ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN

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1 Kapitel ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN. Freie Schwingung Ein Kondensator parallelgeschaltet mit einer Spule bildet einen Schwingkreis. Diesen betrachten wir vorerst unter Vernachlässigung der Ohmschen Verluste und der Strahlungsverluste. Wir nehmen an, dass zu Beginn der Kondensator C aufgeladen ist. Er entläd sich durch den Stromfluss über die Spule. Dabei baut sich in der Induktivität L ein Magnetfeld auf. Dieses wird in der Folge wieder abgebaut und führt zur Aufladung des Kondensators, jetzt aber mit umgekehrter Polung. Ohne Dämpfung wiederholt sich der Vorgang periodisch. Ein mechanisches Analogon zum elektrischen Schwingkreis ist der harmonische - F J Oszillator. Die potentielle Energie der Masse M entspricht der Feldenergie im Kondensator, W el = 2 CU2. - E Die kinetischen Energie der Masse M entspricht der magnetischen Feldenergie W mag = 2 LI2. - E - F J Berücksichtigt man den endlichen Widerstand R der Leiter im Schwingkreis, hat man auch ein Analogon zum Reibungsverlust des Federoszillators. Für diesen hatten wir mit der rücktreibenden Kraft F x = Dx und der geschwindigkeitsabhängigen Reibungskraft ẋ die Bewegungsgleichung mẍ + ẋ + Dx=. (.) Ohmsche Verluste entstehen durch den Widerstand der leitenden Elemente, Strahlungsverluste durch die sich zeitlich ändernden elektrischen und magnetischen Felder die zur Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle führen. 93

2 94 KAPITEL. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN Dem zeitlichen Verlauf des Stromes in einem Schwingkreis entspricht die Amplitude der Schwingung eines gedämpften harmonischen Oszillators. Für die Spannungen im Schwingkreis gilt L I + RI + Q C = Die Ableitung nach der Zeit ergibt mit Q = I LÏ + R I + I C =. 7 Mit dem Ansatz I = Ae t, wobei A und die quadratische Gleichung 2 + R L + LC mit den Lösungen komplex sein können, erhalten wir =, (.2),2 = R 2L ± r R 2 4L 2 LC = ±. (.3) Somit ist die allgemeine Lösung I = A e ( )t + A 2 e ( + )t. Für den Fall R 2 < 4L/C ist imaginär. So erhalten wir mit dem Ansatz = i! und = R/(2L) als allgemeine Lösung amplitude R=.2 L=C= I = e t A e +i!t + A 2 e i!t. Mit A,2 = a ± ib ist eine reelle Lösung I = A e t cos (!t + '), wobei die Konstanten A =2 p a 2 + b 2 und tan ' = b/a über Anfangsbedingungen gegeben sind. Für R 2 > 4L/C wird rell und der Strom fällt monoton ab (Kriechfall). Für den Fall R 2 = 4L/C ist =. Auch hier hat der Strom keinen Nulldurchgang (aperiodischer Grenzfall). Die Eigenfrequenz des freien Schwingkreises ist amplitude time R=.2 R=2 R=2 L=C= time! = r LC R 2 4L 2. (.4) Im ungedämpften Fall (R=) ergibt sich die sogenannte Thomson Gleichung! = p LC. (.5) Die Eigenfrequenz erhöht sich, wenn L und C kleiner werden.

3 .2. ERZWUNGENE SCHWINGUNG 95.2 Erzwungene Schwingung Legt man von aussen eine periodische Spannung U = U cos!t an (! ist frei wählbar, unabhängig von der Definition.4), ergibt sich eine erzwungene gedämpfte Schwingung, mit dem typischen Verhalten eines Resonanzkreises. Die Summe aus äußerer Spannung und Induktionspannung muss gleich sein dem Spannungsabfall an R und C: U + U ind = +RI + Q C U = LÏ + R I + I C. 7 7 Mit dem komplexen Ansatz U = U e i!t und I = I e i(!t ') gilt i!u = L! 2 + i!r + I. C F 7 J 6 Der komplexe Widerstand definiert sich als Z = U!L I = R + i,!c 4 3 und die Impedanz Z s Z = R 2 +!L wobei Z = Z e i' ist. 2.!C»Z» 2 R = 2 R = R = wêw In den Bildern wurde die Einheit von R in der Einheiten von p L/C gewählt. Bei großen Werten von! steigt die Impedanz mit!l an. Komplexe Widerstände werden übersichtlich als Vektoren in der komplexen Ebene dargestellt. Im wl - wc R Z j ImHZL Re Z R =.3 R =.3 R = j + p 2 - p 2 R =.3 R =.3 R = wêw wêw Der zeitabhängige Strom wird damit I = U Im(Z) cos (!t ') wobei tan ' = Z Re(Z) =!L R!C (.6)

