Einführung in die Zahlentheorie

Transkript

1 Einführung in die Zahlentheorie Jörn Steuding Uni Wü, SoSe 2015

2 I Zahlen II Modulare Arithmetik III Quadratische Reste IV Diophantische Gleichungen V Quadratische Formen Wir behandeln die wesentliche Zahlentheorie bis einschließlich 1801 (Erscheinungsjahr der Disquistiones Arithmeticae von Gauß). Die Kapitel I, II und III sind relevant für das gymnasiale Lehramt.

3 III. Quadratische Reste Auch die Theorie der quadratischen Reste geht auf Carl Friedrich Gauß zurück (wiederum auf Vorleistungen von Euler, Lagrange und Legendre u.a. aufbauend). 10. Das Euler-Kriterium 11. Das quadratische Reziprozitätsgesetz 12. Einheitswurzeln und Gaußsche Summen

4 10. Das Euler-Kriterium Wir untersuchen die Lösbarkeit quadratischer Kongruenzen ax 2 + bx + c 0 mod m. Durch quadratische Ergänzung genügt es, den folgenden Fall zu untersuchen: X 2 D mod p mit einem explizit von a, b, c abhängigen D.

5 10. Das Euler-Kriterium Reste und Nichtreste Eine prime Restklasse a mod m heißt (quadratischer) Rest modulo p, falls die Kongruenz X 2 a mod m lösbar ist; ansonsten nennt man a mod m einen (quadratischen) Nichtrest modulo m. Zunächst beschränken wir uns auf Primzahlmodule m = p; der Fall der geraden Primzahl 2 ist trivial; im Folgenden sei p eine ungerade Primzahl. Man bestimmt die Reste durch Berechnen der Potenzen x 2 mod p für x = 1,..., p 1 2 unter Berücksichtigung der Symmetrie (p x) 2 x 2 mod p. Es gibt also genau so viele quadratische Reste wie Nichtreste modulo p, und damit jeweils p 1 2. Die nichtprime Nullklasse zählt weder als Rest noch als Nichtrest.

6 10. Das Euler-Kriterium Das Legendre-Symbol Das Legendre-Symbol ist erklärt durch ( ) a = p gesprochen a über p. +1 falls a quadratischer Rest modulo p, 0 falls p a, 1 falls a Nichtrest modulo p, Das Legendre-Symbol ist p-periodisch, d.h. ( ) ( ) a a+p =. p p

7 10. Das Euler-Kriterium Das Euler-Kriterium Satz 10.1 (Euler-Kriterium). Sei p > 2 prim, dann gilt ( ) a a p 1 2 mod p. p Der Beweis offenbart, dass Primitivwurzeln stets Nichtreste sind und sich die Reste als die Potenzen einer Primitivwurzel mit geradem Exponenten ergeben! Korollar Das Legendre-Symbol ist multiplikativ, d.h. ( ) ( )( ) ab a b =. p p p In der Sprache der Algebra ist das Legendre-Symbol ein Gruppenhomomorphismus!

8 10. Das Euler-Kriterium Quadrate bilden eine Gruppe Die Menge der quadratischen Reste modulo p bildet eine Untergruppe der primen Restklassengruppe (Z/pZ) vom Index

9 10. Das Euler-Kriterium Knobeleien Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen p gibt, für die 1000 ein quadratischer Rest modulo p ist! Gibt es Primzahlen p, für welche sämtliche Nichtreste auch Primitivwurzlen modulo p sind? Man finde Beispiele biquadratischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, die keine rationalen Lösungen besitzen, jedoch als Kongruenz modulo einer jeden Primzahl p aufgefasst lösbar sind! Es gibt vier Möglichkeiten für geordnete Paare aufeinanderfolgender primer Restklassen modulo p in den Klassen der quadratischen Reste (R) und Nichtreste (N) vertreten zu sein. Zeige, dass es genau 1 4 ) (p 4 ( 1) p 1 2 viele Paare vom Typ (R,R) gibt und berechne die Anzahlen der weiteren Typen.

10 11. Das quadratische Reziprozitätsgesetz Wie lässt sich schnell entscheiden, ob eine vorgelegte Restklasse ein quadratischer Rest ist? Wie sind die Reste verteilt? Und welchen weiteren Nutzen kann man aus dieser Theorie ziehen?

11 11. Das quadratische Reziprozitätsgesetz Das Zählen von Restklassen im oberen Halbsystem Lemma 11.1 (Lemma von Gauß). Sei p > 2 prim und p a. Bezeichnet m(a; p) die Anzahl der Restklassen la mod p mit 1 la < p (reduziert) für 1 l p 1 2, die dem oberen Halbsystem p+1 2,...,p 1 angehören, so gilt ( ) a = ( 1) m(a;p). p Korollar Mit denselben Voraussetzungen wie in Lemma 11.1 gilt p 1 ( ) a = ( 1) σ mit σ = (a 1) p2 1 2 la +. p 8 p l=1

12 11. Das quadratische Reziprozitätsgesetz theorema aureum Satz 11.3 (quadratisches Reziprozitätsgesetz, Gauß 1801). Für verschiedene ungerade Primzahlen p und q gilt ( )( ) q p = ( 1) p 1 2 q 1 2. p q Kurz: Es gilt genau dann ( p q ) = (q p ), wenn nicht p q 3 mod 4. Lesen wir die Kongruenzen modulo Primzahlen als Gleichungen in den entsprechenden Restklassenkörpern, so liefert das Reziprozitẗasgesetz Information über die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen in verschiedenen Körpern! Für diesen bemerkenswerten Satz gab Gauß insgesamt acht verschiedene Beweise; insgesamt sind heute sogar mehr als zweihundert verschiedene Beweise bekannt.

