Der natürliche Logarithmus. logarithmus naturalis

Transkript

1 Der natürliche Logarithmus ln logarithmus naturalis

2 Zur Erinnerung: Die Exponentialfunktion y = exp(x) ist festgelegt durch 2 y = exp(x) y (x) = y(x) 0 x y(0) = 2

3 Zur Erinnerung: e := y() 2.78 exp(x) = e x e 2 y = exp(x) 0 x 3

4 20 y = exp(x) Zu jeder Zahl a R + gibt es genau eine Zahl ln(a) R mit a 5 0 a = exp(ln(a)) x 3 ln(a) 4

5 ln(a) heißt der natürliche Logarithmus von a oder auch der Logarithmus von a zur Basis e. e ln(a) = a ln(a) ist diejenige Zahl ( derjenige Exponent ), mit der man die Zahl e potenzieren muss, um a zu erhalten. 5

6 Zum Beispiel: ln(e 2 ) = 2, ln(e) = ln(e ) =, ln() = ln(e 0 ) = 0. 6

7 Die (natürliche) Logarithmusfunktion x ln(x) ist definiert durch e ln(x) = x. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. e ln x = x, ln(e x ) = x. 7

8 20 5 x ln(x) 8

9 Wie bekommt man den Graph der Funktion y = ln(x)? Indem man die Rollen von Input und Output vertauscht! 9

10 a 0 ln(x) ln(a) x 0

11 a 0 ln(a) ln(a) a

12 2 y = e x x = ln(y)

13 2 y = e x x = ln(y)

14 2 y = e x x = ln(y) y = ln(x)

15 Merke: Den Graph der Funktion y = ln(x) bekommt man aus dem Graphen der Funktion y = e x, indem man die Rollen von x und y vertauscht, d.h. die Kurve y = e x an der Diagonalen (y = x) spiegelt. 5

16 ln(x) ist nur für x > 0 definiert. Merke: exp : R R + ln : R + R Der Definitionsbereich der Funktion ln ist R +, die Menge der positiven reellen Zahlen. 6

17 2 y = e x y = ln(x)

18 Wenn x eine kleine positive Zahl ist, dann ist ln(x) eine betragsmäßig große negative Zahl. log x für x 0 8

19 0 2 0 x y = ln(x)

20 Wenn x eine kleine positive Zahl ist, dann ist ln(x) eine betragsmäßig große negative Zahl. Es gilt: ln(x) für x 0. Lies: ln(x) konvergiert gegen minus Unendlich, wenn x (von oben) gegen Null geht. 20

21 Für x wächst ln(x) gegen, allerdings sehr langsam: e , also ln e , also ln e , also ln

22 Die Steigung von y = ln x bei x = a ist a : ln (x) = x. 22

23 y = e x y = ln(x) 0-0 a 23

24 Die Steigung von y = ln x bei x = a ist a : Denn die Steigung von y = ln x beim Input a ist das Reziproke der Steigung von y = e x beim Input ln a: exp (ln a) = exp(ln a) = a. 24

25 Merke: Wenn man eine Gerade an der Diagonale spiegelt (also die Rollen von x und y vertauscht ) ergibt sich die reziproke Steigung. 25

26 Die fundamentale Eigenschaft der Logarithmusfunktion: ln(rs) = ln(r) + ln(s) denn exp(ln(rs)) = rs = exp(ln(r)) exp(ln(s)) = exp(ln(r) + ln(s)) 26

27 Aus ln(rs) = ln(r) + ln(s) folgt sofort ln() = 0, denn ln() = ln() + ln() ln( u ) = ln(u), denn ln( u ) + ln(u) = ln() = 0 ln( u) = 2 ln(u), denn ln( u) + ln( u) = ln(u). 27

28 Potenzen und Logarithmen Für b > 0, x R ist b x = ( e ln(b)) x = e ln(b) x ln(b x ) = xln(b) 28

29 Der Logarithmus zur Basis b 29

30 Für eine positive Zahl b und x > 0 ist die Zahl log b (x) definiert durch b log b(x) = x. Die Funktion x log b (x), x > 0 heißt Logarithmusfunktion zur Basis b. Sie ist die Umkehrfunktion von x b x. Speziell: log e (x) = ln(x). 30

31 Beispiele log 2 8 = 3 log 2 64 = 6 log = log 2 (2 0 ) = 0. 3

32 Beispiele log 0 0 = log = 3 log = 6 log = 9 32

33 Wie hängt ln x mit log b (x) zusammen? Durch Logarithmieren der Gleichung b log b(x) = x sieht man: log b (x)ln(b) = ln(x) also log b (x) = ln(x) ln(b). 33

34 Die Größenordnung von ln(x) 34

35 Für x ist ln x klein gegen x. Zum Beispiel: ln ln ln

36 In der Tat gilt: ln(x) x 0 für x Denn mit y := ln x ist das gleichbedeutend mit y 0 für y. ey Und das wissen wir schon! Man erinnere sich: e y = + y + y2 2! + y3 3!

37 Zur Erinnerung: Statt ln(x) x 0 für x schreibt man auch: ln(x) = o(x) für x und liest: ln(x) ist klein gegen x oder auch für x gegen Unendlich ln(x) ist klein o von x für große x. 37

38 Zur Erinnerung: Mit der Schreibweise f(x) = o(g(x)) für x meint man: f(x) g(x) 0 für x. 38

39 Beispiel: x 2 = o(x 3 ) für x, denn x 2 x 3 = x 0 für x. 39

40 x = o(x) für x, denn x x = x 0 für x. 40

41 ln(x) = o(x) und x = o(x) für x. Was bleibt kleiner, ln(x) oder x? Für große x ist ln(x) klein nicht nur gegen x, sondern sogar auch gegen x : ln(x) = o( x) für x. 4

42 40 x x = x /2 20 ln(x)

43 Es gilt sogar: Für jede positive Zahl p ist ln x klein gegen x p für x : p > 0 : ln(x) = o(x p ) für x. Denn: ln(x) x p = ln ((x p ) /p) x p = p ln(x p ) x p 0 für x. 43

44 0 x / ln x x /

45 30 x / ln x

46 Merke: Für x ist e x größer als jede noch so große Potenz von x Für x ist ln(x) kleiner als jede noch so kleine (positive) Potenz von x. 46

47 Heuristisch kann man sich das asymptotische Wachstum von ln(x) für x als das von x ε mit ε unendlich klein vorstellen. 47

48 Beispiel: ln(x) = o(x /4 ) für x Man denke an x ε für kleines ε. Auch dafür gilt: x ε = o(x /4 ) für x 48

49 Beispiel: xln(x) = o x3/2 (ln(x)) 2 für x denn für kleines ε ist + ε < 3 2 2ε. 49

50 Wir hatten eben bewiesen: ln x = o(x p ) für x für jedes p > 0 also z.b. auch ln x = o(x 0.0 ) für x. 50

51 4 y = ln(x) 3 2 y = x

52 20 8 y = ln(x) y = x

53 Und doch wird ln x irgendwann mal von x 0.0 überholt... Berechnen wir, bei welchem x es eingeholt wird, und setzen wir dazu x = e s : 53

54 Für welches x = e s ist x 0.0 = ln x? e 0.0 s = s 0.0 s = ln s 54

55 0,0 y = 0.0 s 7,5 y = ln(s) 5,0 2,5 0,0 s s

56 Für welches x = e s ist x 0.0 = ln x? e 0.0 s = s 0.0 s = ln s ln x = s 650 log 0 x = ln x ln

57 20 8 y = ln(x) ln x wird von x 0.0 eingeholt bei x = y = x