4 96 KAPITEL. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN Der Strom wird maximal, wenn die Thomson Bedingung!L /(!C) =erfüllt ist, also! =!. In diesem Fall ist der Phasenwinkel ' =, und der Strom ist in Phase mit der angelegten Wechselspannung. Die Resonanzkurve verbreitert sich mit steigendem Widerstand R. GehtR!, dann wird I unendlich bei der Frequenz! =/ p LC. Der Widerstand R verbraucht die Leistung P = I 2 R = U 2 cos 2!t Z 2 R. Da der Mittelwert hcos 2!ti =/2 ist,beträgt die mittlere Leistung 2 8 XP\ 4 R =.3 R =.3 R =.6 hp i = U 2 R 2 R 2 +[!L /(!C)] 2. 2 Erfolgt die externe Einkopplung wie in der Abbildung auf Seite 95 oben, spricht man von einem Serienschwingkreis. Am Kondensator liegt die Spannung U C = Q C = R Idt C = U = U e i!t i! Z C = I i!c, R e i!t dt ZC mit dem Amplitudenbetrag U C = U /( Z!C). U C U wêw R =.3 R =.3 R =.6 2 wêw Das Maximum der Spannungsresonanz verschiebt sich bei steigender Dämpfung durch R nach Werten unter der Resonanzfrequenz! =/ p LC. Wegen i = i = e i /2 besteht zwischen der Spannung am Kondensator und dem Strom im Schwingkreis eine Phasenverschiebung von /2 = 9 o. Im Im Im Im I j U C U j Re 9 I e -i j j = U 9 I Re U C j = - p 2 j U U C Re j = p 2 U C I j U Re Resonanz wird auch in einem Parallelschwingkreis beobachtet. Von aussen wird eine Wechselspannung an den Kondensator angelegt. Die periodische Änderung des Magnetfeldes in der Induktivität wird über eine Sekundärspule beobachtet. Anregung und Detektor könnten auch vertauscht werden.

5 .3. OFFENER SCHWINGKREIS 97.3 O ener Schwingkreis Wie macht man die Induktivität bzw. die Kapazität kleiner? Zum Beispiel in einem kontinuierlichen Übergang, in dem man zuerst die Spule durch einen Drahtbügel ersetzt, und in Folge das Drahtende als die Kapazität interpretiert. Damit entsteht der klassische Hertzsche Dipol. Ein Hertzscher Dipol ist ein linearer oszillierender Dipol, dessen Enden abwechselnd positiv und negativ aufgeladen werden. Seine Eigenfrequenz wird durch Länge des Dipol bestimmt. Speisen wir in die Mitte des Antennenstabes (bei z = ) eine Wechselspannung ein, so fließt im Antennendraht der Strom I(z,t) =I (z)sin!t. (.7) Die Bedingung, dass der Strom am Antennenende Null sein muss, I(z = ± `) =, (.8) 2 bestimmt das Resonanzverhalten der Antenne. Resonanz tritt auf, wenn die Dipollänge ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist: ` = n /2. Dabei ist die Wellenlänge über die Phasengeschwindigkeit c des elektromagnetischen Signales mit der Frequenz verknüpft,! = 2 = 2 c/. Legt man den periodischen Strom unter Resonanz bei z = bei der niedrigsten Resonanz (n = ) an den Dipol an, ergibt sich für den räumlichen Verlauf von Strom und Spannung I (z) = I cos z `, U (z) = U sin z `. Diese Stehwelle in der Dipolleitung ist mit Glühlampen nachweisbar. Hell erscheint eine Lampe, wenn der Spannungsabfall an ihr (der Strom) groß ist. 7 Beispiel für Antennenresonanz: Wir nehmen die Länge ` = 6 cm, damit ist ` = 2 = 2 c! = =2.5 GHz Bei hoher Frequenz ist die Schwingung im Hertz schen Dipol stark gedämpft, allerdings nicht durch den Ohmschen Widerstand, sondern durch Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle.

