x m ) + (y y m ) = r Aufgabe.7a): Zeichnen und bestimmen Sie die Tangente im Punkt B = (x B ; y B ) = ( ; p 3) an den Kreis x + y =. Losung Aufgabe.7a): Nach F+H 7.5 lautet die Gleichung der Tangente x 0 x + y 0 y = r. Hier ist (x 0 ; y 0 ) = ; p 3 und r =, also x+ p 3 y = oder y = 3 p 3 x+ 3 p 3 Aufgabe.7b): Zeigen Sie, dass der Punkt P = (5; p 3) auf der in.7a) bestimmten Tangente liegt. Losung Aufgabe.7b): Nach Aufgabe.7a) lautet die Gleichung der Tangente y = 3 p 3 x + 3 p 3, also gilt fur x = 5: y = 3 p p p p 3 = 3, d.h. der Punkt P = (5; 3) liegt auf dieser Tangente. Aufgabe.7c): Konstruieren Sie zu diesem Punkt P die zweite Tangente an den Kreis. Bestimmen Sie den Beruhrpunkt R. Losung Aufgabe.7c): Der Punkt P muss auf der Tangente mit dem gesuchten Beruhrpunkt R liegen, also muss nach der Tangentengleichung gelten x R 5 y R p 3 = oder y R = 5 x R p 3 Da R auf dem Kreis liegt, muss zusatzlich gelten x R + y R = Also muss insgesamt fur x R gelten: x R + (5 x R ) = oder 3 3 x R + 5 x R 0 x R + = 3 oder 8 x R 0 x R = 0 und damit 5 x R 4 x R 4 = 0. Aufgabe.7c) Tangente und Kreis Dann ergeben sich die beiden Werte x B = und x R = Aufgabenstellung q bekannt). Dann ist y R; = x = p R; 48 0: (Der Wert x B ist schon aus der

8 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.8: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Kreise x + y = 9 und (x + p ) + (y p ) = 4 und uberprufen Sie die Rechnung an einer Zeichnung. Losung Aufgabe.8: Durch Drehung des Koordinatensystems (siehe Bild) lasst sich die Aufgabe wesentlich vereinfachen Nun lauten die Gleichungen der x + y = 9 und (x 4) + y = 4, und deren Schnitte sind einfach zu bestimmen: x + y = 9 (x 4) + y = 4 Aufgabe.8: Lage der Kreise gemass Aufgabenstellung Die Dierenz der beiden Gleichungen ergibt x (x 4) = 5 Hieraus ergibt sich x (x 8 x + 6) = 5 und damit x = :6 Die Schnittpunkte 8 haben daher die Koordinaten p! s9 8 ; A 35 = 8 8 ; 8 (:6; :45) Aufgabe.8 Lage der Kreise nach Drehung um -35 Werden diese nun wieder um 35 um den Nullpunkt gedreht, so ergeben sich die Koordinaten der wirklichen\ Schnittpunkte. " (Das ist Thema der linearen Algebra: Die Drehung um 35 um den Nullpunkt wird beschrieben durch die Matrix M = cos(35 ) sin(35 ) sin(35 ) cos(35 ) = p also lauten die Koordinaten der Schnittpunkte nach der Drehung 8 M p = 35 p 8 p = 35 6 p p 35 p p p 35 also S = 6 p : :89 p p + 35 und S = 6 + p 0:89 ) 35 :883,,

