Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2007/2008. Erforderliche Vorkenntnisse

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1 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dr. Christoph Barbian e Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 007/008 Erforderliche Vorkenntnisse In der Beschreibung dieser Veranstaltung ist in der Rubrik Vorkenntnisse ein Grundkurs Mathematik eingetragen. Jeder von Ihnen (zumindest diejenigen, die im Saarland Abitur gemacht haben und keinen Leistungskurs Mathematik besucht haben) hat diesen Grundkurs - mehr oder weniger - erfolgreich besucht. Wenn Sie sich (aus welchen Gründen auch immer) nicht mehr oder nur unscharf an Ihr mathematisches Schulleben erinnern, sollen Sie in dieser kurzen Mitteilung noch einmal an das Mindestmaß an Vorwissen aufmerksam gemacht werden, das notwendig ist, um diese Vorlesung erfolgreich abzuschließen. Erinnern bedeutet hier, dass die angesprochenen Begriffe nicht mehr in allen Einzelheiten behandelt werden; das bleibt Ihnen selbst überlassen. Und Mindestmaß heißt, dass das alleine auch nicht ausreichen wird, um erfolgreich zu sein. Neben der schon angegebenen Literatur gibt es spezielle Bücher zur Vorbereitung auf Mathematik im Studium. Folgende sind z.b. in unserer Bibliothek zu finden (im sog. Semesterapparat - bitte die Aufsicht fragen): K. Fritzsche, Mathe für Einsteiger W. Preuß und G. Wenisch, Lehr- und Übungsbuch Mathematik (Band 1) Im dtv-atlas der Mathematik (Band 1 & ) können Sie recht schnell spezielle Begriffe nachschlagen.

2 Mengenlehre Das Wort Menge ist ein alltäglicher Begriff, jeder hat also eine prinzipielle Vorstellung davon. Der Mathematiker definiert sie wie folgt: Eine Menge ist eine Gesamtheit von Dingen oder Objekten, die Elemente dieser Menge genannt werden. Eine Menge wird dadurch gegeben, dass man ihre Elemente aufzählt, etwa Mainzelmännchen = {Anton, Bert, Conny, Det, Edi, Fritzchen}, oder sie durch eine Eigenschaft eindeutig beschreibt, etwa Schlimmetage = {Wochentage ; an diesem Wochentag findet die Vorlesung Mathematik für Biologen statt}. Offenbar hätte man die zweite Menge auch als Schlimmetage = { Mittwoch } definieren können. Die Menge ohne Element nennt man die leere Menge, ihr Symbol ist oder auch (an der Universität eher ungebräuchlich) { }. Bei der Angabe durch Aufzählung ist zu erwähnen, dass dies zunächst nur für Mengen mit endlich vielen Elementen sinnvoll möglich ist. Trotzdem kann man auch in bestimmten Fällen unendliche Mengen so beschreiben; zum Beispiel ist klar, welche Elemente die Menge {, 4, 6, 8,...} enthält. Mengen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet, Elemente mit Kleinbuchstaben. Die folgenden Symbole und ihre Bedeutung sollten Sie kennen: (a) A = B: Die Mengen sind gleich, enthalten also dieselben Elemente. (b) a A: a ist Element der Menge A; das Gegenteil ist a / A. (c) A B: Alle Elemente aus A sind auch Elemente von B (A ist Teilmenge von B). (d) A B = {x ; x A und x B}. (d) A B = {x ; x A oder x B}. (e) A \ B = {x ; x A und x / B}. (f) Ist B A, so schreibt man auch B c = A \ B (Komplement von B in A). Die in der Schule oft verwendete Bezeichnung B für das Komplement ist eher ungebräuchlich. Es gelten die folgenden Regeln im Umgang mit diesen Symbolen (A B C ist kurz für: A B und B C): (a) A B = B A und (A B) C = A (B C) (Kommutativ- und Assoziativgesetz) (b) A B = B A und (A B) C = A (B C) (Kommutativ- und Assoziativgesetz) (c) A B A A B (d) (A B) C = (A C) (B C) und (A B) C = (A C) (B C) (Distributivgesetz) Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Die Elemente der Potenzmenge sind also ihrerseits wieder Mengen. Die Potenzmenge von A = {1,, 3} ist also P(A) = {, {1}, {}, {3}, {1, }, {, 3}, {1, 3}, {1,, 3}}.