13 11. Das quadratische Reziprozitätsgesetz Die Ergänzungsgesetze Korollar 11.4 (Erstes Ergänzungsgesetz). Für prime p > 2 ist ( ) { 1 = ( 1) p falls p +1 mod 4, = p 1 falls p 3 mod 4. Diese Aussage ist identisch mit der von Korollar 6.4. Korollar 11.5 (Zweites Ergänzungsgesetz). Für prime p > 2 ist ( ) { 2 = ( 1) p falls p ±1 mod 8, = p 1 falls p ±3 mod 8.

14 11. Das quadratische Reziprozitätsgesetz Das Jacobi-Symbol Das Legendre-Symbol wird für ungerades m verallgemeinert durch das Jacobi-Symbol ( a = m) ( ) a ν(m;p) für m = p ν(m;p), p p m p und man setzt ferner ( a 1 ) = 1 und ( a m ) = 0 falls ggt(a,m) > 1. Dann übertragen sich sämtliche Eigenschaften des Legendre-Symbols inkl. dem Reziprozitätsgesetz und auch die Berechnung von Legendre-Symbolen vereinfacht sich. Allerdings impliziert ( a m ) = +1 für zusammengesetztes m nicht notwendig, dass a ein quadratischer Rest modulo m ist.

15 11. Das quadratische Reziprozitätsgesetz Ein Lokal-Global Prinzip Satz Eine ganze Zahl a ist genau dann ein Quadrat, wenn a ein Quadrat modulo p für alle Primzahlen p ist (dh. die Kongruenz X 2 a mod p ist stets lösbar). Arithmetische Eigenschaften in den lokalen Restklassenkörpern implizieren Ähnliches in dem globalen Körper Q. Das Analogon von Satz 11.6 ist für n-te Potenzen i.a. falsch!

16 12. Einheitswurzeln und Gaußsche Summen Die Konstruktion regulärer Drei- und Fünfecke mit Zirkel und Lineal sind bereits in der Antike gelungen. Gauß konstruierte u.a. das reguläre Siebzehneck und fand mittels (Algebra und Zahlentheorie) ein Kriterium, welche solchen n-ecke konstruierbar sind.

17 12. Einheitswurzeln und Gaußsche Summen Geometrie und Algebra in der komplexen Ebene Die komplexen Nullstellen des Polynoms X n 1 heißen n-te Einheitswurzeln und besitzen eine Darstellung ζ k n := exp( 2πik n ) = cos ( 2πk n ) ( + i sin 2πk ) n für 0 k < n; im Falle ggt(k, n) = 1 sprechen wir von einer primitiven n-ten Einheitswurzel. Die n-ten Einheistwurzeln bilden ein regelmäßiges n-eck (Geometrie) sowie eine zyklische multiplikative Gruppe (Algebra) mit den primitiven n-ten Einheitswurzeln als Erzeuger.

18 12. Einheitswurzeln und Gaußsche Summen Kreisteilung mit Zirkel und Lineal Satz 12.1 (Gauß, Wantzel). Das reguläre n-eck ist genau dann mit ausschließlich Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn n von der Form n = 2 m f j j mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen f j = 2 2j + 1 ist. Vermutlich sind f j = 3,5,17,257 und die einzigen Fermatschen Primzahlen. Euler wusste bereits 641 f 5. Unschwer zu zeigen ist 0 k<n ζ ak n = { n falls a 0 mod p, 0 sonst.

19 12. Einheitswurzeln und Gaußsche Summen Gaußsche Summen Für Primzahlen p > 2 und a Z sind die Gaußschen Summen erklärt durch τ a := ( ) b ζp ab. p b mod p Satz 12.2 (Gauß). Es gelten ( ) a i) τ a = τ 1, ii) τ 1 = p und x mod p ( ) 1 iii) τ1 2 = p = ( 1) p 1 2 p. p Gaußsche Summen erlauben einen alternativen Beweis des Reziprozitätsgesetzes. Für die genaue Berechnung des Vorzeichens der τ a benötigte Gauß vier Jahre. ζ x2 p

20 12. Einheitswurzeln und Gaußsche Summen Das reguläre Fünfeck Das reguläre Fünfeck konstruiert beispielsweise Albrecht Dürer. Es genügt, den Realteil der fünften Einheitswurzel 5 1 ζ 5 = exp( 2πi 5 ) = i zu bestimmen. Die zugehorige Gauß-Summe ist übrigens τ 1 = 5.

21 12. Einheitswurzeln und Gaußsche Summen Kreisteilungskörper Der n-te Kreisteilungskörper ist definiert als Q(ζ n ) = Q[X]. X=ζn Man zeigt mittels 1 τ 1 Q( p p) leicht, dass jeder quadratische Zahlkörper in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Nach dem Satz von Kronecker & Weber ist sogar jeder Zahlkörper mit abelscher Galois-Gruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten!