Wie Wettanbieter Rendite und Risiko kontrollieren können und Schüler dabei Einblick in finanzmathematische Methoden erhalten

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1 Wie Wettabieter Redite ud Risiko kotrolliere köe ud Schüler dab Eiblick i fiazmathematische Methode erhalte MORITZ ADELMEYER, ZÜRICH Zusammefassug: Wettabieter laufe Gefahr, dass je ach Ausgag der Wettsiele die auszuzahlede Gewie höher sid als die geommee Eisätze Es werde zw gaz uterschiedliche Möglichkte aufgezgt, wie Wettabieter Redite ud Risiko kotrolliere köe Die e Art vo Kotrolle ist robabilistisch ud wird ählich b der Verwaltug vo Portfolios verwedet Die adere Art ist determiistisch ud wird ählich zur Absicherug vo Otioe gesetzt Für die gezgte Modellrechuge rcht gymasiale Mathematik aus "Wette aus Sicht des Abieters" get sich daher, um Schüler Eiblick zu gebe i Methode der modere Fiazmathematik "Wette, mitfieber, gewie Jede Tag" Wette ist izwische auch im deutschsrachige Raum oulär Ud das Agebot a Wettmöglichkte ist riesig, gaz besoders währed sortliche Grossalässe wie etwa der Fussballeuroamsterschaft 004 i Portugal A diesem Turier sielte i der Vorrudegrue B Frakrch (FRA), Eglad (ENG), Kroatie (CRO) ud die Schwz (SUI) Die staatliche Schwzer Wette sortti oe ([]), welche die Überschrift dieses Abschitts als Werbesloga verwedet, stellte für die Woche vom 5 bis die folgede Quote für de Sieger der Grue B: Sieger FRA ENG CRO SUI Quote Die Quote gebe das Verhältis zwische der Auszahlug b richtigem Tie ud dem Eisatz a: Auszahlug Quote = Eisatz Wer etwa 50 auf die Schwz gesetzt hat, hätte = 450 ausbezahlt erhalte, falls die Schwz Gruesieger geworde wäre Er oder sie hätte da etto 400 gewoe Wl aber Frakrch de Gruesieg errag, gig der Eisatz vo 50 verlore Dieses Risiko immt der Wettede aufgrud es mögliche (hohe) Gewis bewusst i Kauf Aders sieht es aus Sicht des Wettabieters aus Uabhägig davo, wer Gruesieger wird, muss er i der Lage s, die Gewie auszuzahle Dass dies roblematisch s ka, zgt das folgede Szeario : Sieger FRA ENG CRO SUI Quote Eisatz Auszahlug Szeario geht davo aus, dass b sortti oe i der besagte Woche Eisätze vo 035 Geldhte auf Frakrch, 045 auf Eglad, 00 auf Kroatie ud 05 auf die Schwz getätigt werde Da immt der Wettabieter isgesamt Geldht Demgegeüber muss er b em Sieg vo Frakrch 056 Geldhte, vo Eglad 05, vo Kroatie 090 ud der Schwz 5 auszahle I zw der vier Fälle überstge die Ausgabe des Wettabieters se Eiahme Gerechte ud ugerechte Quote We Zufallsergebis mit Wahrschlichkt tritt, so wird der Kehrwert vo als gerechte Quote q für das Wette auf dieses Ergebis bezchet: gerechte Quote q = B gerechte Quote ist der Erwartugswert der Auszahlug glch dem Eisatz: Eisatz e Auszahlug a = q e erwartete Auszahlug a = q e = e Wettabieter stelle Quote, die kler sid als die gerechte Quote Um die Gerechtigkt zu quatifiziere, wird Gerechtigktsfaktor geführt: q = mit 0 Der Gerechtigktsfaktor lässt sich aus de gestellte Quote bereche We b er Wette m verschiedee Ergebisse möglich sid ud für diese die Quote q,, q m gestellt werde, so betrage die de Quote zu Grude liegede Wahrschlichkte für die m Ergebisse = /q,, m = /q m Aus + + m = folgt da = / q + + / q m Stochastik i der Schule 5 (005) Heft 9

