4) Bewegungsgleichungen

Transkript

1 4) Beweunsleichunen 4.) Allemeiner Formalismus zum Lösen on Beweunsleichunen 4.) Geradlinie, leichförmie Beweun ( = cons., a = ) 4.3) Geradlinie, leichmäßi beschleunie Beweun (a = cons.) 4.4) Mehrdimensionale Beweun 4.5) Reibun

2 4.) Allemeiner Formalismus zum Lösen on Beweunsleichunen 4..) Newonsche Mechanik eines Massepunkes 4..) Wiederholun We Geschwindikei Beschleuniun 4..3) Differenialleichunen

3 4..) Newonsche Mechanik eines Massepunkes Vereinfachun: komplee Körper werden als Massepunke beschrieben. Sinnollerweise lie der Massepunk im Schwerpunk des Körpers 8 k 6 k m = 8 k, m = 6 k Massepunke haben keine räumliche Ausdehnun, es sind "Punke"

4 4..) Newonsche Mechanik eines Massepunkes Auf jeden Massepunk können nun äußere Kräfe F wirken F m m = cons. F() = äußere Kraf Randbedinun: zur Zei = sei Geschwindikei = (=) und Or = (=) des Körpers bekann

5 4..) Newonsche Mechanik eines Massepunkes Newonsche Mechanik Is für eine Masse m = cons. die auf sie wirkende äußere Kraf F() für alle Zeien bekann, und kenn man die Geschwindikei und den Or für einen Zeipunk, dann is der Aufenhalsor () des Körpers für alle Zeien fesele (deerminier) d () F() m a() m d m () Wenn F() bekann is, dann is auch d ()/d bekann, denn: aus a() = d ()/d kann durch Ineraion (und Kennnis der Randbedinun ( ) eindeui () = d()/d besimm werden aus () = d()/d kann durch Ineraion (und Kennnis der Randbedinun ( ) eindeui () besimm werden

6 4..) Newonsche Mechanik eines Massepunkes Philosophische Berachun Wenn Kräfe die auf uns wirken für immer bekann sind, dann wären unsere Wee für immer eindeui fesele: Deerminisische Mechanik Aber dem is nich so: Erweierun des Welbilds mi der Quanenmechanik (Newonsche Mechanik is nur ein Grenzfall) widerle Deerminismus: auch wenn alle Kräfe bekann sind, dann folen Aufenhalswahrscheinlichkeien, d.h. nur eine Wahrscheinlichkei kann aneeben werden, aber nichs is eindeui besimm ("Unschärfeprinzip")

7 a) ( ) ( inerieren differenzieren inerieren differenzieren 4..) Wiederholun We Geschwindikei Beschleuniun d d; d d d d d d ; d d Zei Inerierenüber Differenzierennach Zei

8 4..) Wiederholun We Geschwindikei Beschleuniun Beispiel: We eines Auos mi konsaner Geschwindikei Per Definiion is die Geschwindikei die Ableiun des Wees, d.h. der Quoien aus zurückeleem We pro (unendlich kurzem) Zeiinerall: Geschwindikei is Ableiun des Ors nach der Zei () = d()/d () = Posiion des Auos zur Zei ; () = Geschwindikei des Auos zur Zei Auo () = d()/d () Auo Auo differenzieren / = Auo

9 () 4..) Wiederholun We Geschwindikei Beschleuniun Auo Auo Differenzieren / = () = d()/d Auo Auo Eal ob Auo zu Zei am Or oder sare, Geschwindikei is nich beroffen beim Ableien ehen Verschiebunen der Kure enlan der Ordinae (hier: Achse nach oben, Achse is Abszisse nach rechs) nich ein! bei Differenzieren eh Informaion erloren! Hier: Verlus on bzw. (Schnipunk mi Ordinae) () = + ( ) () = d/d( + ( )) = d /d + d/d( ) +d/d( )=+ += () = + ( ) () = d/d( + ( )) = d /d + d/d( ) +d/d( )=+ += Ableiun on Konsanen = Null!

10 4..) Wiederholun We Geschwindikei Beschleuniun Umkehr? Inerieren is Umkehrfunkion on Differenzieren. Geschwindikei is. Ableiun des Ors nach Zei Or =Ineral on Geschwindikei über Zei! () Auo Auo Inerieren () ()d Auo Auo Achun: Randbedinunen für Berücksichiun der erloreneanenen Verschiebun der Ordinae Unbesimmes Ineral (ohne Randbedinunen) ha immer addiie Konsane

11 4..) Wiederholun We Geschwindikei Beschleuniun () Auo Auo Inerieren () ()d Auo Auo Durch Randbedinunen beim besimmen Ineral wird Konsane fesele. ( ) = () ()d d d cons Konsane enfäll, wenn aus Orsfunkion () die Geschwindikei durch () = d()/d besimm wird. "cons" is beliebi, da cons. bei Differenzieren wefäll

12 4..) Wiederholun We Geschwindikei Beschleuniun () Auo Auo Inerieren () ()d Auo Auo Aber: beim Inerieren können Randbedinunen oreeben werden! Es soll hier das Ineral beinnend on der Zei bis hin zur Zei berechne werden () () Randbedinun ( () cons. ()d ( ( ) d ) cons ) d einsezen d ( ) d ( ) cons cons conscons cons Durch Randbedinun is Ineraionskonsane eindeui besimm

13 4..) Wiederholun We Geschwindikei Beschleuniun Beispiel : a() () () Tes in andere Richun : () a()d ()d d d () d()/d d/d ( a() d()/d d/d( cons cons: d ) d/d ( ) simm () () cons: ) d/d ( ) d/d a()

14 4..3) Differenialleichunen zunächs alles in einer Dimension () für mehr Dimensionen l. Kap 4.4 Masse m mal Beschleuniun is leich Summe F aller Kräfe die auf Massepunk einwirken für uns releane Kräfe m F α n β γ Differenialleichun (Gleichun die und zeiliche Ableiunen,,... enhäl) Reibun Sokes Newon (l. Kap. 4.5) rückreibende Kraf (l. Kap. 8) konsan beschleunie Beweun (l. Kap. 4.3) =

15 4..3) Differenialleichunen Zur Lösun ersuchen Variablen zu separieren, d.h. alles mi auf eine, alles mi auf andere Seie brinen und dann inerieren, um die Differeniale d, d wezubekommen Beispiel: = d (jez is alles mi auf der linken, alles mi auf der rechen Seie) d ln = ln ln = ln / = ( ) ep(ln / ) = ep( )) / = ep( )) = ep( )) leider lassen sich die Variablen im allemeinen nich separieren für Reeln zum Lösen on Differenialleichunen (DGLs) Maheorlesun hier: nur esondere Spezialfälle

16 4.) Geradlinie, leichförmie Beweun 4..) Lufkissenbahn 4..) Lösun der Beweunsleichun 4..3) Beispiele

17 4..) Lufkissenbahn eradlini Beweun nur in Dimension (Achse, Richun) z.b. Waen auf Schiene Es reich eine Koordinae, um Beweun zu beschreiben leichförmi a = F Lufkissen m (=cons., a=) F Graiaion = m Waen auf Lufkissenschiene: wird beschrieben durch (Punk ) Masse m Waen habe zur Zei Posiion auf Schiene und Geschwindikei Auf Waen wirk durch Graiaion die Gewichskraf F Gewichskraf = m

18 4..) Lufkissenbahn F Lufkissen m F Graiaion = m acio = reacio Waen drück mi Gewich auf Lufschiene und Lufschiene drück Waen mi Kraf F Lufkissen nach oben Beide Kräfe kompensieren sich Auf Waen wirk keine Kraf in Richun und keine Kraf senkrech dazu Resulierende Gesamkraf F = : m = F = zu lösende DGL

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20 4..) Lufkissenbahn 3 4 Waen wird auf Lufschienenbahn laufen elassen Lufschiene keine Reibun an Sellen,,, 3, 4 sind Lichschranken anebrach und es wird jeweils die Zei,,, 3, 4 emessen, zu der der Waen die Lichschranken durchquer. = m, = m, = m, 3 = 3 m, 4 = 4 m Es wirk keine äußere Kraf auf den Waen! F = ma = a = Der Waen habe zur Zei = die Anfanseschwindikei

