6 Vertiefende Themen aus des Mechanik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "6 Vertiefende Themen aus des Mechanik"

Transkript

1 6 Vertiefende Themen aus des Mechanik 6.1 Diagramme Steigung einer Gerade; Änderungsrate Im ersten Kapitel haben wir gelernt, was uns die Steigung (oft mit k bezeichnet) in einem s-t Diagramm ( k= Δs Δv = v, also Geschwindigkeit) und in einem v-t Diagramm ( k= Δt Δt =ā, also Beschleunigung) zeigt. Allgemein ist die Steigung k= Δy eine Änderungsrate: sie zeigt uns, wie Δx schnell sich die Größe auf der y-achse in Bezug auf die Größe der x-achse ändert. Was könnte uns daher die Steigung in einem a-t Diagramm zeigen? Antwort: wie schnell sich die Beschleunigung in Bezug auf die Zeit ändert! Beispielsweise kann man sagen, dass nach 3 Sekunden sich die Beschleunigung mit einem Zeitrhythmus von 2m/s² pro Sekunde vergrößert (das wäre dann 2m/s³!, diese Größe hat aber keinen besonderen Namen). So was werden wir aber hier nicht weiter analysieren. Man könnte z.b. auch ein a-s Diagramm machen (nebenstehendes Bild). So ein Diagramm zeigt uns, wie groß die Beschleunigung an einem gewissen Punkt der Strecke ist. Am Anfang ist die Beschleunigung 1m/s². Nach 2m ist sie aber doch 4m/s² und nach noch 2m (also bei 4m) 7m/s². Dieses Diagramm ist eine Gerade, also ist die Änderungsrate der Beschleunigung konstant (1,5m/s³). Das bedeutet dann, dass je 2 Meter die Beschleunigung um 3 m/s² größer wird (oder je 1m um 1,5m/s²). a-s Diagramm Die Änderungsrate kommt in allerlei Diagrammen und in allen Bereichen der Wissenschaft vor. Sie ist daher ein grundsätzlicher Begriff. Die Begriffe der Strecke, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung sind hilfreich, um zu verstehen, was uns die Änderungsrate in einem Diagramm (also die Steigung) zeigt Die Tangente an eine Kurve Bisher haben wir uns nur mit Geraden beschäftigt. Wie könnte man die Steigung bei irgendeine Kurve berechnen oder begreifen? Dafür braucht man erst den Begriff der Tangente. Für eine Kurve und eine Gerade gibt es folgende Möglichkeiten: 1. Bild: Sekante an einem Punkt 2. Bild: Sekante an drei Punkte 3. Bild: Passante 4. Bild: Tangente am Punkt A Eine Gerade kann eine Kurve in einem (1. Bild) oder mehreren Punkten (2.Bild) schneiden. Dann nennt man die Gerade eine Sekante der Kurve. Eine Gerade kann eine Kurve überhaupt nicht treffen (3.Bild). Dann nennt man die Gerade eine Passante der Kurve. Eine Gerade kann eine Kurve an einem Punkt berühren (4.Bild). Dann nennt man die Gerade Tangente der Kurve an diesem Punkt.

