4 Funktionen und Änderungsraten

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1 4.1 Änderungsraten grafisc erfasst Was dic erwartet Mit Funktionen und Grapen lassen sic viele Situationen und Vorgänge bescreiben bzw. modellieren. Bei der Interpretation der Grapen spielt oft das Änderungsveralten eine bedeutende Rolle. Dies wird durc die Änderungsrate erfasst. Auc sie lässt sic als Funktion grafisc darstellen. Flugzeug im Landeanflug Flugöe als Funktion der Zeit Sinkgescwindigkeit als Funktion der Zeit Das Flugzeug näert sic im Sinkflug dem Flugafen. In dem Diagramm sinkt das Flugzeug gleicmäßig. Es benötigt eine lange Zeit, um von seiner normalen Flugöe zum Aufsetzen zu kommen. Wie scnell das Flugzeug sinkt, kann der Pilot an der Sinkgescwindigkeit ablesen. Diese ist in unserem Beispiel konstant. Konstante Änderungsraten, wie man sie bei Geraden erält, sind nict ser spannend und uns auc bereits bekannt. Was ist, wenn sic die Änderungsrate ändert? Modell des Wacstums von Bakterien Bakterienbestand als Funktion der Zeit Wacstumsrate als Funktion der Zeit Nac langsamem Beginn wäcst der Bestand zunäcst immer scneller, ab einem bestimmten Zeitpunkt wird das Wacstum wieder langsamer und sinkt scließlic auf naezu Null. Änderungsveralten grafisc dargestellt. Die Wacstumsrate ändert sic mit der Zeit. Es gibt einen Zeitpunkt, an dem die Änderungsrate maximal ist. Stellt man Änderungsraten als Funktion dar, so kann man das Änderungsveralten auf einen Blick erfassen. Dies gesciet zunäcst qualitativ. In den näcsten Lernabscnitten wird dies mit passenden Begriffen und Verfaren numerisc präzisiert. 98

2 4.1 Änderungsraten grafisc erfasst 1 Füllvorgänge und Grapen Im Science-Center in Paris findet sic ein Experiment, in dem Gefäßformen durc ire Füllgrapen carakterisiert werden. In die Gefäße fließt mit gleicmäßigem Zufluss eine Flüssigkeit ein. Mit der Zeit ändert sic die Füllöe in dem jeweiligen Gefäß, dies kann man am Steigen des Flüssigkeitsspiegels gut beobacten. Aufgaben I II III IV V VI Der Flüssigkeitsspiegel für jedes Gefäß wird jeweils im Sekundenabstand festgealten und aufgezeicnet. So entsteen wie bei einer Stroboskopaufname die secs Bilder in den Spalten A bis F. A B C D E F Hier ist der Füllvorgang für jedes Gefäß in einem Grapen zur Zuordnung Zeit Füllöe (t ) dargestellt (Füllgrap). a) Ordne den Gefäßen im obigen Bild jeweils die passende Stroboskopaufname und den passenden Füllgrapen zu. Begründe deine Entsceidungen. b) Die Blumenvase wird mit gleicmäßigem Zulauf mit Wasser gefüllt. In Band 7 wurden solce Füllgrapen bereits eingefürt. Eine interaktive Software zum Training solcer Aufgaben ist auf der CD Funktionen und Grapen zu finden. Blumenvase Füllgrap t Gescwindigkeitsgrap t v Die nebensteende Bescreibung des Füllgrapen mit Hilfe der Steiggescwindigkeit findet sic im Gescwindigkeitsgrapen der Zuordnung Zeit (t) Gescwindigkeit (v) wieder. Lege deinem Nacbarn deine eigene Aufgabe vor, z.b. ein Gefäß, zu dem er den Füllgrapen und den Gescwindigkeitsgrapen zeicnen soll oder einen Gescwindigkeitsgrapen, zu dem ein passendes Gefäß gezeicnet werden muss. Anfangs steigt der Wasserspiegel rect scnell an. Die Steiggescwindigkeit wird in den ersten beiden Zeitabscnitten zunäcst immer geringer, dann nimmt sie im dritten Abscnitt wieder zu. Im letzten Abscnitt wäcst die Höe mit gleic bleibender Gescwindigkeit. 99

3 Basiswissen Änderungsrate Viele Situationen und Vorgänge werden durc Funktionsgrapen bescrieben. Aus dem Grapen lässt sic zu jeder Stelle x der zugeörige y-wert ablesen. Oft ist es von besonderem Interesse, wie sic die Funktionswerte in bestimmten Abscnitten verändern. Dies wird durc die Änderungsrate erfasst. Die Änderungsrate an einer bestimmten Stelle ängt eng mit der Steileit des Grapen an dieser Stelle zusammen. Je steiler der Grap ansteigt oder abfällt, desto stärker ändert sic der Funktionswert an dieser Stelle. Anders als bei einer Geraden, die überall gleicmäßig ansteigt oder abfällt, ändert sic die Steigung einer Kurve offenbar von Punkt zu Punkt. Die Gerade durc die Berürungspunkte kann man als Sekante der Kurve bezeicnen. An Stelle des Radfarers kann man auc ein Lineal benutzen. Das Bild verrät, wie man die Steigung für einen bestimmten Kurvenpunkt scätzen kann: Der Radfarer färt auf der Kurve entlang. Wenn er sic mit seinen Pedalen über dem bestimmten Kurvenpunkt befindet, berüren die beiden Räder links und rects davon die Kurve. Diese Berürungspunkte verbinden wir in Gedanken mit einer Geraden. Die Steigung dieser Geraden gibt einen guten Scätzwert für die Steigung der Kurve in dem Punkt. Damit kann der Steigungsgrap qualitativ skizziert werden. Er gibt Auskunft über die Änderungsrate an jeder Stelle. Funktionsgrap Weg-Zeit-Diagramm Steigungsgrap Beispiel Weg-Zeit-Diagramm: Jedem Zeitpunkt t wird der bis dain zurückgelegte Weg zugeordnet. A Der Grap zeigt das Weg-Zeit- Diagramm einer Autofart. Bescreibe die Fart mit eigenen Worten und zeicne den zugeörigen Steigungsgrapen. Weg-Zeit-Diagramm Die Änderungsrate ist in diesem Falle die Gescwindigkeit, der Steigungsgrap somit das Gescwindigkeits-Zeit-Diagramm. Lösung: Am Anfang wird die Gescwindigkeit eröt, dann färt das Auto eine Zeit lang mit etwa gleicbleibender Gescwindigkeit. Diese wird dann kurzfristig reduziert. Das Auto färt nun langsamer wieder mit konstanter Gescwindigkeit. Offensictlic wird nun eine Scnellstraße erreict. Die Gescwindigkeit wird eröt (es wird bescleunigt), dann wird mit konstant öerer Gescwindigkeit gefaren. Gescwindigkeits-Zeit-Diagramm 100