9 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.9: Kreis, Ellipse und Hyperbel Normalformen: Ellipse mit Halbachsen a und b um einen Mittelpunkt (x m ; y m ): (x x m) a + (y y m) b = Hyperbel nach rechts/links geonet mit Halbachsen a und b um einen Mittelpunkt (x m ; y m ): (x x m) a (y y m ) b = Hyperbel nach oben/unten geonet mit Halbachsen a und b um einen Mittelpunkt (x m ; y m ): (x x m ) a + (y y m) b = Untersuchen Sie, welche Kegelschnitte durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden, und skizzieren Sie die Kurven in der x,y-ebene:.9a): x 9 + y 4 =.9b): 4 x 9 y =.9c): x + y x + 4 y + = 0.9d): x + y = 0.9e): x y x = 0.9f): x x y + y =.9g): x y x + y = 0 Ellipsenkonstruktion: a) Zeichne Rechteck durch die Punkte A := ( a; b), B := (a; b), C := (a; b) und D := ( a; b). b) Falle das Lot von C auf die Gerade durch (0; b) und (a; 0). c) das Lot schneidet die x-achse in dem Krummungskreismittelpunkt des Krummungskreises in (a; 0). d) das Lot schneidet die y-achse in dem Krummungskreismittelpunkt des Krummungskreises in (0; b). Aufgabe.9a) x 9 + y 4 = Losung Aufgabe.9a): Ellipse mit den Halbachsen a = 3, b = Aufgabe.9a) x 9 + y 4 = Losung Aufgabe.9a): Ellipse mit den Halbachsen a = 3, b = Krummungsmittelpunkte: ( 5; 0) und (0; 5 ) 3

10 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.9b) 4 x 9 y = Losung Aufgabe.9b): Hyperbel mit den Halbachsen a =, b = 3 Asymptoten: y = 3 x Aufgabe.9c) x + y x + 4 y + = 0 Losung Aufgabe.9c): (x ) + (y + ) = 4 Kreis mit Mittelpunkt (; ) und Radius Aufgabe.9d) x + y = 0 Losung Aufgabe.9d): Ellipse mit den Halbachsen a = p, b = Aufgabe.9e) x y x = 0 Losung Aufgabe.9e): (x ) y = Hyperbel mit den Halbachsen a =, b = = p und dem Mittelpunkt (; 0)

11 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.9f) x x y + y = Losung Aufgabe.9f): (x y) = zwei zueinander parallele Geraden Losung Aufgabe.9g): x y x + y = 0,, x x + y y = 0 " # ", x x + + y 4 y + 4, (x 4 ) + (y 4 ) = 8 x x + # = 4 Aufgabe.9g): x y x + y = 0 y y = 0 also beschreibt diese Gleichung einen Kreis mit Mittelpunkt ( 4 ; 4 ) und Radius r = r 8

12 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.0: Ungleichungen, eindimensional Produktsatz: a b > 0 und a; b IR! (a > 0 und b > 0) oder (a < 0 und b < 0) Produktsatz: a b < 0 und a; b IR! (a < 0 und b > 0) oder (a > 0 und b < 0) Vietascher Wurzelsatz Fallunterscheidung Regel (UB): a < b und a; b; c IR =) a + c < b + c Regel (UB): a < b und c > 0 mit a; b; c IR =) a c < b c Regel (UB3): a < b und c < 0 mit a; b; c IR =) a c > b c Denition jj: jxj = x fur x 0 und jxj = x fur x < 0. Regel (UB4): jaj < b und b > 0 mit a; b IR, b < a < b Regel (UB5): jaj > b und b > 0 mit a; b IR, a < b oder b < a Untersuchen Sie, fur welche reellen Zahlen x die folgenden Ungleichungen erfullt sind, und skizzieren Sie jeweils die Losungsmengen auf der Zahlengeraden:.0a): x + 3 < x.0b): (x + ) < x (x + ).0c): x 9 x 4 + < 5 (x ).0d): 5 x x+ > 9 Losungen: Aufgabe.0a): x + 3 < x Standardlosung: Nach Regel (UB) mit c = 3: x 0 < 6 x Nach Regel (UB) mit c = x: 0 < 4 x Nach Regel (UB) mit c = : 4 5 Graphische Losung: Aufgabe.0a):y = x + 3 (ausgezogen) und y = x (gestrichelt) Schnittpunkt: x = :5 Gestrichelte Gerade liegt oberhalb der ausgezogenen Geraden fur x > 5.