2 Was ist die Besonderheit im dritten Fall (4. Bild: Tangente)? Obwohl es nicht genau stimmt, sagen wir es hier nur so: die Tangente geht nicht auf die andere Seite der Kurve (es gibt eine Ausnahme zu dieser Regel, wir werden sie aber nicht hier analysieren). Man kann auch einfach die Definition benutzen: die Tangente schneidet die Gerade nicht, sie berührt sie nur (und das gilt immer, ohne Ausnahmen) Steigung einer Kurve (allgemeiner) Schauen wir jetzt die nebenstehende Kurve k an: Man könnte sagen, dass sie immer steiler wird (von links nach rechts). Das stimmt auch. Was ist dann mit ihrer Steigung? Sie sollte auch immer größer werden. Das stimmt auch. Wie könnte man das aber visualisieren? Man benutzt einfach die Tangente! Lassen wir einen Punkt (Punkt B) sich auf der Kurve bewegen. Je mehr wir uns nach rechts bewegen, desto steiler wird die Steigung der Tangente am Punkt B: Kurve k Punkt B bewegt sich nach rechts! Es ist naheliegend zu vermuten: die Steigung der Tangente an einem Punkt ist die Steigung der Kurve an diesem Punkt. Das kann man mit Hilfe der sogenannten 1.Ableitung (Stoff der 11. Schulstufe) beweisen Steigung in einem s-t Diagramm und Beschleunigung Im ersten Kapitel haben wir schon die Diagramme für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung gesehen. Das s-t Diagramm war eine sogenannte Parabel. Es gibt zweierlei Sorten der Parabel: eine die hohl nach oben ist und einen sogenannten Tiefpunkt hat (1.Bild) und eine, die nach unten hohl ist und einen sogenannten Hochpunkt hat (2.Bild). Was ist mit der Steigung im Fall der Parabel A? Ab dem Punkt A haben wir schon gesehen (6.1.3), dass sie immer größer wird. Was ist vor dem Punkt A? Ganz links ist die Steigung sehr negativ. Je mehr wir uns nach rechts bewegen, desto weniger negativ wird sie. Nach dem Punkt A (Tiefpunkt) wird sie positiv sein (das Parabel A: mit Tiefpunkt (hohl nach oben) Parabel B: mit Hochpunkt (hohl nach unten) heißt aber dann, dass sie am Punkt A null sein wird!). Eine sehr negative Zahl ist doch kleiner als eine weniger negative Zahl ist doch kleiner als -2! Dass heißt aber dann, dass die Steigung bei der Parabel A auch für die Seite links vom Punkt A immer größer (also weniger negativ) wird, wenn man sich von links nach rechts bewegt! Nehmen wir an, dass das Diagramm ein s-t Diagramm ist. Die Steigung zeigt uns daher die Geschwindigkeit. Wenn die Steigung immer größer wird, bedeutet es dann, dass die Geschwindigkeit immer größer wird. Aber immer größere Geschwindigkeit bedeutet eine positive Beschleunigung! Wir haben im 1. Kapitel nur die rechte Seite der Parabel A gesehen. Da ist sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung

3 positiv. Auf der linken Seite aber ist zwar die Geschwindigkeit negativ (Kurve geht nach unten) die Beschleunigung aber ist, wie wir gerade erklärt haben, positiv! Die Geschwindigkeit wird immer weniger negativ, also immer größer, also die Beschleunigung wird positiv sein (und konstant, weil wir eine Parabel haben)! Umgekehrt ist die Situation bei Parabel B. Nehmen wir wieder an, dass es um ein s-t Diagramm geht. Wenn wir von ganz links anfangen und wir uns nach rechts bewegen, wird die Steigung immer weniger positiv (bis sie am Punkt B null wird). Weniger positiv bedeutet aber, dass sie immer kleiner wird. Immer kleinere Steigung bedeutet immer kleinere Geschwindigkeit, also eine negative Beschleunigung. Die linke Hälfte also hat zwar eine positive Geschwindigkeit (die Kurve geht nach oben), die Beschleunigung ist aber doch negativ. Auf der rechten Hälfte ist dann sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung negativ (die Geschwindigkeit wird immer negativer, also immer