4 4.1 Änderungsraten grafisc erfasst 2 Ebbe und Flut an der Nordsee Bei Hoc- und Niedrigwasser steigt oder fällt der Wasserspiegel langsam, in der Mitte zwiscen diesen Ständen besonders scnell. Im Grapen ist der Wasserstand an der Nordsee an einem Hocsommertag wärend einer Gezeitenperiode von 12,6 Stunden skizziert. Welcer der folgenden Grapen gibt die Wasserstandsänderung wärend dieser Zeit am besten wieder? Begründe deine Auswal. Übungen 3 Wasserstandsmeldungen Bei droendem Hocwasser gewinnen die Wasserstandsmeldungen besondere Bedeutung. Dabei ist nict nur der aktuelle Pegelstand (Höe des Wasserstandes) von Interesse, sondern auc die aktuelle Wasserstandsänderung. Aus ir und weiteren Erfarungsdaten kann man äufig die Entwicklung des Hocwassers in den folgenden Stunden und Tagen prognostizieren. Das Pfingstwocenende 1999 bracte der Stadt Keleim (Bayern) ein Jarundert-Hocwasser. Bescreibe anand des Diagramms die Entwicklung des Hocwassers in Keleim vom bis zum Zeicne zu dem Wasserstandsgrapen auc einen passenden Grapen zur Änderungsrate des Wasserstandes. Samstag 22. Mai. Nacdem der Donau-Pegel rapide ansteigt, kommt erstmals der Krisenstab zusammen. 4 Fructfliegen Eine Fructfliegenpopulation entwickelt sic unter Laborbedingungen gemäß der nebensteenden Grafik. a) Bescreibe die Entwicklung mit eigenen Worten. Findest du eine Begründung für den Verlauf der Kurve? b) Skizziere den Grapen der Änderungsrate des Bestandes. 101

5 Übungen 5 Regenmesser Muss ic eute gießen oder nict? Diese Frage erübrigt sic mit einem Blick auf den Regenmesser. Er misst ganz genau die Niedersclagsmenge. Ein Teilstric entsprict einem Liter Wasser pro m². Für meteorologisce Daten werden sensible Geräte benutzt, die eine kontinuierlice Aufzeicnung der Höe im Regenmesser über den gesamten Tag ermöglicen. Automatisce Niedersclagsmesser verwenden eine Kippwaage. Dabei füllt sic jeweils eine Scale mit Niedersclagswasser. Bei einem bestimmten Gewict kippt sie nac unten und entleert sic. Aus der Anzal der Kippbewegungen kann die Niedersclagsmenge berecnet werden. a) Welce Bedeutung at die Steigung in dem aufgezeicneten Grapen? b) Skizziere einen Niedersclagsgrapen und den zugeörigen Änderungsgrapen für einen wecselaften Sommertag für einen stürmiscen Gewittertag. 6 Staatssculden und Änderungsrate Der abgedruckte Zeitungsausscnitt ist am in der WAZ erscienen. Scaue dir die Aussage von Minister Steinbrück an: Das Versculdens-Tempo nimmt wieder ab. a) Nimm an, die Höe der Sculden würde durc eine Funktion dargestellt. Skizziere einen möglicen Verlauf des Grapen, der zu der Aussage von Steinbrück passt. b) Formuliere die Aussage von Steinbrück um, indem du darin den Begriff Änderungsrate verwendest. Berlin. Der Mann at den scwersten Job in der Regierung. Und den wictigsten dazu. Finanzminister Peer Steinbrück (SPD) versuct nict die Lage scönzureden, auc jetzt nict, da sic einige dunkle Wolken verzogen aben. Wir aben es mit weniger sclecten Zalen zu tun, kommentiert der Berliner Kassenwart die steigenden Steuereinnamen. Und an anderer Stelle stellt er klar: Das Versculdens-Tempo nimmt wieder ab. Heißt auc, die Sculden werden nict abgebaut. 7 Aussagen über Änderungen Na endlic! Rückgang der Arbeitslosenzalen bescleunigt sic. Sculentwicklung Dramatiscer Rückgang der Scülerzal Klimakatastrope Die Durcscnittstemperaturen wacsen immer scneller. Trendwende! Die Zuname der Verkersunfälle konnte verringert werden. Welcer der folgenden Grapen könnte zu welcer Sclagzeile passen? Bescrifte auc die Acsen und gib eine grobe Skalierung an. 102

6 4.1 Änderungsraten grafisc erfasst 8 Höenforscungsrakete vom Steigungsgrapen zum Funktionsgrapen Eine Höenforscungsrakete ist ein ballistiscer Flugkörper, der aus einer antreibenden Feststoffrakete und einem aufgesetzten Nutzlastbeälter bestet. Als Nutzlast werden Kapseln mit Messinstrumenten für wissenscaftlice Forscungen in Höen zwiscen 45 km und über km befördert. In vielen Fällen fallen die Kapseln nac irem Höeneinsatz zurück zur Erde, um dort zur Auswertung der Messungen geborgen zu werden. Das letzte Stück des Fallweges wird sanft durc Fallscirme gebremst. Im Folgenden sind zwei Diagramme für den Höenflug der Kapsel bis zur Rückker auf die Erde aufgezeicnet. Übungen Gescwindigkeits-Zeit-Diagramm Höe-Zeit-Diagramm positive Gescwindigkeit eißt: Steigen der Kapsel negative Gescwindigkeit eißt: Fallen der Kapsel a) Bescreibe den Flug mitilfe des Gescwindigkeitsdiagramms. In welcem Abscnitt brennt der Raketenantrieb? Wann beginnt die Kapsel zu sinken? Zu welcem Zeitpunkt öffnet sic der Fallscirm? b) Der recte Grap ist unvollständig. Vervollständige in bis zum Zeitpunkt der Landung. Wo finden sic die markanten Punkte des Gescwindigkeitsgrapen in dem Höe-Zeit-Grapen wieder? Vergessenskurve nac Ebbingaus Die Vergessenskurve veranscaulict den Grad des Vergessens. Er gibt an, wie viel Prozent neu gelernter Inalte mit der Zeit vergessen werden. Die Kurve wurde von dem deutscen Psycologen Hermann Ebbingaus durc Selbstversuce entdeckt. Die Ergebnisse von Ebbingaus besagen, dass wir 20 Minuten nac dem Lernen bereits etwa 40% des Gelernten vergessen aben. Nac einer Stunde sind nur noc 45%, nac einem Tag gar nur noc 34% des Gelernten im Gedäctnis. Secs Tage nac dem Lernen scrumpft das Erinnerungsvermögen auf nur noc 23%; daueraft werden nur 15% des Erlernten gespeicert. Das Vergessen ist natürlic auc abängig von der Art des zu lernenden Stoffes, beispielsweise kann der Mensc sic meist besser an Wortpaare wie fremdspracige Vokabeln als an zufällige, sinnlose Silben erinnern. Ebbingaus experimentierte mit sinnlosen Silben wie ZOF oder WUB, was sicer nict einer ecten Lernsituation entsprict. Insbesondere ist das Vergessen auc abängig von der emotionalen Betroffeneit des Lernenden, so dass die Vergessenskurve dann einen anderen, viel flaceren Verlauf aufweisen kann. 9 Zeicne und interpretiere den Grapen der Änderungsrate für die im Exkurs dargestellte Vergessenskurve. Welce Ratscläge für das Lernen könnte man daraus ableiten? 103

