Musterlösung zur Klausur. Grundlagen der Mechatronik

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1 Musterlösung zur Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matrikel-Nr.: Hinweise zur Bearbeitung: Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben. Es sind alle Aufgaben zu bearbeiten. Die Bearbeitungszeit beträgt 12 Minuten. Bei jeder Aufgabe können maximal 3 Punkte erreicht werden, so dass die Gesamtpunktzahl 12 Punkte beträgt. Beschriften Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer, und nummerieren Sie die Lösungsblätter durch. Lösungsblätter ohne Beschriftung können nicht bewertet werden. Fangen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt an. Die Aufgabenblätter sind am Schluss der Klausur mit abzugeben. Erlaubte Hilfsmittel sind Bücher, eigene Aufzeichnungen, Vorlesungs- und Übungsunterlagen; Taschenrechner sind nicht zugelassen!

2 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 2 von 14 Aufgabe Entwurf mechatronischer Systeme und reduzierte Lösungselemente a) Skizzieren Sie den grundsätzlichen Aufbau mechatronischer Systeme. Zeichnen Sie Komponenten und Flüsse ein und beschriften Sie diese. b) Identifizieren Sie die Komponenten bei einem von Ihnen gewählten Beispiel eines mechatronischen Systems. Beispiel: inverses Pendel Aktor: Linearmotor Sensor: Winkelsensor Grundsystem: Pendelarme Informationsverarbeitung: Steuerung und Regelung auf Echtzeithardware c) Erläutern sie kurz den Begriff reduzierte Lösungselemente. Was ist die Idee, die hinter den reduzierten Lösungselementen steckt und warum haben Sie für die Mechatronik eine besondere Bedeutung? Unter reduzierten Lösungselementen versteht man einfache Bausteine für die unterschiedlichen Disziplinen (Mechanik, E-Technik, Hydraulik, ) Idee: Zusammensetzen des Systems aus Standardbausteinen (Baukasten) Bei der Beschreibung der reduzierten Lösungselemente durch lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ergeben sich Analogien zwischen den Disziplinen, die man in der Mechatronik ausnutzen kann. 1.2 Aufstellen von Bewegungsdifferentialgleichungen Um den Antrieb eines elektrisch angetriebenen Schleifsteins (siehe Bild 1) auslegen zu können, soll ein Modell des Systems aufgebaut werden. Beim Schleifen wird das Werkstück mit einer Normalkraft gegen die rotierende Schleifscheibe mit der Trägheit und dem Radius gedrückt. Dadurch entsteht ein Reibmoment.

3 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 3 von 14 J S ω S r F N Werkstück F N Schleifscheibe U R L U EMK k M i Bild 2: Elektrisches Teilsystem M, 1 φω, 1 1 Bild 1: Prinzipskizze des Schleifsteins M Getriebe ü Bild 3: Mechanisches Ersatzsystem c d Antriebsmotor Schleifscheibe J S,φ S M R Drehwinkel der Schleifscheibe Winkelgeschwindigkeit der Schleifscheibe Reibmoment Reibkoeffizient Reibkraft Normalkraft Relativgeschwindigkeit induzierte Spannung Motormoment Winkel des Ankers Winkelgeschwindigkeit des Ankers elektrischer Strom im Ankerkreis Als Antrieb wird ein Gleichstrommotor mit Getriebe verwendet. Das elektrische Verhalten des Gleichstrommotors ist in Bild 2 gezeigt. Für die elektromagnetische Kopplung gilt: Als Antrieb wird ein Gleichstrommotor mit Getriebe verwendet. Das elektrische Verhalten des Gleichstrommotors ist in Bild 2 gezeigt. Für die elektromagnetische Kopplung gilt: Das Getriebe bewirkt eine Drehzahl- und Momentenübersetzung: 1: Antriebsseite; 2: Abtriebsseite Die Trägheit des Getriebes bezogen auf die Abtriebsseite werde durch das Trägheitsmoment beschrieben. Die Trägheit des Motors wird vernachlässigt. Die Elastizität der Welle soll durch ein rotatorisches Feder-Dämpferelement mit den Konstanten und abgebildet werden (siehe Bild 3). Bei der Bestimmung des Reibmoments kann von Coulomb scher Reibung ausgegangen werden. Diese soll mithilfe des approximiert werden, um eine stetige Funktion abhängig von der Relativgeschwindigkeit der Reibpartner zu erhalten (Bild 4).