2 Für die Quote vo sortti oe aus Abschitt betrage der Gerechtigktsfaktor 08 ud die Wahrschlichkte 0 5, 0 3 sowie 3 = Probabilistische Kotrolle: der Zufall wird es richte I diesem Abschitt wird davo ausgegage, dass der Wettabieter die Wahrschlichkte der Wettergebisse vo Exerte schätze lässt ud aufgrud dieser Schätzwerte Quote stellt, die währed der gaze Wettdauer fest blbe Es wird gezgt, wie der Wettabieter da Redite ud Risiko mit Hilfe des Zufalls kotrolliere ka Aahme I (Agebot a Siele, Festlegug der Quote) Das Wettbüro bietet arallel Wettsiele a Es schätzt für jedes Siel die Wahrschlichkte für die Sielergebisse ud stellt Quote, die das -fache der gerechte Quote betrage, wob 0 < < ist Die Quote blbe währed der gesamte Wettdauer fest Aahme II (Uabhägigkt der Ergebisse) Die Ergebisse der Wettsiele sid voader uabhägig Aahme III (Recherische Verfachuge) Jedes agebotee Wettsiel hat glch viele mögliche Ergebisse Die Summe der Eisätze ist b alle Siel glch Geldht Die Aahme I trifft für sortti oe wtgehed zu Wie aus em Artikel der Ztschrift Facts vom 0503 mit der Überschrift "Die Quoteleger" hervorgeht, ist b sortti oe Sechserteam für das Schätze der Wahrschlichkte zustädig ([]) Pro Woche werde 0 Wette agebote Der Gerechtigktsfaktor beträgt 08 sortti oe behält sich zwar vor, Quote im Laufe er Woche auch zu äder, macht davo aber kaum Gebrauch Es bezche m = Azahl ageboteer Wettsiele, = Azahl möglicher Ergebisse ro Wettsiel Für i m ud j bezche wter q e = geschätzte Wahrschlichkt für Ergebis i im Siel ud = Quote für Ergebis i im Siel = / j, = Eisatz für Ergebis i im Siel wob e + + mj > 0 ud e j, wob =, j + + e j mj > 0 j, =, a = Auszahlug b Ergebis i im Siel j = q j Um die Redite ud das Risiko des Wettabieters robabilistisch abzuschätze, werde folgede Zufallsgröße betrachtet: X j = Auszahlug im Siel j, X + + X Y = = mittlere Auszahlug ro Siel Der Erwartugswert E (Y ) ist Maß für die Redite des Wettabieters Je achdem ob E (Y ) < oder E (Y ) > ist, erwartet der Abieter e Gewi oder Verlust Die Stadardabwchug S (Y ) ist Mass für das Risiko des Wettabieters S (Y ) erfasst die erwartete Abwchug vo Y vom Erwartugswert E (Y ) Je grösser S (Y ) ist, desto eher besteht die Gefahr, dass der Abieter Verlust macht Für de Erwartugswert E( X j ) gilt E( X j ) ud für Variaz = j a j + + mj amj = j q j e j + + mj qmj emj = e j + + emj = ( e j + + emj ) = V( X j ) = S( X j ) gilt V( X j ) = j ( a j ) + + mj ( amj ) e j e mj = j + + mj j mj e j = e j + j + j emj + emj + mj mj e j emj = + + ( e j + + emj ) j mj + ( j + + mj ) e j emj = + + j mj Für das Wettsiel aus Szeario betrage E ( X ) 08, V ( X ) 007 ud S ( X ) 07 Der Erwartugswert E (Y ) beträgt E( X ) + + E( X ) E(Y ) = = = 0 Stochastik i der Schule 5 (005) Heft

3 Wl aufgrud vo Aahme II X,, X uabhägig sid, gilt für die Variaz V (Y ) = S(Y ) V( X ) + + V( X ) V(Y ) = We = 0 Wettsiele agebote werde, we für jedes Siel der Gesamtsatz Geldht beträgt ud we für jedes Siel wie i Szeario E ( X j ) 08, V( X j ) 007, S( X j ) 07 betrage, so ist E (Y ) 08, V (Y ) ud S (Y ) 006 Der Wettabieter ka i diesem Fall die Sielausgäge gelasse abwarte: Se erwartete mittlere Auszahlug ro Siel beträgt 08 Geldhte, wob dieser Betrag erwartugsgemäß um 006 Geldhte ach obe oder