7 Übungen Die Sprungkurve eines Snowboarders. Steig- und Fallgescwindigkeit ändern sic. 10 Steigungsgrapen der bekannten Funktionen Viele Situationen lassen sic durc bekannte Funktionen rect gut modellieren, etwa durc Parabeln oder Hyperbeln. Oft gewinnt man über die Änderungsraten zusätzlice Informationen. Wir können uns mit den biser erworbenen Strategien einen Überblick über die Steigungsgrapen der elementaren Funktionstypen verscaffen. a) Scau dir mit dem GTR die Grapen der nebensteenden Funktionen Y 1 bis Y 4 im Bereic x min = 0, x max = 5 an. Skizziere die Grapen auf vier Kärtcen. b) Auf den Kärtcen A bis D wird jeweils das Steigungsveralten der vier Funktionen verbal bescrieben. Auf den Kärtcen I bis IV sind die zugeörigen Steigungsgrapen skizziert. Alles ist ein bisscen durceinander geraten. Ordne jeweils die zwei passenden Kärtcen den Funktionen Y 1,Y 2,Y 3 und Y 4 zu. A Am Anfang enorm große Steigung, diese wird dann scnell kleiner und kommt scnell der 0 nae. B Am Anfang ser stark fallend, dann bleibt die Kurve fallend, allerdings immer weniger steil bis naezu 0. C Die Steigung wäcst von 0 an gleicmäßig an. D Zunäcst scwac positive Steigung, diese wird dann aber rasc größer. I II III IV c) Skizziere die Steigungsgrapen für die linearen Funktionen. Was fällt dir auf? Y 5 (x) = 2x, Y 6 (x) = 3x, Y 7 (x) = 2x und Y 8 (x) = 2x Änderungsraten in versciedenen Saczusammenängen Je nac dem Zusammenang, der im Funktionsgrapen bescrieben wird, at die Änderungsrate eine bestimmte Bedeutung. In der folgenden Tabelle sind Beispiele aufgefürt. Ergänze die Lücken in der Tabelle und gib weitere Beispiele an. Wir werden diese Tabelle in folgenden Lernabscnitten immer wieder aufgreifen und erweitern. Funktionsgrap Weg-Zeitgrap einer Autofart Höenprofil einer Wanderstrecke Füllöe einer Flüssigkeit in einem Gefäß zu einem bestimmten Zeitpunkt Sculdenöe zu einem bestimmten Zeitpunkt Pegelstand eines Flusses zu einem Zeitpunkt Wasserstand im Regenmesser zu einem Zeitpunkt Änderungsrate Gescwindigkeit zu einem Zeitpunkt Anstieg des Weges an einer Stelle Steiggescwindigkeit des Wasserspiegels zu diesem Zeitpunkt Steiggescwindigkeit beim Start eines Flugzeugs zu einem bestimmten Zeitpunkt Bevölkerungswacstum zu einem bestimmten Zeitpunkt 104

8 4.1 Änderungsraten grafisc erfasst Grapen laufen Im Matematicum in Giessen kann man Besucer beobacten, die sic mit größter Konzentration auf einem vier Meter langen Streifen auf eine Wand zu und weg bewegen und dabei gebannt iren Blick auf eine weiße Kurve auf einem Bildscirm ricten. Beim Laufen entstet eine weitere gelbe Kurve auf dem Bildscirm. Die scwierige Aufgabe bestet offenbar darin, so zu laufen, dass diese gelbe Kurve mit der vorgegebenen Kurve möglicst gut übereinstimmt. Was steckt dainter? An der Wand ist ein Sensor angebract, der in kurzen Zeittakten den Abstand des Wanderers zur Mauer misst. Jedem Zeitpunkt t wird so der zugeörige Abstand d zugeordnet. Mit dem Lauf entwickelt sic dann der zugeörige Grap im Koordinatensystem. Projekt Birgit überlegt sic einen Laufplan für die weiße Kurve auf dem Bildscirm: Zuerst muss ic etwa zwei Meter gleicmäßig auf die Wand zulaufen. Dann laufe ic plötzlic ein kleines Stück rückwärts, etwas langsamer als bei der Vorwärtsbewegung. Dann get es wieder etwa zwei Meter vorwärts, gleicmäßiger Scritt und etwas langsamer als am Anfang. Nun wieder rückwärts mit Passt der Plan soweit zur Kurve? Vervollständige in. Skizziere auc ein passendes Gescwindigkeit-Zeit-Diagramm zu dem Lauf. Beacte, dass beim Vorwärtslaufen die Gescwindigkeit (Abstandsänderung) negativ ist. Die gelbe Linie gibt an, wie Birgit wirklic gelaufen ist. Bescreibe die Abweicungen von der vorgegebenen Kurve. Findest du eine Erklärung dafür? Woran erkennt man im Grapen Vorwärts- und Rückwärtsbewegungen? ob man sic scnell oder langsam bewegt? ob die Bewegung gleic- mäßig ist? So rictig interessant wird es erst durc eigene Laufversuce. Wenn du Glück ast, könnt ir einen Tag im Matematicum in Giessen oder auf einer der Wanderausstellungen in eurer Region einlegen. Matematisce Exkursion Vielleict gibt es an eurer Scule aber auc einen Ultrascallsender (sogenannte Ranger), den man an den grafikfäigen Tascenrecner anscließen kann. Damit kann das Grapen laufen im Klassenraum oder auf dem Sculof stattfinden. Matematik auf dem Sculof Ganz one Geräte lont sic aber auc das Gedankenexperiment, vielleict in Anlenung an die beliebte Spielform Stille Post. Ein Laufgrap wird an die Tafel gezeicnet, dann wird der Grap verdeckt. Ein Wissender läuft den Grapen für einen Unwissenden vor, dieser zeicnet dann den eigenen Grapen. Wie groß ist die Übereinstimmung mit dem Tafelbild? Gedankenexperiment im Spiel Weitere Varianten oder auc Wettbewerbsformen fallen euc sicer ein. 105

