Werkstoffmechanik SS11 Baither/Schmitz. 5. Vorlesung

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1 Werkstoffmechank SS11 Bather/Schmtz 5. Vorlesung Mkroskopsche Ursachen der Elastztät 4.1 Energeelastztät wrd bestmmt durch de Wechselwrkungspotentale zwschen den Atomen, oft schon auf der Bass von Zentralkräften. Trebkraft st de Mnmerung der Bndungsenerge. Es estert en enfacher Zugang über de Zentrale-Paar-Wechselwrkung. De Beschrebung mt der lnearen Elastztätstheore entsprcht dann ener quadratschen Näherung der Potentale. Für de Energe setzen wr also an: W = ϕ r ) (4.1) j ( j Wobe rj zunächst dem Glechgewchtsabstand zwschen dem - ten und j-ten Atom entsprcht. Be nur klener Änderung der Abstände können wr de Potentale um den Glechgewchtszustand herum entwckeln: ϕ 1 ϕ ϕ ( r + ) = ϕ ( ) (4.) r r Dabe muss m Glechgewcht der lneare Term notwendg durch Kompensaton n der Summe über alle Wechselwrkungen verschwnden. Kann man be geegneter Wahl der Wechselwrkungspotentale de elastschen Egenschaften enes Krstalls vollständg beschreben? Es zegt sch, dass be ausschleßlcher Verwendung von Paarpotentalen und nversonssmmetrschen Strukturen dann mmer de Cauch-Relaton c1 = c 44, Cauch-Relaton (4.) erfüllt st. Des seht man we folgt durch de folgende verenfachte Überlegung m R en: Wr betrachten nur en repräsentatves Paar von Bndungen be denen m Abstand ± r = ± (, ) vom zentralen Aufatom jewels en weteres Atom 1

2 Werkstoffmechank SS11 Bather/Schmtz wechselwrkt. We groß st de Änderung deser Abstände be belebger Verzerrung? ' = + + ' = + r' + = ' + ' = r + u = : + u = : + u + + u + u ( u + u ) + u + σ ( u ) (4.4) Quadratsche Terme n u können wr vernachlässgen. Durch Nähern der erforderlchen Wurzel erhalten wr u u ε11 γ 1 ε r' = r + + ( u + u ) + = r (4.5) r r r r r r und folglch für de Änderung des Abstandes: ε11 = r' r = r 1 = 11 r 4 4 ( ε + γ + ε + ε γ + ε γ + ε ε ) 1 γ 1 ε + + r r Jetzt berechnen wr de beden elastschen Moduln: C W 1 = = = ε11 ε r ε11 ε r 11 1 ϕ ϕ 11 (4.6) (4.7) C 1 W 1 ϕ 1 ϕ 44 = = = γ 1 γ 1 r γ 1 γ 1 r (4.8) De Rechnung zegt, offenschtlch snd de beden elastschen Moduln dentsch, falls man ausschleßlch Paarwechselwrkungen zugrunde legt. Im Eperment st de Cauch-Relaton nur selten erfüllt, z.b. auf Grund der Rchtungsabhänggket kovalenter Bndungsantele. Gute Überenstmmung fndet man nur für Ionenkrstalle und deale Metalle, z.b. Na be denen de Idee der zentralen Paarwechselwrkung sehr gut greft. Für ene realstsche Materalsmulaton werden deshalb heute oft so genannte Embedded Atom Potentale verwendet, be denen neben der Paarwechselwrkung noch en wetere Term zur Energe hnzutrtt, der das Gesamtvolumen, bzw. de lokale