21 4..) Lufkissenbahn = m, = m, = m, 3 = 3 m, 4 = 4 m Messwere: = s, =,94 s, =,88 s, 3 =,83 s, 4 = 3,78 s F() [N] ()[m] einesell bei = kurzer Soß um Waen 4 emessen auf Anfanseschwindikei 3 3 zu brinen (an diesem Zeipunk keine leichförmie Beweun, da F ) [s] 3 [s] a() = d/d [m/s ] () = d/d [m/s] aus () Daen berechne aus () Daen berechne = = cons a = [s] [s]

22 4..) Lösun der Beweunsleichun m F = Nun We des Waens berechnen: m() ma() F() (Es wirk keine resulierende Kraf auf Waen) () a() (Waen wirdnich beschleuni) ()aus Ineraion on a() () () a()d Konsane durchrandbedinun besimmen: ( d cons (Geschwindikei is Ineralder Beschleuniun) ) und () cons () Waen wird sichimmer mi konsaner Geschwindikei weierbeween

23 4..) Lösun der Beweunsleichun m F = () ( () ()d (We is Ineralder Geschwindikei) d ( ) () aus Ineraion on () ( ( ) cons ) d Konsane durchrandbedinun besimmen: ( ) cons cons ( d ) ) cons cons cons

24 4..) Lösun der Beweunsleichun nochmal rein formal: = () m F m Variabeln separieren d d d d Ineraion is Umkehrun on Ableiun, d.h. beide hinereinander heben sich auf - = = = cons. d = d d = d d = () = (- ) () = (- ) + ( ) = ;( ) =

25 4..) Lösun der Beweunsleichun Für eradlini leichförmie Beweun il also für die Bahn eines Körpers: a() = () = () = ( ) + man kann die Koordinaen eschick wählen, so dass = und = a() = () = konsane Geschwindikei eradlini leichförmie Beweun () = zurückeleer We wächs linear mi Zei Die Bahn des Körpers is durch obie Gleichunen für alle Zeien besimm und fesele Geschwindikei is konsan und We (zurückelee Srecke) wächs linear mi Zei () () a() Beache: die Masse m des Körpers eh NICHT in Beweunsleichun ein!! diese Gleichunen elen für Körper beliebier Masse!!

26 4..) Lösun der Beweunsleichun a() = () = () = Probe mi Differenzieren: () = d()/d = d/d ( ) = a() = d()/d = d/d ( ) = simm () () a() Inerieren d Inerieren () "Flächen uner der Kure summieren" () () a() d Differenzieren d d d "Seiunsdreiecke anleen" Differenzieren

27 4..) Lösun der Beweunsleichun Nochmals in anderen Woren Geradlinie, leichförmie Beweun Beweun mi konsaner Geschwindikei enlan einer Geraden cons. Beweunsleichun () Die Geschwindikei bei einer leichförmi eradlinien Beweun ensprich der Seiun der Geraden im Or Zei Diaramm X hier: =

28 4..) Lösun der Beweunsleichun Geschwindikeis Zei Diaramm Diaramm d cons. Differenialleichun d Beweunsleichun: Or is Ineral on über : d d () d C Physikalische Bedeuun on C: Fläche A C Fläche uner dem Diaramm erib den We A ()

29 4..) Lösun der Beweunsleichun is eine so enanne Differenialleichun (DGL) mi der Lösun mi der Anfansbedinun () () Differenialleichunen werden uner Zuhilfenahme on Anfansbedinunen elös Lösun: Enfernun is Ineral der Geschwindikei Es ib nich immer eine analyische Lösun für das Ineral

30 4..3) Beispiele Beispiel 8 m or einem PKW mi der Geschwindikei on 8 km/h fähr ein zweier mi 6 km/h. Nach welcher Zei Über und welcher Srecke Über ha der erse PKW den zweien einehol? () und () seien We des en und en PKWs. Da beide nich beschleuni werden finde eradlini leichförmie Beweun sa: Proporional zur Zei errößer sich der om Ausanspunk i = i (=) zurückelee We i () i = i

31 4..3) Beispiele () ; zur Zei il : ; () 8km h ; 8m; 6km h Diebeiden Waen reffen sich zur Zei,8km Über,4h 44s (8 6)km h Dami kann auch der Or des Treffpunkes auserechne werden ( Über Über Über ( ( ) Über Über Über ) ) ( Über ( ) "Treffen"bedeue, dass die Waen zur einer Zei amselbenorsind Über Über ) ( Über km 8,4h 3,km h ) Über

32 4..3) Beispiele Auo Auo km km 3 km 4 km Auo km km 3 km Auo 4 km = = Über,6,5,4,3,, [h] = / = 6 km/h = / = 8 km/h Über 3 4,8 [km]

33 4.3) Geradlinie, leichmäßi beschleunie Beweun 4.3.) Lufkissenbahn 4.3.) Lösun der Beweunsleichun 4.3.3) Beispiele

34 4.3.) Lufkissenbahn Geradlinie, leichmäßi beschleunie Beweun: a = cons (i.a. ) eradlini Beweun finde nur in einer Dimension (Achse, Richun) sa. z.b. Zu: kann sich nur enlan Schiene beween Es reich eine Koordinae um Beweun zu beschreiben (z.b. ) leichmäßi beschleuni a = cons (z.b. Zu fähr los)

35 Beispiel: Waen auf Lufkissenschiene: wird beschrieben durch (Punk ) Masse m F Lufkissen m F Graiaion = m 4.3.) Lufkissenbahn F Zu F Lufkissen F Graiaion Senkrech zur Schiene Waen habe zur Zei die Posiion auf Schiene und Geschwindikei Auf Waen wirk durch Erdanziehun die Gewichskraf F Gewichskraf = m acio = reacio: Waen drück mi seinem Gewich auf Lufschiene Lufschiene drück Waen mi Kraf F Lufkissen nach oben Beide Kräfe senkrech zur Schiene kompensieren sich keine resulierende Kraf senkrech zur Schiene Enlan der Schiene In Richun wird mi konsaner Kraf F zu = cons. ezoen resulierende Gesamkraf ( Richun) is F = F Zu = cons a = F/m = cons zu lösende Beweunsleichun: m = F = ma

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37 4.3.) Lufkissenbahn = F 3 4 Waen wird auf Lufschienenbahn laufen elassen (Lufschiene keine Reibun) Bei,,, 3, 4 sind Lichschranken anebrach, und es wird jeweils die Zei,,, 3, 4 emessen, zu der Waen die Lichschranken durchquer = m, = m, = m, 3 = 3 m, 4 = 4 m Der Waen is zur Zei = in Ruhe, d.h. = Ab Zei > wirk Kraf F = cons auf Waen (durch Gewich an einer Umlenkrolle)

38 4.3.) Lufkissenbahn = F 3 4 F = ma a = F/m F= Zukraf am Waen; m = Masse des Waens Zahlenwere (l. nächse Seien) Fall : Zukraf F =, N, Waen mi Masse m = 93 a =, N /,93 k,68 m/s Fall : Zukraf F =,4 N, Waen mi Masse m = 587 a =,4 N /,587 k,68 m/s

39 4.3.) Lufkissenbahn An Seil hän Gewich der Masse m = bzw. 4 Zukraf F für > : F = m =, k9,8 N/k, N bzw.,4 k 9,8 N/k,4 N = m, = m, = m, 3 = 3m, 4 = 4m Weineralle i = i i+ = m (i=,...,3) aus Messweren: Zeiineralle i = i i (i=,,3,..) daraus Geschwindikeien: i = i / i daraus Geschwindikeisineralle: i = i i = m/s (bei Sar sand Waen sill) daraus Beschleuniunen: a i = i / i

40 4.3.) Lufkissenbahn Achun: Bei jeder Differenzbildun is immer "ein Wer zu weni": 4 Were i nur 3 Were i können berechne werden; dies kann willkürlich enweder nach i = i i+ oder nach i = i+ i passieren; (je mehr Messwere, d.h. umso rößer i ma, deso wenier spiel dies eine Rolle) Messwere (für Waenmasse m = 93, F =, N): = s, =,86 s, =,64 s, 3 =3,4 s, 4 =3,78 s =,86s s,86s; =,64s,86s,78s; 3,6s; 4,54s =m/,86s,54ms ; =m/,78s,8 ms ; 3,67ms ; 4,85ms =,54ms ms =,54ms, =,8ms,54ms =,74ms ; 3 =,39ms ; 4 =,8ms a =,54ms /,86s,9ms, a =,74ms /,78s,94ms ; a 3,65ms ; a 4,33ms