13 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.0b): (x + ) < x (x + ) Standardlosung: ausmultiplizieren: x + < x + x Nach Regel (UB) mit c = x : 0 < x x Nach Vieta'schem Wurzelsatz: 0 < (x ) (x + ) Nach Produktsatz: entweder x > 0 und x + > 0! x > und x > x > Losung mit Fallunterscheidung: Fall (x + ) > 0: Nach Regel (UB) mit c = In diesem Fall also oder x < 0 und x + < 0! x < und x < x < x+ : < x (x + ) > 0 und < x x > und < x < x und < x, < x Fall (x + ) < 0: Nach Regel (UB3) mit c = : > x x+ In diesem Fall also (x + ) < 0 und > x x < und > x, x < Graphische Losung: Aufgabe.0b): y = (x + ) (ausgezogen) und Parabel y = x (x + ) (gestrichelt) Schnittpunkte: x = und x = Gestrichelte Parabel liegt oberhalb der ausgezogenen Geraden fur x < und fur x >.

14 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.0c): x + < 5 (x ) Standardlosung: Nach Regel (UB) mit c = 5 (x ): x 5 x + 6 < 0 Vietascher Wurzelsatz: (x ) (x 3) < 0 Nach Produktsatz: entweder x > 0 und x 3 < 0! x > und x < 3 < x < 3 Graphische Losung: oder x < 0 und x 3 > 0! x < und x > 3 gibt es nicht Aufgabe.0c): Parabel y = x + (ausgezogen) und y = 5 (x ) (gestrichelt) Schnittpunkte: x = und x = 3 Gestrichelte Gerade liegt oberhalb der ausgezogenen Geraden fur < x < 3.

15 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August x 4 Aufgabe.0d): 5 x x+ > 9 Standardlosung: Trick: Auf eine Seite 0\ " Nach Regel (UB) mit c = 9: 9 x 4 x 5 x+ 9 > 0 Hauptnenner: (9 x 4) (x+) 5 (x ) 9 (x ) (x+) (x ) (x+) x+4 (x ) (x+) > 0 Vorzeichentabelle: - 4 (x + ) j - j + j + j + j (x ) j - j - j + j + j ( x + 4) j + j + j + j - j j j j j j x+4 (x ) (x+) x+4 j + j - j + j - j Da > 0 gelten soll, ist nach obiger Tabelle die Ungleichung gultig fur x < und (x ) (x+) fur < x < 4. > 0 Graphische Losung: 9 x 4 Aufgabe.0d): Kurve y = 5 (ausgezogen) und y = 9 (gestrichelt) x x+ Schnittpunkte: x = und x = und x 3 = 4 Ausgezogene Kurve liegt oberhalb der gestrichelten Geraden fur x < und fur < x < 4.

16 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.: Ungleichungen und Betrage, eindimensional Untersuchen Sie, fur welche reellen Zahlen x die folgenden Ungleichungen erfullt sind, und skizzieren Sie jeweils die Losungsmengen auf der Zahlengeraden: a) jx + 5j < 3 b) jx 5j 3 c) jjxj 5j < 3 Losung.a) (jx + 5j < 3): Standardlosung: Nach Regel (UB4) mit a = x + 5 und b = 3: 3 < x + 5 < 3 Nach Regel (UB) mit c = 5 : 8 < x < Losung.b) (jx 5j 3): Standardlosung: Nach Regel (UB5) mit a = x 5 und b = 3: x 5 3 oder x 5 3 Nach Regel (UB) mit c = 5 : x oder x 8 Losung.c) (jjxj 5j < 3): Allgemeiner Ansatz: Nach Regel (UB4) mit a = jxj 5 und b = 3: 3 < jxj 5 < 3 Nach Regel (UB) mit c = 5 : < jxj < 8 Standardlosung: Daraus werden zwei Ungleichungen, die beide erf ullt sein mussen: < jxj Nach Regel (UB5) mit a = x und b = : x < oder x > jxj < 8 Nach Regel (UB4) mit a = x und b = 8: 8 < x < 8 Insgesamt gilt die Ungleichung also fur 8 < x < und fur < x < 8 Alternativer Ansatz: Trick: Fall x 0 Dann ist nach Denition des Betrages jxj = x. Dann folgt aus < jxj < 8 sofort < x < 8, in diesem Fall (x 0) also < x < 8. Fall x < 0 Dann ist nach Denition des Betrages jxj = x. Dann folgt aus < jxj < 8 sofort < x < 8 oder nach (UB3) > x > 8, in diesem Fall (x < 0) also 8 < x <.

