T3 Wärmekapazität. Christian Müller Jan Philipp Dietrich

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1 Christian Müller Jan Philipp Dietrich T3 Wärmekapazität Versuch 1: a) Versuchserläuterung b) Werte und Grafiken, Bestimmung der Mischtemperatur c) Diskusion über die Materialien der Versuchskörper d) Berechnung der Wärmekapazität des ersten Körpers e) Berechnung der Wärmekapazität des zweiten Körpers f) Berechnung der Messunsicherheit g) Fazit Versuch 2: a) Versuchserläuterung b) Werte und Grafiken c) Bestimmung der Wärmekapazität des Kalorimeters d) Berechnung der Wärmekapazität von Ethanol e) Bestimmung der Konzentration von Ethanol f) Fazit Vergleich der errechneten molaren Wärmekapazitäten mit dem Prinzip von Dulong und Petit a) Berechnung der Molaren Wärmekapazitäten b) Vergleich mit dem Dulong-Petit Petit-Wert Quellen Versuch 1: a) Versuchserläuterung In unserem Versuch wollten wir die spezifische Wärmekapazität fester Stoffe bestimmen. Dazu hatten wir zwei Zylinder verschiedenartiger Metalle. Diese beiden Zylinder wurden nacheinander für eine viertel Stunde so in siedendes Wasser gehangen, dass sie weder den Boden, noch die Wand des Gefäßes berühren konnten. Dies musste aus zwei Gründen berücksichtigt werden, denn wenn die Wand des Gefäßes ständig in Berührung mit dem Metallzylinder steht, so kann dieser Wärme an das Glas abgeben, welches weiterhin die Wärme an die Umgebung leiten könnte. Wenn der Metallzylinder jedoch ständig den Boden berührt hätte, so hätte sich das Metall höher als 100 C erwärmen können. Nur wenn der Metallzylinder frei im Wasserbad hängt, können wir davon ausgehen, dass der Metallzylinder die gewünschten 100 C annimmt. Nach dem Erhitzen wurden die Metallkörper aus dem kochenden Wasser in ein Kalorimeter mit einem Kupfereinsatz, welches mit Wasser bestimmter Temperatur ( Raumtemperatur ) gefüllt war, gelegt. Unter ständigem Rühren haben wir dann den Temperaturverlauf aufgezeichnet. Dieser lässt uns mit Hilfe einer Extrapolation die Mischtemperatur herausfinden.

2 Die zur Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität von Metallen notwendigen Grundlagen beruhren auf der Definitionsgleichung der Änderung der Inneren Energie: du = dq + dw Der Gleichung zur Bestimmung der Wärmekapazität des Kalorimeters: C = c SW ( m B [T M T B ] / [T A T M ] ) c SW * m A Die Wärmekapazität unseres Kalorimeters wurde uns jedoch gegeben [ Abschnitt b) ], deshalb müssen wir dies an dieser Stelle nicht mehr berechnen. Unsere wichtigste Gleichung ist damit die Gleichnung zur Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität csf fester Stoffe: c SF = ( C + m B *c SW ) ( T M T B ) / m A ( T A T M ) b) Werte und Graphiken, Ermittlung der Mischungstemperatur eratur t [s] T K1 [ C] T K2 [ C] 0 23,8 23, , ,4 27, , ,1 28, , , ,9 28, ,9 28, ,8 28, ,8 28, ,8 28, ,8 28, ,7 28,5 Bei unseren Messungen haben wir in den ersten 30 s alle 5 s die Temperatur im Kalorimeter aufgenommen. Wir konnten somit den Zeit-Temperatur-Verlauf des Abkühlungsvorgangs des Versuchszylinders aufzeichnen, aus welchem wir später über das Extrapolationsverfahren die Mischtemperatur des Systems Wasser/Metallzylinder bestimmen werden.

3 Die beiden Körper bestehen aus unterschiedlichen Materialien und daher unterschiedlichen Massen. Die Masse des ersten Körpers beträgt mk1 = 60,5 g Die Masse des zweiten Körpers beträgt mk2 = 187 g Diagramm zur Bestimmung der Mischtemperatur des 1. Körpers mit dem Wasser im Kalorimeter: Temperatur T [ C] 28, , , , , , Zeit t [s] (Abb. 1: Extrapolation / Mischungstemperatur 1.Körper) In diesem Diagramm bestimmen wir die Mischtemperatur TM1 des ersten Körpers: T M1 = 28,13 C Diagramm zur Bestimmung der Mischtemperatur des 2. Körpers mit dem Wasser im Kalorimeter: Temperatur T [ C] Zeit t [s ] (Abb. 2: Extrapolation / Mischungstemperatur 2.Körper)