41 4.3.) Lufkissenbahn Messwere (für Waenmasse m = 587, F =, N): = s, =,33 s, =,89 s, 3 =,3 s, 4 =,69 s Messwere (für Waenmasse m = 93, F =,4 N): = s, =,57 s, = 3,65 s, 3 = 4,49s, 4 =5,9 s Messwere (für Waenmasse m = 587, F =,4 N): = s, =,8s, =,59s, 3 = 3,8s, 4 = 3,67s =,8s s =,8s; =,59s,8s =,77s; 3 =,59s, 4 =,49s =m/,8s,55ms ; =m/,77s,3ms ; 3,69ms ; 4,4ms =,55ms ms =,55ms, =,75ms ; 3 =,39 ms ; 4 =,35ms a =,55ms /,8s,3ms ; a =,75ms /,78s,96 ms ; a 3,66 ms ; a 4,7ms

42 4.3.) Lufkissenbahn,5,5 4 3 F() [N] einesell bei = wird Gewich fallen elassen Kraf beinn zu wirken Waen : Masse m = 93 Waen : Masse m = a() = d/d [m/s ] [s] aus () Daen berechne 4 3 ()[m] emessen () = d/d [m/s] a = cons,5 [s] [s] aus () Daen berechne hier haben wir das Problem, dass wir zu wenie Messpunke haben und dass wir enweder i = i i+ oder i = i+ i definieren können. Die Zeiachse simm also nich enau. Wir haben nur 5 Messpunke. Wenn wir 5 Messpunke häen äbe es das Problem nich, [s]

43 4.3.) Lösun der Beweunsleichun m F = cons m() ma() F() F cons () a() F/m () () Konsane durchrandbedinun besimmen: ( () ) F m F m ( ( a()d ) F m d F m d F m ) cons cons cons (konsaneresulierende Kraf wirk auf Waen) (Waen wirdkonsan beschleuni) cons ( ) cons Geschwindikei des Waens wächs linear mi Zei F m

44 für d.h. Or wächs quadraischmi Zei, ) ( ) ( m F () cons cons cons ) ( ) ( m F ) ( Konsane durchrandbedinun besimmen: cons ) ( ) ( m F cons ) ( ) ( ) ( ) ( m F d ; d cons ) ( m F d d ) ( m F d d ) ( m F d ) ( m F ()d () We is Ineral der Geschwindikei 4.3.) Lösun der Beweunsleichun m F = cons

45 4.3.) Lösun der Beweunsleichun nochmal rein formal: = () m Fma m ma a a d ad d a d a - = a = a a d = ( a )d d = ( a )d d + a d = + a () = (- ) + a((- ) -( - ) )= (- ) + a(- ) () = a(- ) + (- ) + ( ) = ;( ) =

46 4.3.) Lösun der Beweunsleichun Für eradlini leichmäßi beschleunie Beweun il also für Bahn des Körpers: a() = a = cons () = a( ) + () = ½a( ) + ( ) + (für > ) Wahl der Koordinaen, sodass = und = a() = cons () = a+ () = ½a + (für > ) Geschwindikei wächs linear mi Zei, und We wächs quadraisch (plus lineare Komponene) mi Zei () () a() a a

47 4.3.) Lösun der Beweunsleichun Beache: Masse m des Körpers eh NICHT in die Beweunsleichun mi ein!!! diese Gleichunen elen für Körper beliebier Masse Die Bahn des Körpers is durch obie Beweunsleichunen für alle Zeien besimm und fesele

48 4.3.) Lösun der Beweunsleichun a() = cons. () = a+ Geschwindikei wächs linear mi Zei () = ½a + + (für > ) zurückeleer We sei quadraisch mi Zei a = Beschleuniun; = Anfans Geschwindikei zur Zei =; = Anfansor Beache: die Masse m des Körpers eh NICHT in die Beweunsleichun mi ein, d.h. diese Gleichunen elen für Körper beliebier Masse Die Bahn des Körpers is durch obie Gleichunen für alle Zeien besimm und fesele Sonderfall: a() = ohne äußere Kräfe bewe sich Körper für alle Ewikei mi leicher Geschwindikei weier. () = () = + (für > )

49 4.3.) Lösun der Beweunsleichun In anderen Woren Beschleuniun bei leichförmi beschleunier radlinien Beweun ensprich der Seiun der Geraden im Geschwindikeis Zei Diaramm Zweifache Ineraion der Beschleuniun erib Enfernun Graphische Lösun: Fläche A uner dem Diaramm erib We a () mi d d () also : () () alernai : cons. ad a C d d () d a a d d oder oder a mi C () d ad, d d C mi ad a cons C () d a C C mi C, Fläche A Fläche A C

50 4.3.) Lösun der Beweunsleichun Beispiel y ( ) (.) eradlinie, leichmäßi beschleunie Beweun in y Richun a() Diaramm, () Diaramm und y() Diaramm Or, Geschwindikei, Beschleuniun y () () a () ( ) 5 a () Zei

51 4.3.3) Beispiele Beispiel: Der freie Fall m Körper mi Masse m ruh zur Zei = in Höhe = h = F G = m nach Loslassen des Körpers fäll er zur Erde ( > ) Einzie Kraf die auf Körper wirk: F G = m(zei in neaie Richun)=Graiaionskraf resulierende Kraf F = m (auf Vorzeichen achen: Richun on F in posiie Richun definier, F = m, weil Graiaion nach unen, eneen Richun zei) Beweunsleichun: m= F() = ma() a() = = cons. () = () = a+ = + = () = ½a + + = ½ + + h = h ½ (für >, > )

52 4.3.3) Beispiele Der freie Fall während des Falls der Masse aus Höhe h il also: a() = = cons. () = () = h ½ Fallzei und Fallwe hänen nich on Masse ab Fallwe wächs quadraisch mi Zei m F G = m

53 4.3.3) Beispiele Sie sehen in einem Aufzu der plözlich frei fäll. Sie lassen Ihre Wasserflasche fallen. Wie lane brauch sie bis zum Boden ( = m/s ; h=,5 m)? 8%. Sekunde.,5 Sekunden 3. kann man nich saen 4. nie % 9% 9%

54 4.3.3) Beispiele Sie sehen in einem Aufzu der plözlich frei fäll. Sie lassen Ihre Wasserflasche fallen. Wie lane brauch sie bis zum Boden ( = m/s ; h=,5 m)? l. Kap Aufzu wird mi Beschleuniun beschleuni Wasserflasche wird mi Beschleuniun beschleuni Aufzu und Wasserflasche fallen leich schnell (Anfanseschwindikei leich) solane der Aufzu fäll wird Flasche innerhalb des Aufzus schweben, d.h. nie den Boden erreichen

55 Freier Fall: zurückeleer We () Beispiel: Es seien Kueln in folenden Absänden i om Boden aufehän (i =,, 3,...) = = = 4 = 3 = 9 = 3 4 = 6 = 4 5 = 5 = 5... werden die Kueln fallen elassen, dann reffen sie zu den Zeipunken i auf den Boden auf: = = 3 = 3 4 = 4 5 = 5... warum? da () in Zei 5 = 5 wird Srecke 5 = 5 zurückele, u.s.w. Wenn Ansand der aufeinanderfolenden Kueln quadraisch zur Decke hin wächs, reffen Kueln in konsanen Zeiinerallen auf Boden auf

56 Vakuum Körper fallen unabhäni on der Masse mi selber Geschwindikei! Gesez des freien Falls (einzi wirkende Kraf is Graiaion) ohne Vakuum Lufreibun Falleschwindikei hän on Masse und Form des Körpers ab!

57 Freier Fall: zurückeleer We ()

58 4.3.3) Beispiele Wurf nach oben A ball is hrown sraih up. A he op of is rajecory, is 5% 5% 5% 5% A. elociy is zero, acceleraion is zero. B. elociy is non-zero, acceleraion is non-zero. C. elociy is zero, acceleraion is non-zero. D. elociy is non-zero, acceleraion is zero. A. B. C. D.