4 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 4 von 14 F R Coulomb sche Reibung μf N F N μ tanh( Δ v) Bild 4: Approximation der Coulomb'schen Reibung a) Schneiden Sie das mechanische Ersatzsystem (Bild 3) frei und tragen Sie alle relevanten Kräfte und Momente ein. Δv 1 J G,φ J S,φ S M 2 M c,d M c c M c M c,d M R M d d M d b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für das mechanische System in Abhängigkeit von und auf. System 1: mit und System 2: System 3: mit * ( ) ) ** c) Leiten Sie die Differentialgleichung für das elektrische Teilsystem her. ***

5 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 5 von 14 d) Charakterisieren Sie die entstandenen Differentialgleichungen hinsichtlich Linearität, Verkopplung und Ordnung. * nichtlinear, 2.Ordnung, verkoppelt ** linear, 2.Ordnung, verkoppelt *** linear, 1.Ordnung, verkoppelt

6 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 6 von 14 Aufgabe Linearisierung Gegeben sei folgende nichtlineare Differentialgleichung. ( ) a) Bestimmen Sie die Ruhelagen des Systems für. b) Linearisieren Sie das System mithilfe der Taylorreihenentwicklung um eine Ruhelage. Übergang zu -Größen: Taylorreihenentwicklung um erste Ruhelage: ( ) )= Linearisierte DGL: c) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion des linearisierten Systems. Um was für ein Übertragungsglied handelt es sich? Beurteilen Sie die Schwingfähigkeit und Stabilität (Begründung). Überführung in den Laplace Bereich:

7 x(t) Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 7 von 14 Es handelt sich um ein PT2-Glied. Charakteristisches Polynom: Das System ist stabil und schwingfähig, da es konjugiert komplexe Pole hat, die links der j-achse liegen. 2.2 Digitale Signalverarbeitung Ein analoges Signal wurde mithilfe eines Abtast-Halte-Glieds abgetastet (siehe Bild 5). 5 Analoges Signal Abgetastetes Signal t [s] Bild 5: Abtastung eines analogen Signals a) Klassifizieren Sie die in Bild 5 dargestellten Signale hinsichtlich der Eigenschaften wertkontinuierlich/-diskret, zeitkontinuierlich/-diskret. Das analoge Signal ist wert- und zeitkontinuierlich. Das abgetastete Signal ist wertkontinuierlich und zeitdiskret. b) Beurteilen Sie die Wahl der Abtastfrequenz. Muss Aliasing befürchtet werden? Begründen Sie Ihre Antwort! Die Nutzfrequenz des Signals beträgt. Die Abtastfrequenz ist mehr als doppelt so groß wie die Nutzfrequenz, was laut Shannon eine korrekte Rekonstruktion ohne Aliasing ermöglicht. c) Berechnen Sie überschlägig die Frequenz eines anderen Signals, das bei gleichbleibender Abtastfrequenz zu denselben Abtastwerten geführt hätte. Frequenz ist symmetrisch zur halben Abtastfrequenz.

8 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 8 von 14 Ein Signal mit einer Frequenz von etwa,9hz hätte dieselben Abtastwerte zur Folge. d) Bei der Analog/Digital-Umsetzung des abgetasteten Signals aus Bild 5 können aufgrund der Quantisierung nur ganzzahlige Vielfache von,5 dargestellt werden. Wie sieht der Signalverlauf aus, wenn das Signal anschließend direkt mithilfe eines Halteglieds. Ordnung wieder ausgegeben wird? Zeichnen Sie diesen in Bild 5 ein. Um was für ein Signal handelt es sich dann im Sinne von Teilaufgabe a)? Siehe Zeichnung Das Signal ist wertdiskret und zeitkontinuierlich. e) Die quantisierten Abtastwerte werden mit einem digitalen Filter weiterverarbeitet. Für das Filter sei folgende Differenzengleichung gegeben: Berechnen Sie die ersten vier Werte der Ausgangsfolge des Filters.

