Angewandte Mathematik: Body and Soul

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1 K. Eriksson D. Estep C. Johnson Angewandte Mathematik: Body and Soul [VOLUME 1] Ableitungen und Geometrie in IR 3 Übersetzt von Josef Schule Mit 192 Abbildungen Springer

2 Inhalt Band 1 Ableitungen und Geometrie im K Was ist Mathematik? Einleitung Die moderne Welt Die Rolle der Mathematik Entwurf und Herstellung von Autos Wettervorhersagen und globale Erwärmung Navigation: Von den Sternen zu GPS Medizinische Tomographie Molekulare Dynamik und Arzneimittelforschung Wirtschaft: Aktien und Optionen Sprachen Mathematik als Wissenschaftssprache Fundamentale Bereiche der Mathematik Was ist Wissenschaft? Was ist Bewusstsein? Wie man dieses Buch als Helfer begreift 19 2 Das mathematische Labor Einleitung Mathematikerfahrung 24

3 XVIII Inhalt Band 1 3 Einführung in die Modellbildung Einleitung Modell einer Mittagssuppe Das Modell vom schlammigen Hof Ein Gleichungssystem Gleichungen aufstellen und lösen 34 4 Kurzer Kurs zur Infinitesimalrechnung Einleitung Algebraische Gleichungen Differentialgleichungen Verallgemeinerung Der Jugendtraum von Leibniz Zusammenfassung Leibniz 49 5 Natürliche und ganze Zahlen Einleitung Die natürlichen Zahlen Gibt es eine größte natürliche Zahl? Die Menge N aller natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Absolutwert und Abstand zwischen Zahlen Division mit Rest Zerlegung in Primzahlen Ganze Zahlen im Computer 66 6 Mathematische Induktion Induktion Insektenpopulationen 74 7 Rationale Zahlen Einleitung Wie die rationalen Zahlen konstruiert werden Zur Notwendigkeit der rationalen Zahlen Dezimale Entwicklungen der rationalen Zahlen Periodische Dezimaldarstellungen rationaler Zahlen Mengenschreibweise Die Menge Q der rationalen Zahlen Die rationale Zahlengerade und Intervalle Bakterienwachstum Chemisches Gleichgewicht 93 8 Pythagoras und Euklid Einleitung 97

4 Inhalt Band 1 XIX 8.2 Der Satz von Pythagoras Die Winkelsumme in Dreiecken beträgt Ähnliche Dreiecke Wann stehen zwei Gerade senkrecht? GPS Navigation Geometrische Definition von sin(u) und cos(u) Geometrischer Beweis von Additionsformeln für cos(u) Erinnerung an einige Flächenformeln Griechische Mathematik Die euklidische Ebene Q Von Pythagoras über Euklid zu Descartes Nicht-euklidische Geometrie Was ist eine Funktion? Einleitung Funktionen im täglichen Leben Darstellung von Funktionen ganzer Zahlen Darstellung von Funktionen rationaler Zahlen Eine Funktion zweier Variabler Funktionen mehrerer Variabler Polynomfunktionen Einleitung Lineare Polynome Parallele Geraden Senkrechte Geraden Quadratische Polynome Arithmetik mit Polynomen Graphen allgemeiner Polynome Stückweise definierte Polynomfunktionen Kombinationen von Funktionen Einleitung Summe zweier Funktionen und Produkt einer Funktion mit einer Zahl Linearkombination von Funktionen Multiplikation und Division von Funktionen Rationale Funktionen Zusammengesetzte Funktionen Lipschitz-Stetigkeit Einleitung Lipschitz-Stetigkeit einer linearen Funktion Definition der Lipschitz-Stetigkeit Monome 167