ute abwcht, was er Auszahlug vo 087 bzw 075 Geldhte etsricht Alle diese Beträge liege deutlich uter Geldht Zum Schluss dieses Abschitts zge wir, dass das Risiko des Wettabieters gege ull geht, we er immer mehr Siele abietet Aahme IV (Schrake für Wahrschlichkte) Es gibt e gemsame utere Schrake für die Wahrschlichkte der Sielausgäge: Es gibt δ > 0, so dass δ für i m ud j Für Siele mit vier Ausgäge wie i Abschitt stellt sortti oe erfahrugsgemäß ke Quote größer als 0 B em Gerechtigktsfaktor vo = 08 ist daher = / q δ = 0 8 / 0 = 0 04 für alle i ud j Die Variaz vo X j ka mit Hilfe vo δ abgeschätzt werde durch V( X j ) = ( e j / j + + emj / mj ) ( e j / δ + + emj / δ ) = ( / δ ) Dab habe wir beutzt, dass e < j gilt wege 0 < e < ud dass e j + + emj = ist Wter ka die Variaz vo Y abgeschätzt werde durch V( X ) + + V( X ) V(Y ) = ( / δ ) ( / δ ) = Daraus folgt V(Y ) 0 ud S(Y ) = V(Y ) 0 für Fazit Uter de Aahme I bis III hägt der Erwartugswert vo Y ud damit die Redite des Wettabieters i facher Wse ur vom Gerechtigktsfaktor ab ud ist daher gut kotrollierbar Die Stadardabwchug vo Y ud damit das Risiko des Wettabieters dagege hägt i komlizierter Wse zusätzlich vo de geschätzte Wahrschlichkte für die Wettergebisse sowie der Vertlug der Eisätze auf die Wettergebisse ab ud sid demetsreched schlecht kotrollierbar Uter Aahme IV gilt jedoch: Ei Wettabieter ka s Risiko dadurch kl halte, dass er glchztig viele Siele abietet Der Zufall wird es da richte 4 Determiistische Kotrolle: auch wer ichts wagt, ka etwas gewie I Abschitt 3 wurde uter de Aahme I bis III die folgede Formel für die Variaz der Auszahlug X i em zele Siel hergeltet: e em V( X ) = + + m Die determiistische Kotrollstrategie, die i diesem Abschitt vorgestellt wird, orietiert sich dara, dass V ( X ) = 0 ist, we gilt = i für i m Das hßt: Das Risiko für de Wettabieter verschwidet, we die Vertlug der Eisätze glch der Vertlug der geschätzte Wahrschlichkte ist Diese Beobachtug hat e iteressate Imlikatio: We dem Wettabieter die Wettsätze zum Voraus bekat wäre, so köte er die Quote im Nachhi gemäss qi = für i m stelle ud würde da e sichere Gewi i Höhe vo Geldhte strche, egal wie das Wettsiel ausgeht Nu muss aber der Wettabieter zuächst Quote stelle ud erst daach komme die Eisätze Das ist zwar richtig, der Abieter ka jedoch die Quote im Laufe der Wettdauer äder Viele Abieter mache das Die folgede Tabelle zgt die Quote des Iteretwettabieters sortwettede ([3]) für das EM-Vorrudesiel Lettlad gege Deutschlad a dr aufaderfolgede Tage: Lettlad (LAT) Deutschlad (GER) Sieg LAT Uetschiede Sieg GER Quote am Quote am Quote am Stochastik i der Schule 5 (005) Heft

4 Was mit der Äderug vo Quote etwa errcht werde ka, zgt das folgede Szeario : Phase Phase Sieger FRA ENG CRO SUI W'kt Quote Eisatz Auszahlug Quote Eisatz Auszahlug Gesamtauszahlug Szeario baut auf Szeario auf Die Wettdauer ist eu i zw Phase utertlt I Phase sid die Quote ud die Eisätze glch wie b Szeario Für Phase ädert der Abieter die Quote Er asst sie gemäss der Formel am Afag dieses Abschitts de Eisätze i Phase a Die eue Quote für Frakrch beträgt demetsreched 08 / , diejge für Eglad 08 / , usw Die Eisätze i Phase wurde gegeüber Phase so verädert, dass höhere Quote zu höhere Eisätze