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1 Agenda Überblick Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Exkurs: Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien Aktien-Fall Risikoberechnung Karsten Hackler, Juli 008 Agenda 3 Überblick 4 Überblick Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Exkurs: Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien Aktien-Fall Agenda 5 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen 6 Ziehung am Mittwoch, 16. Januar 08 Überblick Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Exkurs: Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien Aktien-Fall Gewinn.5 Mio 1

2 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen 7 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Annahme:Investition am 18. Januar Mio in Aktien von Allianz und in 1 Mio in Aktien von ayer Kurs Allianz 131,94 und Kurs ayer 60,1 Gesamtinvestition, Wert des Portfolios: Mio 8 1 Mio 1 Mio 0,5 Mio Fragestellung: Wie sicher ist das Portfolio? Oder Wie viel kann das Portfolio aufgrund von Marktbewegungen an Wert verlieren? keine 100%-ige Aussage möglich Angabe über Zeithorizont notwendig am 18. Januar 008 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen 9 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Value-at-risk: Welchen Verlust wird das Portfolio mit x%-iger Sicherheit innerhalb eines gewissen Zeitraumes nicht überschreiten, basierend auf eobachtungen der Vergangenheit 10 Risiko??? Zwei mögliche Vorgehensweisen: - Empirisch mit historischen Daten - Stochastisch auf Grundlage historischer Daten Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen - empirisch 11 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen - empirisch 1 Aktienkurs Allianz für ein Jahr, 18/01/07-18/01/08 Aktienkurs ayer für ein Jahr, 18/01/07-18/01/ Tagesveränderungen Allianz Tagesveränderungen ayer 5% 7% 4% 6% 3% 5% % 1% 0% -1% -% 4% 3% % 1% 0% -1% -3% -% -4% -3% -5% -4% -6% -5%

3 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen - empirisch Value-at-risk, üblicher Ansatz in der Finanzwirtschaft: Welchen Verlust wird das Portfolio mit 99%-iger Sicherheit innerhalb eines Tages nicht überschreiten, basierend auf den eobachtungen des letzten Jahres Ein Jahr historische Daten ca. 5 Werktage 1% von 5 Tagen (gerundet) 3 Tage An drei Tagen im Jahr darf der Verlust höher sein, damit unsere Aussage weiterhin stimmt Oder Die viertschlechteste Wertveränderung ist die Schwelle, die wir suchen 1%-Quantil 13 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen - empirisch Tagesveränderungen Allianz - sortiert,00% - -,00% -6,00% 14 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen - empirisch 15 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen - empirisch 16 Tagesveränderungen Allianz - sortiert im Detail Tagesveränderungen ayer - sortiert 7,00% - 6,00% -,00%,00% - -,00% -6,00% 1 % - Quantil für Allianz: -3,94 % Wertveränderung Tagesveränderungen ayer - sortiert im Detail - -,00% 17 Risikoberechnung mit (historischem) Value-at-risk: 1Mio in Aktien von Allianz * (-3,94 %) + 1 Mio in Aktien von ayer * (-3,15%) = 1 Mio * (-7,09 %) = Mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit ist das Portfolio am nächsten Tag mindestens wert 18 Wo liegt der Fehler? Wir haben bisher unterstellt, dass sich beide Aktien vollkommen unabhängig voneinander verhalten. 1 % - Quantil für ayer: -3,15 % Wertveränderung 3

4 Tagesveränderungen Allianz,00% 19 99% - Quantil Allianz am % - Quantil ayer am Nicht realistisch! 0 - -,00% -6,00% Zusammenhänge zwischen Allianz und ayer bzw das gemeinsame Verhalten der Aktienkurse muss berücksichtigt werden. 7,00% 6,00%,00% - -,00% Tagesveränderungen ayer Gemeinsame Untersuchung der Tagesschwankungen notwendig! 1 Gemeinsame Tagesveränderungen Allianz & ayer Gemeinsame Tagesveränderungen ayer und Allianz - im Detail 7,00% 6,00%,00% - -,00% -6,00% -7,00% -8,00% - -,00% -6,00% -7,00% -8,00% -9,00% 1 % - Quantil für Allianz & ayer: -,63 % - 3,08 % = - 5,71 % Wertveränderung ayer Allianz Risikoberechnung mit (historischem) Value-at-risk: (1 Mio in Aktien von Allianz + 1 Mio in Aktien von ayer) * (-5,71%) = Mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit ist das Portfolio am nächsten Tag mindestens wert 3 Gemeinsame Tagesveränderungen ayer und Allianz - im Detail,00% 4 Gemeinsame etrachtung : Risiko Einzelne etrachtung: Risiko ,00% egründung??? Teilweise Gegenläufige Entwicklung beider Aktien Neutralisierung des Verlust einer Aktie durch Gewinn der anderen Allianz ayer 4