59 4.3.3) Beispiele Wurf nach oben Am Scheielpunk: Ball sei nich mehr, sondern beinn zu fallen, er seh kurz Sill Umkehrun der Beweunsrichun on Geschwindikei nach oben zu Geschwindikei nach unen Geschwindikei = Wie is die Beschleuniun. Wenn a = wäre, dann würde der Ball mi = für alle Zeien schweben (a = = = cons) kann nich sein Ball fäll wieder nach unen: a = am Scheielpunk: =, a =

60 4.3.3) Beispiele Beispiel Lorecher Wurf: Ein Sein flie mi Anfanseschwindikei on m/s lorech nach oben (y Richun). Gesuch sind: höchser Punk, Seizei, Or und Geschwindikei nach doppeler Seizei und die Graphen on a(), () und y() Grundleichunen : a y cons.; () a ; y() y a m m Bedinunen: ; a ; y s s Seizei : (s) s s s bei s s Höchser Punk : y( ) y( ) s is der Ball auf maimale Höhe esieen und Geschwindikei is Null; Ball sei nach oben, m s 4s s s m 6s s s Ball fäll nachunen s 4m ( ) s 4m m s m s 4 m s m s

61 4.3.3) Beispiele Beispiel Die flieende Müze (ennommen aus Tippler, Physik) Ein Physiksuden kurz or der Diplomprüfun wirf seine Müze senkrech in die Luf. Diese erhäl dadurch eine Anfanseschwindikei 4,7 m/s. Es wirk die nach unen erichee Fallbeschleuniun on = 9,8 m/s, während der Lufwidersand zu ernachlässien is. a) Wie lane dauer es, bis die Müze ihren höchsen Punk erreich? b) Wie roß is der Absand zu diesem höchsen Punk? c) Wie lane flie die Müze insesam, wenn sie in der leichen Höhe aufefanen wurde, in der sie abeworfen wurde?

62 4.3.3) Beispiele Lösun a) konsane Beschleuniun a() y() cons (zei nach unen) () a mi a Anfanseschwindikei (zei nach oben inposiie y Richun) Amhöchsen Punk kehr sich Seibeweun in Fallbeweun um a höchser Punk : ( * ) * ( 4.7) m s 9.8 m s.5s

63 ,m / 9,8m/s (4.7m/s) y ) y( Δy : AmUmkehrpunk y a y() * * * * Lösun b) 4.3.3) Beispiele

64 4.3.3) Beispiele Lösun c) y() a y NachFluzei 'komm Müze wieder am Punk des Abwurfs y a' ' an : y a' y(') ' a' ' y erse Lösun : ' s zweie Lösun : a' ' a 4.7m/s 9.8m/s 3s erse Lösun :Müze ha zur Zei ( Zei des Hochwerfens) die Höhe y zweie Lösun :nach ' 3s komm Müze wieder onflu zurück auf Ausanshöhe y

65 4.3.3) Beispiele Lösun c) Graphische Darsellun: y() [m] Höhe () [m/s] [s] Geschwindikei [s]

66 4.3.3) Beispiele Beispiel Seine fallen ins Wasser Ein Sein wird on einer h = 45 m hohen Brücke ins Wasser fallen elassen. Nach = s wird ein anderer Sein dem ersen nacheworfen. Beide reffen leichzeii zur Zei * auf die Wasseroberfläche auf. Die Lufreibun is zu ernachlässien. h Welche Anfanseschwindikei hae der zweie Sein? Zeichnen Sie die Graphen = ()

67 4.3.3) Beispiele Beweun nur in eine Richun; einzie Kraf die wirk is Graiaion = cons. leichförmie leichmäßi beschleunie Beweun h a i () = = cons. Schwerkraf in neaie Richun i () = a i ( i ) + i (i =,, für Sein, ) i () = ½a i ( i ) + i ( i ) + i (für > i ). Sein: Zur Zei = s wird Sein aus Höhe = h fallenelassen. Vorher war Sein in Ruhe, i = () = ½ + + h (für > ) () = h ½ (für > ) Aufschla zur Zei * auf Wasseroberfläche bei = : = ( * ) = h ½( * ) ( * ) = h/ * = (h/) /

68 4.3.3) Beispiele. Sein: h Zur Zei = s wird Sein aus Höhe = h nacheworfen. Werfen () = ½( ) + ( ) + h = ½( s) + ( s) + h (für >s).sein riff zur selben Zei * auf Wasseroberfläche bei = auf ( * ) = = ½( * s) + ( * s) + h = ½( ( * ) s * + s ) + ( * s) + h = ½( ( * ) + (½s + ) * + ( ½s s +h) = ½(h/) +(s+ )(h/) / ½s s +h = h+(s+ )(h/) / ½s s +h = (s+ )(h/) / ½s s

69 4.3.3) Beispiele = (s+ )(h/) / ½s s = s(h/) / + (h/) / ½s s = s(h/) / ½s + ((h/) / s) = ((h/) / s)(½s + ) = (½s (h/) / s ) / ( (h/) / s ) (neaies Vorzeichen, da er Sein in neaie Richun eworfen wird) Zahlenwere: m/s ; h = 45 m h = (½s (h/) / s )/( (h/) / s) = (5m/s s m/s 3s s) / (3s s) = (5m 3m)/s =,5 m/s * = (h/) / = (45m/m/s ) / = (9 s ) / = 3s () = 45m ½(m/s ) = 45m 5m/s (für > ) () = h ½( s) + ( s) = 45m ½(m/s )( s),5m/s( s) = 45m (5m/s ) ( s),5m/s( s) (für > s) (3s) = 45m 5m/s (3s) = m (3s) = 45m (5m/s ) (3s s),5m/s(3s s) = m

70 4.3.3) Beispiele (3s) = 45m 5m/s (3s) = m (3s) = 45m (5m/s ) (3s s),5m/s(3s s) = m D.h. beide Seine reffen zur Zei * = 3 s auf dem Wasser auf, obwohl der eine Sein späer eworfen wurde. h Dies komm daher, weil der e Sein mi einer Anfanseschwindikei =,5 m/s, der erse mi einer Anfanseschwindikei = m/s eworfen wurde.

71 4.3.3) Beispiele Beispiel leichmäßie Beschleuniun on auf km/h in s. Gesuch is die Beschleuniun. Lösun der Beweunsleichun: () a a Δ Δ ; (s) s (s) km h km/h s ; a cons. () a () 3 m s s ; m 3 s a 3m/s ensprich ca. /3 der Erdbeschleuniun. Bei Beschleuniun mi sind km/h in ca. 3. s erreich. Zum Verleich: ein Gepard beschleuni in s on auf 96 km/h.??

72 4.3.3) Beispiele Beispiel der Bremswe eines Auos (ennommen aus Tippler, Physik) Sellen Sie sich or, Sie fahren nachs auf der Auobahn. Sie bemerken auf dem Randsreifen ein Fahrzeu mi Moorschaden und halen mi einem Bera der Beschleuniun on 5 m/s an (Eine Beschleuniun, die das Tempo erriner, wird üblicherweise als Bremsen oder auch Verzöerun bezeichne). Wie lan is der Bremswe des Auos bei Anfanseschwindikei on a) 5 m/s oder b) 3 m/s?

73 4.3.3) Beispiele Geradlini e leichförm i beschleuni e Beweun (bei () a () a Auo is zur Zei ' ollsändi abebrems Bis zu dieser Zei ha Auo folenden We zurückele : Δ (') a) b) (') a' a' a 5m/s 3m/s Δ Δ a 5m/s ' ' a a( (Geschwind ikei des Auos or Abbremsen) /a a ) a (5m/s) 5m/s (3 m/s) 5m/s (Abbremsen Beschleuni un eneen der Fahrrichun) : ( a (') 5 m,5m ) 9 m 9m seh Auo auf Punk ):

74 4.3.3) Beispiele Beispiel Jad auf den Raser (aus Tippler, Physik): Ein Auo durchquer mi 5 m/s ( 9 km/h) die erkehrsberuhie Zone or einer Schule. Ein Polizeiwaen beinn mi konsan 5 m/s aus dem Sand zu beschleunien, als der Raser an ihm orbeifähr. a) Wann hol der Polizeiwaen den Raser ein? b) Wie schnell fähr der Polizeiwaen in dem Momen, in dem er den Raser überhol? c) Wie schnell fähr der Polizeiwaen, wenn er noch 5 m hiner dem Raser is?

