Zusammenfassung. Reale feste und flüssigekörper

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1 Zusammenfassung Kapitel l6 Reale feste und flüssigekörper 1

2 Reale Körper Materie ist aufgebaut aus Atomkern und Elektronen-Hülle Verlauf von potentieller Energie E p (r) p und Kraft F(r) zwischen zwei Atomen als Funktion des Kernabstands r typische Dimensionen : Atomkern : fm (10-15 m) Hülle : Å(10-10 m) Abstände im Molekül (Gleichgewichtsabstand) : Å Abstände im Festkörpers : pm (10-12 m) 2

3 Deformierbare feste Körper : Elastische Eigenschaften F = ΔL E A L = mit dem Elastizitätsmodul E E = N m Dimension des Elastizitätsmoduls : [ ] 2 σ = E ε Hook sches Gesetz : Die für Längenänderungen erforderliche Zugspannung σ steigt linear ε 3

4 Irreversible Dehnung bei kleinen Dehnungen gilt das lineare Hook sche Gesetz (Punkt A bis P : Proportionalitätsbereich); bei größeren Dehnungen kommt es zu einem nicht-linearen Zusammenhang zwischen Zugspannung und relativer Dehnung Fließen des Materials (Punkt P bis F : Fließgrenze); bei noch größeren Dehnungen beginnt das Material zu reißen (Punkt F bis Z : Zerreißgrenze) Reversible Dehnung : Fließen Plastische Verformung : Reissen 4

5 Weg der elastischen Verformung σ ( ε = 0) 0 ε ( σ = 0) 0 plastische Verformung Anmerkung : Hysterese bei der Verformung, verbunden mit Erwärmung durch Verschiebung von Netzebenen Verluste durch Reibung 5

6 mathematische Zwischenbemerkung : Taylor-Entwicklung Beispiel : Entwicklung eines (z.b. in analytischer Form unbekannten) Potentials um den Gleichgewichtsabstand Taylor-Reihe : E P ( r ) 1 d E = ( r r0) n P n n= 0 n! dr r 0 n 6

7 ist die niedrigste, mögliche Näherung = für das Potential E P (r); 1 EP ( r ) = E'' P r 2 r 0 ( r ) 2 0 gilt für kleine Auslenkungen (r-r 0 ) r = F = E'' ( r r ) D Δ r r Kraft : F E (r ) P P r 0 ( 0 Hook sches Gesetz mit der Feder-Konstanten : D = E' ' P r 0 7

8 Querkontraktion wenn ein deformierbarer Körper gedehnt wird, führt die Längenzunahme durch die Zugspannung (meist) zu einer Reduktion des Durchmessers wir definieren die Querkontraktionszahl : µ = Δd ΔL d L ΔV V σ E = ( 1 2 µ ) 8

9 Kompression wir betrachten jetzt statt einer Zugspannung σ an einem Körper einen Druck p (Kraft pro Fläche) auf alle Seiten des Körpers Kompression mathematisch ähnlich wie beim Hook schen Gesetz setzen wir eine lineare Variation des Vl Volumens mit itdem Druck an : p = F/A Δ V 1 = Δ p V K mit dem Kompressionsmodul K 9

10 Scherung und Torsion bisher betrachtet : senkrecht zu Fläche wirkend Kraft Dehnung/Kompression tangential zur Fläche A wirkende Kraft F bewirkt Scherung, d.h. Parallel-Verschiebung ggegenüber g liegender Seiten Verschiebung von Netzebenen Scherspannung : τ = F A d.h. parallel zur Fläche wirkende Kraft unter Einfluß einer Scherspannung werden die Kanten eines Quaders um einen Winkel α verkippt (und die Netzebenen verschoben) für kleine Winkel α können wir einen linearen Zusammenhang ansetzen : τ = Gα Mit dem Schubmodul G (auch Scher- oder Torsionsmodul) 10

11 Reibung Reibung basiert auf Kräften bei der relativen Bewegung zweier Körper, deren Oberflächen sich berühren Mikrostruktur (Rauigkeit) der Oberfläche determiniert Reibungskräfte Haftreibung : es wird eine bestimmte Mindest-Kraft benötigt wird, um einen auf einer Oberfläche ruhenden Körper in Bewegung zu setzen; bi bei geringerer Kraft bleibt der Körper auf der Oberfläche haften (s.o. Verhakungsmodell) Gleitreibung :eswird eine Kraft benötigt wird, um einen bewegten Körper bei konstanter Geschwindigkeit zu halten; ohne zusätzliche Kraft kommt ein gleichförmig i bewegter Körper aufgrund Energie-Verlusten durch Gleitreibung ib irgendwann zur Ruhe F = µ F mit der Normalkraft F N auf die Oberfläche H µ H N und dem Haftreibungskoeffizienten µ H F = µ G G F N mit dem Gleitreibungskoeffizienten µ G 11