4 In diesem Diagramm bestimmen wir die Mischungstemperatur TM2 des zweiten Körpers: T M2 = 28,882 C c) Diskusion über die Materialien der Versuchskörper Da unsere Versuchskörper aus unterschiedliche Materialien bestehen, haben sie auch unterschiedliche spezifische Wärmekapazitäten. Um die Materialien zu bestimmen, müssen die Wärmekapazitäten berechnet werden. Man kann die Materialien allerdings auch anders bestimmen, z. B. über die Bestimmung der Dichte. Da wir die Massen und die Volumina der Körper zuvor bereitsgemessen haben, können wir diese über die Formel ρ = m / V berechnen. Unsere auf Aussehen und Beschaffenheit basierenden Vermutungen waren, dass der erste und leichtere Körper aus Aluminium gefertigt ist, während der zweite Körper aus Messing besteht. Bestimmung der Dichte des ersten Körpers: m 1 = 60,5 g V 1 = 22,5 cm³ Die Dichte des ersten Körpers beträgt somit: ρ = 2,689 g / cm³ Bei dieser Dichte könnte es sich, wie bereits vermutet, um den Stoff Aluminium handeln, dessen Vergleichswert bei 2,7 g/cm³ liegt. Bestimmung der Dichte des zweiten Körpers: m 1 = 187 g V 1 = 22,5 cm³ Die Dichte des zweiten Körpers beträgt somit: ρ = 8,31 g / cm³ Bei dieser Dichte könnte es sich um den Stoff Messing handeln. Der Vergleichswert liegt hier bei 8,4 g/cm³.

5 d) Berechnung der spezifischen Wärmekapazität des ersten e Körpers Zur Berechnung der spezifischen Wärmekapazität des fester Körper haben wir folgende oben schon erwähnte Gleichung: c SK1 = ( C + m B *c SW )( T M T B ) / [m A ( T A T M )] Erläuterung der vorkommenden Größen: C Wärmekapazität des Kalorimeters [ 60 J/K ] ma Masse des ersten Metalls [ 0,0605 kg ] mb Masse des Wassers im Kalorimeter [ 0,224 kg ] TA Temperatur des Metalls [ 373,15 K ] TB Temperatur des Wassers im Kalorimeter [ 296,95 K ] TM Mischungstemperatur [ 301,28 K ] csw spezifische Wärmekapazität des Wassers [ 4180 J/(K kg) ] Damit ergibt sich eine spezifische Wärmekapazität von c SK1 = 992,16 J/(K kg) für den ersten Versuchskörper. Der Literaturwert für Aluminium, um das es sich hier wohl handelt, liegt bei 0,90 kj/(k kg). Die entspricht einer Abweichung von 10 %. e) Berechnung der spezifischen Wärmekapazität des zweiten Körpers Hierbei benutzen wir dieselbe Gleichung wie in d), nur auf den zweiten Körper abgestimmt: c SK2 = ( C + m B *c SW )( T M T B ) / [m A ( T A T M )] Erläuterung der vorkommenden Größen: C Wärmekapazität des Kalorimeters [ 60 J/K ] ma Masse des zweiten Metalls [ 0,187 kg ] mb Masse des Wassers im Kalorimeter [ 0,224 kg ] TA Temperatur des Metalls [ 373,15 K ] TB Temperatur des Wassers im Kalorimeter [ 296,95 K ] TM Mischungstemperatur [ 302,032 K ] csw spezifische Wärmekapazität des Wassers [ 4180 J/(K kg) ] Eingesetzt in die Gleichung ergibt dies folgenden Wert für die spezifische Wärmekapazität des zweiten Metallkörpers: c SK2 = 380,73 J/(K kg)