3 Man beachte hierbei, dass A und stets Teilmengen einer Menge A sind. Weiterhin ist zu erwähnen, dass {1, } und {, 1} keine verschiedenen Mengen sind, und dass es Mengen wie {1,, 1} nicht gibt. Die Reihenfolge der Elemente ist unwichtig und jedes Element kommt nur einmal vor. Wollen Sie den Inhalt einer Tasche beschreiben, in der drei gleiche rote und zwei gleiche weiße Kugeln enthalten sind, müssen Sie den gleichen Kugeln noch zusätzliche (fiktive) unterscheidende Eigenschaften geben, z.b. nummerieren. Zu zwei Mengen A und B kann man die sog. Produktmenge A B definieren als A B = {(a, b) : a A, b B}, also die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente ein Element aus A und deren zweite Komponente eines aus B ist. (Das Wort geordnet weist darauf hin, dass man die Komponenten nicht einfach vertauschen darf. Man erhält dann ein anderes Paar.) Für A A schreibt man auch A. Man kann auch die Produktmenge von drei oder mehr Mengen bilden. Entsprechend ist dann das Symbol A n (n = 1,, 3, 4,...) zu verstehen als n-faches Produkt von A mit sich selbst. 3

4 Zahlensysteme Wir verwenden folgende Bezeichnungen: (a) N = {1,, 3,...}, die Menge der natürlichen Zahlen; N0 = N {0} (b) Z = {...,, 1, 0, 1,,...}, die Menge der ganzen Zahlen (c) Q = { p q : p Z und q N}, die Menge der rationalen Zahlen (d) R, die Menge der reellen Zahlen Rationale Zahlen lassen sich auch wie folgt beschreiben: Sie sind die Menge aller irgendwann periodischen Dezimalzahlen. Zum Beispiel ist 0, (auch 0,01 6 geschrieben) eine ab der dritten Nachkommastelle periodische Dezimalzahl (die Periode hat Länge eins; die Zahl entspricht 1 60 ). Perioden müssen nicht aus einer Ziffer bestehen. So ist etwa 0, (= 0, 1) die Dezimaldarstellung von Die irrationalen Zahlen sind nun alle nicht irgendwann periodischen Dezimalzahlen. Rationale und irrationale Zahlen zusammen bilden die reellen Zahlen. Als wichtige Schreibweisen/Symbole sollten Sie kennen: (a) x n = x... x, das n-fache Produkt der reellen Zahl x mit sich selbst (oder die n-te Potenz von x), wobei n N0 ist. Dabei gilt x 0 = 1 für jedes x R. (b) x n = 1 x n für x 0 und n N. (c) k j=1 x j = x x k, die Summe der reellen Zahlen x 1,..., x k (d) k j=1 x j = x 1... x k, das Produkt der reellen Zahlen x 1,..., x k (e) n! = n, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen (genannt Fakultät von n). Per Definition ist 0! = 1. Die grundlegenden Rechenregeln für Potenzen sind: (i) (x y) n = x n y n und ( ) x n y = x n y n (ii) x n = 1 x n für jede ganze Zahl n und x 0 für alle n N0 und y 0 im zweiten Fall (iii) x n x m = x n+m und xn x m = x n m für alle m, n Z und x 0 (iv) (x n ) m = x n m für m, n Z und x 0. Der Ausdruck (x + y) n läßt sich nach der binomischen Formel schreiben als (x + y) n = n j=0 ( ) n x j y n j, j wobei für n j 0 ( ) n = j n! j!(n j)! 4

5 den Binomialkoeffizienten (n über j) bezeichnet. Als Spezialfälle der obigen Formel kennen Sie (mit n = ) (x + y) = x + xy + y und (x y) = (x + ( y)) = x xy + y als erste bzw. zweite binomische Formel aus der Schule. Als Exponenten (=Hochzahlen) von Potenzen sind auch rationale Zahlen möglich (allerdings muss hierfür im allgemeinen die Basis eine positive Zahl sein). Es gelten dabei die selben Rechenregeln (i)-(iv) wie bei ganzzahligen Exponenten. Man beachte insbesondere: x 1 = x, x 1 3 = 3 x usw. Von besonderer Bedeutung sind folgende Mengen reeller Zahlen, die sogenannten Intervalle (es seien a, b R): [a, b] = {x R : a x b} und (a, b) = {x R : a < x < b} [a, b) = {x R : a x < b} und (a, b] = {x R : a < x b} (, a] = {x R : x a} und (, a) = {x R : x < a} [a, ) = {x R : x a} und (a, ) = {x R : x > a} Es ist daher (, ) = R. Man sagt im ersten Punkt abgeschlossenes bzw. offenes Intervall und im zweiten rechts-offenes bzw. links-offenes Intervall. Die Verwendung umgekehrter eckiger Klammern für offene Intervallgrenzen (etwa ]a, b[= (a, b)) ist an der Universität eher ungebräuchlich. 5