75 4.3.3) Beispiele Lösun Raser : a R () R () R Polizeiwaen : a P (keine Beschleuni un), R R () P 5m/s (konsane Geschwindikei) 5m/s a P (zur Zei cons P () P a P fähr Raser am Or a P PO a P am Polizeiauo orbei) (bei seh Polizeiauo, P ) a) Zur Zei ' riff Polizeiauo auf Raser (') P (') R ' (Raser überhol sehenden Polizeiwaen) oder a ' P a ' P R ' R ' R a P (5m/s) (5m/s ) s

76 4.3.3) Beispiele b) (') P a ' a R 5m/s 5m/s P P a R P Geschwindikei des Polizeiwaens beim Überholen des Rasers

77 4.3.3) Beispiele Teilaufab e c) Raser Polizeiwa en : a P zur Zei " is Polizeiwa en 5mhiner Raser P " : a R (") a " P a R P ; () R (") 5m R " 5m R 5m " a R ; cons ; () P P () R " a ; () P P a R R P " a P 5m a P (quadrais che Gleichun, 5m pq Formel) " ap R 4 a R P 5m a P a R P R P a 5m a P 5m/s 5m/s,3 s oder Wie aus Graphik 5m/s 5m/s 8,87 s 5m 5m/s 5 s 5s s 5 s 5s ersichlic h is komm es an zwei Sellen zu der Siuaion, 5 5 s dass der Raser 5m or dem Polizeiau o is

78 4.4) Mehrdimensionale Beweun 4.4.) Separaion erschiedener Beweunsrichunen 4.4.) Wurfparabel 4.4.3) Beispiele

79 4.4.) Separaion erschiedener Beweunsrichunen Mehrdimensionale Beweunen können of enkoppel werden. Falls a = a (, ) und a y = a y ( y, y) und a z = a z ( z, z) is, dann können Beweunsleichunen unabhäni für die, y, und z Komponene aufesell werden! m F,; my F y y,y; mz F z z,z Für leichförmi beschleunie Beweun il: Beweun in Richun is unabhäni on Beweun in y Richun und is unabhäni on Beweun in z Richun! D.h. Beweunsleichunen in den drei Dimensionen können unabhäni oneinander elös werden! Achun, il z.b. a = a (, y,, y) und a y = a y (, y,, y), dann die die Differenialleichunen für und y ekoppel und können nich einzeln elös werden

80 4.4.) Separaion erschiedener Beweunsrichunen Wichi zum Lösen: Anfansbedinunen!!! y r,y, y Geschwindikei in Komponenen unerschiedlicher Richun aufeilen: an() = y / = cos() y = sin() y y Achsen orsichi auswählen!!! of kann durch eschicke Wahl der Achsen Beweun in Dimensionen auf Beweun in einer Dimension reduzier werden!

81 4.4.) Separaion erschiedener Beweunsrichunen Zwei Massen sind an masselosen Säben reibunsfrei an einer Decke befesi. Welche Masse erreich den iefsen Punk früher, wenn sie leichzeii loselassen werden? L A L/ B m 34% 5% m 6%. A. B 3. beide leichschnell.. 3.

82 4.4.) Separaion erschiedener Beweunsrichunen L A m L/ B m y Annahme: Siuaion Wurfparabel (falsch) Beschleuniun a = (, -) nur in y-richun: Graiaion in y-richun keine Beschleuniun in -Richun Annahme (falsch) Beweun in - und in y-richun sind enkoppel Für Fallen wäre dann nur y-richun (in Richun der Graiaion) ineressan. Beide Massen haben Anfanseschwindikei y (A) = y (B) = Beide Massen saren bei selber Höhe y (A) = y (B) uner der (falschen) Annahme in y-richun eradlini leichförmi beschleunie Beweun: a y = - = cons Kap. 4.3: Beweun hän NICHT on Masse ab. Beide Massen fallen leich schnell. D.h. Masse B riff zuers am iefsen Punk auf, weil dieser We kürzer is Warum FALSCH???? Beweun in - und y-richun is NICHT enkoppel!!!! KEIN freier Fall!! Es ib ZUSTÄTZLICHE KRAFT, die Masse an die Säbe binde!!! Beweun in - und y-richun is linear ekoppel!!! y; y ; a a y

83 4.4.) Separaion erschiedener Beweunsrichunen l. Kap. 4.5 F G m y y wähle eschickeres Koordinaensysem! (l. Kap...3; KS KS ) (Drehun in Richun Uhrzeiersinn, d.h. -) r y = cos sin sin cos y F G F G F Gy = = cos sin sin cos sin m cos m F G F Gy = cos sin sin cos F G y = D(-)r F G F Gy = m r D( )r D( ))r D( ) r() (Keenreel; = cons) = + D( ) = D( )() analo: a D( )a()

84 4.4.) Separaion erschiedener Beweunsrichunen F B F G m y y Newon sche Beweunsleichunen elen uneränder in beiden Sysemen! m r = F m r = F Bahn drück mi Kraf F B auf Masse (acio = reacio) cos m Beweunsleichunen in KS : m = F G + F B = sin m + = sin m my = F Gy + F By = cosm + cos m = (Masse drück so sark auf Bahn wie Bahn auf Masse drück) = sin leichförmie, konsan beschleunie Beweun y = leichförmie unbeschleunie Beweun () = a + o + ; y () = a y + oy + y Randbedinunen: r = r = (,); = = (,); a = (sin, )

85 4.4.) Separaion erschiedener Beweunsrichunen F B m y y F G () = sin y () = Rückransformaion D - (-) = D() r = y = D- (-) r = D() r = = cos sin Masse eh NICHT ein! sin cos sin cos sin sin cos y = sin cos sin

86 4.4.) Wurfparabel Für folende Siuaion lie bei enkoppeler Beweun ein parabelförmie Kure or: Zur Zei = befinde sich Massepunk m m an Posiion (, y ) F G = m Massepunk ha Anfanseschwindikei = (, y ) Auf Massepunk wirk nur Beschleuniun in Richun: a = (a, ) y y Beispiel: Ball mi Anfanseschwindikei y ( = ) und Anfansposiion y =, fäll durch Graiaion in neaier Richun zum Boden: in y Richun: a y () = y () = y =cons y() = y + y = y in Richun: a () = = cons () = () = ½ + y() = y, () = ½ + = y/ y = ½(y/ y ) + (y) = /( y )y + Wurfparabel!

87 4.4.) Wurfparabel y() = y, () = ½ + (y) = /( y )y + Wurfparabel! a y = y > a = = y y y () y() (y) y Enkoppele Beweunen in und y Richun: Beschleuniun nur in Richun (Graiaion), nich in y Richun

88 y = y > Beide Kueln reffen zur selben Zei auf Boden Beweun in Richun und Beweun in y Richun sind enkoppel; auf beide Kueln wirk in Richun die selbe Kraf (Schwerkraf), deshalb werden sie auch leichsark in Richun beschleuni und reffen dami nach der leichen Fallzei (in Richun) auf dem Boden auf. Die Beweun in y Richun is dazu überlaer

89 Wassersrahl ri mi Geschwindikei aus Schlauch aus. Geschwindikei ha Komponene sowohl parallel, als auch senkrech zur Oberfläche Flubahn der Wasserropfen is Parabel

90 Beispiel: Versuch "die schlaue Rae?": Eine Rae siz an der Decke des Hörsaals. Um sie zu beseiien nimm der Hörsaalbereuer eine Armbrus und ziel auf die Rae, d.h. isier die Rae direk an. z h m Pfeil z F = m Pfeil L 4.4.3) Beispiele m Rae F = m Rae an() = h/l = cos() z = sin() an() = z / neaies Vorzeichen, da Kraf eneen der posiien z Richun zei z / = h/l Die Rae denk sich nun: Mis, wenn ich oben an der Decke sizen bleibe, dann werde ich eroffen. Also mache ich folendes: ich ware, bis die Armbrus abeschossen wird. Dann sprine ich sofor nach unen und der Pfeil der Armbrus wird mich nich reffen. Is die Rae "schlau", d.h. wird die sprinende Rae eroffen oder nich eroffen?

91 4.4.3) Beispiele z h m Rae F = m Rae m Pfeil z F = m Pfeil L Rae soll bei Abschuß sizen bleiben oder sich fallen lassen um nich eroffen zu werden? 97%. Sprinen. Sizen bleiben 3%..

