Streuungsmaße bei Stichproben

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1 HTL Saalfele Streuugsmaße Sete vo 7 Wlfre Rohm Streuugsmaße be Stchprobe Mathematsche / Fachlche Ihalte Stchworte: Beschrebee Statstk, Staarabwechug, Varaz, Erwartugstreue Schätzug, Kurzzusammefassug Streuugsmaße s er beschrebee Statstk vo elemetarer Beeutug, eoch erschee e verscheee Formelsätze oftmals verwrre. Es soll her sowohl e mathematsches als auch tutves Verstäs er verscheee Formel für e Staarabwechug vermttelt were. Zetral st herbe ee Smulato, welche zegt, ass ur e Summe er quarerte Abwechuge vom Mttelwert vert urch urch (-) statt ee erwartugstreue Schätzwert für σ eer Vertelug lefert. Lehrplabezug (bzw. Gegesta / Abtelug / Jahrgag): Agewate Mathematk,.-5.Jahrgag, alle Abteluge Mathca-Verso: erstellt mt Mathca Meüpukte Verscheee Streuugsmaße Erwartugstreue Schätzug er Staarabwechug (Smulato) Theoretsche Begrüug für e erwartugstreue Schätzug De Staarabwechug es Mttelwertes - Zusammehag zur Fehlerrechug

2 HTL Saalfele Streuugsmaße Sete vo 7 Verscheee Streuugsmaße be Stchprobe Zum Meü Zur Eführug e bekates Gecht: E Mesch, er vo Statstk hört, ekt abe ur a Mttelwert. Er glaubt cht ra u st agege, e Bespel soll es glech belege: E Jäger auf er Eteag hat ee erste Schuß gewagt. Der Schuß, zu hastg aus em Rohr, lag ee gute Habret vor. Der zwete Schuß mt lautem Krach lag ee gute Habret ach. Der Jäger sprcht gaz ubeschwert voll Glaube a e Mttelwert: Statstsch st e Ete tot. Doch wär er klug u ähme Schrot - es se gesagt, h zu bekehre er würe see Chace mehre: Der Schuß geht ab, e Ete stürzt, wel Streuug hr as Lebe kürzt. P.H.Lst, Professor für pharmazeutsche Techologe Marburg De üblche Streuugsmaße s: De Spawete / er Rage R: R x max x m Also: Maxmalwert er Stchprobe - Mmalwert er Stchprobe Dese Größe st cht allzu belebt, wel se zu empflch auf Extremwerte reagert u spezell be vele Stchprobewerte as Problem besteht, ass efach ur Werte ese Kegröße bestmme. Daher wr ese Kegröße bestefalls als "Gruformato" verweet bzw. be klee Stchprobegröße - so wr etwa er Qualtäts-Regelkartetechk (wo 5 e häufg verweeter Stchprobeumfag st) gere mt em Rage statt mt er Staarabwechug gerechet, a er lecht ohe Tascherecher / Computer vor Ort vo "efache Arbeter" ermttelt were ka. De mttlere leare Abwechug Das st e recht aschaulches Maß: δ x x Es wr e urchschttlche Abwechug vom arthmetsche Mttelwert berechet - er Betrag st otweg, wel ohe h sch e postve u egatve Abwechuge vom Mttelwert mmer auf Null aufsummere - er arthmetsche Mttelwert wr a gerae so efert, ass e Summe aller Abwechuge glech 0 se muß. Varaz u Staarabwechug Trotz seer Aschaulchket wr e mttlere leare Abwechug als Streuugsmaß SELTEN verweet. Der Gru legt ar, ass set C.F.Gauß Abwechuge (statt Beträge zu ehme) ahezu grusätzlch quarert were - e gazes Theoregebäue (Fehlerrechug, Wahrschelchketsrechug, Statstk) baut gerae arauf auf. Das erklärt, warum gemeh as Kemaß er Staarabwechug häufg mt em Begrff "Streuug" efach glechgesetzt wr. Duch as Quarere wr ählch we urch e Betrag e gegesetge Auslöschug er Abwechuge verhert.

