Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen

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1 Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente a 11, a 12,..., a mn eines Körpers K (in der Regel K = R oder auch K = C) sowie weitere m Elemente b 1,..., b m K. Gesucht sind n Elemente x 1,..., x n K, die die folgenden m linearen Gleichungen erfüllen: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Wegen des kleinen Umfangs des lateinischen Alphabets benützen wir doppelt indizierte Größen a 11 [a(eins-eins), nicht a(elf)], a 12 [a(eins-zwei), nicht a(zwölf)],..., a mn. Zur Klarstellung müssen die beiden Indizes u.u. durch ein Komma getrennt werden. Die a ij heißen die Koeffizienten, die b i die rechten Seiten des Gleichungssystems. Die Gleichungen heißen linear, weil die Unbekannten x j genau linear, d.h. in der ersten Potenz auftreten, nicht etwa quadratisch, in anderen Potenzen oder als Produkte. Wir streben übersichtlichere und einfachere Schreibweisen für das lineare Gleichungssystem (1) an. Dazu betrachten wir das rechteckige Schema a 11 a a 1n a 21 a a 2n A :=.... (2).. a m1 a m2... a mn von m n Elementen a ij aus dem Körper K, angeordnet in m Zeilen und n Spalten, und nennen es eine m n-matrix über dem Körper K. Beim Element a ij heißt i der Zeilenindex, j der Spaltenindex. Die Menge aller m n-matrizen mit Elementen aus dem Körper K bezeichnen wir mit K m n. Matrizenbegriff und -kalkül gehen zurück auf den englischen Mathematiker Arthur Cayley ( ). Um die linken Seiten von (1) kurz schreiben zu können, wird eine Multiplikation von m n- Matrizen mit Spaltenvektoren aus K n erklärt. Sei x 1 x 2 x :=. Kn. (3) x n Unter dem Produkt A x (meist kurz Ax ohne Malpunkt) der Matrix A K m n mit dem Spaltenvektor x K n versteht man den im Folgenden angegebenen Spaltenvektor aus K m : a 11 a a 1n x 1 a 21 a a 2n x 2 Ax = := a m1 a m2... a mn x n n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n j=1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n a 1jx j n := = j=1 a 2jx j. Km. (4) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n n j=1 a mjx j (1)

2 Diese Multiplikation ist also eine Verknüpfung K m n K n K m. Sie geht nach dem Schema Zeile mal Spalte. Zeile ist eine Zeile der Matrix A, Spalte ist die Spalte der Unbekannten; dabei hat jede Zeile genau so viele Elemente wie die Spalte. mal steht für das Skalarprodukt, wie wir es im R n definiert haben. Zusammen mit dem Spaltenvektor b 1 b 2 b :=. Km b m der rechten Seiten wird das Gleichungssystem (1) dann einfach beschrieben durch Ax = b. A heißt die Koeffizientenmatrix, die Matrix (A, b) mit der zusätzlichen Spalte b die erweiterte Koeffizientenmatrix oder kurz die erweiterte Matrix des Gleichungssystems. Falls b = 0, heißt das Gleichungssystem homogen, sonst inhomogen. Die Menge Lös(A, b) := {x K n Ax = b} (7) aller Lösungen heißt die Lösungsmenge des Gleichungssystems; sie ist eine Teilmenge des K n. Betrachten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Ax = b und gleichzeitig das zugehörige homogene System Ax = 0, so schreiben wir für die Lösungsmengen anstelle von Lös(A, b) und Lös(A, 0) auch kurz L i bzw. L h. Für homogene Gleichungssysteme gehört wegen A0 = 0 der Nullvektor stets zur Lösungsmenge. Er wird als triviale Lösung des homogenen Gleichungssystems bezeichnet. Zu beachten ist dabei, dass in A0 = 0 links der Nullvektor 0 K n, rechts der Nullvektor 0 K m steht. Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist also stets nichtleer. Bei einem inhomogenen linearen Gleichungssystems braucht dies nicht der Fall zu sein. Ziel ist es, Kriterien für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme, weiter ggfs. Aussagen über die Struktur ihrer Lösungsmenge und schließlich diese selbst zu gewinnen. Wir wollen noch zwei weitere Schreibweisen für lineare Gleichungssysteme kennen lernen, bei denen die Zerlegung der Matrix A in ihre Zeilen- bzw. Spaltenvektoren bedeutsam ist. Zuerst betrachten wir die Zeilenvektoren der Matrix A. Da wir vereinbart haben, Vektoren grundsätzlich als Spalten zu schreiben, muss die Umwandlung einer Spalte in eine Zeile besonders gekennzeichnet werden. Man spricht vom transponierten Vektor, bezeichnet durch ein hochgestelltes T rechts von dem Vektorsymbol, etwa a T. Gelegentlich wird auch ein hochgestelltes t links vom Vektorsymbol verwendet, etwa t a. Auch eine m n-matrix A kann transponiert werden; A T bzw. t A ist eine n m-matrix. Die Spalten von A sind die Zeilen von A T und umgekehrt. Mit dem i-ten Zeilenvektor der Matrix A a i := (a i1, a i2,..., a in ) T K n, i = 1,..., m und der oben vereinbarten Multiplikation einer Matrix (auch eine Zeile ist eine Matrix!) mit einem Spaltenvektor schreibt sich die i-te Gleichung des Gleichungssystems (1) bzw. (6) als x 1 x 2 a i1 x 1 + a i2 x a in x n = (a i1, a i2,..., a in ). = at i x = b i, (8) x n 2 (5) (6)