führe ud umgekehrt tiefere Quote zu tiefere Eisätze Wie i Phase beträgt auch i Phase der Gesamtsatz e Geldht Der Wettabieter immt über die gesamte Wettdauer zw Geldhte Im Gegesatz zu Szeario sid i alle vier Fälle die Ausgabe kler als die Eiahme Der Abieter macht also i jedem Fall Gewi Im Rest dieses Abschitts wird gezgt, dass uter idealisierte Voraussetzuge der Wettabieter durch laufede Aassug der Quote a die Eisätze stets e sichere Gewi wie i Szeario erziele ka Aahme V (Agebot vo Siele, Festlegug der Quote) Das Wettbüro bietet ur Wettsiel a Es utertlt die Wettdauer i mehrere Phase I der erste Phase werde die Wahrschlichkte für die Sielausgäge geschätzt ud Quote gestellt, welche das -fache der gerechte Quote betrage, wob 0 < < ist I de wtere Phase wird für jede Sielausgag e Quote gestellt, die glch dem -fache des Kehrwerts des Eisatzes auf das betreffede Ergebis i der voragehede Phase ist Aahme VI (Äderug der Eisätze) Für alle Sielausgäge sid die relative Äderuge der Eisätze vo er Wetthase zur ächste beschräkt Aahme VII (Recherische Verfachug) Die Summe der Eisätze ist i jeder Phase glch Geldht Es bezche = Azahl Phase, i welche die Wettdauer utertlt ist, m = Azahl möglicher Ergebisse ro Wettsiel Für i i m bezchet wter = geschätzte Wahrschlichkt für Ergeb - is i, wob i > 0 ud + + m =, sowie für i m ud j q j = Quote für Ergebis i i Phase j, = Eisatz für Ergebis i i Phase j, wob j > 0 ud e j + + emj = Gemäß Aahme V gilt qi q = für i m, i = für i m j ud j Die Aahme VI wird umgesetzt durch die Forderug, dass j j ε j für ε > 0 ud i m, j Szeario ist so kostruiert, dass die Forderug für ε = 0 zutrifft Um die Redite ud das Risiko des Wettabieters determiistisch abzuschätze, werde folgede Größe betrachtet: a i = Gesamtauszahlug b Eitritt vo Ergebis i Es gilt ai = qi + qi + + qi = i e i = i e i e e e e i i i i = i e i Die ai köe abgeschätzt werde durch ai + ( ) ε + i e e m max,, + ( + ) ε m Stochastik i der Schule 5 (005) Heft

5 Der Abieter macht e risikolose Gewi, we a i < für i m Dies ist der Fall, we gilt e em max,, > m ε Für Szeario betrage = 08, ε = 0 ud e max e4,, Demetsreched muss > s Das hßt: We der Abieter ebe Phase och midestes elf wtere Phase ahägt, so wird er stets e Gewi erziele, egal wie das Siel ausgeht Fazit Uter de Aahme V bis VII ka der Wettabieter e sichere Gewi erziele, we er die Quote im Laufe der Wettdauer geüged oft geget ädert Auch wer ichts wagt, ka so etwas gewie 5 Bezüge zur modere Fiazmathematik Die bde i de Abschitte 3 ud 4 vorgestellte Kotrollstrategie gehöre zum Stadardreertoire des modere Fiazmaagemets Die robabilistische Kotrolle wird uter aderem b der Verwaltug vo Portfolios agewedet Als Portfolio wird die Gesamtht aller Alage bezchet, die Ivestor hält Das Agebot a Alage wie etwa Alhe, Aktie, Edelmetalle oder Währuge ist groß Harry Markowitz etwickelte um 950 Verfahre, wie Ivestor Portfolio zusammestelle ka, das i Bezug auf Redite ud Risiko otimiert ist ([4]) Gemäß Markowitz ka Ivestor b glchblbeder Redite s Risiko verkler, i dem er erstes i sem Portfolio hirched viele Alage hält ud zwtes darauf achtet, dass die Kurse der gehalte Alage möglichst ukorreliert verlaufe Letzterem etsricht bm Wette die Aahme II betreffed die Uabhägigkt der