3 Werkstoffmechank SS11 Bather/Schmtz Elektronendchte am Ort des Aufatoms zusätzlch berückschtgt: W = ϕ + F j j ( ρ ) e (4.9.) 4. Entropeelastztät (=Gummelastztät) Gumm besteht aus vernetzten Polmerketten. Das berühmteste Bespel für dese Materalklasse wurde durch Vulkansaton von Naturlate, d.h. ndem Schwefelbrücken engeführt wurden, hergestellt. De freen Abschntte der Polmerketten kann man als statstsche Knäuel betrachten und de Konformaton des Knäuels als Random-Walk beschreben. Dabe sucht man ene Bezehung für den Anfang-Ende-Abstand R. R R N = mt = = a ; a ; a ; a N N R = = 1 j = j 1 R = j = j j j a δ j (Sprünge unkorrelert) N R = a = N a = 1

4 Werkstoffmechank SS11 Bather/Schmtz R = N a Wr benötgen de Wahrschenlchket, en Kettenende m Volumenelement d d dz zu fnden. Dese können wr n Analoge zur Dffuson (=Randomwalk) als Dffusonsprofl nach N- Sprüngen berechnen. Benutzt wrd dazu de Dffusonsglechung (n Kugelkoordnaten) c c c = D + t r r r, (4.10) mt der Lösung: ( ) c r / = 4π D t r e4d t (4.11) Damt lässt sch das mttlere Abstandsquadrat berechnen: c ( ) d = Dt, Deses entsprcht dem mttleren Anfang-Ende-Vektor, folglch Dt = N a Interpretere: De Wahrschenlchket c entsprcht der Anzahl der Konformatonen, de n d d dz enden, falls de Kette m Ursprung begnnt. Für de Entrope S = k lnw (w = Zahl der mkroskopschen Realserungen) des Zustands erhält man folglch: ( ( )) S = k ln c,, z (4.1) ( ) = const S r kr Na (4.1) 4

5 Werkstoffmechank SS11 Bather/Schmtz Berechnung des Elastztätsmoduls: Bsher bezogen sch alle unsere Betrachtungen zur Elastztätstheore auf 0 Kelvn. Für de Kettenstatstk müssen wr Ergodztät annehmen, also ene endlche Temperatur. Konsequenz: de Energe muss durch de Free Energe bzw. Enthalpe ersetzt werden, also σ j f U S = = + T, εj ε j εj klen bzw. verenfacht für enachsgen Zug n -Rchtung: S σ = T ε (De Energe der Bndungen ändere sch n erster Näherung ncht.) Zur Berechnung der Entrope muss über alle freen Kettenabschntte m Volumen summert werden, d.h. r S = S o k Na ( ) k = So + + z Na Nun bestmmen wr de Änderung der Ausdehnung der Kettensegmente be ener Dehnung ε n -Rchtung, um de Entrope als Funkton von ε angeben zu können. Be Volumenerhaltung (ν=0.5), de für Gumm sehr gut erfüllt st, muss folglch gelten: 1 +, ( ε ) =, z z = 1 + ε 1 + ε 1 1 S S k z Na ( ε ) = o ( 1 + ε ) ε ε entsprcht m statstschen Mttel r 5

6 Werkstoffmechank SS11 Bather/Schmtz S k r = o + + Na 1 + ε r Na n n ( ε ) S ( 1 ε ) n S ( ε ) = So k ( 1 + ε ) ε (4.14) σ = T S ε, S n = k ( 1 + ε ) ε 1 + ( ε ) 1 σ = kt n ( 1 + ε ) (4.15) ( + ) 1 ε Es glt also keneswegs ene lneare Abhänggket. Gumm st ene schlechte Realserung des Hookschen Gesetzes. Allerdngs können wr durch Entwcklung den Koeffzent für den führenden lnearen Term, das Elastztätsmodul bestmmen: σ ktn ε (4.16) E Elastztätsmodul Das Bemerkenswerte an desem Elastztätsmodul st, dass es mt der Temperatur zunmmt, der Gummwerkstoff wrd als be höherer Temperatur stefer. (während Metalle n aller Regel wecher werden, wenger feste Bndung aufgrund thermscher Schwngungen) 6