Übung 6 Elastizität, Plastizität. Musterlösung. Ausgabe: Abgabe: Werkstoffe und Fertigung I Prof.Dr. K.

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1 Werkstoffe und ertiun I Prof.Dr. K. Weener Wintersemester 6/7 Menendiaramm bei C Name Vorname Lei-Nr. Übun 6 Elastizität, Plastizität Musterlösun Ausabe:..7 Ababe: 9..7 Institut für Werkzeumaschinen und ertiun, ETH Zentrum Übunsassistenz: Willi Müller, CLA., wm@iwf.mavt.ethz.ch

2 Werkstoffe und ertiun I, Prof.Dr. K. Weener Übun 6 Elastizität, Plastizität../9..7 Lernziele Werkstoffe und ertiun I, Kap. 5, Kap. 6 Kerninformationen. Elastizität, Spannunstensor Durch reischneiden eines Körpers kann man die inneren Kräfte sichtbar machen. Diese sind i.a. über den Querschnitt verteilt und unterschiedlich, je nach Lae innerhalb des Schnittes und natürlich auch je nach Lae des Schnittes im Körper. Da an einem sehr kleinen lächenelement auch nur sehr kleine Kräfte anreifen, dividiert man diese Kräfte durch die lächen und erhält Spannunen. Man unterscheidet Normalspannunen (Zu oder Druck), welche senkrecht auf einem betrachteten lächenelement stehen, und Schubspannunen, die tanential am lächenelement wirken. Wenn man die Spannunen an einem lächenelement der Schnittfläche kennt, enüt das nicht, um Aussaen über Spannunen im selben Punkt zu machen, wenn der Schnitt in anderer Richtun durch denselben Punkt eführt worden wäre. Es braucht zum Beispiel die Kenntnis der Spannunen an den Seitenflächen eines Elementarwürfels, der an der betrachteten Stelle aus dem Körper eschnitten wurde. Diese Spannunen bilden den soenannten Spannunstensor. Aus ihm erhält man durch Multiplikation mit dem lächennormalenvektor eines interessierenden lächenelementes die Spannunen an diesem Element. Dehnun und Scherun aus Verschiebunsänderun Wenn ein Körper bewet und belastet wird, lässt sich seine Lae am Ende des Voranes (oder zu einem bestimmten Zeitpunkt) durch ein Vektorfeld u darstellen. Der Vektor u(,, z) zeit vom Punkt P in (,, z) des unverschobenen, unbelasteten Körpers zum Punkt P, der neuen Lae von P. Indem man die Verschiebun von Nachbarpunkten Q, R, S nach Q, R, S betrachtet, kann man Dehnunen und Scherunen berechnen, welchen der Körper in P unterworfen ist. Q P R S u(,, z) P R Q S du ε ; γ d du d du d

3 . Schmidsches Schubspannunsesetz Grundform für einachsie Spannun σ: τ σ cosλ cosθ τ ist die Schubspannunskomponente in Richtun der Geraden in der Ebene E, wenn die Richtun von σ mit der Ebenen-Normalen n den Winkel θ und mit den Winkel λ einschliesst. (τ ist die Schubkraftkomponente bezoen auf die schiefe läche, σ die Zukraft bezoen auf die Stirnfläche) 4. Erweitertes Schmidsches Schubspannunsesetz: Mehrere einachsie Spannunszustände lassen sich überlaern. Die emeinsame resultierende Schubspannun τ in einer bestimmten Richtun beträt: τ i σ i cosλ i cosθ i ür korrekte Addition der Schubspannunskomponenten Gleitrichtun als Vektor auffassen, λ i Winkel zwischen Spannunsvektor S und Bsp.: Betrachtetes Gleitsstem: ()[] Spannun σ in []-Richtun Spannun σ in Richtun [], σ in Richtun [] τ σ cos λ cos θ + σ cos λ cosθ Gleitrichtun [] σ Schubspannun im Gleitsstem z τ σ λ θ θ λ σ Spannun σ [] λ [ ] Ebenennormale [] σ Spannun σ [] Gleitebene () Mit dem Schmidschen Schubspannunsesetz kann beurteilt werden, ob ein bestimmter Spannunszustand zur plastischen Verformun eines Bauteiles führt. liessbedinun: τ τ krit