3 und das ganze Gleichungssystem kurz als a T i x = b i, i = 1,..., m. (9) Nun zu den Spaltenvektoren a 1j a 2j A j :=. Km, a mj j = 1,..., n der Matrix A. Mit ihnen lautet (1) bzw. (6) Ax = n x j A j = b. j=1 (10) (Merke: Das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor ist eine Linearkombination der Spalten der Matrix.) Für die oben definierte Multiplikation von Matrizen mit Spaltenvektoren gibt es Rechenregeln, die später von Vorteil sein werden. Seien A K m n, x, y K n, α K. Dann gilt Theorie A(x + y) = Ax + Ay, A(αx) = α(ax). (11) Im Folgenden werden die wichtigsten Sätze über lineare Gleichungssysteme - ohne Beweise - zusammengestellt. Dabei sind m, n N und K ein Körper. Zum Beweis des Satzes GS-1 sind nur die Rechenregeln (11) notwendig. Satz GS-1. Es seien A K m n, b K m. Betrachtet werden das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b und das zugehörige homogene System Ax = 0. Dann gilt (i) Lös(A, 0). (ii) x, y Lös(A, 0) x + y Lös(A, 0). } x Lös(A, 0) (iii) αx Lös(A, 0). α K } x Lös(A, b) (iv) x y Lös(A, 0). y Lös(A, b) } x Lös(A, b) (v) x + y Lös(A, b). y Lös(A, 0) Es sei dem Leser empfohlen, die Aussagen dieses Satzes in Worten zu formulieren, etwa (iv): Die Differenz zweier Lösungen eines inhomogenen linearen Gleichungssystems ist eine Lösung des zugehörigen homogenen Systems. Für die weiteren Sätze ist der Rangbegriff ein wesentliches Hilfsmittel. Unter dem Rang einer Matrix A, in Zeichen rg(a), versteht man bekanntlich die Dimension ihres Zeilenraums oder ihres Spaltenraums. Diese beiden Dimensionen sind gleich. 3