kleiner, also auch negative Beschleunigung). Um zu verstehen, ob die Beschleunigung bei einem s-t Diagramm positiv oder negativ ist, gibt es noch eine Weise. Man kann sich vorstellen, dass man sich auf der Kurve befindet und sich von links nach rechts bewegt. Muss man dann links abbiegen, dann ist die Beschleunigung positiv, muss man rechts abbiegen, ist sie negativ s-t Diagramm (Wiederholung) und Fläche in einem v-t Diagramm Im ersten Kapitel haben wir schon gelernt, dass die Fläche zwischen Kurve und x-achse in einem v-t Diagramm uns die zurückgelegte Strecke angibt. Die Erklärung ist einfach: Die Fläche z.b. eines Rechtecks, ist eine Seite mal die andere. Für ein Rechteck in einem v-t Diagramm ist dann diese Fläche die Größe der y-achse (Geschwindigkeit v) mal die Größe der x-achse (Zeit t). Dieses Produkt, v t, Geschwindigkeit mal Zeit, ist doch die Strecke. Wir sollen aber vorsichtig sein. Das Ergebnis (die Fläche) zeigt uns nur die zurückgelegte Strecke, also Δs. Es zeigt uns aber nicht, wo sich der bewegende Körper gerade befindet. Nehmen wir den einfachen Fall einer gleichförmigen Bewegung und vergleichen wir das folgende Bild und die folgenden s-t Diagramme: 1.Bild: positive Richtung 1. Diagramm 2. Diagramm 3. Diagramm 4. Diagramm 5. Diagramm Der Koordinatenursprung ist immer der Bezugspunkt unsere Messungen. Dieser ist hier z.b. Wels. Wir brauchen auch eine positive Richtung. Diese ist hier die Richtung vom Wels nach Linz (siehe 1.Bild). Bewegt sich ein Fahrzeug in dieser Richtung, dann ist die Geschwindigkeit positiv. Vorsicht! Es kann doch sein, dass die Geschwindigkeit positiv ist (positive Richtung) und doch das Fahrzeug Richtung Wels (also zurück zum Ursprung) fährt (!), nämlich wenn das Fahrzeug sich in Salzburg befindet und nach Wels fährt!

4 Fährt jetzt ein Fahrzeug von Wels aus nach Linz mit einer bestimmten konstanten Geschwindigkeit, dann fängt unsere Gerade am Koordinatenursprung und geht nach oben (positive Richtung). Das wird schon eine Gerade sein, da die Geschwindigkeit, also die Steigung, konstant ist (wir haben eine gleichförmige Bewegung angenommen). Diese Situation entspricht dem ersten Diagramm. Fährt aber das Fahrzeug vom Wels nach Salzburg, ist das doch die negative Richtung, also die Gerade muss nach unten sein (und auch im negativen Bereich: Salzburg ist vor Wels). Diese Situation entspricht dem zweiten Diagramm. Fährt das Fahrzeug vom Linz Richtung Wien, dann ist zwar die Gerade nach oben (positive Richtung), ihr Anfangspunkt ist aber nicht mehr der Koordinatenursprung, sondern ein Punkt auf der positiven y- Achse, da wo Linz auf der Achse dargestellt wird. Das entspricht dem dritten Diagramm. Fährt das Fahrzeug vom Linz Richtung Salzburg, dann ist die Gerade nach unten (negative Richtung) und der Anfangspunkt steht da, wo Linz auf der y-achse dargestellt wird. Wenn diese Gerade die x- Achse schneidet, dann befindet sich das Fahrzeug im Wels und fährt weiter nach Salzburg (negativer Bereich, negative Richtung). Das entspricht dem vierten Diagramm. Fährt das Fahrzeug vom Salzburg nach Wels, dann ist die Gerade nach oben (positive Richtung) aber doch im negativen Bereich (Salzburg ist vor Wels ). Das entspricht dem fünften Diagramm. Wenn die Gerade die x-achse schneidet, befindet sich das Fahrzeug bei Wels und fährt weiter, sogar nach Linz Richtung Wien. Vorsicht: was der Koordinatenursprung und die positive Richtung ist, ist eine Sache der Definition. Wir könnten auch als positive Richtung die Richtung nach Salzburg oder als Bezugspunkt Vöcklabruck annehmen, dann wären alle Diagramme anders! Vergleichen wir jetzt das 1. und das 3. Diagramm: Die zurückgelegte Strecke ist in beiden Fällen die