5 Risikoberechnung mit (stochastischem) Value-at-risk: isher: Historische Wertveränderungen direkt und absolut anwenden zukünftige Entwicklung/ Risiko ableiten 5 Normalverteilung Standardnormalverteilung Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1 6 0,45 Jetzt: Wahrscheinlichkeitsannahmen aus historischen Daten ableiten zukünftige Entwicklung/ Risiko prognostizieren 0,4 0,35 0,3 Es werden Annahmen getroffen über Mittelwert Standardabweichung Korrelation Normalverteilung 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 0-6,5-5,8-5,1-4,4-3,7-3,0 -,3-1,6-0,9-0, 0,5 1, 1,9,6 3,3 4,0 4,7 5,4 6,1 6,8 7,5 8, Normalverteilung 7 Historische Entwicklung des DAX 8 Normalverteilung Mittelwert = 1, Standardabweichung = Entwicklung DAX seit 001 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 0-6,5-5,8-5,1-4,4-3,7-3 -,3-1,6-0,9-0, 0,5 1, 1,9,6 3, ,7 5,4 6,1 6,8 7,5 8, Normalverteilung kann gestaucht/gedehnt und verschoben werden Verteilung der Tagesentwicklung des DAX Histogramm Tagesentwicklung des DAX Dies bedeutet: Wir nehmen an, dass die zukünftigen (wahrscheinlichen) Tagesveränderung der Aktien einer Normalverteilung folgen! Es ist am wahrscheinlichsten, dass die Veränderung in Höhe des Mittelwertes erfolgt Höhere Verluste bzw höhere Gewinne sind eher unwahrscheinlich Value-at-risk: Der Wert, der mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Tages nicht unterschritten wird Kann jetzt mit Hilfe von Normalverteilungsannahme sowie Mittelwert und Standardabweichung anhand einer Formel berechnet werden 0-9,0% -8,3% -7,5% -6,8% -6,0% -5,3% -4,5% -3,8% -3,0% -,3% -1,5% -0,7% 0,0% 0,8% 1,5%,3% 3,0% 3,8% 4,5% 5,3% 6,0% 6,8% 7,5% 8,3% Unterstellung einer Normalverteilung hier durchaus begründbar! 5

6 Ansatz für den Value-at-Risk: 31 99% Value-at-Risk für die Standardnormalverteilung 3 Standardnormalverteilung kumuliert Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1 Standardnormalverteilung kumuliert linker Rand im Detail Mittelwert = 0, Standardabweichung = ,0% 9 4,5% 8 4,0% 7 3,5% 6 3,0% 5,5% 4,0% 3 1,5% 1,0% 1 0,5% -3,0 -,7 -,4 -,1-1,8-1,5-1, -0,9-0,6-0,3 0,0 0,3 0,6 0,9 1, 1,5 1,8,1,4,7 3,0 0,0% -3, -3,1-3,0 -,9 -,8 -,7 -,6 -,5 -,4 -,3 -, -,1 -,0-1,9-1,8-1,7 Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen < x% 1%-Quantil bei der Standardnormalverteilung bei -,36 Mittelwert: Trend, in welche Richtung bewegt sich die Aktie? 33 Tagesveränderungen Allianz 34 μ = x + + xn n 1 L = n 1 n i= 1 x i,00% Standardabweichung: Unsicherheit, wieviel stark schwankt die Aktie um den Trend? ( x μ) + L+ ( x μ) n 1 n 1 = = n ( xi μ) n i= 1 Ausschlaggebend für das Risiko - -,00% -6,00% Mittelwert: -0,04 % Standardabweichung: 1,46% Tagesveränderungen ayer VaR- Ansatz bei Standardnormalverteilung 6,00%,00% 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, Aktueller Marktwert - 0,15 VaR -,00% Mittelwert: 0,14 % Standardabweichung: 1,57% 0,1 0,05 1%-Quantil 0-3,0 -,7 -,4 -,1-1,8-1,5-1, -0,9-0,6-0,3 0,0 0,3 0,6 0,9 1, 1,5 1,8,1,4 VaR = aktueller Marktwert * Standardabweichung * (-,36),7 3,0 6