6 Der Literaturwert für das zuvor ermittelte Messing liegt bei 0,38 kj/(k kg). Dies entspricht einer Abweichung von 0,2 %. f) Berechnung der Messunsicherheit Die Formel zur Berechnung der spezifischen Wärmekapazität lautete: c SK = ( C + m B c SW )( T M T B ) / [m A ( T A T M )] Zusammen mit dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz ergibt sich daraus als Formel zur Berechnung der Messunsicherheit: U c = ( c/ m B ) U mb + ( c/ T M ) U Tm + ( c/ T B ) U B + ( c/ m A ) U ma + ( c/ T A ) U Ta U c = c SW ( T M T B ) / [m A ( T A T M )]U mb + [(C+m B c SW ) - m A ]/[m A ( T A T M )]² U Tm + (C+m B c SW )/[m A ( T A T M )] U Tb + ( C + m B c SW )( T M T B )/[m² A ( T A T M )] U ma + 1/[m A (T A T M )² U Ta Wobei wir folgende Messunsicherheiten der einzelnen Messgrößen bestimmt haben: U ma = U mb = 0,1g (Messungenauigkeit der Waage) U Ta = U Tb = 0,1K (Messungenauigkeit des Thermometers) U Tm = 0,2K (geschätzte Messungenauigkeit der Extrapolation) Wenn wir diese Werte nun in unsere (recht komplex ausgefallene) Gleichung zur Bestimmung der Messunsicherheit einsetzen, so erhalten wir für unseren 1.Körper: U c = 36 J/(K kg) Und für unseren 2.Körper: U c = 9 J/(K kg) Wir erhalten somit als Endergebnisse: 1.Körper (Aluminium): c SK1 = (990 ± 40) J/(K kg) 2.Körper (Messing): c SK2 = (380 ± 9) J/(K kg) Hierbei ist noch zu erwähnen, dass der große Unterschied im Messfehler durch den großen Dichteunterschied zwischen beiden Körpern zustande kommt. g) Fazit Für unsere Metallkörper haben wir nun auf zwei Wege herausgefunden, dass Metall 1 Aluminium und Metall 2 Messing ist. Während der experimentell bestimmte Wert der Wärmekapazität des Messing sehr nah am Literaturwert liegt, so ist die Abweichung Bei Aluminium mit 10% doch recht groß. Den Grund dafür können wir jedoch recht schnell in unserer Fehlerrechnung sehen: Durch die geringere Dichte des Aluminiums fällt die Messungenauigkeit dieses Versuchs sehr viel größer aus als beim

7 Messing. Dementsprechend größer fällt auch die Abweichung aus.dementsprechend können wir das Experiment als geglückt ansehen. Versuch 2: a) Versuchserläuterung Die spezifische Wärmekapazität sagt aus, wieviel Energie einer Flüssigkeit zugeführt werden muss, um ihre Temperatur um einen bestimmten Betrag zu erhöhen. Dementsprechend sind wir in unserem Versuch vorgegangen: Durch Anlegen eines Stromes haben wir bei konstanter Stromstärke und Spannung dem Kalorimeter konstant Energie zugeführt und dabei den Temperatur-Zeit-Verlauf aufgezeichnet. Wir haben ein Kalorimeter benutzt, in das wir am Anfang eine bestimmte Masse Wasser füllten. Über das Kalorimeter haben wir dann einen Deckel, an welchen die Stromdrähte befestigt waren, gespannt. Nachdem wir das Experiment mit Wasser fertiggestellt hatten, wurde der gleiche Versuch mit Ethanol durchgeführt. Die verwendeten Grundlagen in diesem Experiment leiten sich aus der Formel für die zugeführte elektrische Energie W el ab. W el = U * I * t Diese wird fast vollständig als Wärme ( [ C + mfl * csfl ] * ϑ ) vom Kalorimeter und der Flüssigkeit aufgenommen. Deshalb hatte unser Kalorimeter auch noch eine Abdeckung, um den Wärmeaustausch mit der Luft so gering wie möglich zu halten. Somit können wir idealisiert annehmen, dass die zugeführte Energie vollständig in Wärmeengerie umgewandelt wird: W el = Q

8 [ C + m Fl * c SFl ] * ϑ = U * I * t Diese Grundlagen benutzen wir nun zur Berechnung der Wärmekapazität unseres Kalorimeters und unseres Ethanols. b) Werte und Grafiken Für den Versuch zur Bestimmung der Wärmekapazität des Kalorimeters haben wir das Experiment zuerst mit Wasser durchgeführt, bei dem wir die spezifische Wärmekapazität schon kennen. Wir haben ebenfalls die Stromstärke und die Spannung gemessen, um zu zeigen, dass diese annähernd konstant blieb. Zur weiteren Berechnung benutzen wir die Mittelwerte von Spannung und Stromstärke. T [s] T [ C] U [V] I [A] ,7 3, ,4 7,8 3, ,4 7,81 3, ,2 7,83 3, ,82 3, ,8 7,83 3, ,5 7,83 3, ,6 7,82 3, ,5 7,82 3, ,1 7,8 3, ,1 7,8 3,51 Hier haben wir alle 30 s Temperatur, Spannung und Stromstärke gemessen. Der Mittelwert der Spannung lautet somit: UM = 7,81 V Der Mittelwert der Stromstärke lautet: IM = 3,55 A Für Ethanol ergaben sich nach demselben Verfahren folgende Werte: T [s] T [ C] U [V] I [A] ,96 3, ,8 7,95 3, ,9 7,95 3, ,1 7,95 3, ,3 7,94 3, ,7 7,96 3, ,7 7,89 3, ,9 3, ,4 7,9 3, ,4 7,93 3, ,8 7,93 3,71 Hierbei rechnen wir wieder mit den Mittelwerten für Spannung und Stromstärke, die da waren: Spannung: UM = 7,93 V Stromstärke: IM = 3,68 A Danach haben wir den Temperatur-Zeit-Verlauf in einer Grafik dargestellt. Da die Temperaturerhöhung rein theoretisch bei konstanter Energiezufuhr auch konstant sein müsste, führen wir einen Geraden-ausgleich durch.