92 Die Rae wird eroffen wenn sie sprin! Warum? Beweunsleichun für Pfeil: eradlinie leichförmie Beweun in Richun, eradlinie leichmäßi beschleunie Beweun in z Richun (enkoppele Beweunen) P () = z P () = ½ + z ' sei Zei in der Pfeil die Linie erreich auf der Rae sprin P = L erreich: P (') = L L = P (') = ' ' = L/ zu dieser Zei ha der Pfeil die Höhe z P (') 4.4.3) Beispiele z P (') = ½' + z ' = ½(L/ ) + z (L/ ) = ½(L/ ) + L z / = ½(L/ ) + Lh/L = = ½(L/ ) + h Beweunsleichun für Rae: keine Beweun in Richun, eradlinie leichmäßi beschleunie Beweun in z Richun (Rae ha keine Anfanseschwindikei) R () = L z R () = ½ + h zur Zei wenn Pfeil Sprunlinie erreich: z R (') = ½' + h = z R () = ½(L/ ) + h = z P (') Pfeil riff Rae Um nich eroffen zu werden wäre die Rae besser sizen eblieben! Grund: sowohl auf Rae als auf Pfeil wirk Graiaion. Freier Fall is massenunabhäni

93 4.4.3) Beispiele z h Bahn der Rae Bahn des Pfeils Rae wird zur Zei ' durch Pfeil eroffen z L

94 4.4.3) Beispiele Beispiel Kanonenschuß: Uner welchem Winkel muß die Kuel einer Kanone abeschossen werden, dami sie mölichs wei flie? y Kanonenkuel y Masse m m = = m F Beweunsleichunen: F = (F, F y ) = (, -m) nur Graiaion in y-richun m = F = ; my = F y = -m (Newonsche Beweunsleichunen) allemeine bekanne Lösun (leichförmie konsan beschleunie Beweun): () = a (- ) + (- ) + ; y() = a y(- ) + y (- ) + Randbedinunen: a = ; a y = -; = cos() ; y = sin() ; = y = ; = () = ; y() = - + y Bei maimaler Reichweie (bei Zei m and Or m : y m = y( m ) =

95 4.4.3) Beispiele y Kanonenkuel Masse m y () = ; y() = - + y ; Bei maimaler Reichweie (bei Zei m and Or m : y m = y( m )= m = y( m ) = - m + y m m = (das wäre beim Abschuß) oder: = - m + y m = y / m = ( m ) = m = y / = cos()sin()/ nun: esuch is Winkel m für den m () maimal is. m () is maimal (oder minimal) für d m (= m )/d = d m ()/d = /([d/d cos()]sin() + cos()[d/d sin()]) (Keenreel) = /(-sin()sin() + cos()cos()) = /(-sin () + cos ()) = /(- + -sin () + cos ()) = /(-+cos () +cos ()) (sin () + cos () = ) = /(cos ()-) = d m ( m )/d = /(cos ( m )-) cos ( m )-= cos ( m ) = ½ cos( m ) = + ( - mach keinen Sinn) m = arccos(+ ) = 45 opimaler Schußwinkel!

96 4.4.3) Beispiele Beispiel Schuß auf Tor: Ein Ball on m = 5 wird uner einem Winkel on = 6 zum Boden mi einer Geschwindikei on =m/s auf ein Tor eschossen. Welche maimale Höhe h ma erreich der Ball? Nach wie iel Sekunden ( ma ) erreich er diese maimale Höhe? Triff er in das Tor (h = 44 Zenimeer hoch), das in einer Enfernun on = 3m seh? y Tor h cosα y sin α Ball y F

97 4.4.3) Beispiele h y Tor cos( ) y sin( ) Ball y Es ib Richunen: Richun parallel zum Boden, y Richun senkrech dazu. Beweun in beiden Richunen kann erenn oneinander berache werden! D.h. Beweunsleichunen für und für y Richun können erenn oneinander aufesell werden.

98 4.4.3) Beispiele h y Tor cos( ) y sin( ) Ball y F F Fy m Dazu müssen alle Kräfe und Geschwindikeien in ihre Komponenen in und y Richun auferenn werden: Kraf: es wirk nur Schwerkraf in y Richun auf Ball (nach unen, d.h. " " Vorzeichen): F =, F y = m Geschwindikei: Vekorzerleun: = cos(), y = sin()

99 4.4.3) Beispiele y Richun: Graiaion (konsane Kraf) eradlinie leichmäßi beschleunie Beweun a y () = a y = = cons; y () = a y + y = + sin() (seze = und y = ) y() = ½a y + oy + y = ½ + sin() Ball sei zuers ( y > ) und fäll dann ( y < ). Am Umkehrpunk, d.h. am höchsen Punk is seine Geschwindikei y =. y ( ma ) = = ma + sin() ma = sin()/ = m/s sin(6 )/m/s,7 s zu dieser Zei ha der Ball die höchse Höhe erreich: h ma = y( ma ) = ½ ma + sin() ma y = ½( sin()/) + sin()( sin()/) ma Tor = ½ ( sin()) / + ( sin()) h / = ½ ( sin()) / m/s y( = ½ (m/ssin(6 )) /m/s ma ) =h ma = ½ (m/s3 / /) /m/s h =,44 m y = ½ 3m /s /m/s = 5 m Ball =

100 4.4.3) Beispiele Wie lane brauch Ball um Tor zu erreichen (')? Beweun in Richun: Keine Kraf in Richun eradlinie leichförmie Beweun a () = ; () = = cos() = cons (seze = ) () = o + = cos() Ball erreich Tor zur Zei ' (') = cos()' = ' = /( cos()) = 3m/(m/scos(6 )) = 3m/(m/s/) = 3m/m/s = 3s h y y(') ' Ball y

101 4.4.3) Beispiele Wie hoch is Ball zur Zei '? y(') = ½' + sin(6 )' = ½( /( cos(6 )) ) + sin(6 )( /( cos(6 )) ) = ½ /( cos (6 )) + sin(6 )/cos(6 ) = ½ /( / )+ an(6 ) = / + 3 / = = m/s (3m) /(m/s) + (3m)3 / = m/s (9/4)s + (3m)3 / 45m + 3m,73 45m + 5m = 7 m > h Ball flie über Tor der Höhe h =,44 m hinwe y ' h y(') Ball y

102 Beispiel Flukure eines Balls: 4.4.3) Beispiele Andy Roddck (AR), irendwann mal an Plaz 5 der ATP Welranlise, bekann durch seine haren Aufschläe, schlä einen "Kanonenaufschla". Dabei ib er dem Ball eine Geschwindikeiskomponene in Richu, = cos() = 3 km/h (da klein). Vernachlässien Sie die Lufreibun, Drehimpulse, sowie Balldurchmesser. Die Parameer sind: z =,7 m (Höhe des Tennisschläers an ausesrecker Hand über Boden), L = 3,77 m (Läne des Tennisfeldes), a = 6,4 m, h =,9 m (Höhe des Nezes). a) Welchen Winkel muss AR wählen, dami der Ball in Punk A (siehe Skizze) aufriff? (Dies is aranier ein Ass!) b) Wie roß is, wenn der Ball erade noch über das Nez ehen soll? c) Wie iel Zei bleib dem Rückschläer Roer Federer (RF), wenn er den Ball im Punk B zurückschlaen will? y

103 4.4.3) Beispiele Zerleun der Anfanseschwindikei in und z Komponene: = cos(α) für kleine α z = sin(α) Richun: keine Beschleuniun, a = ()= =cons. () =, (=)=, a = z z a z O Pfeil für z zei nach unen, eneen der posiien z Achse neaies Vorzeichen z Richun: Beschleuniun durch Schwerkraf, a z = =cons. z ()=a z + z = sin(α) () = ½ a z + z + z =½ + sin(α) + z

104 4.4.3) Beispiele = 3 km/h z =,7 m a = 6,4 m m/s

105 4.4.3) Beispiele = 3 km/h z =,7 m a = 6,4 m h =,9 m L = 3,77 m m/s c) Lae des Punkes B: B =( B )=*L/ = L ()= ( B )= B = L B = L/ =.37 s = Zei, die der ball bis zum Punk B benöi

106 4.5) Reibun 4.5.) Was is Reibun 4.5.) Konsaner Reibunserm 4.5.3) Linearer Reibunserm 4.5.4) Quadraischer Reibunserm