3 HTL Saalfele Streuugsmaße Sete 3 vo 7 Ma erhält als ee mttlere quaratsche Abwechug vom Mttelwert, also: σ ( x µ ) Dese Größe wr VARIANZ geat. Aus Dmesosgrüe (e Abwechug soll e LINEARES Maß se), wr e Wurzel geomme u as Ergebs STANDARDABWEICHUNG geat: σ ( x µ ) Wr habe e obge Formel allergs µ statt x stehe. Das hat ee gute Gru! De ebe agegebee Formel gelte ur a, we aus e Orgalate (,h, e Datewerte eer vorlegee GRUNDGESAMTHEIT bzw. "POPULATION") e Were für Varaz u Staarabwechug ermttelt were. De Größe µ eutet a, ass er Mttelwert eser Grugesamthet gemet st! I er Regel wr eoch eser Wert ubekat se u wr urch e arthmetsche Mttelwert x eer etsprechee Stchprobe GESCHÄTZT. Da lautet er rchtge Formelsatz: Stchprobevaraz: Stchprobestaarabwechug s s x x x x I esem Artkel geht es m Wetere u arum, ese klee (aber cht uwesetlche!) Utersche m Formelsatz zu erkläre. Ma ka es auf verscheee Ebee u verscheee "Exakthetsveaus" vorehme. Ich möchte her verscheee Erkläruge abete, vo re heurstsch über Smulatoe bs zu eer mathematsch formulerte Begrüug. Heurstsche Begrüuge für e Wahl vo (-) statt : Varate : Varate : Wr er "wahre Mttelwert" er Grugesamthet (µ) urch e arthmetsche Mttelwert eer Stchprobe GESCHÄTZT, ergbt sch ee gewsse Uscherhet urch e Schätzug. Daher muss as Streuugsmaß etwas GRÖSSER ausfalle, wel weger Iformato vorhae st. Des lestet e Dvso urch ee kleere Wert (-) statt. Dass gerae - er "rchtge" Wert st, wure amt allergs och cht erläutert. µ wure urch x geschätzt. Für e Mttelwert glt : x Das beeutet: De Messwerte x bestmme e Mttelwert u (gemäß obger Formel ) e Staarabwechug. Damt her ke Werspruch etstehe ka, s vo e Messwerte höchstes - "fre wählbar". Durch e vorgegebee bzw. betrets zuvor berechete Mttelwert st er -te Wert fxert. Daher wr e größere Uscherhet (vo er Varate gesproche wure) urch e Dvso urch - (em "Frehetsgra f -" er Stchprobe) formelmäßg umgesetzt (urchschttlche quaratsche Abwechug bezoge auf f - Werte!) x.

4 HTL Saalfele Streuugsmaße Sete 4 vo 7 Erwartugstreue Schätzug er Staarabwechug (Smulato) Zum Meü De folgee Smulato soll zege, ass s ee sogeate ERWARTUNGSTREUER Schätzwert für σ arstellt, währeesse be eer Dvso urch statt (-) er wahre Wert er Grugesamthet ( σ ) er Regel bzw. teezell uterschätzt wr, soass ese Schätzug ur als "assymptotsch erwartugstreu" (.h. für gege Uelch) zu bezeche st. Des seht ma atürlch ur a, we e Azahl (Stchprobeumfag) cht zu groß st e Azahl er Smulatoe geüge groß st. Um es etspreche zu emostrere, sollte ma ese Größe er folgee Smulato varere: Versuchsmoell Aus eer µ-σ-ormalvertelte Grugesamthet were N Stchprobe zu e Werte ("Meßwerte") etomme. Vo eer Stchprobe wr e Stchprobevaraz ermttelt u Stchprobestaarabwechug ermttelt (auf Arte: Dvso urch - bzw. Dvso urch ). Aschleße were bee Werte mt er "wahre" Staarabwechug σ graphsch verglche!. µ : 00 σ : 0.05 De Parameter er ormalvertelte Grugesamthet 5 N 0000 : Azahl er Meßwerte e Smulato N: Azahl er Smulatoe u N were vor em Dagramm ute bestmmt : 0.. N ( ) x : rorm, µ, σ Erzeugug vo ormalvertelte Zufallszahle ("Meßwerte") e Smulato Nu were e Stchprobevaraze s bzw. s e Smulato berechet u eem Vektor abgelegt: sq : 0 ( x ) mttelwert x Erwartugstreuer Schätzwert für σ! (We ute gezegt wr) sq : 0 ( x ) mttelwert x Ncht erwartugstreuer, soer bloß assymoptotsch erwartugstreuer Schätzwert für σ!!! (We ute gezegt wr) sq mttel : N sq sq mttel : N sq s mttel : s mttel : sq mttel sq mttel Berechug er (bezoge auf e N Smulatoe) urchschttlche Stchprobevaraz bzw. Stchprobestaarabwechug : Nur Hlfsgröße für e Grafk