17 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Aufgabe.: Ungleichungen und Betrage, zweidimensional Untersuchen Sie, fur welche Punkte (x; y) der reellen Zahlenebene die folgenden Ungleichungen erfullt sind, und skizzieren Sie jeweils die Losungen:.a) x y <.b): jxj jyj.c): jxj + jyj < Losungen:.a): x y < Die Grenzkurve ist eine Gerade. Daher ist die Ungleichung auf die Normalform einer Geraden umzuformen: Nach Regel (UB) mit c = y : x < y, y > x.b): jxj jyj Aufgabe.a): x y < Fallunterscheidung: Fall x 0 und y 0: Dann ist jxj = x und jyj = y; folglich lautet die Ungleichung x y, y < x. Fall x < 0 und y 0: Dann ist jxj = x und jyj = y; folglich lautet die Ungleichung x y, y x Fall x < 0 und y < 0: Dann ist jxj = x und jyj = y; folglich lautet die Ungleichung x y, y x Fall x 0 und y < 0: Dann ist jxj = x und jyj = y; folglich lautet die Ungleichung x y, y x Aufgabe.b): jxj jyj

18 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August c): jxj + jyj < Fallunterscheidung: Fall x 0 und y 0: Dann ist jxj = x und jyj = y; folglich lautet die Ungleichung x + y <, y < x + Fall x < 0 und y 0: Dann ist jxj = x und jyj = y; folglich lautet die Ungleichung x + y <, y < x + Fall x < 0 und y < 0: Dann ist jxj = x und jyj = y; folglich lautet die Ungleichung x y <, y > x Aufgabe.c): jxj + jyj < Fall x 0 und y < 0: Dann ist jxj = x und jyj = y; folglich lautet die Ungleichung.d): j xj x + y j yj x y <, y > x

19 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Kurvendiskussion a) Nullstellen, Pole und Verhalten fur x! Eine gebrochen rationale Funktion f hat die Form wobei - n und m naturliche und - a 0 ; a ; : : : ; a n und b 0 ; b ; : : : ; b m reelle Zahlen sind. f(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 b m x m + b m x m + + b x + b 0 Wenn daher eine gebrochen rationale Funktion in x 0 = und in x = 0 eine Nullstelle besitzt, dann muss der Zahler die Faktoren x x 0 = x und x x = x enthalten. Und wenn eine gebrochen rationale Funktion in x = und in x 3 = 3 einen Pol besitzt, dann muss der Nenner die Faktoren x x = x und x x 3 = x + 3 enthalten. Wenn dann lim f(x) = 3 gelten soll, dann muss einerseits der hochste Grad im Zahler x! (hier also n) gleich dem hochsten Grad im Nenner (hier also m) sein, [d.h. m = n], und fur die Koezienten a n bzw. b m muss gelten gfraca n b m = 3. Wir wahlen daher Dann gilt: f(x) = 3 x (x ) (x ) (x + 3) = 3 x 6 x x + 4 x 6 lim f(x) = x! lim x! Und die Asymptote? Dazu fuhren wir eine Polynomdivision durch: 3 6 x + 4 x 6 x = 3 f(x) = (3 x - 6 x) : ( x + 4 x 6) = 3 + x+9 x +4 x 6 -( 3 x + 6 x - 9 ) - x + 9 Darin ist y = a(x) = 3 die Asymptote A = (x; y) IR ; y = a(x). Ferner konnen die Schnittpunkte (x s ; y s ) zwischen Kurve und Asymptote bestimmt werden, denn fur diese muss gelten f(x s ) = a(x s ), also hier f(x s ) = 3 x s + 9 Nach dem Ergebnis der Polynomdivision muss also x s + 4 x s 6 = 0 sein, d.h. x s + 9 = 0 oder x s = 9 = 3 4 Asymptote und Kurve. - und dies ist der einzige Schnittpunkt zwischen