107 4.5.) Was is Reibun Bisher: Reibun wurde ernachlässi: a() = cons () a() = () = cons. aber: aus Erfahrun wissen wir, daß z.b. der Waen auf der Lufkissenbahn nich bis ins Unendliche mi konsaner Geschwindikei weierfahren wird, auch wenn a() =. Warum? Reibun Reibun brems die Beweun ab Es ib erschiedene Modelle für Reibun

108 4.5.) Was is Reibun Reibunskräfe Wichie Beispiele Coulomb Reibun, (z.b. Haf, Glei und Rollreibun) Geschwindikeisunabhäni: F R = µ F N F N = Auflaekraf = Kraf mi welcher Körper auf Unerlae drück Schmiermielreibun Proporional zur Wurzel der Geschwindikei: F R = c / / Sokes Reibun oder Viskose Reibun z.b. in Flüssikeien (laminare Srömun) Proporional zur Geschwindikei: F R = r C Newon Reibun, z.b. Lufwidersand (urbulene Srömun) Proporional zum Quadra der Geschwindikei: F R = c Dies sind alles Modelle!! Versuche Reibunskräfe empirisch / raional zu beschreiben

109 4.5.) Konsaner Reibunserm Coulomb Reibun (Glei, Haf, Rollreibun) (rockene Reibun) = Reibun der Beweun eines Körpers ohne Schmiermiel über Oberfläche. Gleireibunskraf proporional zu Normalkraf, (d.h. zur Kraf senkrech zur Oberfläche) : F R = µ F N :dimensionsloser Reibunskoeffizien Idealer Gleireibun: Reibunskraf hän weder on Berührunsfläche der Körper noch on ihrer Geschwindikei ab! Vorsellun: mikroskopische Unebenheien on Körper und Unerlae erzahnen sich.»eindriniefe«wird durch Druck besimm, den Körper auf Oberfläche ausüb Unabhänikei on der Fläche. Um Körper eine Srecke d forzubeween, muss fese Anzahl solcher Unebenheien mi Arbei đw überwunden werden. đw wird on Reibunskraf aufebrach đw unabhäni on Geschwindikei Reibunskraf F R auf Körper in Abhänikei der einesezen Kraf F: Für F > F N (maimale Hafreibunskraf) beinn Körper zu leien. Mikroskopisches Modell der Gleireibun

110 Reibun hän on Masse der Körpers ab (on Kraf mi der Körper auf Unerlae edrück wird) Reibun hän ab on Maerial des Körpers Koeffizienen für Hafreibun Soffpaar m H Sahl auf Sahl,5 Sahl auf Holz,5,6 Sahl auf Eis,7 Holz auf Holz,65 Holz auf Leder,47 Gummi auf Asphal,9 Gummi auf Beon,65 Gummi auf Eis, Gewich drehen Reibunskraf bleib leich (da Normalkraf leich eblieben is; keine Abhänikei mi Auflaefläche) doppeles Gewich Reibunskraf erdoppel sich (da Normalkraf erdoppel)

111 4.5.) Konsaner Reibunserm Hafreibun m F α γ Typ der zu lösenden DGL = (αγ ) ( = = ) Beispiel: Reibun auf schiefer Ebene Ein Schlien fähr einen Han (Neiunswinkel = ) hinab und erreich nach ' = 4 m eine Geschwindikei ' = m/s. Wie roß is die Reibunszahl µ? (Die Lufreibun soll ernachlässi werden) F R m F G

112 4.5.) Konsaner Reibunserm F R m F G Auf Körper wirken zwei erschiedene Kräfe: Reibunskraf und Schwerkraf. Schwerkraf F G = m wirk nach unen F N F Schwerkraf läss sich in zwei Komponenen G F G zereilen: eine Komp. parallel und eine Komp. senkrech zur Bahn (die um Winkel zum Boden enei is) F G = cos()f G, F G = sin()f G. Durch F G wird Masse m in Richun beschleuni Reibunskraf F R is Beweun eneenesez (zei eneenesez der Beweunsrichun ). Im Modell der Coulomb Reibun is Reibunskraf proporional zu Kraf, mi der Körper auf Oberfläche edrück wird (= Normalkraf); Proporionaliäskonsane is Reibunskoeffizien. F R = F N

113 4.5.) Konsaner Reibunserm F R m F G F N F G F G F R = F N Für die Beweunsleichun in Richun sind nur Kräfe in Richun relean, d.h. F G und F R Die Summe der eernen Kräfe is: F = F G F R = sin()f G F G = (sin() ) F G = (sin() ) m ("+" da F G in Richun und " " da F R eneen Richun zei) die Beweun in Richun is also eine eradlinie leichförmi beschleunie Beweun mi (sin() ) m = ma

114 4.5.) Konsaner Reibunserm Beweunsleichun: F N F G F R m F G F G leichförmi leichmäßi beschleunie Beweun: (sin ) m = F = ma a() = (sin() ) = cons. () = a + = a (keine Anfanseschwindikei) = (sin() ) (Einsezen der Beschleuniun) nach Zei ' ha Schlien den We ' zurückele und ha die Geschwindikei ' ' = (sin() )' ' = '/((sin() )) = '/a () = ½a + + = ½a (Schlien is zur Zei am Or = mi = ) ' = (') = ½a('/a) = ½' /a = ½' /((sin() )) (sin() ) = ½' / (') = sin() ½' / (') = sin( ) ½(m/s) / (4mm/s ),74,5,5

115 4.5.) Konsaner Reibunserm Beispiele: F G Gewichskraf: F G = m F R m F G F G// F G Aneil der Gewichskraf parallel zur Ebene Aneil der Gewichskraf senkrech zur Ebene F N F G F G F R Reibunskraf F R F G (parallel zur Ebene) F G > F R Körper leie Ebene hinuner

116 4.5.) Konsaner Reibunserm Beispiele: F R F N F G m F G F G F G F G// F G F R Gewichskraf: F G = m Aneil der Gewichskraf parallel zur Ebene Aneil der Gewichskraf senkrech zur Ebene Reibunskraf F R F G (parallel zur Ebene) F G = F R Körper fän erade an zu leien

117 4.5.) Konsaner Reibunserm Beispiele: F R F N F G m F G F G F G F G// F G F R Gewichskraf: F G = m Aneil der Gewichskraf parallel zur Ebene Aneil der Gewichskraf senkrech zur Ebene Reibunskraf F R F G (parallel zur Ebene) F G < F R Körper bleib ween Reibun lieen Je rößer umso rößer F G und umso kleiner F R F G F G F G F G F R F G

118 4.5.3) Linearer Reibunserm Sokes Reibun oder Viskose Reibun Für kleine Küelchen om Radius r, die sich mi der Geschwindikei durch ein Fluid beween, is die Reibunskraf F R eeben durch das Sokes'sche Gesez: F R = 6r Dabei is eine Maerialeienschaf des Fluids (die soenanne Zähikei). F α γ Typ der zu lösenden DGL ( = = ) l. Kap 9: Hydrosaik und Hydrodynamik Sokes Reibun is proporional zur Geschwindikei! (il z.b. bei laminarer Srömun)

119 4.5) Reibun Beispielaufabe: Berachen Sie Masse m, die schiefe Ebene hinuner leie (Winkel mi der Horizonalen). Die iskose Reibunskraf F wirk der R k F Hanabriebskraf F eneen. F und F sind die parallele und senkreche Komponene der Gewichskraf. Es seien m = k, = 7, = 5 km/h, k =, s/m. Welche Endeschwindikei sell sich ein? Achun! Hier wird nich Coulombsondern Newon Reibun für das Gleien des Körpers enlan einer schiefen Ebene einesez. Die eperimenellen Geebenheien (Maerialien, Parameer,...) besimmen, welches Modell besser paß F G F G// F G F R Gewichskraf: F G = m Aneil der Gewichskraf parallel zur Ebene Aneil der Gewichskraf senkrech zur Ebene Reibunskraf: F R = k F G F G F R F G F G//

