Evolutionär stabile Strategien

Transkript

1 Evolutionär stabile Strategien Thomas Luxenburger LITERATUR: Josef Hofbauer, Karl Sigmund: Evolutionary Games and Population Dynamics, Kapitel 6: Evolutionary stable strategies

2 Gliederung 1 Einführung Falke-Taube-Spiel Begriff der Evolutionären Stabilität 2 Anwendung des Konzeptes der evolutionären Stabilität Geburtenverhältnisspiel 3 Normalformspiele Merkmale eines Normalformspiels Nash-Gleichgewicht 4 Evolutionär stabile Strategien und Nash-Gleichgewicht Definition der evolutionär stabilen Strategie Zusammenhang zwischen evolutionär stabilen Strategien und Nash-Gleichgewicht 5 Zusammenfassung

3 Falke-Taube-Spiel zwei Spielertypen: Falken: aggressives Verhalten, Kampf bis zum Sieg/Niederlage Tauben: friedliches Verhalten, Rückzug vor Eskalation Gewinnparameter: G: Fitness, die bei Sieg gewonnen wird C: Schaden durch zugefügte Verletzungen, C > G Auszahlungstabelle: KONFLIKT MIT FALKE KONFLIKT MIT TAUBE G C FALKE ERHÄLT 2 G G TAUBE ERHÄLT 0 2

4 Falke-Taube-Spiel Zusammensetzung: x : Anteil der Falken, 1 x : Anteil der Tauben. durchschnittlicher Fitnesszuwachs: für Falken: F F = x G C 2 + (1 x) G, für Tauben: F T = x 0 + (1 x) G 2. stabiler Punkt: F F = F T x = G C : für x < G C : F F > F T, für x > G C : F F < F T.

5 Evolutionäre Stabilität Definition Unter evolutionär stabilem Verhalten versteht man ein Verhalten, das von allen Mitgliedern einer Population angenommen wird und das durch kein anderes Verhalten unterwandert werden kann. Wird in eine Population mit Spielern evolutiuonär stabilen Verhaltens eine kleine Anzahl von Spielern mit abweichendem Verhalten eingeführt, so können diese Spieler nicht in die Population einfallen.

6 Evolutionäre Stabilität W (I, Q) : Fitness des Individuums vom Typ I in Population der Zusammensetzung Q, Annahme einer gemischten Population xj + (1 x)i. Definition Eine aus I Typen bestehende Population ist evolutionär stabil, wenn für alle J I W (J, εj + (1 ε)i) < W (I, εj + (1 ε)i) für alle hinreichend kleinen ε > 0 gilt.

7 Evolutionäre Stabilität im Falke-Taube-Spiel Beide Verhaltensweisen (Falke, Taube) können von der anderen unterwandert werden. Keine der beiden Verhaltensweisen ist evolutionär stabil. Verhaltensweise, mit Wahrscheinlichkeit p = G C zu eskalieren, ist evolutionär stabil.

8 Geburtenverhältnisspiel m : durchschnittliche Anteil männlicher Nachkommen bei Geburt in einer Population (Geburtenverhältnis), N 1 : Größe der Population in der Tochtergeneration F 1 (davon mn 1 männlich, (1 m)n 1 weiblich), N 2 : Größe der Population in der Folgegeneration F 2, für Mitglied aus F 2 : Wahrscheinlichkeit, dass gegebenes 1 Männchen aus F 1 Vater ist: mn 1 N Anzahl der Kinder von Männchen aus F 1 : 2 Anzahl der Kinder von Weibchen aus F 1 : Anzahl der Enkel eines Individuums mit Geburtenverhältnis p p N 2 N mn 1 + (1 p) 2 Fitness w(p, m) = p m + 1 p 1 m, m 1, 0. (1 m)n 1 mn 1 N 2 (1 m)n 1

9 w(p) = p m + 1 p 1 m Geburtenverhältnisspiel

10 Geburtenverhältnisspiel Wann ist ein Geburtenverhältnis p evolutionär stabil? Betrachte die Funktion Sei p w(p, m) = p m + 1 p 1 m. r = εq + (1 ε)p das durchschnittliche Geburtenverhältnis in der Population. p ist evolutionär stabil, wenn für alle q p. w(q, r) < w(p, r)