6 98 KAPITEL. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN Zum Verständnis der Abstrahlung untersuchen wir zuerst die Ausbreitung eines elektrischen Pulses entlang einer Lecherleitung:. Eine Lecherleitung sind zwei lange, parallele Leiter mit einer Stromquelle an einem Ende. Wir machen Momentaufnahmen der (idealisierten) Potentialverteilung entlang des Leiters als Funktion der Zeit, 5 F = K C.. A) Anlegen einer Gleichspannung B) Anlegen eines Spannungsstoßes A E J C) Anlegen einer Wechselspannung Im Fall C) (zeitlich periodischer Vorgang) ergibt sich ein auch räumlich periodischer Vorgang, eine Welle,und zwar nur deshalb, weil die Ausbreitungsgeschwindigkeit endlich ist. Heinrich Hertz hatte 898 beobachtet, dass sich elektrische Störungen mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten (für parallele Drähte im Vakuum gilt v = c). Aus einer Lecherleitung können wir durch Aufbiegen eine Dipolantenne gestalten. Die Entstehung des zeitlich und räumlich periodischen Feldes einer Dipolantenne können wir uns so vorstellen: Angenommen die Schwingungsfrequenz beträgt MHz (2.5 Ghz), dann ändert sich die Polarität alle 5 ns (2 ps). Um instantan ein stationäres elektrisches Feld entsprechend der Polarität des Dipols auszubilden, müßte sich das Feld in 5 ns (2 ps) bis ins Unendliche ausbreiten und dann wieder verschwinden, wenn der Dipol umpolt. Das Feld breitet sich aber maximal mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Das E-Feld ~ kann nicht Schritt halten mit der zeitlichen Änderung des Dipolmomentes an der Antenne. Die Folge davon ist, dass die Feldlinien nicht mehr zum Dipol zurückkehren. Sie lösen sich ab und wandern als geschlossene Wirbelfelder in den Raum. Analoges gilt für die magnetischen Felder, die durch den Dipolstrom erzeugt werden.. J J & 6 J " 6 J! & 6 In einem Experiment gelingt der Nachweis der Felder über eine Glimmlampe oder Glühlampe mit unterschiedlich geformten Empfangsantennen:

7 ) - *.4. RETARDIERUNG 99 Dipolantenne Das periodisch sich ändernde ~ E- Feld regt Elektronen zum Mitschwingen an (Wechselstrom mit der Frequenz des elektrischen Feldes). Die Lampe leuchtet an den Orten maximaler elektrischer Feldstärke. Mit dieser Anordnung läßt sich die Richtung von ~ E als paralell zur Dipolachse zeigen. Drahtschleife Das periodisch sich ändernde ~ B-Feld induziert in der Schleife einen Wechselstrom und die Lampe leuchtet an den Orten maximaler magnetischer Feldstärke. Auch mit dieser Anordnung läßt sich die Richtung von ~ B als senkrecht zur Dipolachse zeigen. Damit wird der Beweis geführt, dass ~ E und ~ B senkrecht zueinander stehen. Das Hertz sche Gitter ist eine Anordnung von parallelen Metalldrähten im Abstand kleiner als die Wellenlänge. Das Gitter ist -undurchlässig (wie Metallwand), wenn Drähte parallel zur Dipolachse, -durchlässig, wenn Drähte senkrecht zur Dipolachse (kein Strom fließt). -StehendieGitterdrähte unter einem Winkel /2 zur Dipolachse, wird Strahlung mit Polarisation senkrecht zu den Gitterdrähten durch das Hertzsche Gitter mit verminderter Intensität, I/cos 2 durchgelassen..4 Retardierung Zur Verdeutlichung der zeitlichen Entwicklung des elektromagnetischen Feldes untersuchen wir zuerst das Vektorpotential einer stationären Stromverteilung ~A(~r )= µ Z ~j(~r 2 ) dv 2 (.9) 4 2 r 2 H Jetzt betrachten wir eine zeitlich veränderliche Stromdichte und berücksichten die Zeit, die das Feld braucht, um sich von 2 nach auszubreiten: Diese Zeit, die sogenannte Retardierung ist t = r 2 /c. Für eine nicht-stationäre Stromverteilung müssen wir also schreiben: ~A(~r,t)= µ Z ~j(~r 2,t r 2 /c) dv 2. (.) 4 r 2 2 Liegt der Aufpunkt () weit weg von der Dipolantenne, dann gilt für alle Punkte auf der Antenne r 2 r = const. Fließt die Ladungsdichte mit der Geschwindigkeit v z entlang der z-achse ergibt sich das Vektorpotential ~A(~r,t)= µ ê z 4 r r Z v z (~r 2,t r/c) dv 2. (.)

