1 Grundprinzip. 2 Huygens'sches Prinzip. Hochfrequenztechnik I Aperturantennen AP/1
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- Lena Huber
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1 Hochfrequenztechnik I Aperturantennen AP/1 1 Grundprinzip Im Kapitel über lineare Antennen (LA) wurde gezeigt, dass man durch eingeprägte Ströme auf einer Antenne Leistungsabstrahlung erreichen kann. Diese linearen Antennen haben idealer Weise keine Ausdehnung auÿer in der Höhe und weisen eine rotationssymmetrische Abstrahlung auf. Aperturantennen hingegen haben eine zweidimensionale Ausdehnung und gestatten eine gezieltere Abstrahlung in eine bestimmte Raumrichtung. Die Beschreibung derartiger Aperturantennen erfolgt mit dem Huygensschen Prinzip. 2 Huygens'sches Prinzip Das Huygens'sche Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront wieder als Quelle neuer Elementarwellen angesehen werden kann (siehe Abb. 1). Daher genügt es, die elektrische und magnetische Feldstärke auf einer vorgegebenen Fläche F zu kennen, um die Wellenausbreitung beschreiben zu können. Abb. 1: Huygens'sches Prinzip: Bildung einer Kugelwelle aus einzelnen Elementarwellen. Wir betrachten dazu in Abb. 2 ein geschlossenes Volumen der Oberäche F, wobei die Felder ~ E und ~H entlang dieser Oberäche bekannt seien (z. B. durch Messungen). Die Felder ~ E und ~ H entstehen beispielsweise durch Antennen oder sonstige Primärstrahler innerhalb des Volumens, wobei aber die Quellen nicht unbedingt bekannt sind. Entsprechend des Huygensschen Prinzips besteht nun die Aufgabe darin, entlang der Oberäche F äquivalente Ersatzquellen (elektrische und magnetische Strombeläge) derart anzugeben, dass die Felder ~E, ~ H entlang der Oberäche korrekt wiedergegeben werden, aber das Innere des Volumens feldfrei bleibt. Die Bestimmung der elektrischen und magnetischen Strombeläge ~ J f Abb. 3. und ~ J fm erfolgt in Anlehnung an Abb. 3 illustriert die Stetigkeitsbedingungen in Form eines Umlauntegrals entlang der Oberäche. Im Falle des magnetischen Feldes ergibt sich: ( ) j Hj ~ j H ~ i j l = j J ~ f j l (1)
2 Hochfrequenztechnik I Aperturantennen AP/2 Oberfläche F Abb. 2: Ersatzanordnung für die Berechnung der elektrischen und magnetischen Strombeläge J ~ f bzw. ~J fm bei vorgegebenen elektrischen und magnetischen Feldstärken auf der Oberäche F mit Normalenvektor ~n senkrecht zur Oberäche. Abb. 3: Umlauntegral über elektrische und magnetische Feldstärke an der Oberäche des Gebiets.
3 Hochfrequenztechnik I Aperturantennen AP/3 Auf Grund der Feldfreiheit im Inneren ist ~ H i = 0. Analog dazu ergibt sich für die elektrische Feldstärke: ( ) j Ej ~ j E ~ i j l = j J ~ fm j l (2) Daher kann man bei gegebener Feldverteilung ~ E und ~ H entlang der Oberäche F einen elektrischen ~J f und einen magnetischen Strombelag ~ J fm einführen mit: ~J f = ~n ~ H mit der Dimension A/m (3) ~J fm = ~n ~ E mit der Dimension V/m; (4) wobei ~n der Einheitsnormalenvektor der Oberäche F ist. Die Strombeläge J ~ f und J ~ fm lassen sich nun als die neuen Quellen für die Wellenausbreitung auassen. Da das Innere des Gebiets mit der Oberäche F ansatzgemäÿ feldfrei ist, kann innerhalb dieses Volumens ein Medium mit beliebigem "; angenommen werden. 