11 p < 0,5 p nicht evolutionär stabil Geburtenverhältnisspiel

12 p > 0,5 p nicht evolutionär stabil Geburtenverhältnisspiel

13 Geburtenverhältnisspiel Geburtenverhältnis p 0,5 nicht evolutionär stabil. Was passiert im Fall p = 0,5? durchschnittliches Geburtenverhältnis in der Population: r = εq + (1 ε)p r = ε(q p) + p im Fall p = 0,5 : r = ε(q 0,5) + 0,5 q < 0,5 r < 0,5 q > 0,5 r > 0,5

14 p = 0,5 und q < 0,5 w(q, r) < w(p, r) Geburtenverhältnisspiel

15 Geburtenverhältnisspiel p = 0,5 und q > 0,5 w(q, r) < w(p, r) p = 0,5 einziges evolutionär stabiles Geburtenverhältnis

16 Normalform-Spiele Merkmale: Teilnehmer benutzen keine reinen Strategien mehr, sondern Verhalten setzt sich aus endlich vielen reinen Strategien R 1,..., R N mit zugeteilten Wahrscheinlichkeiten p 1,..., p N zusammen. Strategie eines Spielers entspricht Vektor p in S N = {p = (p 1,..., p N ) R N : p i 0 und N i=1 p i = 1}. Im Folgenden werden Normalformspiele mit zwei Spielern betrachtet.

17 Normalform-Spiele u ij : Gewinn von Spieler mit reiner Strategie R i gegen Spieler mit reiner Strategie R j, U = (u ij ) ist die Gewinnmatrix R i -Stratege erhält Gewinn gegen q-stratege. (Uq) i = u ij q j Gewinn p-stratege gegen q-stratege: p Uq = ij u ijp i q i Welche sind die besten Antworten auf die Strategie q? Strategie p, für die p p Uq ihren maximalen Wert erreicht.

18 Nash-Gleichgewicht NASH-GLEICHGEWICHT: Strategie q, die beste Antwort auf sich selbst ist: für alle Strategien p q. p Uq q Uq STRIKTES NASH-GLEICHGEWICHT: Strategie q, die einzige beste Antwort auf sich selbst ist: für alle Strategien p q. p Uq < q Uq

19 Evolutionär stabile Strategie Definition Eine Strategie ˆp S N heißt evolutionär stabil, wenn für alle p S N mit p ˆp gilt p U(εp + (1 ε)ˆp) < ˆp U(εp + (1 ε)ˆp) für alle ε > 0 hinreichend klein.

20 Evolutionär stabile Strategie und Nash-Gleichgewicht p U(εp + (1 ε)ˆp) < ˆp U(εp + (1 ε)ˆp) (1 ε)(ˆp U ˆp p U ˆp) + ε(ˆp Up p Up) > 0 ˆp ist also genau dann eine ESS, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1 GLEICHGEWICHTSBEDINGUNG: p U ˆp ˆp U ˆp für alle p S N, 2 STABILITÄTSBEDINGUNG: falls p ˆp und p U ˆp = ˆp U ˆp, dann p Up < ˆp Up.

21 Evolutionär stabile Strategie und Nash-Gleichgewicht 1 GLEICHGEWICHTSBEDINGUNG: p U ˆp ˆp U ˆp für alle p S N, 2 STABILITÄTSBEDINGUNG: falls p ˆp und p U ˆp = ˆp U ˆp, dann p Up < ˆp Up. Interpretation: 1 GLEICHGEWICHTSBEDINGUNG = Definition eines Nash-Gleichgewichtes (ˆp ist beste Antwort auf sich selbst) 2 STABILITÄTSBEDINGUNG: Falls es eine weitere beste Antwort auf ˆp gibt, so schneidet ˆp besser gegen p ab, als p gegen sich selbst.

22 Zusammenfassung Eine evolutionär stabile Strategie schützt eine Population vor Invasion. Kein Eindringling kann mit einer fremden Strategie in die Population eindringen. Eine evolutionär stabile Strategie ist ein Nash-Gleichgewicht. Ist eine Strategie ein striktes Nash-Gleichgewicht, so ist sie evolutionär stabil.