8 KAPITEL. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN.5 Hertz scher Dipol Das elektrische Dipolmoment ~ P der Hertz schen Dipolantenne zur Zeit t ~P(t ) = Q~z(t ) = Qz sin!t ê z = p(t )ê z. (.2) beschreibt die Oszillation der Elektronen gegenüber der festen positiven Ladung der Ionenrümpfe, wobei Q die Gesamtladung der beweglichen Ladungsträger in der Antenne ist. Mit der Beziehung für die retardierte Zeit t = t r/c, (.3) ist Z d dt p (t )=Qż = Qv z = v z dv 2. (.4) Damit gilt für nach Gl.(.) für das Vektorfeld in der Umgebung des Dipols ~A(r,t) = µ ê z d 4 r dt p r t c = µ 4 ê z r ṗ (t ). (.5) Das Vektorpotential ist proportional zur ersten zeitlichen Ableitung des Dipolmomentes ~ A / ṗ. Mit! (t r/c) =!t 2 r =!t ~ k ~r (.6) wird ~A(r,t)= µ ê z 4 r Qz! cos!t ~ k ~r. (.7) Interpretation dieser Gleichung: Ein sich zeitlich änderndes Dipolmoment erzeugt ein sich zeitlich änderndes Vektorpotential, das sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreitet. Auf Grund der /r Abhängigkeit ist die Form dieser Gleichung gleich der einer Kugelwelle (wir hatten die Annahme gemacht, dass r 2 z ). Liegt die Dipolachse entlang der z-richtung ist dann ist A ~ = {,,A z } und wegen B ~ = r ~ A ~ ergibt sich ~B = z (.8) Das B-Feld ~ liegt also in der x y-ebene. Wir überlegen uns die x-komponente des B-Feldes und berücksichtigen, dass sowohl /r als auch ṗ(t ) (und zwar wegen der retardierten Zeit) von y abhängen. apple ) B x =+ r + ). (.9)

9 .5. HERTZ SCHER DIPOL Mit der Antenne im Ursprung des Koordinatensystems ist r 2 = x 2 + y 2 + z 2. Wir verwenden die Substitution t = t r/c und erhalten /@r = /c = y/r. @y = p c y r. (.2) Berücksichten wir auch noch den ersten Term r = y r 3, (.2) dann erhalten wir für B x und analog für B y µ B x = ṗ y 4 r 3 + p y cr 2, B y = + µ ṗ x 4 r 3 + p x cr 2, (.22) also Terme, die sowohl von der ersten, als auch von der zweiten zeitlichen Ableitung des Dipolmomentes abhängen (die zweite Ableitung ergibt sich aus der räumlichen Ableitung der retardierten Zeit). Der erste Term in Gl..22 fällt schneller mit dem Abstand ab als der zweite, also dominiert der zweite Term in der Fernzone des Dipols. Nach Umrechung auf Polarkoordinaten ist der Betrag der magnetischen Feldstärke in der Fernzone B(r, #, t) = µ 4 p(t ) sin #. (.23) c r Analog ergibt sich ( B = E /c) der Betrag der elektrischen Feldstärke als E(r, #, t) = µ 4 p(t ) sin #. (.24) r Die Strahlungleistung berechnet sich aus der Energiedichte beider Felder w em = 2 E 2 + c 2 B 2 = E 2. (.25) als die Energiestromdichte s em = cw em = c E 2. (.26) Die Abstrahlung erfolgt bevorzugt senkrecht zur Dipolachse, also E 2 / sin 2 #. d»e» d S em

10 2 KAPITEL. ELEKTROMAGNETISCHE SCHWINGUNGEN Aus der periodischen Zeitabhängigkeit in Gl.(.2) ergibt sich für die Frequenzabhängigkeit von ṗ /! und p /! 2. (.27) Die gesamte vom schwingenden Dipol abgestrahlte Leistung ist P em = H s em ds, mit dem Flächenelement ds = r 2 sin #d#d'.immittelbeträgt die abgestrahlte Leistung hp em i = µ 2 c Q2! 4 z 2. (.28) Sie steigt mit! 4 an, Aus diesem Grund ist die Strahlungsdämpfung bei hohen Frequenzen besonders hoch. Unter Verwendung von Gleichung (.2) sehen wir, dass die Feldamplituden in (.23) und(.24) proportional sind zu z, also zur Beschleunigung der Ladungsträger. Die abgestrahlte Leistung ist demnach proportional zum Quadrat der Beschleunigung. Dies gilt nicht nur für harmonische Bewegungen, sondern auch für beliebige Beschleunigungsvorgänge, z.b. beim scharfen Abbremsen bzw. bei der Ablenkung schneller Elektronen in einem Metall (Röntgenbremsstrahlung die an der Röntgenanode entsteht) oder bei der Zentripetalbeschleunigung schneller Elektronen in einem Speicherring (Synchrotronstrahlung). Zur Bestimmung der Richtungsverteilung der Abstrahlung einer beschleunigten Ladung bei hohen Geschwindigkeiten müssen relativistische E ekte ( = v/c) berücksichtigt werden..