3 Abstrahlung einer rechteckigen Apertur Wir nehmen in Abb. 4 als einfaches Beispiel eine rechteckige Apertur mit der Breite a und der Höhe b an. Diese Apertur fassen wir als Teil der Oberäche F in Abb. 2 auf, so dass wir die Felder in dieser Apertur durch äquivalente Quellen J ~ f und J ~ fm auf dieser Apertur beschreiben wollen. Abb. 4: Ebene Welle in rechteckiger Apertur der Breite a und der Höhe b. Die Felder auf der Apertur seien durch ~E = ~e z E z ( ; ) (5) ~H = ~e y H y ( ; ) (6) gegeben. Der Normalenvektor ~n in Abb. 2 zeigt in Abb. 4 in x-richtung: ~n = ~e x ; (7)
4 Hochfrequenztechnik I Aperturantennen AP/4 so dass sich dann die äquivalenten Strombeläge ~ J f, ~ J fm in Gl. (3) und (4) ergeben zu: ~J f = ~n ~ H = (~e x ~e y )H y ( ; ) = ~e z H y ( ; ) (8) ~J fm = ~n ~ E = (~e x ~e z )E z ( ; ) = ~e y E z ( ; ) (9) In Analogie zu den Gl. (LA 30) und (LA 31) lassen sich dann daraus die Vektorpotentiale ~ A und ~ F mit ~A = 1 4 ~F = 1 4 j~r ~J f ( r ~ 0 j exp ~J f m j~r r ~ 0 j exp ( jk 0 j~r jk 0 j~r ) r ~ 0 j d d (10) ) r ~ 0 j d d (11) und damit mit Gl. (LA 19) und (LA 20) auch ~ E und ~ H im gesamten Raum vor der Apertur in Abb. 4 für x > 0 bestimmen. Die Lösung gemäÿ Gl. (10) und (11) setzt ein homogenes Medium mit " = " 0 und = 0 voraus. Da das Innere des Volumens in Abb. 2 bzw. der Bereich hinter der Apertur in Abb. 4 denitionsgemäÿ feldfrei ist, kann dort ein beliebiges Medium angenommen werden, also z. B. der freie Raum mit " = " 0, = 0, so dass die Lösungen (10), (11) gerechtfertigt sind. 3.1 Einführung einer magnetisch leitenden Wand Auf Grund der Feldfreiheit hinter der Apertur kann dort auch ein beliebiges anderes Material angenommen werden, z. B. eine ideal magnetisch leitende Wand an der Stelle x = 0. Dadurch wird der magnetische Strombelag ~ J fm kurzgeschlossen, und man muss nur noch den elektrischen Strombelag ~J f für das Feldproblem betrachten. Als weitere Annahme gehen wir davon aus, dass die magnetisch leitende Wand bei x = 0 in - und - Richtung unendlich ausgedehnt ist. Diese Annahme ist zulässig, wenn in der Ebene x = 0 für j j > a=2 und j j > b=2 die Feldkomponenten vernachlässigbar werden. Für diese Annahme beschränken wir uns deshalb auf groÿe Aperturen mit a; b 0, wenn die Abstrahlung im Wesentlichen in x-richtung erfolgt und in der Apertur H y = E z =Z F 0 gilt. Nach der Spiegelung an der magnetisch leitenden Wand entspricht das Feldproblem einem Strombelag von: Das Vektorpotential ~ A ist für x > 0 ähnlich zu Gl. (10) anzugeben: ~A = 1 4 ~J f ;gesamt = 2 ~ J f im freien Raum (12) ~J f ;gesamt exp ~r r ~ 0 ( ) ~r jk 0 r ~ 0 d d (13) nur das jetzt ~ F nach Gl. (11) entfällt und der Strombelag ~ J f ;gesamt doppelt so groÿ geworden ist. Wegen Gl. (3) weist das Vektorpotential ~ A ausschlieÿlich eine z-komponente auf: A z = 1 2 H y ( ; ( ) exp ~r r ~ 0 ) ~r jk 0 r ~ 0 d d (14)
