Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1

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1 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß ist der Winkel, den eine Seitenfläche mit der Grundfläche bildet?. In nebenstehender Figur sind alle mit a bezeichneten Strecken zueinander kongruent. Bestimmen Sie den Winkel α..3 In der euklidischen Ebene sei ein Dreieck (A, B, C) und ein innerer Punkt D auf der Strecke AB gegeben. E sei der Mittelpunkt von AB. Die Parallele durch E zur Geraden g(cd) schneide die Strecke BC im Punkt F. Zeigen Sie: Das Dreieck (B, D, F ) und das Viereck (ADF C) haben gleichen Flächeninhalt..4 Konstruieren Sie ein Dreieck (ABC), für das folgende Bedingungen erfüllt sind: a) Die Seite BC hat die Länge a = 4 cm. b) Der Winkel (CBA) hat die Größe β = 60. c) Die Summe der Längen b von AC und c von AB beträgt s = b + c = 9 cm. Begründen Sie die Konstruktion! Untersuchen Sie, ob die Konstruktion auch für andere Werte von a, s und β möglich ist..5 Einem rechtwinkligen Dreieck ist wie in nebenstehender Skizze ein Quadrat einbeschrieben. Berechnen Sie die Seitenlänge s des Quadrats aus den a) Katheten a und b, b) Hypotenusenabschnitten u und v.

2 .6 Zwischen zwei Eishockeyspielern S und S steht ein gegnerischer Spieler G, so dass S den Puck über die Bande zu S spielt, wie in nebenstehender Skizze zu sehen ist. Wie groß ist die Entfernung der beiden Spieler zueinander, wenn ihr Abstand von der Bande a =, 5 m bzw. a = 6, 5 m beträgt und der Puck unter einem Winkel von α = 4 an der Bande auftrifft?.7 Beweisen Sie: In der euklidischen Ebene schneiden sich die Außenwinkelhalbierenden zweier Eckpunkte (etwa A und C) und die Innenwinkelhalbierende des dritten Eckpunktes (dann B) eines Dreiecks (ABC) in einem Punkt M. M ist Mittelpunkt eines Kreises, der alle drei Seiten des Dreiecks (innen oder außen) berührt und Ankreis des Dreiecks genannt wird..8 In einer euklidischen Ebene sei ein Kreis k vom Radius r > 0 gegeben und ein Punkt P außerhalb des Kreises. Konstruieren Sie die Tangenten des Kreises k, die durch P gehen..9 Von zwei Kreisen k(a; r ) und k(b; r ), die sich nicht überschneiden, sind die gemeinsamen Tangenten zu konstruieren..0 Ein Kreissektor habe den Flächeninhalt 0 cm, der zugehörige Bogen b habe die Länge 3 cm. Bestimmen Sie den Radius des Kreises, die Länge der Sehne AB und den Inhalt des Kreissegments. Sämtliche Konstruktionen und Aussagen sind zu begründen!

3 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Untersuchen Sie in Abhängigkeit von a, b, c die Lösungen folgender Gleichungen: a) (a x)(x + c) = c(a x) (b x)(c x) b) a (x a) + ab = b (x + b) a b. Die Differenz zweier Zahlen beträgt 6, die ihrer Quadrate 80. Wie heißen die beiden Zahlen?.3 Die Summe zweier Zahlen ist so groß wie die Differenz ihrer Quadrate. Wenn man 4 zur ersten addiert und 4 von der zweiten subtrahiert, ergibt die Differenz ihrer Quadrate 99. Wie heißen die beiden Zahlen?.4 Der Kraftstoffbehälter für einen Zweitaktmotor enthält 40 l Kraftstoffgemisch. Wie viel Liter Benzin und wie viel Liter Öl befinden sich in dem Behälter, wenn das Mischungsverhältnis : 33 beträgt?.5 Bei einem Skilanglauf startet der spätere Sieger Minute und 30 Sekunden hinter dem Meister des vergangenen Jahres. Nach wieviel Kilometern überholt er diesen, wenn seine Geschwindigkeit 5 m/s und die des zu Überholenden 4, 8 m/s beträgt?.6 Bestimmen Sie die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen ohne rechentechnische Hilfsmittel und schreiben die Polynome der linken Seite als Produkt von Linearfaktoren: a) x + 8x + = 0 b) x + (3 3)x 7 = 0 Hinweis: Berechnen Sie in einer Nebenrechnung (3 + 3)..7 Ein mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von v m = 8 km/h um 6.00 Uhr in Leipzig startender Radfahrer fährt nach Dessau und begegnet um 8.00 Uhr einem anderen Radfahrer, der zur gleichen Zeit wie er in Dessau gestartet ist und auf gleicher Strecke nach Leipzig fährt. Ersterer kommt 00 Minuten früher in Dessau an als der andere in Leipzig. Welche Länge hat die Straße zwischen Leipzig und Dessau? (Lösung: 60 km).8 Lösen Sie folgende Systeme linearer Gleichungen: a) x + y = 3x + 4y = 0 b) x + y = 4x y = 3