20 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August Der Denitionsbereich D ist dann D = IR f; 3g Zur Kurvendiskussion a) Asymtote: gepunktet Pole: gestrichelt Das Verhalten der links- und rechtsseitigen Grenzwerte kann wie folgt beschrieben werden: Fur den Pol x = : lim x! = + lim x! + = Fur den Pol x 3 = 3: lim x! 3 = + lim x! 3 + = b) Nullstellen, Pole und Verhalten fur x! Wieder betrachten wir eine gebrochen rationale Funktion f, diesmal f(x) = x4 3 x x x x 4 4 x x Zunachst suchen wir Nullstellen: Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion sind Nullstellen des Z ahlers, die nicht gleichzeitig Nullstellen des Nenners sind: Also suchen wir im Zahler nach Nullstellen: Der Leitkoezient ist und das absolute Glied des Zahlers ist -, also suchen wir unter den Teilern von -, d.h. in der Menge f; g, nach dem Horner Schema: x 0 = j0 also x 4 3 x x x = (x ) (x 3 x + x) x = j0 also x 4 3 x x x = (x ) (x x) Die Nullstellen x und x 3 der verbleibenden quadratischen Gleichung x sich erraten: x = 0 und x 3 = also gilt x 4 3 x x x = (x ) 3 x x = x (x ) lassen Dann suchen wir Pole: Pole einer gebrochen rationalen Funktion sind Nullstellen des Nenners, die nicht gleichzeitig Nullstellen des Zahlers sind. Also suchen wir im Nenner nach Nullstellen x p;i : Man\ kann erkennen: "

21 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August x 4 4 x x = x (x 4 x + 3) d.h. x p; = 0 und x p; = 0, und es bleibt die quadratische Gleichung x x p;3 = und x p;4 = 3, also x 4 4 x x = x (x ) (x 3) 4 x + 3 ubrig mit Die Funktion f lat sich also schreiben in der Form f(x) = x4 3 x x x (x ) 3 x (x ) = = x 4 4 x x x (x ) (x 3) x (x 3) = x x + x 3 x Auch das Vorzeichenverhalten kann man prufen: Da sich das Vorzeichen einer gebrochen rationalen Funktion hochstens an Nullstellen oder Polen andern kann, gibt es also nur die x-werte x 0 = und x p; = 0 sowie x p;4 = 3, an denen so etwas geschehen kann. Wir wahlen die Produktdarstellung und schreiben folgendes Diagramm: d.h. < x < 0 0 < x < < x < 3 3 < x < (x ) x x (x ) f(x) = x (x 3) im Intervall < x < 0 ist die Funktion f(x) positiv und daher verlauft die Kurve oberhalb der x-achse, im Intervall 0 < x < ist die Funktion f(x) negativ und daher verlauft die Kurve unterhalb der x-achse... Und nun suchen wir die Asymptote: Dazu fuhren wir eine Polynomdivision durch: f(x) = ( x - x + ) :( x 3 x) = + x+ x 3 x -( x - 3 x ) x + Darin ist y = a(x) = die Asymptote A = (x; y) IR ; y = a(x). Ferner konnen die Schnittpunkte (x s ; y s ) zwischen Kurve und Asymptote bestimmt werden, denn fur diese muss gelten f(x s ) = a(x s ), also hier f(x s ) = Nach dem Ergebnis der Polynomdivision muss also x + x 3 x = 0 sein, d.h. x s = - und dies ist der einzige Schnittpunkt zwischen Asymptote und Kurve. Zur Kurvendiskussion b) Asymtote: gepunktet Pole: gestrichelt