5 Hochfrequenztechnik I Aperturantennen AP/5 Ähnlich wie in Kapitel LA lässt sich für das Fernfeld r a; b eine Vereinfachung einführen: ~r r ~ 0 = r sin ' sin cos ; (15) so dass aus Gl. (14) folgt: A z = exp( jk 0r ) 2r 0 0 H y (y ; z ) exp(jk0 sin ' sin ) d exp(+jk 0 cos ) d (16) Für die beiden nicht verschwindenden Feldkomponenten gilt wie bei den linearen Antennen: H ' jk 0 A z sin (17) E H ' Z F 0 (18) Für Aperturen mit a; b 0 erfolgt die Abstrahlung im Wesentlichen in x-richtung, so dass das Fernfeld hauptsächlich für Winkel j'j 1 und =2, bzw. j j 1 mit = =2, existiert. Damit kann man weiter vereinfachen: sin 1; sin ' '; cos Es ergibt sich somit aus Gl. (16) und (17) im Fernfeld für das magnetische Feld: H ' ('; ) jk 0 exp( jk 0 r ) 0 0 H y (y ; z ) exp(jk0 ' + jk 0 ) d d (19) 2r Gl. (19) entspricht einer zweidimensionalen Fouriertransformation, d. h. das magnetische Fernfeld H ' lässt sich bis auf einen von ' und auassen. unabhängigen Faktor als Fouriertransformierte des Nahfeldes 3.2 Beispiel: Aperturantenne mit rechteckiger Apertur (a; b 0) und konstanter Belegung Wir wollen eine rechteckige Apertur wie in Abb. 4 betrachten mit konstanter Belegung, also konstanter Feldverteilung auf der gesamten Apertur. Die Abmessungen sollen groÿ sein verglichen mit der Wellenlänge (a; b 0 ). Die Verteilung des magnetischen Feldes auf der Apertur ist dann: H y ( ; H 0 für j j a 2 und ) = j j b 2 0 sonst Nach Gl.19 ergibt sich für das Fernfeld: mit H ' ('; ) = jk 0H 0 exp( jk 0 r ) 2r F ' (') = F ( ) = a=2 a=2 b=2 b=2 cos(k 0 ' ) d = a sin(k 0'a=2) k 0 'a=2 }{{} cos(k 0 ) d = b (20) F ' (') F ( ) (21) Spaltfunktion {}}{ sin(k 0 b=2) k 0 b=2 (22) (23)
6 Hochfrequenztechnik I Aperturantennen AP/6 Der Richtfaktor einer solchen Antenne berechnet sich analog zu Kapitel LA: D = 4 F' (' = 0) F ( = 0) 2 F2 ' d' 4 a b = =2 =2 F2 d 2 0 (24) Die Wirkäche ergibt sich dann bei Vernachlässigung der Verluste (D = G iso ) zu A w = G iso = a b = A; (25) d. h. für den Spezialfall einer konstanten Antennenbelegung ist die Antennenwirkäche gleich der geometrischen Fläche. Bei nicht konstanter Belegung wird die Antennenwirkäche jedoch kleiner als die geometrische Fläche. Typische Gröÿen sind A w = [0; 5 : : : 0; 8] A. Beispiel: Für eine Antennenwirkäche A w = 0; 5 m 2 und eine Wellenlänge 0 = 3 cm oder f = 10 GHz weist die Aperturantenne einen Gewinn von G iso 7000 ( ^=38; 5 dbi) auf. 4 Ausführungsformen Aperturantennen werden i. A. mit Parabolspiegeln wie in Abb. 5 realisiert. Für Parabeln gilt, dass die Entfernungen 0A, 0B, 0C, 0D vom Brennpunkt auf die Gerade EE 0 gleich groÿ sind. Es bildet sich so eine Phasenfront entlang EE 0 aus. Die Felder entlang EE 0 führen dann, wie oben beschrieben, zu den äquivalenten Strombelägen J ~ f und J ~ fm. Abb. 5: Aperturantenne als Parabolspiegel. Aperturantennen sind mit nahezu konstanter Belegung realisierbar. Allerdings werden häug die Randbereiche der Apertur etwas weniger angeregt, um die Aufzipfelung des Fernfeldes (als Fouriertransformierte des Nahfeldes) zu verhindern. Abb. 6 zeigt verschiedene technische Ausführungen von Aperturantennen.
7 Hochfrequenztechnik I Aperturantennen AP/7 Parabol ebene Phasenfront e Abb. 6: Ausführungsformen von Aperturantennen: a) Parabolantenne, b) Cassegrain-Antenne mit hyperbolischem Subreektor, c) Hornparabol, d) Muschelantenne, e) Oset-Parabolantenne.
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