4 c) x + y = 4x y = d) x + y + z = 5 3x + z = 5 y + z = 6 e) x + y + z = 3x + y + z = x y 3z = 8.9 Gegeben sind die Matrizen A = Berechnen Sie A + B..0 Gegeben sind die Matrizen A = Berechnen Sie A B und B A. ( ( ) und B = ) und B = ( ).. Welchen Winkel schließen die Vektoren a = miteinander ein? 3 4 und b = Wie groß sind die Winkel des Dreiecks mit den Eckpunkten A = (, 0, 3), B = ( 6, 4, ), C = (4,, )?.3 Wie groß ist die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten A = (, 0, 3), B = ( 6, 4, ), C = (4,, )?.4 Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms, das von den Vektoren a = 3 und b = 5 3 aufgespannt wird? Sämtliche Konstruktionen und Aussagen sind zu begründen! 4

5 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 3 3. Bestimmen Sie diejenigen Vektoren x R 3, die senkrecht zu a = 0 sind. 3. Untersuchen Sie, ob die drei Vektoren a = 0 3, b = 4, c = linear unabhängig sind oder nicht. Geben Sie eine Abhängigkeitsrelation an, falls diese Vektoren linear abhängig sind. 3.3 Zeigen Sie, dass der Vektor c = a = und b = ist das Vektorprodukt der Vektoren 3.4 Bestimmen Sie das Volumen des von den drei Vektoren a =, b =, c = aufgespannten Parallelepipeds Bestimmen Sie eine parameterfreie Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P = (, 4) geht und mit der x-achse den Winkel α = 0 bildet. 3.6 Bestimmen Sie eine Parametergleichung und eine parameterfreie Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P = (, 4) und P = ( 3, 4) geht. 3.7 Bestimmen Sie den Vorzeichen behafteten Abstand des Punktes P = (3, 5) von der Geraden 4x 3y 8 = Welche Gerade geht durch den Schnittpunkt der Geraden x y = 4 und 3x + y = 8 und außerdem durch den Punkt P = (0, 5)? 5

6 3.9 Wie heißt die Gleichung des Lotes vom Punkt P = (, 0) auf die Gerade y = x +? 3.0 Geben Sie eine Parametergleichung und eine parameterfreie Gleichung der Ebene durch die Punkte A = (,, 3), B = (, 0, 5) und C = (,, ) an. Sämtliche Aussagen sind zu begründen! 6

7 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 4 4. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises mit der Gleichung x 0x + y + 0y + 4 = Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten an den Kreis mit der Gleichung die durch den Punkt P = (, 0) gehen. x 4x + y 8y + 6 = 0, 4.3 Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises, der durch die Punkte A = (, ), B = (5, 0) und C = (, ) geht und geben Sie die Gleichung des Kreises an. 4.4 Welche Lage haben der Kreis k : x + y 0x = 0 und die folgenden Geraden zueinander: a) g : x y = 0, b) g : x + y + 3 = 0, c) g : 3x 4y + 0 = 0? 4.5 Wie lauten die Gleichungen der Tangenten a) im Punkt P = (5, y 0 ) an den Kreis x + y = 69, b) im Punkt P = (x 0, ) an den Kreis (x ) + (y ) = 5. Hinweis: Es sind alle Werte von x 0 und y 0 so zu bestimmen, dass der Punkt P auf dem Kreis liegt. 4.6 Ermitteln Sie die Gleichung der Ellipse mit dem Mittelpunkt M = (0, 0), der linearen Exzenztrizität e = 6, deren Achsen auf den Koordinatenachsen liegen und die durch den Punkt P = (5, 48) verläuft? 4.7 Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ellipse x + 4y 0 = 0 mit der Geraden x + y 6 = Wie lautet die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel (a = b), die durch den Punkt P = (5, 3) hindurchgeht und deren Achsen in den Achsen des Koordinatensystems liegen, in Polarkoordinaten r = r(θ)? Geben Sie die Polarkoordinaten für beide Äste der Hyperbel an und bestimmen Sie für jeden Ast den Geltungsbereich von θ, d.h. für welche Winkel θ ergibt sich ein Punkt der Hyperbel? 7

8 4.9 Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes und des Brennpunktes der Parabeln a) 5y + 4x = 0, b) y y 0x 9 = Eine Parabel hat die Scheitelordinate y S = 3, die Gerade x = als Achse und geht durch den Punkt P = (7, 4). Wie lautet ihre Gleichung? 4. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Kurven mit folgenden Gleichungen: a) x 5 y 9 = und y = 5 x b) 4x 9y = 44 und x 4y = 8 c) x 6 y 4 = und x y = 6 4. Geben Sie für die Kurven aus Aufgabe 4. a) - c) Skizzen an. Sämtliche Aussagen sind zu begründen! 8

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