Zur Erinnerung. Trägheitsmomente, Kreisel, etc. Stichworte aus der 11. Vorlesung:

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1 Zur Erinnerung Stichworte aus der 11. Vorlesung: Zusammenfassung: Trägheitsmomente, Kreisel, etc. allgemeine Darstellung des Drehimpulses für Drehung von beliebig geformtem Körper um beliebige Drehachse (durch den Schwerpunkt) Zusammenhang von ω und L. Im allgemeinen Fall liegt L nicht parallel zu ω. Trägheitstensor: verbindet L mit ω ( transformiert ω nach L ) Hauptträgheitsachsen: Trägheitsmomente: Hauptträgheitsachsen = drei senkrecht zu einander stehende Achsen a, b, c mit zugehörigen Trägheitsmomenten I a I b I c Experimentalphysik I WS 2010/

2 Zur Erinnerung (wenn zwei der Trägheitsmomente gleich sind: symmetrischer Kreisel) Trägheitsellipsoid: Trägheits-Ellipsoid (aus Darstellung der Rotationsenergie durch Trägheitstensor). Wenn I a, I b und I c bekannt, kann I ω für beliebige Richtung der Drehachse ω bestimmt werden. Rotation um nicht gelagerte Achsen: stabile Rotation nur um die Achse c, d.h. die Achse mit dem größten Trägheitsmoment Kreisel: Präzession Nutation Kreiselkompass Experimentalphysik I WS 2010/

3 Kreiseldynamik am Fahrrad Einige praktische Konsequenzen aus der Kreiseldynamik Steuerung eines Rades beim f r e i h ä n d igen Fahren: Experimentalphysik I WS 2010/

4 6. Eigenschaften nicht-starrer (deformierbarer) fester Körper Reale Körper: ob fest flüssig gasförmig hängt wesentlich ab von der Stärke der Atom-Atom Wechselwirkung im Vergleich zur (siehe später) mittleren thermischen Energie Experimentalphysik I WS 2010/

5 Fest Flüssig Gasförmig Übergang zwischen Aggregatzuständen Kristalliner Festkörper wohldefinierte Nahordnung durch gerichtete Bindung, wohldefinierte Fernordnung. (Amorpher Festkörper: keine Fernordnung, Richtungsabhängigkeit der Bindung läßt keine Kristallstruktur zu.) Erhöhung der Temperatur (Energiezufuhr): <E kin > = ½ k T pro Freiheitsgrad (s. später) steigt, wenn <E kin > E* Schmelzen. Flüssig Nahordnung vorhanden (ungerichtete atomare Bindung), keine Fernordnung mehr. Weitere Erhöhung der Temperatur: wenn <E kin > E Bindung Verdampfen. Gasförmige Substanz: Weder Nahordnung noch Fernordnung vorhanden. Individuelle, untereinander stoßende Teilchen. Experimentalphysik I WS 2010/

6 Struktur von Festkörpern Homogenität: Isotropie: physikalische Eigenschaften im makroskopischen Maßstab L >> a (wobei a = Atomabstand) überall gleich. physikalische Eigenschaften im makroskopischen Maßstab unabhängig von der Richtung Kristalline Strukturen (Stück Eisen, Salzkristall, Diamant) sind in der Regel homogen, aber nicht isotrop. Beispiele: Kristallwachstum, Spalten von Kristallen, Doppelbrechung, Elektronenleitung in Halbleitern usw. Amorphe Festkörper, flüssiges Material, Gas sind in der Regel homogen und isotrop. Gegenbeispiele: Nylon (gerichtete Molekülketten), Emulsionen (insb. deren Zerfall), Erdatmosphäre (auf der km-skala). Experimentalphysik I WS 2010/

7 Struktur von Festkörpern Kristalline Struktur: Atome sitzen auf Positionen, gegeben durch r i n a, ia nb, ib nc, ic Betrachtet werden: 1. Elastische (reversile) Verformung 2. irreversible Verformung Starre Verbindungen ersetzt durch Federn: Experimentalphysik I WS 2010/

8 Deformierbare feste Körper Allgemeines: Dehnung eines Stabes: Experimentalphysik I WS 2010/

9 Deformierbare feste Körper Dehnung eines Stabes: Hook sches Gesetz: Anmerkung: der Modul, die Moduln Experimentalphysik I WS 2010/

10 Deformierbare feste Körper Beispiel: Dehnung eines Eisendrahtes F L E q L Atomares Bild typischer Abstand der Atome: 0.1 nm bei L = 1 m Atome in Reihe bei d 1 mm 10 7 Reihen parallel Dehnung Atom-Atom-Abstand (einzeln) Δr 0.1 nm 10-3 = m, vergleiche: Durchmesser Atomkern r K m Experimentalphysik I WS 2010/