7 Zur erechnung des Value at Risk können diese -,36 genutzt werden, da die Verschiebung und Stauchung/Dehnung der Normalverteilung möglich ist! erechnung des VaR anhand der Formel: aktueller Marktwert * Standardabweichung * (-,36) Allianz: 1 Mio * 1,57 % *(-,36) = ayer: 1Mio * 1,46 % * (-,36) = Korrelation ρ = ( x μ ) ( x μ ) + L+ ( x μ )*( x μ ) 1, A A * 1, n, A A n, * Wie stark bedingen sich die beiden Schwankungen? Wie stark sind die Schwankungen voneinander abhängig? A Risiko als VaR in Höhe von Fehler??? Auch hier wurde die gemeinsame Entwicklung der beiden Aktien bzw. die Abhängigkeit voneinander nicht berücksichtigt! Stichwort: Korrelation 39 Hier: Korrelation von ayer und Allianz beträgt -18,8% Leichtes Gegenlaufen beider Aktien Durchaus üblich, dass eine Aktie steigt während andere fällt (s.o.) 40 Korrelation = 1 vollständiger Gleichlauf Korrelation = 0 keine gegenseitige eeinflussung Korrelation = -1 vollständig entgegesetzter Verlauf Exakte Standardabweichung der simultanen Verteilung: A + A, = A + * A * * ρ, = (1,46%) + (1,57%) + *1,46%*1,57%*( 18,8%) A, =1,94% Damit Risiko (VaR) von Allianz & ayer aktueller Marktwert * Standardabweichung * (-,36) 1 Mio * 1,94% * (-,36) = Mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit ist das Portfolio am nächsten Tag mindestens wert 41 Zusammenfassung: Risiko Ohne Korrelation Mit Korrelation Historisch Frage: Werden beim empirischen Ansatz keine Korrelationen berücksichtigt, da keine in die erechnung eingehen? Modell Statistisch Doch, implizit durch gemeinsame Tagesschwankungen Realität 7

8 Modell vs Realität Allianz Stand ,94 Vorhersage 99% ,47 Realität ,00 43 Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Schwächen des Modells: Keine Aussage über die tatsächliche Verlusthöhe, wenn der 1%-Fall eintritt (immerhin 3x pro Jahr) eispiel : Allianz Fr, : 131,94 Mo, 1.01.: 10,00-9,05 % ayer Fr, : 60,1 Mo, 1.01.: 54,86-8,89 % Tatsächlicher Verlust: 1 Mio * (- 9,05% - 8,89 %) = Lösung: acktesting: 44 ayer Verlust 60,1 0 58, , asierend immer lediglich auf historischen Daten Aber: Die Zukunft lässt sich mit der Vergangenheit nicht vorhersagen, besonders keine Krisenszenarien Lösung: Stress-Testing Abhängig vom historischen Zeithorizont und vom genutzten Modell Agenda 45 Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien-Fall 46 Überblick Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Exkurs: Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien Aktien-Fall x y Mit minimalem Risiko! Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien-Fall Anderer Ansatz: Habe Mio und will diese so in Aktien von ayer und Allianz investieren, so dass ich am wenigsten Risiko bekomme A =1,46%, =1,57% und ρ =-18,8% sind bekannt und konstant x = etrag in Allianz y = etrag in ayer = x = ( x *1,46%) + ( y *1,57%) + * x * y *1,46% *1,57% *( 18,8%) = 0, * x + ((000 x)*1,57%) 0, * x *(000 x) = 0, * x + (31,4 1,57% * x) 0,0838 * x + 0, * x = 0, * x + 985,96 0,98596 * x + 0, x 0,0838 * x = 0, * x 1, * x + 985,96 min 47 Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien-Fall A = 0, * x 1,069768* x + 985,96 min, Minimieren mit Hilfe der Differentialrechnung 1. Ableitung = 0 setzen Minimum, wenn. Ableitung > 0 d dx ( ) = 0, * x 1, ( ) x = 1.066,45 d dx d = 0 dx 0, * x = 1, ( ) = 0, > 0 Risikominimal, wenn 1.066,45 in Allianz und 933,55 in ayer 48 8