9 4.2 Von der durcscnittlicen zur momentanen Änderungsrate Was dic erwartet Kommt Zeit, kommt Rat, Die Zeit eilt alle Wunden. Fast alles ändert sic mit der Zeit. Nict immer ist der gerade vorliegende Zustand entsceidend, sondern äufig auc die Veränderungen. Es wird mer, es wird weniger, es wird besser, es wird sclecter sind qualitative Aussagen über Änderungen, mit denen du dic bereits in dem vorergeenden Lernabscnitt befasst ast. In diesem Lernabscnitt wirst du lernen, wie man Änderungsraten auc messen und berecnen kann. Aus dem Alltag sind uns numerisce Angaben von Änderungsraten bekannt. Die Gescwindigkeit wird uns vom Tacometer im Auto angezeigt. Die Steigung auf steilen Straßen wird in Prozent auf Straßenscildern angegeben. Die Änderungsraten können aus Messdaten oder geeigneten Funktionen gewonnen werden. Das Hauptziel ist die Bescreibung und Ermittlung der momentanen Änderungsrate. Der Weg dain fürt über die durcscnittlice Änderungsrate. Dabei wirst du dic auc in ersten Scritten mit dem gedanklic komplexen Problem des Grenzwerts auseinandersetzen. Aufgaben 1 Eine Autofart durc ein Dorf Die Ortsdurcfart von Herrn Mayer ist in dem Weg-Zeit-Diagramm sorgfältig aufgezeicnet. Ab 25 km/ Überscreitung der zulässigen Höcstgescwindigkeit innerorts muss der Fürerscein abgegeben werden. a) Bescreibe die Fart mit Worten. b) Herr Mayer wurde bei der Ortsdurcfart geblitzt. Muss er mit einer Anzeige wegen Gescwindigkeitsüberscreitung oder gar mit dem Fürersceinentzug recnen? Er selbst meint, dass er nur 45 km/ gefaren ist. Wie kann er darauf gekommen sein? Wie entsceidest du? Begründe deine Entsceidungen. 106

10 4.2 Von der durcscnittlicen zur momentanen Änderungsrate 2 Eine Mountainbike-Tour durc die Berge a) Das Höenprofil der Tour ist für den Radsportler von großer Bedeutung. Welce wictigen Informationen kann er aus dem Diagramm ablesen? b) Wie groß ist die durcscnittlice Steigung der Aufstiege und Abfarten? c) An welcer Stelle ist in etwa der größte Anstieg, wo das größte Gefälle? Scätze die Prozentwerte. 3 Der freie Fall Wie fallen Gegenstände? Mit welcer Gescwindigkeit sclagen sie auf dem Boden auf? Leitaufgabe Galileo Galilei ( ) untersucte solce Fragen. Sein Scüler Vincenzio Viviani beauptete, dass er dazu auc Versuce am sciefen Turm von Pisa durcgefürt at. Aber zu seiner Zeit waren die Uren nict genau genug, um aussagekräftige Ergebnisse zu eralten. Das ist eute anders. Mit Hilfe von Stroboskopaufnamen kann man Fallbewegungen veranscaulicen und berecnen. Lässt man einen Stein vom sciefen Turm in Pisa fallen und mact im Abstand von einer alben Sekunde jeweils ein Bild, so geben A, B,, G die entsprecenden Positionen des Steines an. a Die Höe ängt von der Zeit ab. Mitilfe der Tabelle eralten wir ein Höen-Zeit-Diagramm. A B C D E F G Zeit t in s 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Höe in m 45 43, , ,8 0 Woran kann man erkennen, dass der Stein zunemend scneller fällt? Wie müsste die Aufname ausseen, wenn er mit konstanter Gescwindigkeit fallen würde? Durcscnittsgescwindigkeit und deren Veranscaulicung Für die 45 m Fallstrecke benötigt der Stein drei Sekunden. Seine Durcscnittsgescwindigkeit beträgt v = Weg Zeit = 45 m 3 s =15 m s. Nemen wir einmal an, der Stein würde durcweg mit dieser Gescwindigkeit fallen. H I J K L M N Zeit t in s 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Höe in m 45 37, ,5 15 7,5 0 Gedankenexperiment Höen-Zeit-Diagramm bei konstanter Gescwindigkeit (rote Linie) 107

11 Das Höen-Zeit-Diagramm ist dann eine Gerade durc die Punkte (0 45) und (3 0). Die Steigung dieser Geraden entsprict der Durcscnittsgescwindigkeit. Mit dem realen Höen-Zeit-Diagramm at die Gerade nur den Startpunkt (0 45) (Start in 45 m Höe zum Zeitpunkt t = 0) und den Aufsclagpunkt (3 0) gemeinsam. Der Stein landet nac drei Sekunden auf dem Boden. Die wirklice Gescwindigkeit des Steins ist anfänglic kleiner und ab irgendeinem Zeitpunkt größer als die Durcscnittsgescwindigkeit. Die Steigerung und damit die Gescwindigkeit ist negativ, da der Stein fällt. Uns interessiert ier zunäcst nur der Betrag der Gescwindigkeit. Durcscnittsgescwindigkeiten auf kleineren Zeitintervallen Genauer kann man die Gescwindigkeit beim freien Fall bescreiben, wenn man die Durcscnittsgescwindigkeiten in den einzelnen Messintervallen berecnet. Für das erste Intervall erält man eine Durcscnittsgescwindigkeit von 2,4 m/s: 45 43,8 0,5 = 2,4 b Berecne die Durcscnittsgescwindigkeiten in den anderen Messintervallen. Zeitintervall in s [0;0,5] [0,5;1] [1;1,5] [1,5;2] [2;2,5] [2,5;3] Durcscnittsgescw. in m/s 2,4 13,8 0,5 = 27,6 Genauere Bestimmung der Aufprallgescwindigkeit Mit dem Ergebnis für die Durcscnittsgescwindigkeit auf dem Zeitintervall [2,5;3] erält man einen Scätzwert von 27,6 m/s für die Aufprallgescwindigkeit, d.. der Gescwindigkeit zum Zeitpunkt t = 3 s. Will man die Aufprallgescwindigkeit genauer wissen, dann benötigt man weitere Messwerte, am besten ganz nae bei dem Aufprallpunkt. Wir verscaffen uns diese nict durc Messen, sondern durc eine Anleie bei der Pysik. Diese besagt, dass der freie Fall durc eine Funktion modelliert werden kann. Für den Fall aus 45 m Höe ist ierfür die Funktion (t) = 45 5 t 2 geeignet. c Bestätige, dass (t) = 45 5 t 2 eine passende Funktion für die angegebenen Tabellenwerte ist. Bestimme mitilfe dieser Funktion die Gescwindigkeit zum Zeitpunkt des Aufpralls. Sekante (griecisc): die Scneidende Weil der Stein fällt und wir mit der Formel (b) (a) recnen, erält b a man einen negativen Wert für die Gescwindigkeit. Die Durcscnittsgescwindigkeit im Intervall (b) (a) [a;b] lässt sic nun mit der Formel berecnen. b a Die Durcscnittsgescwindigkeit entsprict der Steigung der Sekante durc die Punkte P und Q. Wir näern uns der gesucten Aufprallgescwindigkeit, indem wir zunemend kleiner werdende Intervalle vor dem Aufprallzeitpunkt untersucen. [a;b] (a) (b) (b) (a) b a [2,9;3] (2,9) = 2,95 (3) = 0 0 2,95 3 2,9 = 29,5 [2,99;3] (2,99) = 0,2995 (3) = 0 0 0, ,99 = 29,95 [2,999;3] (2,999) = 0, (3) = 0 0 0, ,999 = 29,995 Die Aufprallgescwindigkeit beträgt ungefär 30 m/s. Das entsprict 108 km/. 108