11 Deformierbare feste Körper Grenzen des Hook schen Gesetzes: Atomares Bild a) b) c) d) E a) Elastische Dehnung, b) Plastische Verformung c) Fließen d) Reißen Experimentalphysik I WS 2010/

12 Querkontraktion Experimentalphysik I WS 2010/

13 Querkontraktion Experimentalphysik I WS 2010/

14 Hysterese Arbeit bei der periodischen Streckung und Stauchung um L: (mit Substitution ε = ΔL/L, dε = dl/l) Elastische Verformung: (reversible) plastische Verformung: Experimentalphysik I WS 2010/

15 Kompression ) Druckeinheit: Im Labor ( leicht ) erreichbar 50 GPa ½ Mio bar Experimentalphysik I WS 2010/

16 Scherung und Torsion + Experimentalphysik I WS 2010/

17 Torsion eines Drahtes = Richtmoment Experimentalphysik I WS 2010/

18 Torsion eines Drahtes und R 4 erforderliches Drehmoment für Verdrillung um ϕ: D~R 4 r (Torsionsschwingungen, Messung von G) Experimentalphysik I WS 2010/

19 Zusammenhang zwischen den Moduln σ = E ε (Herleitung: GKV) (s.o.) κ = 1/K = Kompressibilität Experimentalphysik I WS 2010/

20 Elastizitätskonstanten Im Vorgriff, Wasser: K = 2x10 9 N/m 2 Experimentalphysik I WS 2010/

21 Reibung Reibung und Oberfläche: Experimentalphysik I WS 2010/

22 Reibung Haft-, Gleit- und Rollreibung: (Reibungskoeffizient) Haftreibung: Experimentalphysik I WS 2010/

23 Hydrostatik Verhalten und Gesetze ruhender Flüssigkeiten ideale Flüssigkeit: keine elastische Dehnung möglich keine Oberflächen-Effekte später: Hydrodynamik: strömende Flüssigkeiten und Gase, Reibungseffekte spielen eine Rolle Kompressionsmodul: vergleichbar Festkörpern Aber: Schermodul G = 0, d.h. keine Tangentialkräfte F T im stationären Zustand können keine Tangential- Kräfte auf die Oberfläche wirken stationär: Kraft Oberfläche Oberfläche einer idealen Flüssigkeit steht immer senkrecht zu der auf die Flüssigkeit wirkenden Gesamtkraft Experimentalphysik I WS 2010/

24 Hydrostatik Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit: Im stationären Zustand: resultierende Kraft muss senkrecht zur Oberfläche stehen (da G = 0) Form der Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit: Paraboloid Experimentalphysik I WS 2010/

25 Statischer Druck in Flüssigkeiten Schermodul von Flüssigkeiten: G = 0 Definition des Druckes: freie Beweglichkeit der Moleküle nur Normalkomponente der Kraft F bezüglich Fläche A kann zum Druck beitragen mit F = F n wird p = F/A Druck ist ein Skalar und kein Vektor!! Druck im Flüssigkeitsvolumen: Experimentalphysik I WS 2010/

26 Kräfte an der Oberfläche von Flüssigkeiten in stationären Fall stellt sich die Richtung der Oberfläche so ein, dass nur F N 0 z da F N F y F x F y da = Normale des Flächenelementes x da = Normale des Flächenelementes Experimentalphysik I WS 2010/

27 Statischer Druck in Flüssigkeiten Druck im Flüssigkeitsvolumen (bei Vernachlässigung des Eigengewichtes) Volumenelement dv = dx dy dz, Flächenelement da = dy dz p(x) = p bei Druckänderung p(x + dx) = p + ( p/ x) dx damit wird Kraft F x auf Flächenelement F x = p dy dz - (p + ( p/ x) dx) dy dz F x = - ( p/ x) dv entsprechend F y = - ( p/ y) dv, F z = - ( p/ z) dv also F = - (grad p) dv Gesamtkraft auf ruhendes Flüssigkeitselement (stationärer Zustand) F = 0! grad p = 0, p(x,y,z) = const. auf jedes Flächenelement da wirkt die gleiche Kraft und somit der gleiche Druck! Experimentalphysik I WS 2010/

28 Statischer Druck in Flüssigkeiten Hydraulische Presse: Heben eines schweren Gegenstandes der Masse M um h Arbeit W = M g h muss geleistet werden jedoch: Kraft F = M g nicht notwendig, da p = const. innerhalb der Flüssigkeit: F 1 = p A 1 F 2 = p A 2 F 1 = F 2 (A 1 /A 2 ) (F 1 << F 2 ) allerdings muss gelten (Energieerhaltung) W 1 = W 2 also F 1 s 1 = F 2 s 2, daher s 1 = (F 2 / F 1 ) s 2 s 1 = (A2 / A 1 ) s 2 (s 2 >> s 1 ) Experimentalphysik I WS 2010/