5 XX Inhalt Band Linearkombinationen von Funktionen Beschränkte Funktionen Das Produkt von Funktionen Der Quotient von Funktionen Zusammengesetzte Funktionen Funktionen zweier rationaler Variablen Funktionen mehrerer rationaler Variablen Folgen und Grenzwerte Ein erstes Treffen mit Folgen und Grenzwerten Ringschraubenschlüsselsatz J.P. Johanssons verstellbarer Schraubenschlüssel Die Macht der Sprache: Von unendlich Vielen zu Einem Die e N Definition eines Grenzwertes Konvergente Folgen haben eindeutige Grenzwerte Lipschitz-stetige Funktionen und Folgen Verallgemeinerung auf Funktionen zweier Variablen Berechnung von Grenzwerten Computerdarstellung rationaler Zahlen Sonya Kovalevskaya Wurzel Zwei Einleitung y/2 ist keine rationale Zahl! Berechnung von \/2 durch Bisektion Der Bisektionsalgorithmus konvergiert! Erste Begegnung mit Cauchy-Folgen Berechnung von \[2 mit dem Dekasektionsalgorithmus Reelle Zahlen Einleitung Addition und Subtraktion reeller Zahlen Verallgemeinerung zur Lipschitz-stetigen Funktion f(x,x) Multiplikation und Division reeller Zahlen Der Absolutbetrag Vergleich zweier reeller Zahlen Zusammenfassung der Arithmetik reeller Zahlen Warum V^V^ gleich 2 ist Betrachtungen über \/ Cauchy-Folgen reeller Zahlen Erweiterung von / : Q -> Q zu / : R -> M Lipschitz-Stetigkeit erweiterter Funktionen Graphen von / : R -> R 224

6 Inhalt Band 1 XXI Erweiterung einer Lipschitz-stetigen Funktion Intervalle reeller Zahlen Was ist f(x) für irrationales x? Stetigkeit versus Lipschitz-Stetigkeit Bisektion für f(x) = Bisektion Ein Beispiel Berechnungsaufwand Streiten Mathematiker?* Einleitung Die Formalisten Die Logiker und die Mengentheorie Die Konstruktivisten Peano'sche Axiome für natürliche Zahlen Reelle Zahlen Cantor versus Kronecker Wann sind Zahlen rational oder irrational? Die Menge aller möglichen Bücher Rezepte und gutes Essen Neue Mathematik" in der Grundschule Die Suche nach Stringenz in der Mathematik Ein nicht konstruktiver Beweis Zusammenfassung Die Funktion y = x r Die Funktion ^fx Rechnen mit der Funktion yfx Ist y/x Lipschitz-stetig auf K +? Die Funktion x r für rationales r = Rechnen mit der Funktion x r Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit Turbulente Strömung ist Holder- (Lipschitz-)stetig zum Exponenten Fixpunkte und kontrahierende Abbildungen Einleitung Kontrahierende Abbildungen f(x) 0 umformuliert zui = g(x) Kartenverkaufsmodell Modell für das Privateinkommen Fixpunkt-Iteration im Kartenverkaufsmodell Eine kontrahierende Abbildung hat einen eindeutigen Fixpunkt 278

7 XXII Inhalt Band Verallgemeinerung auf g : [a, b] > [a, b] Lineare Konvergenz der Fixpunkt-Iteration Schnellere Konvergenz Quadratische Konvergenz Analytische Geometrie in R Einleitung Descartes, Erfinder der analytischen Geometrie Descartes: Dualismus von Körper und Seele Die euklidische Ebene R Vermesser und Navigatoren Ein erster Blick auf Vektoren Geordnete Paare als Punkte oder Vektoren/Pfeile Vektoraddition Vektoraddition und das Parallelogramm Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Die Norm eines Vektors Polardarstellung von Vektoren Standardisierte Basisvektoren Skalarprodukt Eigenschaften des Skalarproduktes Geometrische Interpretation des Skalarproduktes Orthogonalität und Skalarprodukt Projektion eines Vektors auf einen Vektor Drehung um Drehung um einen beliebigen Winkel Nochmals Drehung um 6»! Drehung eines Koordinatensystems Vektorprodukt Die Fläche eines Dreiecks mit einer Ecke im Ursprung Fläche eines beliebigen Dreiecks Die Fläche eines durch zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms Geraden Projektion eines Punktes auf eine Gerade Wann sind zwei Geraden parallel? Ein System zweier linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten Lineare Unabhängigkeit und Basis Die Verbindung zur Infinitesimalrechnung einer Variablen Lineare Abbildungen / : R 2 -> R Lineare Abbildungen / : R 2 -> R Lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme Eine erste Begegnung mit Matrizen 326

8 Inhalt Band 1 XXIII Erste Anwendungen der Matrixschreibweise Addition von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Multiplikation zweier Matrizen Die Transponierte einer Matrix Die Transponierte eines 2-Spaltenvektors Die Einheitsmatrix Die Inverse einer Matrix Nochmals Drehung in Matrixschreibweise! Eine Spiegelung in Matrixschreibweise Nochmals Basiswechsel! Königin Christina Analytische Geometrie in K Einleitung Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar Skalarprodukt und Norm Projektion eines Vektors auf einen Vektor Der Winkel zwischen zwei Vektoren Vektorprodukt Geometrische Interpretation des Vektorprodukts Zusammenhang zwischen den Vektorprodukten in R 2 und R Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten schiefen Würfels Das Dreifach-Produkt a-bxc Eine Formel für das von drei Vektoren aufgespannte Volumen Geraden Projektion eines Punktes auf eine Gerade Ebenen Schnitt einer Geraden mit einer Ebene Zwei sich schneidende Ebenen ergeben eine Gerade Projektion eines Punktes auf eine Ebene Abstand zwischen Punkt und Ebene Drehung um einen Vektor Unterräume lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten Lösung eines 3x3 Systems durch Gauss-Elimination x 3-Matrizen: Summe, Produkt und Transponierte Betrachtungsweisen für lineare Gleichungssysteme Nicht-singuläre Matrizen Die Inverse einer Matrix Verschiedene Basen Linear unabhängige Menge von Vektoren 365

9 XXIV Inhalt Band Orthogonale Matrizen Lineare Abbildungen vs. Matrizen Das Skalarprodukt ist invariant unter orthogonalen Abbildungen Ausblick auf Funktionen /: R 3 -> M Komplexe Zahlen Einleitung Addition und Multiplikation Die Dreiecksungleichung Offene Gebiete Polardarstellung komplexer Zahlen Geometrische Interpretation der Multiplikation Komplexe Konjugation Division Der Fundamentalsatz der Algebra Wurzeln Lösung der quadratischen Gleichung w 2 + 2bw + c = Gösta Mittag-Leffler Ableitungen Veränderungsraten Steuern bezahlen Wandern Definition der Ableitung Die Ableitung einer linearen Funktion ist konstant Die Ableitung von x 2 ist 2x Die Ableitung von x n ist nx n ~ l Die Ableitung von \ ist -i für x ^ Die Ableitung als Funktion* Schreibweise der Ableitung von f(x) als Df(x) Schreibweise der Ableitung von f(x) als Ableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten Wie wird die Ableitung berechnet? Gleichmäßige Differenzierbarkeit auf einem Intervall Eine beschränkte Ableitung impliziert Lipschitz-Stetigkeit Ein etwas anderer Blickwinkel Swedenborg Ableitungsregeln Einleitung Regel für Linearkombinationen Produktregel Kettenregel 408

10 Inhalt Band 1 XXV 24.5 Quotientenregel Ableitungen von Ableitungen: f (n) = D n f = %LL Einseitige Ableitungen Quadratische Näherung: Taylor-Formel zweiter Ordnung Ableitung einer inversen Funktion Implizite Ableitung Partielle Ableitung Zwischenbilanz Die Newton-Methode Einleitung Konvergenz der Fixpunkt-Iteration Die Newton-Methode Die Newton-Methode konvergiert quadratisch Geometrische Interpretation der Newton-Methode Wie groß ist der Fehler einer Nullstellennäherung? Endkriterium Global konvergente Newton-Methoden Galileo, Newton, Hooke, Malthus und Fourier Einleitung Newtons Bewegungsgesetz Galileos Bewegungsgesetze Das Hookesche Gesetz Newtonsches Gesetz plus Hookesches Gesetz Fouriersches Gesetz der Wärmeausbreitung Newton und der Raketenantrieb Malthus und Populationswachstum Einsteinsches Bewegungsgesetz Zusammenfassung 443 Literaturverzeichnis 447 Sachverzeichnis 449

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