9 = 15% Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien-Fall 49 Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien-Fall 50 1,70% 1,60% Risiko bei unterschiedlicher Gewichtung alles in ayer 1,57% 0,9695% 0,9690% Risiko bei unterschiedlicher Gewichtung - Detail 1,50% alles in Allianz 1,46% 0,9685% 1,40% 0,9680% 1,30% 50:50 0,97% 0,9675% 1,0% 0,9670% 1,10% 0,9665% ,90% Korrelation < 1: Risikominderung durch Diversifizierung möglich! Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien-Fall Weitere Fragestellung: ei welcher Strategie kann man die meiste Rendite erwarten? Erinnerung: Mittelwert Allianz = -0.04%, Mittelwert ayer = 0,14% 51 Agenda Überblick 5 Hier kommen keine Korrelationseffekte zum tragen! Daher höchste Rendite, wenn alles in ayer 0,14% am Tag Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Exkurs: Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien Aktien-Fall 1. Möglichkeit 53. Möglichkeit 54 Kredit Sid 0.5 Mio = 5% Kredit Manny 1.5 Mio Kredit Diego 0.5 Mio = 10% = 10% Kredit aby 0.5 Mio 9

10 55 Korrelationen 56 ρ S, = 5% ρ S,D = 40% ρ,d = 50% Risiko??? Portfolio 1: Kredit an Manny über 1.5 Mio Ausfallwahrscheinlichkeit M = 10% Portfolio : Sid 0.5 Mio Diego 0.5 Mio aby 0.5 Mio S = 15% D = 10% = 5% 57 Kann so pauschal nicht beantwortet werden Siehe vorheriges Kapitel: Stichwort Korrelation Zur eurteilung des Risikos eines Portfolios mit mehreren Kreditnehmern muss neben der Ausfallwahrscheinlichkeit für einen Kredit die Korrelation zwischen den verschiedenen Krediten beurteilt werden Wie verhält sich der Kredit von Sid, wenn der von Diego ausfällt? Wie verhält sich der Kredit von Diego, wenn der vom aby ausfällt? Wie verhält sich der Kredit vom aby, wenn der von Sid ausfällt? 58 Welches Portfolio ist riskanter? Anmerkung: Korrelation ist immer symmetrisch erechnung der Ausfallwahrscheinlichkeit Portfolio 1: 1 = Kredithöhe * Ausfallwahrscheinlichkeit = 1.5 Mio * 10% = 150 T Portfolio (siehe obige Formel): Annahme Korrelationen: ρ S, = 5%, ρ S,D = 40%, ρ D, = 50% ( ) = (0,5 Mio * 15%) + (0,5 Mio * 10%) + (0,5 Mio * 5%) + * 0,5 Mio * 0,5 Mio * 15% * 10% * 5% + * 0,5 Mio * 0,5 Mio * 15% * 5% * 40% + * 0,5 Mio * 0,5 Mio * 10% * 5% * 50% = 565 Mio Mio + 65 Mio Mio Mio Mio = Mio = 115,65 T 59 Oder kurz in Vektor-Matrix-Schreibweise: = ( 0,15 0,1 0,05) 1 0,5 0,4 0,15 0,5 1 0,5 0,1 0,4 0,5 1 0, Korrelationsmatrix Ergebnis: Risiko Portfolio 1: 150 T Risiko Portfolio : 116 T Korrelationseffekte liefern eine Reduzierung des Risikos 60 10