4 Satz GS-2: Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme. Seien A 1,..., A n, b K m und A = (A 1,..., A n ). Dann sind äquivalent (i) Lös(A, b). (ii) b span(a 1,..., A n ). (iii) rg(a) = rg(a, b). Ein lineares Gleichungssystem ist also genau dann lösbar, wenn der Rang seiner Koeffizientenmatrix gleich dem Rang seiner erweiterten Matrix ist. Bei einem homogenen linearen Gleichungssystem Ax = 0 ist diese Bedingung trivialerweise erfüllt; es besitzt immer die triviale Lösung x = 0. Seine Lösungsmenge ist also wie schon oben festgestellt stets nichtleer. Weiter gilt Satz GS-3. Seien A 1,..., A n, b K m und A = (A 1,..., A n ). Dann sind äquivalent (i) Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist für jedes b K m lösbar (man sagt: Ax = b ist universell lösbar). (ii) rg(a) = m (man sagt: A hat vollen Zeilenrang). Satz GS-4. Seien A 1,..., A n, b K m und A = (A 1,..., A n ). Dann gilt (i) Die Lösungsmenge L h = {x Ax = 0} des homogenen Systems ist ein Untervektorraum des K n. Mit r = rg(a) gilt dim L h = n r. (12) (ii) Ist p K n eine Lösung des inhomogenen Systems, d.h. p L i = {x Ax = b}, dann gilt L i = p + L h. (13) Man sagt auch: Die allgemeine Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems ergibt sich durch Addition einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems zur allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems. Zum Beweis von (i) sind die Eigenschaften (11) wesentlich. In der Beschreibung der Lösungsmenge L h treten n r frei wählbare Parameter auf. Man beachte: Eine Entscheidung über die als Parameter wählbaren Unbekannten kann nur mit dem Gaussschen Algorithmus getroffen werden. Es können keinesfalls irgendwelche der n Unbekannten als Parameter frei gewählt werden! Die Lösungsmenge L i eines inhomogenen linearen Gleichungssystems ist wegen 0 / L i kein Untervektorraum des K n. Sie ist entweder leer oder geht gemäß (13) durch Parallelverschiebung aus der Lösungsmenge L h des zugehörigen homogenen Systems hervor (wir werden später sagen: L i ist ein affiner Unterraum des K n ). Wir setzen dim L i = { dim Lh, falls L i, 1, falls L i =. (14) Eine einfache spezielle Folgerung aus Satz GS-4 ist Satz GS-5. Seien A 1,..., A n K m, A = (A 1,..., A n ) und m < n. Dann besitzt das homogene Gleichungssystem Ax = 0 eine nichttriviale Lösung, d.h. ein homogenes Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten besitzt stets eine nichttriviale Lösung. Es ist r = rg(a) min(m, n) = m < n, somit dim L h = n r 1. 4

5 Ist rg(a) = rg(a, b) = n, dann gilt dim L h = dim L i = n n = 0. In diesem Fall besitzen die beiden Gleichungssysteme je genau eine Lösung. Satz GS-6. Seien A 1,..., A n, b K m und A = (A 1,..., A n ). Ist das inhomogene System Ax = b lösbar, dann sind äquivalent (i) Das Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar. (ii) Das zugehörige homogene System Ax = 0 ist nur trivial lösbar. Von besonderem Interesse sind Gleichungssysteme mit genau so vielen Gleichungen wie Unbekannten, d.h. mit quadratischer Koeffizientenmatrix. Hier ist m = n und man kann (dann und nur dann!) die Determinante der Koeffizientenmatrix A K n n bilden. Wegen gilt det(a) 0 rg(a) = n (15) Satz GS-7. Seien A 1,..., A n, b K n und A = (A 1,..., A n ). Dann sind äquivalent (i) det(a) 0. (ii) Das Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar. (iii) Das zugehörige homogene System Ax = 0 ist nur trivial lösbar. Weiter gilt Satz GS-8: Cramersche Regel. Seien A 1,..., A n, b K n und A = (A 1,..., A n ). Falls det(a) 0, hat das Gleichungssystem Ax = b genau eine Lösung x = A 1 b. Es gilt x = x 1. x n mit x i = det(a 1,..., A i 1, b, A i+1,..., A n ), i = 1,..., n. (16) det(a) In diesem Fall könnte man die Komponenten des Lösungsvektors zwar mit der Cramerschen Regel als Quotienten von Determinanten angeben bzw. den Lösungsvektor mit Hilfe der Inversen A 1 von A angeben, jedoch ist in der Regel auch hier zur praktischen Ermittlung der Lösung der Gausssche Eliminationsalgorithmus (siehe unten) vorzuziehen. Der Gausssche Eliminationsalgorithmus Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems Ax = b (b = 0 ist hier eingeschlossen) wird durch die folgenden elementaren Zeilenumformungen der erweiterten Matrix (A, b) nicht verändert: (U 1 ) Vertauschung von i-ter und k-ter Zeile. (U 2 ) Multiplikation der i-ten Zeile mit einem Faktor α 0. (U 3 ) Addition des α-fachen der i-ten Zeile zur k-ten Zeile. Auch rg(a) und rg(a, b) werden durch diese elementaren Zeilenumformungen nicht verändert. Erstes Ziel des Gaussschen Algorithmus ist es, durch elementare Zeilenumformungen von oben nach unten (sog. Vorwärtssubstitution) die erweiterte Matrix (A, b) in sog. Zeilenstufenform zu überführen: 5