5 HTL Saalfele Streuugsmaße Sete 5 vo 7 5 N 0000 Stchprobeumfag Azahl er Smulatoe σ 0.00 σ 0.04 sq mttel s mttel sq mttel 0.00 s mttel Beobachtuge : Es wr e Wahl folgeer Werte für bzw. N empfohle 0 mt N 000 Das Ergebs zegt, ass her σ bzw σ er Grugesamthet be er Dvso urch eutlch uterschätzt wr. De Dvso urch (-) hgege führt optsch auf ee erwartugstreue Schätzwert! 50 oer 00 mt N 000 Das Ergebs zegt, ass her er Uterschoe zwsche er Dvso urch buzw. (-) optsch sehr kle st bzw. erst be eem etsprechee Zoom schtbar wr. Da für größer werees auch be er Dvso urch ee etspreche gute Schätzug er Staarabwechug σ er Grugesamthet erfolgt, sprcht ma vo eem asymptotsch erwartugstreue Schätzwert. 0 mt N 00 Das Ergebs zegt, ass her e Versuchszahl och zu kle st, um klare Aussage treffe zu köe.

6 HTL Saalfele Streuugsmaße Sete 6 vo 7 Theoretsche Begrüug für e erwartugstreue Schätzug er Varaz er Grugesamthet: µ... Mttelwert er Grugesamthet x... Mttelwert eer Stchprobe es Umfags mt Ezelwerte x Zum Meü ( x µ ) x x + x µ ( x µ ) x x x µ + + x x x µ Trck, um x e Formel er Staarabwechug zu bekomme Nu erfolgt e Summato über alle : ( x µ ) ) + ( x µ ) + x µ ) Wege er Defto es arthmetsche Mttelwertes glt: Damt u ach Dvso urch folgt: ) 0 σ ( x µ ) x x + x µ Daraus erket ma, ass e -Gewchtug KEINEN erwartugstreue Schätzwert für e Varaz σ er Grugesamthet lefert. Der "Fehler" stellt e quarerte Abwechug er Stchprobemttelwerte vom Gesamtmttelwert ar. Da glt: σ mttelwert. Abschtt) Daher : σ σ wr x µ ) σ + urch σ bzw. σ σ Ab eser Zele st eoch as "" - Zeche als "ugefähr" zu terpretere - was ma gemeh aurch aeutet, ass ma σ urch s ersetzt. Also: abgeschätzt.(begrüug m ächste ) s ) + s bzw. s s ) schleßlch : s σ ) ERWARTUNGSTREUER Schätzwert für e Varaz er Grugesamthet Da es sch um ee Schätzug haelt, wr σ urch s ersetzt!

7 HTL Saalfele Streuugsmaße Sete 7 vo 7 De Staarabwechug es Mttelwertes - Zusammehag zur Fehlerrechug Gauss sches Fehlerfortpflazugsgesetz Zum Meü Ist z f( x, y, mt mttlere Absolutfehler x, y, z so glt für e mttlere Absolutfehler z (ugefähr) (Fehlerrechug!) z x fx (, y, x + y fx (, y, y + z fx (, y, z Wr bereche u ach eser Formel e "mttlere Fehler es Mttelwertes" be mt glecher Präzso urchgeführte Messuge x fx, x,..., x x + x x x x x Wr setze: x σ Es glt: fx, x,..., x x Daher st: x mttelwert σ mttelwert σ + σ σ Also : σ σ mttelwert σ Des st as sogeate " -Gesetz", as sch aus em Zetrale Grezwertsatz er Mathematsche Statstk ergbt. Es wure aher e schöer Zusammehag zwsche er Fehlerrechug u er Statstk aufgezegt! Zum Meü