9 Für Wasser: Temperatur T [ C] Zeit t [s] ( Abb. 3: Geradenausgleich zur Temperaturerhöhung von Wasser ) Für Ethanol: 45 Temperatur T [ C] Zeit t [s] ( Abb. 4: Geradenausgleich zur Temperaturerhöhung von Ethanol) Hier kann man sehr schön erkennen, dass Ethanol bei gleicher Energiezufuhr und Laufzeit eine höhere Temperatur erreicht hat als Wasser. c) Berechnung der Wärmekapazität des Kalorimeters Die Berechnung der Wärmekapazität des Kalorimeters folgt aus der Gleichung aus a): [ C + m Fl * c SFl ] * ϑ = U * I * t Daraus entsteht durch umformen gleich die fertige Gleichung: C = [ U * I * t / ϑ ] - m Fl * c SFl

10 Erläuterung der verwendeten Größen: U Mittelwert der aufgezeichneten Spannungen [ 7,81 V ] I Mittelwert der Aufgezeichneten Stromstärken [ 3,55 A ] t Versuchsdauer [ 300 s ] ϑ - Änderung der Temperatur [ 9,1 K ] mfl Masse des Wasser [ 0,1993 kg ] csfl spezifische Wärmekapazität von Wasser [ 4180 J/(K kg) ] Daraus ergibt sich dann die Wärmekapazität des Kalorimeters: C = 79,49 J/K Mit Hilfe dieser Wärmekapazität des Kalorimeters können wir nun die spezifische Wärmekapazität von Ethanol bestimmen. d) Berechnung der spezifischen Wärmekapazität des Ethanols Hierbei benutzen wir wieder die Ausgangsformel: [ C + m Fl * c SFl ] * ϑ = U * I * t Diese wird nun nach der spezifischen Wärmekapazität der Flüssigkeit csfl umgestellt: Erläuterung der hier verwendeten Größen: c SFl = ( [ U * I * t / ϑ ] C ) / m Fl U Mittelwert der aufgezeichneten Spannung [ 7,93 V ] I Mittelwert der aufgezeichneten Stromstärke [ 3,68 A ] T Versuchsdauer [ 300 s ] ϑ - Änderung der Temperatur [ 14,8 K ] C Wärmekapazität des Kalorimeters [ 79,49 J/K ] mfl Masse vom Ethanol [ 0,2 kg ] Damit ergibt sich eine spezifische Wärmekapazität des Ethanols von: c SFl = 2,56 kj/(k kg) Der zu vergleichende Literaturwert liegt hier bei 2,43 kj/(k kg), das wäre eine zu verbuchende Abweichung von 6 %. Diese Abweichung lässt sich einfach aus der Konzentration des Ethanols ziehen, denn die spezifische Wärmekapazität von Wasser ist höher, daraus folgt, das ein Gemisch eine höhere Wärmekapazität als Ethanol und eine niedrigere Wärmekapazität als Wasser besäße, was hier der Fall ist.