12 4.2 Von der durcscnittlicen zur momentanen Änderungsrate Änderungsveralten einer Funktion Man kann das Änderungsveralten einer Funktion auf einem Intervall [a; b] bescreiben: Basiswissen Intervall [a; b] (1) mit der Differenz Geometrisce Bedeutung: y =f(b) f(a) Dies ist die Differenz der Funktionswerte am Ende und am Anfang des Intervalls. delta : griecisces D, stet für Differenz y: Differenz der y-werte (2) mit dem Differenzenquotienten y = f(b) f(a) x b a Dies ist die durcscnittlice Änderungsrate der Funktion im Intervall [a; b]. Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Geraden (Sekante) durc P(a f(a)) und Q(b f(b)) an. Die Steigung der Sekante ist die mittlere Steigung des Grapen auf dem Intervall [a; b]. Das Änderungsveralten einer Funktion an der Stelle a kann man näerungsweise bestimmen. Ermittlung eines Näerungswertes für die Änderungsrate an der Stelle a. Man berecnet die durcscnittlice Steigung auf dem Intervall [a;a + ]. y x f(a + ) f(a) = Sekante: die Scneidende Statt durcscnittlice Änderungsrate/Steigung sagt man oft auc mittlere Änderungsrate/ Steigung. xb = at ist gut fürs Recnen. Für setzt man eine ser kleine Zal ein. Setzt man z.b. für den Wert 0,001 ein, so erält man die durcscnittlice Änderungsrate der Funktion auf dem ser kleinen Intervall [a;a + 0,001]. Dies liefert einen guten Näerungswert für die Steigung des Grapen der Funktion an der Stelle a. A Scätze die Steigung des Grapen der Funktion f(x) = 4 x 2 an der Stelle a = 1 mit dem Differenzenquotienten für kleines Beispiele Lösung: f(1 + 0,01) f(1) = 2, ,01 0,01 = 0,0201 0,01 = 2,01 Der Wert der Änderungsrate an der Stelle 1 ist ungefär 2,01. Ein besserer Näerungswert für die Änderungsrate an der Stelle a = 1 f(1 + 0,00001) f(1) ist 2, ,

13 B Änderungsveralten der Funktion f(x) = x a) Bescreibe das Änderungsveralten auf dem Intervall [0; 4] und deute es geometrisc. b) Berecne einen Näerungswert für die Änderungsrate der Funktion an der Stelle 2. Lösung: a) Differenz der Funktionswerte am Ende und am Anfang des Intervalls [0,4]: y = 4 0 =2 0=2 Differenzenquotient in dem gegebenen Intervall: y x = = 2_ 4 = 0,5 Dies ist die durcscnittlice Änderungsrate der Funktion im Intervall [0; 4]. b) Wir berecnen die durcscnittlice Steigung auf dem Intervall [2;2 + ]. y x = 2+ 2 Für setzen wir eine ser kleine Zal z.b. 0,001 ein. Als Näerungswert für die Steigung der Funktion an der Stelle 2 eralten wir 2,001 2 = 0,354 0,001 (auf dritte Dezimale gerundet). Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante durc die Punkte P(0 0) und Q(4 2) an. Die Punkte P(2 2 ) und Q(2,001 2,001 ) liegen ser dict beieinander, die Sekante durc P und Q siet aus wie die Tangente in P. Übungen Zeit in Weg in km Zum Nacdenken: 4 Eine Radtour Die Tabelle zeigt die zurückgelegte Strecke im Stundentakt. a) Berecne die Durcscnittsgescwindigkeiten der gesamten Tour und jeweils in den einzelnen Stundenintervallen. b) Skizziere ein Weg-Zeit-Diagramm unter der Anname, dass in den einzelnen Stundenetappen jeweils gleicmäßig mit der berecneten Durcscnittsgescwindigkeit gefaren wurde. c) Die Anname bei b) ist unrealistisc. Erstelle ein realistisces Weg-Zeit-Diagramm und screibe einen Berict über die Tour. d) Gibt es in deinem Grapen Zeitpunkte, an denen die Gescwindigkeit größer ist als die größte berecnete Etappendurcscnittsgescwindigkeit? Benutze Werte auf kleinen Intervallen. 5 Durcscnittlice Änderungsraten auf beliebigen Intervallen a) Finde allein mit Berecnungen eraus, ob der Grap von f(x) = x 3 2 x 2 11x+12 in den Intervallen [ 3;0], [0;3] und [3;6] eine positive oder negative durcscnittlice Steigung at. Vergleice mit einer Skizze mit dem GTR. b) Bescreibe, welce Scwäcen durcscnittlice Änderungsraten auf größeren Intervallen aben können. c) Gib drei Intervalle an, bei denen die durcscnittlice Änderungsrate deiner Meinung nac aussagekräftig ist. 110

14 4.2 Von der durcscnittlicen zur momentanen Änderungsrate 6 Hocwasserprognosen Übungen Für Prognosen bei einer aktuellen Hocwasserentwicklung spielen die Änderungsraten (z.b. Änderung des Pegelstandes pro Stunde) eine wictige Rolle. a) Berecne mitilfe des nebensteenden Diagramms des Pegelstandes die mittleren Änderungsraten für die eingezeicneten Tagesintervalle [0; 24], [24;48], b) Insbesondere am dritten Tag ist die mittlere Änderungsrate im 24-Stunden- Intervall nict aussagekräftig. Wäle ier passende kleinere Intervalle und berecne dafür die mittleren Änderungsraten. c) Zu welcem Zeitpunkt ist die Ände- Bemerkenswert ist, wie scnell der Wasserstand gestiegen ist (bis auf ca. 5,70 m), und rungsrate am größten? Gib einen Näerungswert dafür an. noc in der Nact am selben Tag ebenso scnell wieder gefallen ist. 7 Recnen am Grapen In welcen Intervallen lässt sic deiner Meinung nac der Kurvenverlauf durc eine durcscnittlice Änderungsrate angemessen carakterisieren? Gib solce Intervalle an und berecne dafür mit den Daten aus der Zeicnung die durcscnittlicen Änderungsraten. 8 Alles verstanden? Nimm Stellung zu folgenden Aussagen. Verdeutlice deine Meinung auc durc Beispiele mit Skizzen und Berecnungen. (1) Wenn die durcscnittlice Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a;b] einen positiven Wert at, dann ist der Grap von f im ganzen Intervall steigend. (2) Bei einer linearen Funktion f(x) = mx + c ist der Wert des Differenzenquotienten in jedem Intervall [a; b] gleic. (3) Für die Funktion f(x)= x 2 wird der Differenzenquotient im Intervall [a;a + 0,1] berecnet. Mit größer werdendem a wird auc der Differenzenquotient größer. (4) Je größer das Intervall [a;b], umso größer ist die Steigung der Sekante durc die Punkte P(a f(a)) und Q(b f(b)). 9 Nacdenken und überprüfen Für die nebensteenden Grapen seien Näerungswerte für die Steigungen an den Stellen a und b bekannt. Was kannst du jeweils über die mittleren Steigungen im Intervall [a; b] im Vergleic zu den Näerungswerten aussagen? Begründe. Überprüfe deine Aussage durc Nacrecnen an den Grapen zu f(x) = x 2 und g(x) = x im Intervall [1;2]. 111