4 5. Bindunsenerie Potential U(r) der anziehenden und abstossenden Kräfte zwischen zwei Atomen. U Grosse Bindunsenerie U B bedeutet hohe Schmelztemperatur. Kleiner Krümmunsradius der Potentialkurve im Minimum bedeutet hohen E-Modul. r r an ab r U B U r 4

5 Dehnun und Scherun aus Verschiebunsänderun Geeben ist ein Stab mit quadratischem Querschnitt der Läne l und den Querabmessunen b c. Er wird einer Belastun unterworfen, welche die Verschiebunen u k ; k ; k z u u z k.5 ; k. 5 ; k. 5 bewirkt. a) Zeichnen Sie den Verschiebunsvektor u l, b,... ein. b) Zeichnen sie den deformierten Körper c) Berechnen Sie Dehnunen ε.. und Scherunen γ.. aus diesen Verschiebunen. d) Verleichen Sie ε mit ε. b l Lösun: b l a) Verschiebunsvektor in l, b, : l b u, l.5.5 l b,.5.75 b l,, abebildet: b) Zeichnen sie den deformierten Körper. Als weiterer Punkt wird ( ).5 l.5 l u ( l ), b,.5 b.5 b c) Dehnunen ε.. und Scherunen γ.. aus diesen Verschiebunen: b du du du du ε.5; ε.5; τ + ; d d d d ε.5 d) Verleichen Sie ε mit ε.. ε.5...

6 Schubspannunen Durch Einleiten eines Drehmomentes in ein Rohr kann man in lächenelementen wie in der Abbildun einezeichnet einen Zustand reinen Schubes erzeuen. An kleinen Raumelementen ilt dabei: τ τ und τ τ 4 (Kräfteleichewicht in horizontaler und vertikaler Richtun. Das Gesetz von den zueordneten Schubspannunen sat zudem, dass τ τ, resultierendes Drehmoment der Schubkräfte muss Null sein). τ τ 4 τ τ Aufabe Ein Würfel der Kantenläne a ist fest mit einer Unterlae verbunden. An der Oberseite des Würfels in lächenmitte wirkt in horizontaler Richtun die Tanentialkraft. a) Lösen Sie die Verbindun des Würfels mit der Unterlae. Beschreiben Sie, was passiert. b) ühren Sie nach Bedarf Kräfte an der Unterseite des Würfels ein, um ihn wieder ins Gleichewicht zu brinen. c) Verleichen Sie diesen Würfel mit dem Elementarwürfel, wie er zur Definition des Spannunstensors verwendet wurde. τ B τ C A τ A B Lösun: a) Der Würfel beschleunit sich nach rechts und rotatorisch im Uhrzeiersinn. b) Kräfte emäss Zeichnun, A verhindert Horizontalbeweun, B und C die Rotation. c) Die leiche Stabilisierun wird erreicht, wenn die Vertikalkräfte statt an den Kanten der Würfelunterseite an seinen Seiten anreifen. Ein Elementarwürfel wird so klein ewählt, dass an einer seiner lächen nicht unterschiedliche Spannunen anreifen können. B und C müssen also als Schubkräfte an den seitlichen lächen anreifen oder bezoen auf die Würfelflächen als Schubspannunen τ B bzw. τ C, ebenso wie τ und τ Α.