6 Funktionen und Abbildungen Abbildungen (Funktionen) sind ein zentrales Thema der Mathematik. Sind A und B nicht leere Mengen, so ist eine Abbildung f : A B eine Zuordnung, die jedem Element aus A genau ein Element aus B zuordnet. Man schreibt für die Zuordnung von x A zu y B auch x y oder f(x) = y. Man beachte bei der Definition die Stelle des Wortes genau : Jedem x A wird genau ein y B zugeordnet; das heißt, dass nicht etwa x y 1 und x y für y 1 y möglich ist, ein x kann nicht zwei (oder mehr) Funktionswerte haben. Dagegen kann ein y B durchaus als Funktionswert mehrerer x-werte auftauchen, etwa y = f(x 1 ) = f(x ). Man kann eine Abbildung entweder dadurch definieren, dass man die Zuordnung jedes einzelnen x-wertes aus A nach B angibt (also eine Zuordnungstabelle), oder man gibt eine sog. Abbildungsvorschrift an, das ist eine allgemeine Zuordnunganweisung. Zum Beispiel ordnet die Abbildung f : R R, x x jedem x R (= A) den doppelten Wert x in R (= B) zu. Eine Zuordnungstabelle wäre hier nicht möglich. Man beachte, dass zur Angabe einer Abbildung neben der eigentlichen Zuordnung bzw. Zuordnungsvorschrift auch die Mengen A und B gehören! Folgende Begriffe sollten Sie kennen. Sei f : A B eine Abbildung. (a) A heißt Definitionsbereich von f. (b) f(a) = {f(x) : x A} heißt Werte- bzw. Bildbereich von f; er ist eine Teilmenge von B. (c) f heißt injektiv, falls aus f(x 1 ) = f(x ) schon x 1 = x folgt (d.h. zwei verschiedene Elemente des Definitionsbereichs werden von f zwangsläufig auf zwei verschiedene Werte abgebildet). (d) f heißt surjektiv, falls f(a) = B ist (d.h. jedes Element von B ist Funktionswert eines (möglicherweise mehrerer) Elementes in A). (e) f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. 6

7 Betrag und Betragsungleichungen Bekanntlich kann man kann zwei beliebige reelle Zahlen vergleichen: Es gilt a b b a 0 und a < b a b und a b. Wir schreiben ferner a b für b a und a > b für b < a. Über die Zusammenhänge zwischen Rechenoperationen und Vergleich sollten Sie insbesondere wissen: (a) a 0 und b 0 a + b 0 und a b 0 (b) a 0 und b 0 a b 0 Entsprechendes gilt, wenn man durch > und durch < ersetzt. Der Betrag x einer reellen Zahl x ist gegeben durch { x falls x 0 x = x falls x < 0 und gibt den Abstand von der Zahl x zum Nullpunkt auf der Zahlengeraden an. Für den Betrag gilt die sog. Dreiecksungleichung: x + y x + y. Desweiteren ist a b = a b. Für das Auflösen von Betragsungleichungen ist zu beachten: x a x a und x a (was natürlich nur für a 0 möglich ist) und x a x a oder x a. Man beachte die Verwendung und Bedeutung der Worte und und oder bei diesen Auflösungen! Beispiel: Die Menge {x R : x 5} ist gleich der Menge {x R : x 5 und x 5}. Im 1. Abschnitt über Mengen haben Sie gesehen, was ein und in der Beschreibung der Menge bedeutet, nämlich einen Durchschnitt. Also Analog ist {x R : x 5 und x 5} = {x R : x 5} {x R : x 5} = (, 5] [ 5, ) = [ 5, 5]. {x R : x 5} = {x R : x 5 oder x 5} = {x R : x 5} {x R : x 5} = (, 5] [5, ) = R \ ( 5, 5). Sie sollten sich dies auch am Zahlenstrahl bildlich veranschaulichen! 7