11 e) Berechnung der Konzentration des Ethanols Wie oben schon erwähnt liegt die Abweichung der speziellen Wärmekapazität in der Konzentration k. Dazu lässt sich eine Formel aufzeigen, mit der man diese Konzentration berechnen kann, wenn man davon ausgeht, dass die Wärmekapazität eines Stoffes direkt mit den Wärmekapazitäten der Inhalte zusammenhängt, dann ergibt sich nämlich folgende Gleichung: k = c SE, gemessen c SE, Literatur / c SW c SE, Literatur k = 0,0771 Das ergibt dann also einen Wasseranteil von 7,7% und damit eine rund 93%-ige Ethanol-Lösung. Dieses Ergebnis bezieht allerdings keine möglichen Fehlerquellen ein und geht von einem exakten Messergebnis aus. f) Fazit Mit diesem zweiten Versuch sollte die spezifische Wärmekapazität von Ethanol bestimmt werden, was unserer Meinung nach auch zufriedenstellend gelungen ist. Die 6 %-ige Abweichung ist durchaus zu rechtfertigen, wenn man die Konzentration mit einbezieht. Natürlich haben wir auch in diesem Experiment eine Einfluss von ausserhalb, welcher Wärmeenergie an die Umgebung abgibt und dadurch die Messreihe beeinflusst, wodurch das Ergebnis verfälscht werden kann, doch wurde dies durch die Abdeckung zum größten Teil verhindert. Im Handel üblicherweise zu erhaltender Alkohol hat meistens eine Konzentration von 96%. Wenn der Alkohol jedoch schon einigermaßen lange an der Luft steht (es reicht aus, dass das Glas öfter auf und zu geschraubt wurde), dann zieht der Alkohol das Wasser aus der Luft an und die Konzentration verringert sich, weswegen man durchaus mit der errechneten Konzentration zufrieden sein kann. Vergleich der errechneten molaren Wärmekapazitäten mit dem Prinzip von Dulong und Petit a) Berechnung der Molaren Wärmekapazitäten Die jeweiligen molaren Massen von Aluminium und Ethanol können mit Hilfe der Formel cm = cs M berechnet werden. Bei Messing gibt es da einige Probleme, da Messing eine Legierung aus verschiedenen Metallen ist, welche selber in bestimmter Konzentration enthalten sind, deshalb muss die molare Wärmekapazität von Messing anders bestimmt werden. M Al = 26,98 g/mol M Etahnol = 46,1 g/mol So ergeben sich folgende Molare Wärmekapazitäten: Aluminium: c MAl = 26,77 J / (K mol) Ethanol: c MEthanol = 118,24 J / (K mol)

12 Messing ist eine Legierung, die einen hohen Anteil an Kupfer besitzt, ausserdem einen hohen Anteil an Zinn. Für unseren Versuch müssten wir daher eine gewisse Konzentration annehmen. Die Konzentration, die auf 100 Teile Messing 63 Teile Kupfer und 37 Teile Zinn enthält, ist die am häufigsten verwendete. M Cu = 63,55 g/mol M Sn = 118,69 g/mol Daraus ergibt sich eine Molare Masse für Messing von: M Messing = 83,95 g / mol So ergibt sich ein Wert für die Molare Wärmekapazität von Messing: c MMessing = 31,96 J / (K mol) b) Vergleich eich mit der Regel nach Dulong und Petit Die Dulong-Petit-Regel besagt, dass bei hohen Temperaturen näherungsweise die molare Wärmekapazität gleich 3 mal der universellen Gaskonstante ist. R 8,3 J / (K mol) 3 * R = 24,9 J / (K mol) Wenn die Dulong-Petitsche Regel stimmt, dann müssten unsere Ergebniss diesem Wert recht nahe sein. Das Dulong-Petit Gesetz sagt etwas über die Wärmekapazität eines Kristalls aus, nun haben wir hier jedoch gar keine Kristalle, doch Metalle sind in einem Metallgitter angeordnet, welches selbst nur durch hohen Druck und/oder hoher Temperatur verändert werden kann, wie bei Kristallen. Das bedeutet, dass die Anordnung der Kationen und Elektronen im Metallgitter ebenfalls für dieses Gesetz in Frage kommen und deswegen müssten die Wärmekapazitäten diesem Gesetz gehorchen. Was sie zweifellos auch tun, denn bei einem Wert für die Molare Wärmekapazität von Aluminium und Messing, von 26,77 J/(K mol) und 31,96 J/(K mol), liegen wir sehr nah am Wert für 3 R. Ethanol jedoch ist eine Flüssigkeit, das bedeutet, dass ihre Teilchenanordnung keiner festgelegten räumlichen Struktur gehorcht, diese Teilchen sind alle freibweweglich, deshalb ist die Dulong- Petit Regel hier nicht anwendbar. Quellen: Die vorhandenen Literaturwerte entstammen aus dem Tafelwerk von Paetec; 6. überarbeitete Auflage von Dazu gehören: spezifische Wärmekapazität von Wasser und die Molaren Massen der vorhandenen Stoffe. Christian Müller Jan Philipp Dietrich