120 4.5) Reibun F F F G FG// FG sin(α) m sin(α) m sin(α) km cos(α) m m k m cos(α) m sin(α) Beweunsleichun für für können wir diese Differenialleichun nich direk lösen, wohl aber für : m km cos(α) m sin(α) Beweunsleichun für d/d d d m km cos(α) () m sin(α) k cos(α) () sin(α) d d Lösun durch Separaion der Variabeln : alles mi auf eine Seie, alles mi auf andere d d F sin(α) sin(α) () d d sin(α) - k cos(α) () G// F G F cos(α) m cos(α) R - k d G// - k k F cos(α) () d cos(α) () G F m sin(α) - k cos(α) () d d jez is alles mi auf linker Seie und alles mi d auf recher, nachdem Variabeln separier wurden kann inerier werden

121 ) sin( ln cons'' ) sin( cons'' ep ) sin( cons'' ep ) an( cons'' ep cos(α) ) an( k cons'' ep cos(α) k - ) an( k cons'' cos(α) k - ep cos(α) k - ) ( Konsane besimmen : ) an( k cons'' cos(α) k - ep cos(α) k - cos(α) k - sin(α) - cons'' cos(α) k - ep cos(α) k - sin(α) - cons'' cos(α) k - ep cos(α) k - cons'' cos(α) k - ep cos(α) k - sin(α) (Konsanen können beliebi zusammenefass werden) cons'' cos(α) k - cos(α) k - sin(α) ln cons' cos(α) k - cos(α) k - sin(α) ln cos(α) k - sin(α) ln cons' cos(α) k - () cos(α) k - sin(α) ln cons cons ) ( cons () cos(α) k - sin(α) ln cos(α) k - b) ln(a a a b d Formelsammlun : d () cos(α) k - sin(α) d () 4.5) Reibun

122 ) an( k - ) an( k - - ep ) an( k cos(α) k - - ep ) an( k ) ( - ) an( k - ep ) an( k cos(α) k - - ep ) an( k () Grenzwerbesimmun : cos(α) k - - ep ) an( k () cos(α) k - - ep ) an( k ) an( k cos(α) k - ep ) an( k ) an( k cos(α) k - ep cos(α) k - ) sin( ) an( k ) sin( cos(α) k - ep cos(α) k - ) an( k ) sin( ln ep cos(α) k - ep cos(α) k - ) an( k ) sin( ln cos(α) k - ep cos(α) k - 4.5) Reibun

123 4.5) Reibun Endeschwindikei kann aber auch direk aus Beweunsleichun durch Grenzwerbildun berechne werden m ẍ + k m cos(α) ẋ= Beweunsleichun Im Gleichewich il ẍ ( )= (keine Beschleuniun) k m cos(α) ẋ( ) = m sin(α) k cos(α) ẋ( ) = sin(α) ẋ( ) = = sin(α) /(k cos(α)) = an(α) /k (= konsane Endeschwindikei) ( ) = 37 m/s 5 km/h Achun: hier zei sich Unerschied Coulomb Reibun zu Newon Reibun. Bei Coulomb Reibun wächs Geschwindikei linear mi Zei, bei Newon Reibun ib es eine Grenzeschwindikei ( )

124 Beispielaufabe: In einer Horizonalbeweun sare Masse m mi Geschwindikei. Es lie iskose Reibun or: FR k F. F is Gewichskraf. Es seien m = k, = 5 km/h, k =, s/m. Wie wei rusch Körper (d.h. wie lan is Bremswe)? F R F G F G F G// = F G = F G F R Gewichskraf: F G = m Aneil Gewichskraf parallel zur Ebene Aneil Gewichskraf senkrech zur Ebene Reibunskraf: F R = k F G = k F G Behandlun wie schiefe Ebene mi Winkel = Reibunskraf F R is einzie Kraf in Richun, es ib keine Komponene der Schwerkraf in Richun F F m (parallel zur Ebene wirk nur die Reibunskraf,nich die Graiaion! R k m m k d d d k k d 4.5) Reibun (sa erwenden wir mi und ) Separaion der Variablen : alles mi nachlinks, alles mi nachrechs

125 4.5) Reibun d e ln k () d ln k ()d k d ( k ( ) k )d e d k, k k k k e cons e cons e wie wei rusch der Körper? k e (Überprüfun der Einheien : k cons ln() ln( cons' () k k e e k d e k k Inerieren e k k k ) ln( cons'' cons k k k s m ) k e k s m m s ) s ( ) k cons (Ineraionskonsane cons'',da ( ) k k e cons e k e Funkion anwenden cons Ineraionskonsane cons,da( ) im Beispiel: ( ) 7m k Reibun brems Körper immer weier ab, bis Geschwindikei () = wird. Bis dahin ha Körper die Srecke () = /k zurückele )

126 4.5) Reibun Newon Reibun Newon Reibun proporional zum Quadra der Geschwindikei! (il z.b. bei urbulener Srömun) Beispiel: Fallschirmspriner Ohne Reibun würde Geschwindikei für immer linear mi Zei wachsen (da konsane Beschleuniun Richun Erde durch Graiaion), d.h. der Fallschirmspriner würde immer schneller und schneller werden. Aber: durch Reibun ib es eine Grenzeschwindikei. D.h. nach ewisser Fallzei wächs Geschwindikei nich mehr sondern bleib konsan. Die Größe der Reibun hän on Fläche des Schirms ab, d.h. durch roßen Schirm kann Reibun so roß werden dass die Grenzeschwindikei so niedri bleib, dass der Fallschirmspriner den Aufprall auf den Boden überleb.

127 4.5) Reibun Der freie Fall mi Newonscher Lufreibun führ auf Differenialleichun für Geschwindikei c mi posiien Konsanen c und. Zur Zei = sei () = =. a) Besimmen Sie aus dieser Gleichun die Grenzeschwindikei = () b) Lösen Sie die Differenialleichun c) Verifizieren Sie anhand der Lösun das Erebnis on a) Geschwindikei bei Absprun = sei = F R F G F F G m - C m C m C - F C m R c m m m m mi Reibunskraf F mi c und Gewichskraf F C m R C G m C physikalische Herleiun der Differenialleichun

128 c a)die Grenzeschwindikei kann durch()direk durch Grenzwerbildun abelesen werden d d c einsezenin() b)nunlösun durchineraion ( d c d () c ) d d d d arcan 4( c) arcan 4c (falls es Grenzwer ib, dannmuss Beschleuniun im Grenzfall sein) c c Formelsammlun : ( c) 4( c) c 4c 4.5) Reibun d c c d d c a cons () () c ( ) cons cons Separaion der Variablen und c arcan 4ac a 4ac

129 (ichdarf alle Konsanenbeliebi zuneuenkonsanen zusammenfassen) cons'' c cons' c arcanh c c arcanh cons' c c arcanh c arcanh cons' c c arcanh c cons c arcanh c c c arcanh c cons cons ) ( 4c c arcan 4c 4.5) Reibun

130 4.5) Reibun c ( ) () anh( anh c anh c cons'' c Besimmun der Konsanen: anh c c cons'' anhcons'' c anh c c c anh c cons'') c cons'' (anh() anh( ))

131 4.5) Reibun c)nunkann Grenzwer direk aus Lösun ()besimm werden () c anh c ( ) anh c Besäiun des Resulas aus a) c anh Es ib eine Grenzeschwindikei, d.h. die Geschwindikei wächs nur bis zudieser Grenzeschwindikei Je rößer c, umso kleiner wird Endeschwindikei c c (da anh( ) ) Wodurch is c besimm? In erser Linie durch Querschnisfläche: je rößer Fläche des Fallschirms, deso rößer Lufreibun und deso kleiner Endeschwindikei Bei Auos ib es c W Wer. Dies is analo ein Parameer zur Messun der Reibun je kleiner der c W Wer umso "windschniier" is das Auo, d.h. umso kleiner der Effek der Lufreibun eneen der Fahrrichun

132 was man sich merken solle: Inerieren is Umkehrun on Differenzieren Um Beweunsleichunen aufzusellen wird mi F() = ma() esare Ineraion über Zei aus a() wird () Ineraion über Zei aus () wird () zwei wichie Fälle: a() = keine Beschleuniun () = = cons Geschwindikei für alle Zeien konsan () = + zurückeleer We wächs linear mi Zei a() = a = cons konsane Beschleuniun (Grenzfall a= enhalen) () = a+ Geschwindikei wächs linear mi Zei () = ½a + + zurück. We wächs quadraisch mi Zei Falls Beweun in mehrere Richunen erfol (, y, z) so sind Beweunsleichunen enkoppel Reibun is eine Kraf die eneen der Beweunsrichun wirk es ib erschiedene Modelle zur Reibun