6 (A, b) r (17) Dabei stehen unterhalb des Treppenzuges im linken Teil (welcher der Matrix A entspricht) nur Nullen. Das Zeichen steht für nichtverschwindende Pivotelemente (Pivot = Angelpunkt). Die Elemente sind für die Überlegungen zur Lösbarkeit ohne Belang. Die Anzahl r der Pivotelemente ist gleich rg(a). Wesentlich ist in der (n + 1)-ten Spalte (die der rechten Seite b entspricht) das mit bezeichnete Element (unter dem lauter Nullen erzeugt werden können). Ist 0, dann ist der Rang der erweiterten Matrix (A, b) um eins größer als der Rang der Koeffizientenmatrix A, und das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. Ist dagegen = 0, dann ist rg(a) = rg(a, b), und das Gleichungssystem ist lösbar. Hinweis. Das Element wird in keinem Fall als Pivotelement bezeichnet. Im Falle der Lösbarkeit ( = 0, d.h. rg(a) = rg(a, b)) werden, ausgehend von (17), zur Ermittlung der Lösung zuerst die Pivotelemente durch elementare Zeilenumformungen vom Typ (U 2 ) auf 1 normiert. Dann wird von unten nach oben gerechnet (sog. Rückwärtssubstitution), und zwar werden mittels elementarer Zeilenumformungen vom Typ (U 3 ), beginnend mit der r-ten Zeile, die Pivotspalten in kanonische Einheitsspalten überführt. (A, b) r (18) Hierbei werden einmal in den Pivotspalten erzeugte Nullen durch spätere Zeilenumformungen nicht mehr zerstört. Schließlich können die zu den Nicht-Pivotspalten gehörigen freien Unbekannten auf die rechte Seite gebracht und als Parameter frei gewählt werden. 6

7 Formalisierte Beschreibung der Vorwärtssubstitution des Gauss-Algorithmus Bemerkung. a ij bezeichnet Platzhalter (Speicherplätze), deren Inhalt sich im Lauf des Verfahrens verändert. (M) Eingabedaten: Lies m, n, A = (a ij ), b = (b i ). Drucke m, n, A = (a ij ), b = (b i ). Initialisierung: Setze s := 0, z := 0, r := 0 und I := {1, 2,..., m}. Iteration: Falls s < n und z < m, führe aus: Setze s := s + 1. Falls a is 0 für ein i I, führe aus: Wähle a is als Pivotelement und setze r := r + 1. Setze z := z + 1. Vertausche die Zeilen z und i. Setze I := I \ {z}. Bringe durch Addition geeigneter Vielfacher der z-ten Zeile (also der neuen i-ten Zeile) zu den übrigen, d.h. durch geeignete Umformungen vom Typ (U 3 ), die Elemente a is, i I, in Spalte s zum Verschwinden. Gehe zu (M); anderenfalls gehe zu (M); anderenfalls führe aus: Setze rg(a) := r. Falls z = m, führe aus: Setze rg(a, b) := r. Setze ST OP := 1; anderenfalls führe aus: Setze s := s + 1. Falls a is 0 für ein i I, führe aus: Setze rg(a, b) := r + 1. Setze ST OP := 2; anderenfalls führe aus: Setze rg(a, b) := r. Setze ST OP := 3. Falls ST OP = 1 oder ST OP = 3: Drucke rg(a) = rg(a, b) = r. Gleichungssystem lösbar mit n r Parametern. Falls ST OP = 2: Drucke r = rg(a) < rg(a, b) = r + 1. Gleichungssystem nicht lösbar. 7