Logische und funktionale Programmierung

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1 Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca 14. Oktober /38

2 DIE INTERPRETATION VON FORMELN DES PRÄDIKATENKALKÜLS Sei M eine Struktur und V ein Vokabular Eine Variablenbelegung b ist eine Funktion von der Menge aller Variablen in das Universum der betrachteten Struktur M. In Abhängigkeit von der Struktur M für V und einer Variablenbelegung b ordnet man in naheliegender Weise jedem Funktionsterm t aus Ft(V) ein Element I(M, b)(t) aus U zu. Die formale Definition von I(M, b)(t) erfolgt rekursiv parallel zur rekursiven Definition von Funktionstermen. 2/38

3 FORMALE DEFINITION VON I(M, b)(t) 3/38

4 WAHRHEITSWERTE Jeder atomaren Formel A, die nur Zeichen aus V enthält kann man einen Wahrheitswert zuordnen. Wir schreiben: 4/38

5 DIE INTERPRETATION VON FORMELN DES PRÄDIKATENKALKÜLS 5/38

6 BEISPIELE 6/38

7 BEISPIELE Die folgende Aussage ist im Unterschied zu den vorangegangenen falsch: H 1 = d(a, b, c)(< 5, 7, 2, 7 >, 7, < 5, 2 >) 7/38

8 UNIVERSELLER ABSCHLUSS Der universelle Abschluß A einer Formel A wird gebildet, indem für jede Variable x in A, die nicht schon im Bereich eines Quantors steht, der Allquantor x der Formel A vorangestellt wird. 8/38

9 FOLGERUNG Ist D eine Menge von Formeln und A eine einzelne Formel in Fml(V), so nennen wir A eine Folgerung oder eine Konsequenz aus D, in Symbolen D A, wenn für jede Struktur M für V, so dass für jede Formel C in D M = C gilt, auch gilt. M = A 9/38

10 Gilt M = D, so nennen wir M ein Modell für D. Ist D die leere Menge, so schreiben wir A anstelle von D A. Ein solches A heißt allgemeingültig oder eine Tautologie. Zwei Formeln A, B heißen äquivalent, wenn sowohl A B als auch B A allgemeingültig sind. Wir schreiben dafür A B. Anstelle von A ist äquivalent zu B, könnten wir auch sagen, A B ist eine Tautologie. 10/38

11 Ein Literal ist eine atomare Formel oder eine Formel der Form A, wobei A eine atomare Formel ist. Eine Formel der Form A 1 A k,wobei alle A i Literale sind, heißt eine Klausel. Eine Formel der Form B 1 B k, wobei alle B i Klauseln sind, heißt konjunktive Normalform. Dual dazu heißt eine Formel der Form wobei jedes A i die Gestalt A 1 A k, B i,1 B i,ri hat und alle B i,j Literale sind, eine disjunktive Normalform. 11/38

12 WAHL DES VOKABULARS Eine wichtige Aufgabe beim praktischen Einsatz des Prädikatenkalküls ist die Wahl des Vokabulars. Wir wollen anhand eines kleinen Beispiels die dabei auftretenden Probleme aufzeigen. Wir betrachten dazu eine einfache Ansammlung farbiger Blöcke auf einer Tischoberfläche: 12/38

13 VERSION 1 13/38

14 VERSION 2 14/38

15 VERSION 2 15/38

16 VERSION 2 16/38

17 VERSION 3 Wir behalten die Konstantenzeichen a, b, c, T und die einstelligen Relationszeichen Block(x), Tisch(x), Grün(x), Rot(x) aus dem Vokabular V 1 bei. Die Relation auf ist jetzt jedoch dreistellig: auf (x, y, z), und wir nehmen ein zusätzliches Konstantensymbol welches die Anfangssituation benennen soll, hinzu. s 0 17/38

18 VERSION 3 18/38

19 VERSION 3 19/38

20 VERSION 3 20/38

21 HERBRAND STRUKTUREN Sei V ein Vokabular. Die Herbrand Strukturen bilden eine spezielle Klasse von Strukturen. Das Universum U H jeder Herbrand-Struktur H besteht aus der Menge aller variablenfreien Terme über dem Vokabular V. Jedes Konstantenzeichen c aus V wird durch sich selbst interpretiert, i. e. c H = c. Für jedes n-stellige Funktionszeichen f aus V ist f H die symbolische Auswertung, d. h. für jedes n-tupel t 1,..., t n von Elementen aus U H, wird f H (t 1,..., t n ) = f (t 1,..., t n ) gesetzt. Die Interpretation der Prädikatszeichen von V in H unterliegt keiner Einschränkung. 21/38

22 BEISPIEL 22/38

23 BEISPIEL 23/38

24 Satz 1 Jede Menge D universeller Hornklauseln besitzt ein Herbrand-Modell H. Beweis Für jedes k-stellige Prädikatszeichen p, das in D vorkommt, setze man p H = (U H ) k = die Menge aller k-tupel von Elementen aus U H. Ist x 1... x k (p(t 1,..., t m ) B 1 B n ) eine universelle Hornklausel, und ist u =< u 1,..., u k > ein k-tupel aus U H, so liegt das m-tupel < I(H, u)(t 1 ),..., I(H, u)(t m ) > in p H, weil nach Definition alle m-tupel in p H liegen. 24/38