8 Lineare, quadratische und kubische Gleichungen Die Lösung der linearen Gleichung ax + b = 0 (a 0) lautet x = b a. Für die Lösung der quadratischen Gleichung x + px + q = 0 gilt mit Hilfe der sog. quadratischen Ergänzung ( p ) ( p x + px + q = 0 x + px + = q + ) ( x + p ) p = q (binomische Formel) 4 ( ) x + p p p = q (falls 4 4 q 0) x + p p = 4 q oder x + p p = 4 q x = p p + p 4 q oder x = p 4 q Was hier zu beachten ist: (a) In der Ausgangsgleichung steht vor dem x keine Zahl. Eine eventuell auftretende Vorzahl in einer konkreten Aufgabe muss durch Division erst beseitigt werden; d.h. aus ax + bx + c = 0 wird x + b a x + c a = 0 (falls a 0). (b) Die Gleichung x = a ist gleichbedeutend mit x = a (und nicht x = a), was nach Definition des Betrages bedeutet: x = a oder x = a. (c) Die Wurzel kann nur aus einer nicht negativen Zahl gezogen werden. Bei ( ) kann also nur im Fall p 4 q 0 weitergerechnet werden, ansonsten ist die Rechnung dort beendet und die Gleichung hat keine Lösung! (d) Die quadratische Gleichung x + px + q = 0 besitzt demnach zwei Lösungen, falls p 4 q > 0 eine Lösung, falls p 4 q = 0 keine Lösung, falls p 4 q < 0 Für kubische Gleichungen der Form x 3 + px + qx + r = 0 gibt es ebenfalls eine Lösungstheorie. Diese ist aber etwas komplizierter als die der quadratischen Gleichungen und soll hier nicht präsentiert werden. Hat man aber schon eine Lösung der kubischen Gleichung, dann kann man die weiteren (falls vorhanden) folgendermaßen finden: (a) Sei x 0 diese eine Lösung der kubischen Gleichung (also x px 0 + qx 0 + r = 0), dann führt man eine Polynomdivision durch: (x 3 + qx + px + r) : (x x 0 ) ergibt dann ein quadratisches Polynom, sagen wir x + ax + b. (b) Um die restlichen Lösungen der kubischen Gleichung zu finden, muss man nun noch x + ax + b = 0 lösen. 8

9 Wie findet man aber diese erste Lösung x 0? Gerade dann, wenn die Koeffizienten der Gleichung (also die Zahlen p, q und r) ganzzahlig sind, kann man zunächst versuchen, eine solche Lösung unter den Teilern der Zahl r finden. Man probiert es zunächst mit ±1, dann mit dem nächstgrößeren Teiler von r (und dem Negativen dieses Teilers) usw. Beispiel: Löse x 3 3x 4x + 1 = 0. Wir wollen zunächst x = 1 oder x = 1 einsetzen. Beide Zahlen erfüllen die Gleichung aber nicht. Als nächstgrößeren Teiler von 1 wählen wir nun (bzw. als dessen Negatives). Tatsächlich löst x = die Gleichung. Also rechnen wir: (x 3 3x 4x + 1) : (x ) = x x 6 (x 3 x ) x 4x ( x + x) 6x + 1 ( 6x + 1) 0 Die Lösungen von x x 6 ergeben sich mittels quadratischer Ergänzung als x = und x = 3. Die Lösungsmenge der kubischen Gleichung lautet demnach {,, 3}. Man beachte, dass die erste Lösung x 0 auch wieder eine Lösung der quadratischen Gleichung sein kann, die aus der Polynomdivision hervorgeht. So ist die Lösungsmenge von x 3 3x = 0 die Menge { 1, }, wobei die 1 als erste Lösung schnell erkannt wird und auch die resultierende quadratische Gleichung x x = 0 löst. Man spricht hier von einer doppelten Nullstelle. Die Nullstellen eines quadratischen oder kubischen Polynoms werden zur Linearfaktorzerlegung verwendet. Zum Beispiel ist die Linearfaktorzerlegung von x x 6 (s. oben) gegeben durch (x ( ))(x 3) = (x + )(x 3). 9

10 Vollständige Induktion Das sogenannte Prinzip der vollständigen Induktion ist ein Beweisverfahren, das manche von Ihnen vielleicht aus der Schule kennen. Es wird benutzt, um zu beweisen, dass eine bestimmte Aussage für alle natürlichen Zahlen n N gilt. Die Idee ist (1) zu zeigen, dass die Aussage für n = 1 (manchmal auch n = 0) gilt (der sogenannte Induktionsanfang) () zu zeigen, dass aus der Gültigkeit der Aussage für ein beliebiges n die Gültigkeit der Aussage für n + 1 folgt (der sogenannte Induktionsschluss). Beispiel: Zu zeigen ist: Für alle n 1 gilt n k=1 k = n(n+1). Induktionsanfang (n = 1): linke Seite = Also stimmt die Behauptung für n = 1. rechte Seite = 1 k = 1 k=1 1(1 + 1) = 1 Induktionsschluss (n n+1): Sei die Behauptung gezeigt für n N. Unter Benutzung dieser Voraussetzung wollen wir nun zeigen, dass sie dann auch für n + 1 gilt: also ( n+1 n ) k = k + (n + 1) = k=1 k=1 = = n+1 k = k=1 n(n + 1) was in der Tat die Aussage für n + 1 ist. + (n + 1) (da die Behauptung für n gilt) n(n + 1) + (n + 1) (n + 1)(n + ), (n + 1)(n ), 10