15 Übungen 10 Acterban Das Bild zeigt einen kleinen Ausscnitt einer Acterban. Ein Teilstück einer solcen Acterban kann durc die Funktion y = 1_ 6 x 3 + x im Intervall [0;2,5] bescrieben werden (x und y jeweils in 10m-Eineiten). a) Wie steil ist es in den angegebenen Punkten? b) An welcer Stelle liegt der öcste Punkt? Benutze zum Finden dieses Punktes auc die Steigung. c) An welcen Stellen vermutest du das größte Gefälle und die größte Steigung? Berecne je einen Näerungswert für diese Steigungen. 11 Scafft das Geländeauto den Berg? Die Messwerte für ein Bergprofil werden x (km) in einer Tabelle und im Koordinatensystem festgealten. a) Scafft ein Farzeug mit der Steigfäigkeit von 30% den Berg? Dokumentiere, wie du zu deiner Entsceidung gekommen bist. Bist du sicer? b) Das Bergprofil wird durc die Funktion f(x) = 0,3 x 3 + 0,45 x 2 + 0,075x + 0,0075 im Intervall [0;1] modelliert (x und y in km). Überprüfe mit deinem GTR, ob das Funktionsmodell zu der Tabelle passt. c) Wie fällt deine Entsceidung aus a) auf y (km) dieser Grundlage der Modellfunktion aus? Begründe. 12 Klippenspringen Klippenspringen ist Turmspringen one Turm; die Klippen bilden die Absprungstelle ins Wasser. Diese Art des Wasserspringens wird auc in Wettkämpfen ausgeübt. In Acapulco ist das Klippenspringen eine berümte Touristenattraktion. Die Springer steen in einer Höe von bis zu 28 Metern auf Felsen oder Klippen und erreicen beim Sprung eine Gescwindigkeit von bis zu 90 km/, bevor sie ins Wasser eintaucen. Als Hilfe kannst du die Leitaufgabe 3 eranzieen. Beacte: 1 m/s = 3,6 km/ Der fallende Springer kann im Modell wie ein Stein im freien Fall angeseen werden. Die Höe (in m) in Abängigkeit von der Zeit (in s) kann dann durc die Funktion (t) = 28 5 t 2 modelliert werden. Überprüfe damit die obige Gescwindigkeitsangabe von 90 km/. 112

16 4.2 Von der durcscnittlicen zur momentanen Änderungsrate 13 Forscungsauftrag 1: Bei Funktionsgrapen gibt es interessante Stellen. An diesen soll ein Näerungswert für die Steigung ermittelt werden. a) Mit dem GTR kannst du überprüfen, ob der skizzierte Grap in der Abbildung dem Grapen der Funktion f(x)=x 3 3 x in etwa entsprict. b) In der Abbildung sind einige Punkte des Grapen markiert. Warum könnten diese besonders interessant sein? c) Ermittle mit dem GTR die x-werte der markierten Stellen für die angegebene Funktion f(x)=x 3 3 x Bestimme einen Näerungswert für die Steigung der Funktion an diesen Stellen. Übungen Die Forscungsaufträge auf dieser Seite beleucten den Begriff Näerungswert für die Steigung einer Funktion f an einer Stelle a genauer. 14 Forscungsauftrag 2: Findet einen guten Näerungswert für die Steigung einer Funktion an den Stellen a = 1 und a = 2. Am besten arbeitet ir arbeitsteilig in Vierergruppen, damit ir in kurzer Zeit viel Erfarung sammeln könnt. Vergleict eure Beobactungen. Bei einigen Beispielen kann man sogar vermuten, was der bestmöglice Näerungswert ist. f(x)=x 4 f(x) = x f(x)=2x x 2 f(x)=2 x Bestimme scnell einen guten Näerungswert für die Steigung der Funktion f an der Stelle a. Gut kann eißen: auf vier Stellen inter dem Komma genau, das eißt die vierte Stelle ändert sic bei kleinerem nict mer. 15 Forscungsauftrag 3: Experimentiert mit im Differenzenquotienten. Arbeitet in Gruppen, verwendet dabei jeweils eine der Funktionen aus Aufgabe 14. A Beobacte, was gesciet, wenn man beim Berecnen eines guten Näerungswertes für die Steigung einer Funktion an einer Stelle den Wert für systematisc verkleinert. = 0,1(0,01; 0,001; ) Fürt eure Untersucungen an versciedenen Stellen a durc. 16 Forscungauftrag 4: Bearbeite den Forscungsauftrag 3 geometrisc. Verwende dazu eine passende Anwendung der CD oder eine geeignete Software, die zu einer vorgegebenen Funktion f und einer Stelle a die Sekanten durc die Punkte P (a f(a)) und Q (a + f (a + )) zeicnet. Wäle mitilfe eines Sciebereglers immer näer an 0. a) Bescreibe was du beobactest. b) Kannst du ein geometrisces Ergebnis des Prozesses angeben? B Spielt es eine Rolle, ob man bei der Bestimmung eines Näerungswertes für die Steigung einer Funktion an einer Stelle mit negativen Werten für arbeitet, deren Betrag immer kleiner gewält wird? Vergleice. Tipp: Auswerten von Differenzenquotienten mit Hilfe des GTR 2 113

17 Basiswissen Was gesciet mit den Werten für die Änderungsrate einer Funktion, wenn gegen Null get? Was bedeutet das für die zugeörigen Sekanten? Der Grenzwert des Differenzenquotienten der beste Näerungswert für die Änderungsrate der Funktion f an der Stelle a. f(x)=x 3, Differenzenquotient an der Stelle a = 1: y x f(1 + ) f(1) = = (1 + ) Offensictlic näert sic der Wert des Differenzenquotienten dem Wert 3, wenn sic Null näert. Dieser Wert, der beste Näerungswert für die Änderungsrate 1 f, gibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle 1 an. Dabei spielt es keine Rolle, ob sic von der positiven oder negativen Seite Null näert. = 0,1 bedeutet, dass man sic mit der Sekante von links näert Wert des Differenzenquotienten 0,01 3,0301 0,001 3, , , , , Wert des Differenzenquotienten 0,01 2,9701 0,001 2, , , , , f(1 0,1) f(1) = f(1) f(0,99) 0,1 0,1 Wir sagen: Die momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle 1 ist 3. Geometrisce Bedeutung Der Differenzenquotient gibt die Steigung der Sekante durc P(1 1 3 ) und Q(1 + (1 + ) 3 ) an. Die Steigung der Sekante ist die durcscnittlice Steigung des Grapen auf dem Intervall [1;1 + ]. Für gegen Null näert sic die Sekante einer gedacten Geraden, die wir als Tangente im Punkte (1 1 3 ) bezeicnen. Die Sekantensteigungen näern sic dem Wert 3. Dieser Wert gibt die Steigung der Tangente in diesem Punkt an. Wir sagen: Die Steigung des Grapen im Punkt (1 1 3 ) ist 3. lim : Abkürzung für limes (lat.: Grenze). Zusammenfassung: Wir aben untersuct, was passiert, wenn im Differenzenquotienten gegen 0 get. Wir aben beobactet, dass der Differenzenquotient sic dem Wert 3 näert. Wir sagen: Der Grenzwert des Differenzenquotienten (1 + ) für gegen 0 von f(x) = x 3 an der Stelle a = 1 ist 3. Wir screiben: lim =3 (1 + ) 0 Erste Antworten findest du bereits in diesem Lernabscnitt ab Seite 119 Interessante Fragen im Zusammenang mit dem Grenzwertprozess : Liefert der Grenzwertprozess immer ein Ergebnis? Ist das Ergebnis durc Ausprobieren exakt anzugeben? Kann man die Tangente auc one Grenzwert finden? 114