25 BEWEIS Es gilt H = x 1... x k p(t 1,..., t m ) und damit umso mehr H = x 1... x k (p(t 1,..., t m ) B 1 B n ). 25/38

26 Satz 2 Jede Menge universeller Sätze, die überhaupt ein Modell besitzt, besitzt ein Herbrand-Modell. 26/38

27 Satz 3 Sei D eine Menge universeller Sätze, A ein existentieller Satz. Dann gilt D A gdw. für alle Herbrand Strukturen H mit H = D auch H = A gilt. 27/38

28 Beweis Die Implikation von links nach rechts ist klar. Nehmen wir umgekehrt an, dass eine Struktur S existiert, mit S = D, aber nicht S = A. Das heißt S ist ein Modell von D = D { A}. Da D äquivalent ist zu einer Menge universeller Sätze, besitzt D nach Satz 2 ein Herbrand-Modell H; mit anderen Worten: In H gilt D und A. 28/38

29 Satz 4 Sei H j für jedes j aus einer beliebigen nichtleeren Indexmenge J ein Herbrand-Modell für die Menge D universeller Hornklauseln. Dann ist auch der Durchschnitt H aller dieser Strukturen wieder ein Herbrand-Modell für D. 29/38

30 BEWEIS Wir haben nicht definiert, was der Durchschnitt einer Familie von Strukturen ist, und werden das für den allgemeinen Fall auch nicht tun. Im Falle einer Familie von Herbrand-Strukturen ist das jedoch fast selbstverständlich. Einzig und allein die Interpretation von Prädikatszeichen p bleibt noch zu spezifizieren. Man wählt für p H = {p Hj j J}. Wir beweisen nun, dass H ein Modell von D ist. Eine Formel in D hat die Form wobei k = 0 sein darf. x(p 1 p k q), 30/38

31 BEWEIS Sei u eine Folge von Elementen aus U H, die als Belegung der universell quantifizierten Variablenfolge x dienen kann, gelte H = p 1 (u) p k (u), d.h. für jedes 1 i k gilt u (p i ) H. Somit gilt für alle j J H j = p 1 (u) p k (u). Da jedes H j ein Modell von D ist, gilt auch H j = q(u) für jedes j. D.h. u q Hj für jedes j. Somit liegt u auch im Durchschnitt Das heißt H = q(u). q H = {q Hj j J}. 31/38

32 Auf der Menge aller Herbrand-Strukturen zu einem Vokabular V läßt sich wie folgt eine partielle Ordnung definieren: H 1 H 2 für alle Prädikatszeichen p in V gilt : p H1 p H2. 32/38

33 Satz 5 Jede Menge D universeller Hornklauseln besitzt ein kleinstes Herbrand-Modell, das wir mit H(D) bezeichnen. 33/38

34 BEWEIS Die Menge aller Herbrand-Modelle von D ist nach Voraussetzung nicht leer, somit können wir den Durchschnitt all dieser Modelle bilden und erhalten nach Satz 4 wieder ein Herbrand-Modell, das offensichtlich das kleinste ist. 34/38

35 DEFINITION Eine quantorenfreie Formel A heißt positiv, wenn in ihrer konjunktiven Normalform kein Negationszeichen auftritt. Eine Formel A heißt positiv-existentiell, wenn sie von der Form x 1... x k A 0 für eine quantorenfreie, positive Formel A 0 ist. 35/38

36 Lemma 6 Sei P eine Menge universeller Hornklauseln und A eine positiv-existentielle Formel. Dann gilt P A gdw. A gilt im kleinsten Herbrand-Modell von P. 36/38

37 BEWEIS Gilt P A, dann ist A insbesondere im kleinsten Herbrand-Modell von P wahr. Gelte jetzt umgekehrt A im kleinsten Herbrand Modell von P. Wir zeigen zunächst, dass A in jedem Herbrand Modell von P wahr ist: Für jede variablenfreie atomare Formel C gilt C in allen Herbrand-Modellen von P, sobald C im kleinsten Herbrand-Modell H(P) von P gilt, denn die Interpretation von C in H(P) ist der Durchschnitt der Interpretationen von C in allen Herbrand-Modellen von P. (Nebenbemerkung: Für negiert atomare Formeln muss das nicht mehr wahr sein.) Die Behauptung für atomare Formeln läßt sich nun leicht auf positive Formeln und dann auf positiv-existentielle Formeln verallgemeinern. 37/38

38 BEWEIS Urn schließlich P A zu zeigen, nehmen wir das Gegenteil an, d. h. wir nehmen an, P { A} sei erfüllbar. Dann besitzt P { A} nach Satz 2 aber auch ein Herbrand-Modell. Das steht im Widerspruch zu dem, was wir im ersten Teil des Beweises gezeigt haben. Somit istp A nachgewiesen. 38/38

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