7 Schubspannun In einem kfz-gitter beträt die Schubspannun τ im ( )[]-Gleitsstem 76 MPa. a) Wie ross ist die in []-Richtun anlieende Normalspannun, aus der τ resultiert? b) Beeinflusst eine zusätzliche Normalspannun in []-Richtun die Schubspannun? Weshalb / weshalb nicht? Lösun: a) Schmidsches Schubspannunsesetz τ σ i cosλ i cosθ i, nach σ aufelöst: τ σ cosλ cosθ Der Winkel θ zwischen Spannunsvektor s und der lächennormalen N findet sich in der kfz- Elementarzelle als der rössere Winkel in einem rechtwinklien Dreieck aus Seite a, a a lächendiaonalen D und Raumdiaonalen RD: cos θ RD a N s [ ] [ ] Oder Skalarprodukt aus N und s: cos θ N s [ ] [ ] Den Winkel λ zwischen Spannunsvektor s und der Gleitrichtun findet man zwischen Kante a und lächendiaonalen D : cos λ Einesetzt in Schmidsches Schubspannunsesetz: τ 76 σ MPa cosλ cosθ (Das Vorzeichen der Normalspannun ist nicht bestimmbar, da bei der Schubspannun immer der Betra aneeben wird.) b) Die Normalspannun σ in []-Richtun hat keinen Einfluss auf das eebene Gleitsstem, da die durch sie bewirkte Spannun S an der Ebene ( ) senkrecht zur Gleitrichtun [] steht., cosλ und damit auch τ. ([ ] [ ] ) 4

8 [] λ n [ ] RD σ [ ] σ [] z D θ τ λ θ S S n D a 5

9 4 Mehrachsier Spannunszustand ür einen krz-kristall beträt die kritische Schubspannun τ krit 68 MPa auf den {} -Gleitsstemen. Liet für den folenden Spannunszustand plastische Verformun vor? σ 5 MPa in []-Richtun σ -48 MPa in []-Richtun Lösun Es müssen alle Gleitssteme aus der aneebenen amilie {} betrachtet werden. Bezülich des aneebenen Spannunszustands sind alle Gleitssteme auf den Ebenen ( ) und ( ) leichwerti (Gleitrichtunen lieen smmetrisch zu den Ebenen Kraftrichtun- lächennormalen). ür alle anderen Gleitebenen ist die zu erwartende Spannun kleiner, da die Ebenen dann zu einer der Spannunen parallel lieen. Berechnun für das Sstem ( ) [ ]: Bsp.: Betrachtetes Gleitsstem: ()[] Spannun σ in []-Richtun Spannun σ in Richtun [], σ in Richtun [] ür Druckspannunen: σ < τ σ cos λ cos θ + σ cos λ cosθ 4 ( ) 5 6 [ ] z λ 8º - λ Gleitrichtun [] σ Schubspannun τ im Gleitsstem z σ λ θ θ λ σ Spannun σ [] λ Ebenennormale [] σ Spannun σ [] Gleitebene () Bei und bewirken nur die horizontalen, bei 5 und 6 nur die vertikalen Normalspannunen Schubspannunen in der markierten Gleitebene. Bei ( ) und 4 ( ) unterstützen sich der horizontale Zu und der vertikale Druck. Berechnun für das Sstem ( ) [ ] : Zur Beurteilun, ob bei einem einachsien Spannunszustand die kritische Schubspannun in einem bestimmten Gleitsstem erreicht ist und das Material also plastisch fliesst, ist nur der Betra, nicht aber die Richtun der Schubspannun von Bedeutun. Werden aber verschiedene einachsie Spannunszustände überlaert und mittels des erweiterten Schmid schen Schubspannunsesetzes die resultierende Schubspannun τ berechnet, müssen die Richtunen der Schubspannunskomponenten beachtet werden. Dies kann eschehen, indem man die Gleitrichtun als Vektor auffasst und die Winkel λ i zwischen dem Spannunsvektor am schiefen lächenelement und dem Gleitrichtunsvektor einführt. In unserer Aufabe wird so λ rösser als 9º, cos λ neativ. Bei Druckspannunen setzt man für σ neative Werte ein. 6