9 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 9 von 14 Aufgabe Blockschaltbild Ein mechatronisches System wird durch folgendes Blockschaltbild beschrieben. W(s) A B C Z(s) G H Y(s) D I E F Bild 6: Blockschaltbild a) Bestimmen Sie die Führungsübertragungsfunktion und die Störübertragungsfunktion durch geeignete Umformungen und Vereinfachungen. Benennen Sie dabei jeweils Parallel- und Reihenschaltungen, Mit- und Gegenkopplungen sowie Verlegungen von Summations- und Verzweigungsstellen! Hinweis: Verschieben Sie bei der Vereinfachung des rechten Teils des Strukturbilds den Block H über eine der beiden Summationsstellen. Parallelschaltung, Reihenschaltung, Reihenschaltung, Parallelschaltung: W(s) (B-A)C Z(s) G H Y(s) (D+EF) I Verlegung einer Summationsstelle, Gegenkopplung: Z(s) W(s) Y(s) (B-A)C H 1+GH (D+EF) Gegenkopplung, Parallelschaltung, Reihenschaltung: I H

10 Phase (deg) Betrag (db) Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 1 von 14 W(s) (B-A)C(1-I/H) 1+(B-A)C(D+EF) Z(s) H 1+GH Y(s) b) Für die Störübertragungsfunktion des Systems wurde folgendes Bode-Diagramm ermittelt (Bild 7). Um was für ein Übertragungsverhalten handelt es sich? Geben Sie die Übertragungsfunktion formelmäßig an Frequenz (rad/sec) PT1-Verhalten: ; Bild 7: Störübertragungsfunktion im Bode-Diagramm 3.2 Bode-Diagramm und Frequenzgang a) Erläutern Sie im Allgemeinen die messtechnische Bedeutung des Frequenzgangs. Regt man ein stabiles System mit der Übertragungsfunktion sinusförmig

11 Phase (deg) Betrag (db) Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 11 von 14 an, so ist der Ausgang, nachdem die Einschwingvorgänge abgeklungen sind, ebenfalls eine Sinusschwingung mit derselben Frequenz. Die Amplitude und Phasenverschiebung ergibt sich dann aus Betrag und Phase des Frequenzgangs. b) Zeichnen Sie den Betrags- und Phasenverlauf des Frequenzgangs für die gegebene Übertragungsfunktion in Bild 8 ein. Teilen Sie diese. dazu in Standardübertragungsglieder auf und benennen Sie P-Glied (Gesamtverstärkung): Inv PT1-Glied: PT2-Glied: P Inv. PT1 PT2 Integrator 6 Bode Diagramm Frequenz (rad/sec) Bild 8: Bode-Diagramm

12 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 12 von 14 c) Geben Sie eine harmonische Eingangsschwingung im Zeitbereich an, deren Amplitude durch das in Aufgabenteil b) gezeichnete Übertragungsverhalten nicht verändert wird. Wie groß ist die Phasenverschiebung? Ablesen:

13 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 13 von 14 Aufgabe Zeitantwort Ein dynamisches System kann durch folgende Übertragungsfunktion beschrieben werden. Berechnen Sie die Zeitantwort mithilfe der Partialbruchzerlegung bei einer Anregung mit. Raten einer Nenner-Nullstelle: doppelte Nullstelle Polynomdivision: Ansatz: 4.2 Sprungantwort von Übertragungsgliedern Gegeben seien die Sprungantworten von vier verschiedenen Standard-Übertragungsgliedern:

14 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matr.-Nr.: Seite 14 von 14 1) 16 2) t[s] t[s] 3) 2.5 4) t[s] a) Identifizieren Sie die Übertragungsglieder und geben Sie jeweils die allgemeine Übertragungsfunktion an. 1) Integrator 2) PT1 1/T 3) reales D-Glied 4) PT2-Glied b) Geben Sie für die Fälle 1) bis 3) die Werte an, die die jeweiligen Parameter der Übertragungsfunktionen haben. Integrator t[s] PT1 Glied: Reales D-Glied: