10.3 Statische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente

Transkript

1 1.3 Sttische Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente Sttisches Moment M g eines Mssenpunktes P (der Msse m) bezüglich einer Gerden g: M g := ml Msse Hebelrm l Abstnd von P zu g g 9 P l Bei n Mssenpunkten P i (x i, y i ) der Msse m i, i = 1,..., n: M g = n m i l i, l i (vorzeichenbehfteter) i=1 Abstnd von P i zu g Speziell: M x := n m i y i sttisches Moment bzgl. x-achse i=1 M y := n i=1 m i x i sttisches Moment bzgl. y-achse 1

2 Sttisches Moment eines ebenen, mit Msse belegten Kurvenbogens B bezüglich der Koordintenchsen (Dichte [Msse pro Längeneinheit] sei konstnt = 1, d. h. Msse eines Bogenstückes = Länge dieses Bogenstückes): y Q k 1 Q k y = f(x) Kurvenbogen B := x x k 1 ξ k { ( x ) f(x) x k x n x b } x b. Sei {Z n } eine usgezeichnete Zerlegungsfolge von [, b]. Z n : = x < x 1 <... < x n = b Betrchte ds Sehnenpolygon, welches durch die Punkte ( xk f(x k )), k =,..., n, verläuft, yk := f(x k ). 2

3 Sttisches Moment M x von B bzgl. x-achse: M x n l k s k, s k = (x k x k 1 ) 2 + (y k y k 1 ) 2 ( ) yk y 2 k 1 = 1 + (x k x k 1) x k x k 1 = 1 + f 2 (ξ k ) (x k x k 1 ), MW S, x k 1 < ξ k < x k M x = lim n n f(ξ k ) 1 + f 2 (ξ k )(x k x k 1 ) (gewählt: l k = f(ξ k )) M x = f(x) 1 + f 2 (x) dx }{{} ds = y ds nlog: Sttisches Moment M y von B bzgl. y-achse: n M y = lim ξ k s k n M y = x 1 + f 2 (x) dx = x ds 3

4 Beispiel: Sttische Momente des Hlbkreisbogens x 2 + y 2 = r 2, y bzgl. der Koordintenchsen: r M x = = M y = y S x = r cos t, y = r sin t, r x y ds, ds = π r 2 sin t dt = r 2 cos t x ds = π π ẋ = r sin t ẏ = r cos t t π ẋ2 + ẏ 2 dt = r dt = r 2 (1 ( 1)) = 2r 2 r 2 cos t dt = r 2 sin t π = Anschulich: Hlbkreis ist bzgl. y-achse im Gleichgewicht; bzgl. der x-achse ht er ds Moment M x = 2r 2 und könnte durch eine im Schwerpunkt S(x s =, y s = 2 r) ngebrchte Punktmsse der Msse π πr ersetzt werden. 4

5 Als Schwerpunkt S(x s, y s ) eines Kurvenbogens C wird der Punkt bezeichnet, der dieselben sttischen Momente besitzt wie C, wenn in ihm die gesmte Msse m von C vereinigt wird. M x = y s m, M y = x s m, m = ds x s = M y m = s b x ds s b ds, y s = M x m = s b y ds s b ds Beispiel: Schwerpunkt des oberen Hlbkreisbogens: m = π ẋ2 + ẏ 2 dt = π rdt = πr Bogenlänge des Hlbkreises x s = M y πr y s = M x πr = πr = 2r2 πr = = 2 π r, 63662r 5

6 Sttisches Moment einer ebenen Fläche: Die Fläche F zwischen den beiden Kurven y = f(x) und y = g(x) im Intervll x b (wobei f g in [, b] vorusgesetzt werde) sei homogen mit Msse (der konstnten Dichte 1) belegt. Ausgezeichnete Zerlegungsfolge Z n : = x < x 1 <... < x n = b ξ k := x k 1 + x k sei Mittelpunkt des k-ten Teilintervlls 2 x k := x k x k 1. Ds Rechteck R k mit Breite x ( k und Höhe f(ξ k ) g(ξ k ) besitzt den Schwerpunkt ξ k, f(ξ ) k) + g(ξ k ) und die 2 sttischen Momente m k x = f(ξ k) + g(ξ k ) }{{ 2 } Abstnd zur x-achse (f(ξ k ) g(ξ k )) x k }{{} Msse von R k bzgl. x-achse m k y = ξ }{{ k } Abstnd zur y-achse (f(ξ k ) g(ξ k )) x k }{{} Msse von R k bzgl. y-achse 6

7 Sttisches Moment von F zur x-achse: M x = lim n n m k x = 1 2 ( f 2 (x) g 2 (x) ) dx Sttisches Moment von F zur y-achse: M y = lim n n m k y = x (f(x) g(x)) dx Schwerpunkt S(x s, y s ) der Fläche F : x s = M y A, y s = M x A, wobei A := (f(x) g(x)) dx Fläche von F. 7

8 Trägheitsmomente 1.3 Sei X (t) := ( x(t) y(t)), t t, die Bhnkurve eines Mssenpunktes P der Msse m (X (t) Ortsvektor von P zur Zeit t). Geschwindigkeit V(t) von P : V (t) := lim t X (t + t) X (t) t = (ẋ(t) ) ẏ(t) E k := m 2 v2 ist die kinetische Energie von P : wobei v = V(t). Speziell: Rottion von P uf einem Kreis mit (konstntem) Rdius r und Mittelpunkt : x(t) = r cos ϕ(t), ẋ(t) = ( r sin ϕ(t)) ϕ(t) y(t) = r sin ϕ(t), ẏ(t) = ( r cos ϕ(t)) ϕ(t) ω(t) = ϕ(t) Winkelgeschwindigkeit E k = m 2 v2 = m 2 = m 2 r2 ϕ 2 (t) (ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) ) = 1 2 mr2 }{{} ω2 (t) 8

9 Θ := mr 2 heißt Trägheitsmoment des mteriellen Punktes P mit Msse m bzgl. einer festen Achse; r ist der Abstnd von P zur Achse. Θ := N i=1 m i ri 2 Trägheitsmoment von N Punkten P 1,..., P N in den Abständen r 1,..., r N von der Drehchse mit den Mssen m 1,..., m N. Trägheitsmomente eines homogenen { mit Msse ( belegten Kurvenbogens B = x f(x)) } x b (mit konstnter Mssendichte = 1): Ausgezeichnete Zerlegungsfolge Z n : = x < x 1 <... < x n = b Betrchte ds Sehnenpolygon, welches durch die Punkte ( xk f(x k )) verläuft, k =,..., n. Trägheitsmoment von B bzgl. x-achse: Θ x n r 2 k s k, s k = (x k x k 1 ) 2 + (y k y k 1 ) 2 ( ) yk y 2 k 1 = 1 + (x k x k 1) x k x k 1 = 1 + f 2 (ξ k ) (x k x k 1 ), MW S, x k 1 < ξ k < x k 9

10 Θ x = lim n n f 2 (ξ k ) 1 + f 2 (ξ k ) (x k x k 1 ) (gewählt: r k = f(ξ k )) Θ x = f 2 (x) 1 + f 2 (x) dx = y 2 ds Anlog: Trägheitsmoment von B bzgl. y-achse: Θ y = lim n n ξ 2 k 1 + f 2 (ξ k ) (x k x k 1 ) Θ y = x f 2 (x) dx = x 2 ds 1

11 Beispiel: Trägheitsmoment des Zykloidenbogens { (x ) B = x = (t sin t), y = (1 cos t), t 2π} y bzgl. der x-achse ẋ = (1 cos t), ẏ = sin t, ẋ 2 + ẏ 2 = 2 (1 cos t) sin 2 t = 2 2 (1 cos t) Θ x = = s 1 2π s y 2 ds = 2π y 2 ẋ 2 + ẏ 2 dt [(1 cos t)] (1 cos t) dt = 3 2 2π = }{{} 8 (1 cos t) 5 2 dt 1 cos t = 1 cos 2 t 2 + t sin2 2 = 2 t sin2 2 2π sin 5 t 2 dt, sin t 2 für t 2π 11

12 Erinnerung: sin n x dx = 1 n sinn 1 x cos x + n 1 sin n 2 x dx n sin 5 x dx = 1 5 sin4 x cos x + 4 sin 3 x dx 5 = 1 5 sin4 x cos x sin2 x cos x = cos x 15 ( 3 sin 4 x + 4 sin 2 ) x C sin x dx }{{} cos x Ds ergibt: Θ x = Θ x = [ cos t 2 15 (3 sin 4 t2 + 4 sin2 t2 + 8 )] 2π [ ( 1) 8 + 8] =