18 4.2 Von der durcscnittlicen zur momentanen Änderungsrate C Finde den besten Näerungswert für die Steigung der Funktion f(x) =4 x 2 an der Stelle a = 0,5. Veranscaulice den entsprecenden Prozess mit einer geeigneten Software geometrisc. Verdeutlice, dass es keine Rolle spielt, ob sic von der negativen oder positiven Seite an 0 näert. Lösung: Differenzenquotient y x f(0,5 + ) f(0,5) = = (4 (0,5+) 2 ) 3,75 Näerungswert der Änderungsrate 0,1 1,1 0,01 1,01 0,001 1,001 0,0001 1,0001 0, ,00001 Näerungswert der Änderungsrate 0,1 0,9 0,01 0,99 0,001 0,999 0,0001 0,9999 0, ,99999 Beispiele lim 0 (4 (0,5 + ) 2 ) 3,75 = 2 Die Änderungsrate der Funktion an der Stelle a = 0,5 beträgt Bestimme die Steigung des Funktionsgrapen an der Stelle a durc systematisces Annäern von an Null auf fünf Stellen nac dem Komma genau. Zeicne zunäcst mit dem GTR den Grapen der jeweiligen Funktion, damit du einen Überblick über seinen Verlauf erältst. Recne dann und liste jeweils die einzelnen Näerungswerte auf. a) f(x) = x 2 3 2x+1; a=1 b)f(x)=x + 2; a = 1 c) f(x) = x ; a=3 d) f(x) = 2 x, a=0 e)f(x)=x 4 2 x 3 ; a=1 Bei einigen Aufgaben kannst du den besten Näerungswert angeben. Übungen 18 Finde gute Näerungswerte für die Steigungen des Funktionsgrapen zu f(x) = x 3 an den Stellen a = 1 und b = 1. Was beobactest du? Erkläre deine Ergebnisse mitilfe des Grapen von f. 19 Vergleice für die Funktionen f 1 (x)=x 2,f 2 (x)=x 3 und f 3 (x)=x 4 jeweils die momentanen Änderungsraten an den Stellen a = 1_ und b = 1. 2 Erläutere deine Beobactungen an den Grapen der drei Funktionen. 20 Fucspopulation Die Anzal von Fücsen in einem Revier scwankt periodisc in Abängigkeit von dem Narungsangebot. Angenommen, man kann die Anzal der Fücse modellieren mit der Funktion f(t) = sin(t). Dabei ist t die Zeit in Jaren. a) Zeicne den Grapen der Funktion für die ersten 10 Jare. Gib Zeitpunkte an, an denen die Population stark wäcst (fällt) oder sic nur wenig ändert. b) Die durcscnittlice Änderung der Population auf dem Intervall [1; t] kann man f(t) f(1) mit d(t) = berecnen. Erstelle mit dem GTR eine Tabelle der durcscnittlicen t 1 Änderungsraten indem du t in Scritten von 0,01 Jaren von 0,9 bis 1,1 auflistest. c) Wie groß ist die (momentane) Änderungsrate der Fucspopulation für t = 1? Erläutere zunäcst, warum der Recner für d(1) eine Felermeldung ausgibt. Berecne dann einen guten Näerungswert für die Änderungsrate an der Stelle 1. Acte beim Zeicnen des Grapen darauf, dass der Recner in Bogenmaß eingestellt ist. 115

19 Übungen 21 Algebraisces Verfaren -Metode. Häufig kann man die Formel für den Differenzenquotienten mitilfe der Algebra vereinfacen. Mit diesem vereinfacten Term kann man die Steigung der betreffenden Funktion an einer bestimmten Stelle oft auf einen Blick ablesen. Steigung einer Funktion an einer Stelle scnell ermittelt mit Hilfe der Algebra Aufgabe: Ermittle die Steigung von f(x)=4 x 2 an der Stelle a=2. So wird s gemact: Berecne zunäcst einen möglicst einfacen Term für die Sekantensteigung auf dem Intervall [2;2 + ]. Bestimme mitilfe des gefundenen Terms den Grenzwert lim 0 (4 (2+) 2 ) 0. Lösung: Differenzenquotient y x = f(2+) f(2) = (4 ( )) = (4 (2+) 2 ) 0 = 4 2 ( 4 ) = = 4 (vereinfacter Differenzenquotient) Lon der Müe: Man siet sofort, was passiert, wenn sic Null näert. Der gesucte Grenzwert ist 4. Acte bei b) darauf, dass der Recner in Bogenmaß eingestellt ist. 2 Ermittle die Steigung von f(x) an der Stelle a mitilfe der -Metode. a) f(x) = x 2 ; a=3 b)f(x)=x 2 + 4x; a = 2 c) f(x) = x 2,a= 3 d) f(x) = 3 x 2 ; a=1 e)f(x)=x 2 2x + 1, a = 1 f) f(x) = x 3,a=1 Vergleice die gefundenen Grenzwerte jeweils mit dem Wert des Differenzenquotienten für ein kleines (z.b. = 0,000001). 22 Wo die -Metode versagt Finde bei den folgenden beiden Funktionen mit dem Differenzenquotienten für ein kleines ( = 0,000001) einen guten Näerungswert für die Steigung an der Stelle a. a) f(x) = 3 x ; a = 1 b) f(x) = sin(x), a = _ 4 Versuce auc ier den Grenzwert an der Stelle a mitilfe der -Metode zu finden. Warum funktioniert das ier nict so wie in den Beispielen von Aufgabe 20? 23 Funktion und Steigungsgrap 1 Im Lernabscnitt 4.1 ast du Funktionen gezeicnet und deren Steigungsgrapen skizziert. Mit dem Näerungsverfaren für die Steigung in einem Punkt kann man den Steigungsgrapen genauer zeicnen. a) Zeicne mit dem GTR den Grapen der Funktion f(x) = 1_ 4 x 4 x 3 und übertrage in in dein Heft. b) Ergänze die folgende Tabelle und skizziere damit den Steigungsgrapen. Stelle a Näerungswert für die Steigung an der Stelle a Acte beim Zeicnen des Grapen darauf, dass der Recner in Bogenmaß eingestellt ist. 24 Funktion und Steigungsgrap 2 a) Zeicne den Grapen von f(x) = sin(x) mit dem GTR auf dem Intervall [0;7]. Übertrage den Grapen in dein Heft. b) Erstelle eine Tabelle für die Steigungen an Punkten, die dir für den Verlauf der Steigung aussagekräftig ersceinen. Skizziere den Steigungsgrapen. 116