10 Die beiden einachsien Spannunszustände sind im olenden einzeln ezeichnet. Die Spannun S i an der schiefen läche hält der Spannun σ i am lächenelement in der Koordinatenebene das Gleichewicht. Die Winkel λ i und θ i zwischen S i und bzw. S i und n werden im Elementarzellenwürfel efunden zur Berechnun: λ und λ' in einem Dreieck mit den Seitenlänen,, a,,. a ( ), θ und θ in einem Dreieck mit den Seitenlänen ( ) cosλ cosθ cosθ cosλ cosλ' λ' a σ θ λ θ n [] τ S θ λ n [] a τ λ S z θ λ' [ ] σ τ σ cos λ cosθ + σ cos λ cosθ 5 + ( 48) ( ) MPa 7. 6 MPa 6 da τ >, 7.6 > 68 MPa, ist plastische Verformun zu erwarten. τ krit 7

11 5 Spannunstensor In einem Material lieen im Punkt P an lächenelementen, die senkrecht zu den Achsen des kartesischen Koordinatensstems,, z stehen, folende Spannunen vor: σ 5 MPa σ 48 MPa zz σ und alle Schubspannunen verschwinden. a) Skizzieren Sie die Situation b) Geben Sie den Spannunstensor für diesen Spannunszustand an. c) Wie ross ist die Schubspannunskomponente τ am lächenelement mit der Normalen () in der Richtun [ ] Lösun a) Situation: b) Spannunstensor: z ( ) σ zz σ [ ] T 5 48 c) Schubspannunskomponente τ : n : Spannunsvektor S am lächenelement mit dem Normaleneinheitsvektor ( ) (Komponenten von S in den Richtunen,, z) 5 S T n 48 τ in Richtun [ ] 5 S S 48 S z Schubspannun ist die Komponente von S in dieser Richtun, d.h. Projektion von S auf bzw. Skalarprodukt von S mit 5 ( ) τ S MPa 48 Gleiches Resultat wie Aufabe 6 8

12 6 Bindunsenerie Zeichnen Sie qualitativ den U(r)-Verlauf des Potentials U(r) der resultierenden der anziehenden und abstossenden Kräfte zwischen zwei Atomen. für zwei Werkstoffe mit der leichen Gitterkonstanten, die unterschiedliche Schmelztemperaturen und unterschiedliche E-Moduli aufweisen. T > T ; E > E SA SB A B an ab U(R) ist das Potential der anziehenden und abstossenden Kräfte zwischen zwei Atomen, auf Null normiert bei rossem Abstand. U ist das Potential beim Kräfteleichewicht, der Abstand r entspricht der Gitterkonstanten entspricht. a) Gleiche SchmelztemperaturT S heisst TSA TSB U A U B und hier: > T U U TSA SB A > B b) Die Ableitun des Potentials U nach dem Abstand r eribt die Kraft, die Ableitun der Kraft nach dem Abstand ist proportional zum E-Modul: Der E-Modul ist rösser, wenn der Krümmunsradius klein ist: E > E R < R A B A B U A B r A r B r UAUB R B R A Krümmunsradius R klein, Krümmun K ross: E-Modul ross r r r sich anziehende bzw. abstossende Atome (kleiner ezeichnet. Nach üblicher Darstellun wäre Atomradiusr /) 9

13 Erläuterunen zu c): Krümmun K, Krümmunsradius R, mit Krümmun: d U K dr du + dr K : R du Im Gleichewichtsabstand r r elten dr d U und K dr du d mit folt K, dr dr als Differenz ausehend vom Gleichewichtszustand eschrieben: K r r mit folt K, r auf Spannun und Dehnun umerechnet, indem mit der zu einem Atom ehörien Querschnittfläche A und dem Atomabstand r erweitert wird: A A σ A A K E ~ E r r r ε r r r