Ergebisse der verschiedee Wettsiele Die determiistische Kotrolle wird uter aderem zur Absicherug vo Otioe gesetzt Eie Otio ist Vertrag zwische zw Parte über mögliches Geschäft i der Zukuft Die e Part, der Ihaber der Otio, erhält das Recht, bestimmtes Gut, zum Bsiel e Aktie, zu em sätere Ztukt zu em heute festgelegte Prs kaufe (Call-Otio) bzw verkaufe (Put- Otio) zu dürfe Die adere Part, der Herausgeber der Otio, hat die Pflicht, das Gut dem Ihaber der Otio zu de festgelegte Bediguge zu verkaufe (Call-Otio) bzw abzukaufe (Put- Otio), we dieser das wüscht ud se Otio ausübt Für s Recht muss der Ihaber der Otio dem Herausgeber der Otio b Vertragsabschluss e Prämie zahle Otioe köe als Wette agesehe werde B er Call-Otio zum Bsiel setzt der Ihaber der Otio darauf, dass der Kurs des Guts über de vertraglich festgelegte Kaufrs stgt We dies trifft, ka der Ihaber der Otio das Gut zum tiefere Prs vom Herausgeber der Otio kaufe ud zum höhere Prs am Markt wieder verkaufe ud so e Gewi erziele Als Eisatz für diese Wette zahlt der Ihaber der Otio die Prämie Dazu Bsiel: Die Aktie ABC hat derzt e Kurs vo 00 Frau XY möchte e Wette darauf abschliesse, dass der Kurs der Aktie i ächster Zt stark stgt Sie erwirbt daher 00 Call- Otioe auf die Aktie ABC mit Ausübugsrs 0 ud Laufzt dr Moate Das hsst: Sie erhält das Recht, im Laufe der ächste dr Moate 00 Aktie ABC zu je 0 kaufe zu dürfe Für dieses Recht zahlt Frau XY e Prämie vo 6 ro Otio Ihr Wettsatz beträgt also 600 Ageomme, Frau XY behält Recht ud die Aktie ABC stgt auf zum Bsiel 0 Da wird sie ihre Otioe ausübe, das hsst 00 Aktie ABC zu je 0 kaufe Frau XY wird die Aktie soglch wieder a der Börse zum aktuelle Kurs vo 0 verkaufe Sie immt so ro Otio 0 Ihre Wettauszahlug beträgt da 000 Sie macht mit der Wette 400 Gewi Ageomme, Frau XY behält icht Recht ud die Aktie ABC sikt auf zum Bsiel 80 Da wird Frau XY ihre Otioe icht ausübe Ihr Wettsatz geht verlore, sie macht 600 Verlust Fischer Black, Myro Scholes ud Robert Merto etwickelte um 970 e Methode zur Prämieberechug vo Otioe ([5], [6]) Ihre Methode beruht darauf, dass der Herausgeber der Otio s Risiko kotrolliere ka, idem er währed der Laufzt der Otio stets e gegete Mege des Guts hält So wie der Sortwetteabieter b der determiistische Kotrollstrategie die Quote laufed de Eisätze aasst, muss der Otioeherausgeber die Mege des gehaltee Guts laufed i gegeter Wse dem Kurs des Guts aasse Wie für de Sortwetteabieter ist es da auch für de Otioeherausgeber möglich, iemals Verlust zu erlde, wie auch immer der Kurs des Guts sich etwickelt Stochastik i der Schule 5 (005) Heft 3

6 Zur Illustratio der Methode vo Black, Scholes ud Merto betrachte wir die Otio vo Frau XY Wir zge i em sehr fache aber rototyische Modellszeario, dass der Herausgeber der Otioe durch Kauf er gegete Azahl Aktie ABC sicherstelle ka, dass er stets Gewi macht User stark verfachtes Szeario sieht so aus, dass der Kurs der Aktie ABC ur etweder auf 0 stgt oder auf 80 sikt (Dieses so geate Eieriode-Biomialmodell ka zu em realistischere Modell ausgebaut werde Vgl dazu [7], [8]) Zur Absicherug der Otioe kauft der Herausgeber i diesem Szeario 5 Aktie ABC zu je 00 Er zahlt dafür 500 Da wartet er ab (Um zu verstehe, warum er gerade 5 Aktie kauft, muss