22 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August c) Nullstellen, Pole und Verhalten fur x! c) f(x) = x x Losung c: Aufgabe c: f(x) = x x Nullstellen des Zahlers: x Z = Nullstellen des Nenners: x N = Nullstellen der Funktion: x n = Pole der Funktion: x p = Bestimmung der Asymptote: f(x) = (x ) : (x ) = {z} Asymptote: a(x) = a(x) x f(x) a(x) 6= 0 fur alle x IR, also keine Schnittpunkte zwischen Asymptote und Funktion. f 0 (x) = (x ), also keine relativen Extremwerte. c) g(x) = x4 + 4 x Aufgabe c: g(x) = x4 + 4 x Nullstellen des Zahlers: x Z; = + i, x Z; = i, x Z;3 = + i, x Z;4 = i Nullstellen des Nenners: x N; =, x N; = Nullstellen der Funktion: Keine Pole der Funktion: x p; =, x p; = Bestimmung der Asymptote: g(x) = (x 4 + 4) : (x ) = x + {z } Asymptote: a(x) = x + a(x) + 5 x g(x) a(x) 6= 0 fur alle x IR also keine Schnittpunkte zwischen Asymptote und Funktion Bestimmung moglicher Extrema: g 0 (x) = x x4 x 4 (x ) Mogliche relative Extremwerte: x e;5 = p + p 5 :7989, x e; = 0, x e; = p x e;3 = + p 5 :7989, p p x e;4 = 5 :8 i, p p 5 :8 i Aufgabe c: f(x) = x x Aufgabe c: g(x) = x4 + 4 x

23 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August d) Nullstellen, Pole und Verhalten fur x! d) h(x) = x3 x 4 x + 8 x 3 + x d) k(x) = x3 + x + x + x 4 Aufgabe d: h(x) = x3 x 4 x + 8 x 3 + x Nullstellen des Zahlers: x Z; =, x Z; =, x Z;3 = Nullstellen des Nenners: x N; = 0, x N; = 0, x N;3 =, Nullstellen der Funktion: x n; =, x n; = (x n; doppelt) Pole der Funktion: x p; =, x p; = 0, (x p; doppelt) Bestimmung der Asymptote: h(x) = (x 3 x 4 x + 8) : (x 3 + x ) = {z} + 3 x 4 x + 8 x 3 + x a(x) Asymptote: a(x) = h(x) a(x) = 0, x = 3 ( p 8 ) also folgende Schnittpunkte zwischen Asymptote und Funktion:, x : und x :4 Bestimmung moglicher Extrema: h 0 (x) = 3 x3 + 8 x 0 x 6 x 3 (x + ) mogliche relative Extremwerte: x e; = 4, x e; = 3 0:667, x e;3 = Aufgabe d: k(x) = x3 + x + x + x 4 Nullstellen des Zahlers: x Z; =, x Z; = i, x Z;3 = i Nullstellen des Nenners: x N; =, x N; =, x N;3 = i, x N;4 = i Nullstellen der Funktion: keine Pole der Funktion: x p = Bestimmung der Asymptote: (x + ) (x + ) k(x) = (x ) (x + ) (x + ) = x Asymptote: y = 0 k(x) a(x) 6= 0 fur alle x IR, also keine Schnittpunkte zwischen Asymptote und Funktion Bestimmung moglicher Extrema: k 0 (x) = (x ), also keine relativen Extremwerte Aufgabe d: h(x) = x3 x 4 x + 8 x 3 + x Aufgabe d: k(x) = x 3 + x + x + x 4

24 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August links- und rechtsseitiger Grenzwert Wir untersuchen die Funktion ( 4 x 3 fur x < f(x) = cos x fur x an der Stelle x = Sinnvoll ist stets eine Zeichnung: Zu links- und rechtsseitigen Grenzwerten Naturlich sieht man bereits, dass die Kurve stetig ist in diesem Punkt. Aber wir konnen auch rechnen: und lim x!( ) lim x!( ) + 4 x 3 = 4 cos(x 3 = ) = cos( ) = also stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert uberein (und es ist f Untersuchungen zur Stetigkeit = deniert). f(x) = max fx xir ; x + g f(x) = x x x 4 x 0 = 0 ist eine Polstelle, daher nicht stetig fortsetzbar

25 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel Stand: 8. August f(x) = cos(x) + (sin(x)) Diese Funktion kann mit einigen Tricks auch umgeformt werden: f(x) = sin (~)+cos (~)= ========== a b =(a+b) (a b) ========== = cos(x) + (sin(x)) cos(x) + (cos(x)) cos(x) + ( + cos(x)) ( cos(x)) cos(x) Also ist f in x 0 = stetig und es ist f() =. Nullstellen des Nenners: x = k mit k Z