20 4.2 Von der durcscnittlicen zur momentanen Änderungsrate Nacdenklices zum Grenzwert Vielleict ist dir aufgefallen, dass die Formulierungen immer dann etwas vorsictig geraten, wenn der Grenzwert ins Spiel kommt. Wo bleibt ier die gewonte Präzision in der Matematik? Mit dem Exkurs und den Aufgaben auf der näcsten Seite werden wir über erste Scritte zur Präzisierung nacdenken. Was ist eigentlic ein Grenzwert? Die Karikatur gibt einen ersten Hinweis auf die Probleme. Die Dezimalzal ist one Zweifel kleiner als 2, solange wir eine endlice Anzal von Neunen inter dem Komma screiben. Sobald wir aber in Gedanken den Prozess des Anängens von Neunen unendlic fortsetzen, setzen wir das Ergebnis dieses unendlicen Prozesses eben den Grenzwert gleic der Zal 2. 1, 9 = 2 Das ist vernünftig, aber mit unseren gewonten Denkweisen nur scwer einzuseen. Eine Präzisierung dieser Festlegung erfordert viel Aufwand. Genau so ist es mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten. Auc ier ilft nur ein Prozess, den wir in Gedanken unendlic fortsetzen. Algebraisc aben wir in dem f (a + ) f(a) Quotienten für die Zal betragsmäßig immer kleinere, näer an Null liegende Werte eingesetzt. Das Ergebnis (den Grenzwert) dieses Prozesses aben wir als momentane Änderungsrate von f an der Stelle a interpretiert. Wir konnten nict einfac = 0 einsetzen, denn der f(a + 0) f(a) Quotient = 0_ ist nict 0 0 definiert. Differenzenquotient für f (x) = x 2 im Intervall [1;1 + ] Geometrisc aben wir dies mit den Sekanten durc zwei Punkte P und Q der Kurve veranscaulict, indem der zweite Punkt Q immer näer auf den ersten Punkt P zu rückt. Das Ergebnis des Prozesses wird dann als die Tangente im Punkt P des Grapen interpretiert. Auc ier konnten wir nict einfac die Sekante durc einen Punkt P zeicnen, denn eine Sekante brauct immer zwei versciedene Punkte. Ganz one Matematik ist es ziemlic aussictslos, einen Begriff wie die Gescwindigkeit zu einem Zeitpunkt oder die Steigung an einer Stelle präzise zu definieren obwol beides in unserer Alltagsvorstellung und Anscauung klar und eindeutig zu existieren sceint. Es ist aber auc nict selbstverständlic, dass die unendlic gedacten Prozesse immer zu einem klar fassbaren Ergebnis füren, dass der Grenzwert also wirklic existiert. Dies können wir eute nur desalb sicer entsceiden, weil die Matematiker in einem Jarunderte dauernden Ringen den Grenzwertbegriff präzisieren konnten. Aus einem von der Preußiscen Akademie der Wissenscaften 1784 veröffentlicten Preisausscreiben: Die öere Geometrie benutzt äufig unendlic große und unendlic kleine Größen; jedoc aben die alten Gelerten das Unendlice sorgfältig vermieden, und einige berümte Analysten unserer Zeit bekennen, dass die Wörter unendlice Größe widersprucsvoll sind. Die Akademie verlangt also, dass man einen siceren und klaren Grundbegriff angebe, welcer das Unendlice ersetzen dürfte, one die Recnung zu scwierig oder zu lang zu macen 117

21 Aufgaben Tangente an Kurve Im Anang Erinnern und Wiederolen findest du die Erinnerung an die Bestimmung der Geradengleicung aus Steigung und Punkt. 25 Tangente an eine Kurve Wir aben die Tangente als Grenzlage der Sekanten gekennzeicnet. Das passt auc zur Vorstellung der Tangente an den Kreis, die uns ja bereits vertraut ist. Diese Grenzlage ist in beiden Fällen eine gedacte Gerade, die wir so nict zeicnen können (Sekante durc einen Punkt!). a) Die Tangente an einen Kreis kannst du bereits auf andere Weise konstruieren. Füre eine solce Konstruktion mit Tangente am Kreis dem DGS oder per Hand aus und gib damit eine Definition für Tangente am Kreis. b) Warum lässt sic die Konstruktion der Tangente am Kreis nict einfac auf die Tangente an eine Kurve übertragen? Welce Probleme siest du? c) Mit den Kenntnissen aus diesem Lernabscnitt können wir die Tangente an eine Kurve auf unserem grafikfäigen Tascenrecner zeicnen. Allerdings benötigen wir ierzu mer als Geometrie, nämlic das Zusammenspiel von Funktion und Grenzwert des Differenzenquotienten. Tangente an den Grapen von f(x) = x 2 im Punkt P(2 4) 1. Scritt: Bestimme den Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle 2. Dies ist die Steigung m der Tangente. 2. Scritt: Bestimme die Gleicung der Geraden t durc P mit der Steigung m. Dies ist die Gleicung der Tangente. 3. Scritt: Gib die Gleicungen von f und t in den GTR ein und lasse die Grapen zeicnen. d) Versuce nun mitilfe von c) eine Definition für Tangente an den Grapen von f im Punkt P. Vergleice mit der Definition der Kreistangente. Worin besteen die Untersciede, worin die Gemeinsamkeiten? Näerung von rects Näerung von links f(2 + 0,01) f (2) 0,01 f(2 0,01) f (2) 0,01 Ein Informatik-Experte kann dir erklären, was ier passiert. Mit einem CAS-Recner kannst du den Grenzwert mit dem Befel limit( direkt berecnen Existenz des Grenzwerts Gibt es an jeder Stelle der Funktion einen Grenzwert? Oder anders gefragt: Gibt es in jedem Punkt eines Grapen eine Tangente? a) Das Bild zeigt den Versuc, mitilfe der Annäerung durc Sekanten die Tangente an den Grapen von f(x) = 4 x 2 im Punkt (2 f(2)) zu zeicnen. Welce Scwierigkeiten ergeben sic dabei? b) Gibt es an der Stelle 2 einen Grenzwert des Differenzenquotienten? Versuce Näerungen von links und von rects. Wie beantwortest du nun die Eingangsfragen der Aufgabe? 27 Der Tascenrecner spielt verrückt beim Grenzwert a) Bestimme mit dem Tascenrecner für f(x) = x 2 den Differenzenquotienten f (1,5 + ) f(1,5) an der Stelle 1,5. Setze für naceinander die Werte 0,01; 0,001; ; 0, ein. Was beobactest du? b) Versuce das Gleice an der Stelle 2. c) Bestimme die Grenzwerte an den beiden Stellen mitilfe der -Metode.