ma tiefer i die dahiter liegede Theorie drige Vgl dazu [7], [8]) Ageomme der Kurs der Aktie ABC stgt auf 0 ud Frau XY übt ihre Otioe aus Da kauft der Herausgeber 75 Aktie ABC a der Börse zum aktuelle Kurs vo 0 ach Dafür zahlt er 9000 Er verkauft aschliessed se isgesamt 00 Aktie ABC a Frau XY für 0 ro Aktie Er kassiert dafür 000 Isgesamt gibt der Herausgeber 500 aus ud immt 600, macht also e Gewi vo 00 Ageomme der Kurs der Aktie ABC sikt auf 80 ud Frau XY übt ihre Otioe icht aus Da verkauft der Herausgeber se 5 Aktie ABC a der Börse zum aktuelle Kurs vo 80 Dafür kassiert er 000 Isgesamt gibt der Herausgeber 500 aus ud immt 600, macht also auch i diesem Fall e Gewi vo 00! Zugegebe: Diese Gewirechug scht mysteriös zu s Dem ist aber icht so Das Gaze hat System ud trug Scholes ud Merto 997 de Nobelrs für Wirtschaftswisseschafte 6 Bezüge zur Schule Es gibt e Rhe vo Grüde, fiazmathematische Theme im gymasiale Mathematikuterricht aufzugrfe, uter aderem die vier achfolged ausgeführte Die Verbidug wirtschaftlicher ud mathematischer Dekwse ist saed ud fruchtbar auch für die Schule Gymasiale Mathematik rcht aus, um theoretisch iteressate ud raktisch relevate Erketisse zu gewie Das Alagesektrum ist heute auch für Privatersoe sehr brt Aktie ud Otioe bilde e durchaus sivolle Ergäzug zu Sargelder ud Alhe Allerdigs muss die Redite ud das Risiko dieser Alage richtig geschätzt ud laufed kotrolliert werde 3 Fiazmathematik ist e verglchswse juge Diszili Es ka mitverfolgt werde, wie eue mathematische Methode etwickelt werde ud sich ach ud ach etabliere oder auch icht 4 Bake ud Versicheruge sid ebe Schule ud Hochschule der wichtigste Arbtgeber für Mathematikerie ud Mathematiker "Wette aus Sicht des Abieters" get sich, um exemlarisch e (erste) Eiblick zu gebe i tyische Methode der modere Fiazmathematik Wette sid de Schülerie ud Schüler im Gegesatz zu Fiazistrumete wie Aktie oder Otioe wohlbekat Zudem blbe die Berechuge im Rahme der (elemetare) gymasiale Algebra ud Stochastik Eie auf Lehrerie ud Lehrer zugeschittee Eiführug i die mathematische Bewertug vo Portfolios ud Otioe sowie i wtere Theme der klassische ud modere Fiazmathematik bietet [7] Als Eiführug für Schülerie ud Schüler i Otioe aus wirtschaftlicher ud mathematischer Sicht ka [8] diee Dak Der Autor dakt Daiel Stoffer, Zürich, für die Hilfe b der Suche ach em fache Erklärugsmodell für die determiistische Kotrollstrategie Literatur [] Iformatioe uter wwwsorttich [] Der Artikel ka uter wwwfactsch gege e Gebühr vo 350 Fr heruter gelade werde [3] Iformatioe uter wwwsortwettede [4] Markowitz, H (95): Portfolio Selectio Joural of Fiace, 7, 77 9 [5] Black F ud Scholes M (973): The Pricig of Otios ad Cororate Liabilities Joural of Political Ecoomy, 8, [6] Merto, R (973): Theory of Ratioal Otio Pricig Bell Joural of Ecoomics ad Maagemet Sciece, 4, 4 83 [7] Adelmeyer, M ud Warmuth, E (003): Fiazmathematik für Eistger Wiesbade: Vieweg Verlag [8] Adelmeyer, M (000): Call & Put Eiführug i Otioe aus wirtschaftlicher ud mathematischer Sicht Zürich: Orell Füssli Verlag Aschrift des Verfassers Moritz Adelmeyer Katoale Maturitätsschule für Erwachsee Zürich Schöberggasse CH 800 Zürich madelmeyer@bluewich 4 Stochastik i der Schule 5 (005) Heft