11 Wie hoch muss die Korrelation sein, damit beide Portfolien das gleiche Risiko tragen? 150 = 500 *0, *0, *0,05 + *500 *500 *0,15*0,1* ρ + *500 *500 *0,15* 0,05* ρ + *500 *500 *0,05* 0,1* ρ = ( )* ρ = ρ ρ = 1 d.h. nur bei exaktem Gleichlauf tragen beide Portfolien das gleiche Risiko, also fällt z.. Sid aus, dann fallen auch sofort Diego und das aby aus! unrealistisch Mit mehreren kleinen Krediten sinkt das Kreditrisiko gegenüber wenigen großen Krediten immer (Diversifikationseffekt), sobald ρ < 1 61 Agenda Überblick Risikomessung anhand zweier Aktienpositionen Exkurs: Risikominimale Investmentstrategie im Zwei-Aktien Aktien-Fall 6 63 Die aktuelle Finanzmarktkrise ( Subprimekrise ) ist entstanden, weil viele Kreditnehmer auf einmal ausgefallen sind 64 Vorgeschichte (u.a.): - Immobilienpreise sind in den USA seit den 80er Jahren immer gestiegen bei stets niedrigem Zinsniveau - Von den anken wurden viele Kredite vergeben, ohne richtige Prüfung der Einkommensverhältnisse, einzig vertrauend auf weiter steigende Häuserpreise. Kredite sind hauptsächlich variabel verzinst - Personen, die es sich eigentlich nicht leisten konnten, hatten Geld zur Verfügung, um sich Häuser zu kaufen ( Subprime ) - Zinsen stiegen - Variable Raten für die Abzahlung des Kredites stiegen, und konnten von den Kreditnehmern nicht mehr bezahlt werden Fragestellung: Warum sind deutsche anken so in Mitleidenschaft gezogen worden? IK, SachsenL, WestL, ayernl, Sie haben selbst keine Kredite in den USA direkt vergeben 65 Vereinfachter Aufbau einer AS-Transaktion: Kredite 66 Modernes Finanzmarktinstrument / Financial Engineering : AS = Asset acked Security Oder Forderungsbesichertes Wertpapier Kredite Kredite ank USA ündelung / Verkauf AS- Wertpapier Investor Investor Investor Investor Eine ank / regional Geld Sicherheiten Kapitalmärkte / weltweit 11

12 Detailansicht eines AS-Wertpapiers: Zins und Tilgung 100% 50% 0% 10% Super Senior Tranche (AAA) Senior Tranche (A) Mezzanine Tranche () Junior Tranche () Kreditausfälle 67 esondere Merkmale eines AS-Wertpapiers: Die kreditvergebende ank behält zwar die Kundenbeziehung zum Kreditnehmer, die Zahlungen bzw das Risiko haben die Investoren Wenn die Kredite zahlen (Zins und Tilgung), fließen diese zuerst den oberen Tranchen zu von oben nach unten Fallen Kredite aus, wird dies zuerst den unteren Tranchen belastet von unten nach oben (sog. Wasserfallprinzip ) Da weiter unten stehende Tranchen mehr Risiko tragen als obere Tranchen, werden diese auch höher verzinst! 68 5% Equity Piece (NR) D.h. bevor eine Super Senior Tranche angegriffen wird, müssen alle Tranchen darunter bereits aufgezehrt sein 69 Korrelationseffekte bei Tranchen anhand eines eispiels (15 Kredite) 70 Da hier sehr viele Kredite zugrunde liegen und gebündelt wurden und aufgrund des Diversifikationseffektes scheint ein Investment in eine Super Senior Tranche ziemlich sicher zu sein (ist es im Normalfall auch) Unterste Tranche (0-1) Oberste Tranche (10-15) Zusätzlich ist die Investition lukrativ, da höhere Zinsen bezahlt werden als bei anderen Wertpapieren Verlockung, auch in tiefere Tranchen zu investieren Kredit Kreditausfall Normales Szenario, geringe Korrelation 71 Extremes Szenario, hohe Korrelation 7 Wahrscheinlichkeit, dass Equity Piece ausfällt sehr hoch, bei Super Senior sehr niedrig EP Super Senior Wahrscheinlichkeit, dass Equity Piece geringer, bei Super Senior wesentlich höher EP Super Senior 1

13 Genau so eine Konstellation gab es bei den Subprime AS in den USA Es wurden viele gleichartige schlechte Kredite verwendet und diese wurden gemeinsam in ein AS verpackt. Hier herrschte eine (bis dato unbekannt) hohe Korrelation, so dass mit einem Ausfall sehr viele weitere folgten Keinerlei Diversifikation im Portfolio! Fast so riskant als wenn in einen einzigen Kredit investiert worden wäre! Hohes Risiko, schlechtes Kreditrisikomanagment! Höhere Zinsen wurden nicht mehr bezahlt Investition wurde angegriffen bzw. komplett aufgezehrt Sehr hohe Verluste bei anken in der ganzen Welt Zur Zeit ist noch nicht ganz klar, ob alle diese Risiken bereits aufgedeckt wurden oder ob noch die ein oder andere ank tiefer im Schlamassel steckt Noch Fragen??? 75 13

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