12 Anmerkung : Gleitreibung ist stets schwächer als Haftreibung Rollreibung : Die Rollreibung ist wesentlich kleiner als die Gleitreibung, weil beim Abrollen die Unebenheiten im Rauigkeitsgebirge teilweise übersprungen werden. Kugellager zur möglichst reibungsfreien Bewegung 12

13 Hydrostatik : Verhalten ruhender Flüssigkeiten Vergleich mit festen Körpern : Beschreibung der Kompression (z.b. mit Kompressionsmodul) in Flüssigkeiten ähnlich wie bei festen Körpern K 0 aber : in (idealen) Flüssigkeiten sind die Moleküle frei beweglich keine Kraft nötig zur Formänderung Schermodul G = 0 F T F N F Konsequenz : die Oberfläche wird bei Wirkung einer Kraft so verschoben, dass es nur eine Normalkomponente der Kraft gibt (stationärer Zustand) die Oberfläche verändert ihre Form und passt sich der Richtung der Kraft an 13

14 Statischer Druck in Flüssigkeiten (ohne Eigengewicht) r F = grad p dv da die Flüssigkeit sich im stationären Zustand befindet (bzw. befinden soll), gilt : F r = 0 grad p = 0 p ( x, y, z) = const. d.h. in einer idealen Flüssigkeit ist (bei Vernachlässigung des Eigengewichts) der Druck in alle Richtungen gleich h(isotrope Druckverteilung) 14

15 betrachte den Druck auf ein Volumenelement in der Flüssigkeit unter Berücksichtigung des Eigengewichts (ohne äußeren Druck) z H A p( z) = ρ g dz = ρ g z dv =Adz dz oder : p( H ) = ρ g H = ρ g A H ρ gv = A A = M H A der Druck auf die Fläche A ist gegeben durch das Gewicht der über der Fläche liegenden Flüssigkeitssäule mit dem Querschnitt A g x 15

16 Kommunizierende Röhren : Hydrostatisches Paradoxon Der Druck auf die Bodenfläche eines Gefäßes ist bei gleicher Füllhöhe H für alle Gefäße gleich (obwohl sich die Wassermengen stark unterscheiden) 16

17 Steigen (Auftrieb), Schweben & Sinken betrachte einen Körper (Dichte ρ 2 ) in einer Flüssigkeit (Dichte ρ 1 ) die vertikale Bewegung des Körpers ist durch die Relation zwischen den Kräften in der Flüssigkeit und der Gewichtskraft bestimmt F hydro = ρ fl A Δh g = M Fl g Archimedisches Prinzip : Durch den Auftrieb verliert ein eingetauchter Körper (scheinbar) so viel Gewicht, wie die verdrängte Flüssigkeit wiegt. 17

18 Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen betrachte Anziehungskräfte an der Grenzfläche (Oberfläche) einer Flüssigkeit : offensichtlich h itdi ist die Anziehungskraft zwischen den Molekülen in der Flüssigkeit größer als zwischen den Molekülen der Flüssigkeit und Teilchen im Gas über der Oberfläche wenn die Oberfläche vergrößert werden soll, müssen mehr Teilchen aus dem kräftefreien f Inneren an die Oberfläche gebracht werden Arbeit erforderlich linearer Ansatz : Δ W = ε Δ A mit der spez. Oberflächenenergie ε Konsequenz der Oberflächenspannung : Bei positiver Oberflächenenergie ε sucht jede Flüssigkeit bei vorgegebenem Volumen eine Form mit minimaler Oberfläche einzunehmen. Die Kugel besitzt die kleinste Oberfläche bei vorgegebenem Volumen Flüssigkeiten versuchen stets Tropfenform (Kugel) anzunehmen 18

19 Grenzflächen und Haftspannung (a) Konkave Flüssigkeitsfläche, z.b. für Wasser Glas (σ 1,3 > σ 1,2 ); (b) konvexe Fläche, z.b. für Hg Glas (σ 1,3 < σ 1,2 ); (c) vollständige Benetzung bei σ 1,3 σ 1,2 > σ 2,3 σ 1,3 > σ 1,2. Beachte : Verhalten bei Benetzung hängt von Eigenschaften aller drei Materialen ab : σ 1,3 < σ 1,2 nicht benetzend ; σ 1,3 - σ 1,2 > σ 2,3 vollständig benetzend; es gilt dann : cos ϕ >1 auch bei ϕ =0kein Gleichgewicht möglich (die Flüssigkeit kriecht die gesamte Wand hoch) 19

20 Kapillarkräfte Steighöhe : h 1 r d.h. je kleiner der Durchmesser der Kapillare, umso größer die Steighöhe Kapillarität 20

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