gleiche, im ersten Fall befindet sich aber das Fahrzeug am Ende im Linz, im zweiten Fall doch weiter nach Linz! Der Grund liegt darin, dass der Anfangspunkt ein anderer war. Im ersten Diagramm ist Wels der Startpunkt, im zweiten doch schon Linz. Wir haben vorher gesagt, dass die zurückgelegte Strecke uns nicht besagt, wo sich der bewegende Körper gerade befindet. Das ist genau was wir damit gemeint haben. In einem v-t Diagramm kann man zwar die zurückgelegte Strecke durch die Fläche ablesen, nicht aber wo der Körper angefangen und wo er gestoppt hat! Fläche in einem v-t Diagramm bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung und entsprechende zurückgelegte Strecke Im ersten Kapitel haben wir schon die Formel für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung gesehen: s = v 1 t + ½ a t². Wir haben auch gelernt, dass wir allgemein in einem v-t Diagramm die zurückgelegte Strecke durch die Fläche zwischen Kurve und x-achse ablesen können. Wir haben auch gelernt, dass ein v-t Diagramm bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung wie das nebenstehende Diagramm aussieht. Die Steigung in so einem Diagramm zeigt uns die Beschleunigung. Die Beschleunigung bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist konstant, daher ist auch die Steigung konstant. Wir haben also eine Gerade (nach oben, wenn die Beschleunigung positiv ist, nach unten, wenn sie negativ ist - also beim Bremsen). Die Gerade fängt bei v 1 an, also mit der Anfangsgeschwindigkeit. Dieses Diagramm können wir benutzen, um die Formel für die Strecke bei einer gleichmäßig v-t Diagramm mit konstanter a beschleunigte Bewegung zu erzeugen. Die Gesamtfläche ist die Fläche des Dreiecks A D plus die Fläche des Vierecks A V. Es gilt:

5 A D = ½ Δv Δt und A V = v 1 Δt Hier ist Δt=t und a= Δv und daher Δv =a Δt also Δv =a t Δt Die Gesamtfläche ist die zurückgelegte Strecke und daher: s = A D + A V = ½ Δv Δt + v 1 Δt = v 1 t + ½ Δv Δt = v 1 t + ½ a t t also s = v 1 t + ½ a t² Damit haben wir die Formel für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Hilfe des v-t Diagramms erzeugt! Fläche in einem a-t, in einem s-t und ein einem allgemeineren Diagramm Wir haben uns bisher nur mit der Fläche in einem v-t Diagramm beschäftigt. Im Gegenteil zur Steigung, die als Änderungsrate immer einen physikalischen Sinn hat, ist das mit der Fläche zwischen Kurve und x-achse nicht immer der Fall. Was ist mit der Fläche in einem a-t Diagramm? Laut Definition der Fläche sollte sie a t sein und das hat doch die Dimensionen der Geschwindigkeit. So wie bei einem v-t Diagramm die Fläche uns die Differenz Δs zeigt (also in diesem Fall zurückgelegte Strecke), ist es auch bei einem a-t Diagramm: die Fläche in einem a-t Diagramm zeigt uns die Differenz der Geschwindigkeit Δv (also Geschwindigkeitsänderung). Bild 1 In einem s-t Diagramm ist die Fläche, also das Produkt s t, keine bekannte physikalische Größe. Daher macht es nicht Sinn, die Fläche in einem s-t Diagramm zu benutzen. Allgemein ist die (physikalische) Größe der Fläche zwischen Gerade und x-achse und zwischen zwei Werten von x das Produkt der Größen der beide Achsen. In Physik ist dieses Produkt oft aber nicht immer eine sinnvolle physikalische Größe (wie z.b. in einem s-t Diagramm). Die ganze Fläche zeigt uns dann die Änderung dieser Größe zwischen den beiden Werten x 1 und x 2 auf der x-achse (Geschwindigkeitsänderung zwischen t 1 und t 2 in einem a-t Diagramm, die Änderung der Strecke Δs zwischen t 1 und t 2 in einem v-t Diagramm usw.). Bisher haben wir vorwiegend Beispiele gesehen, wo der Wert für t 1 null war (am Koordinatenursprung), das ist aber in der Regel nicht so! Bild 2 Bild 3 Die Fläche zu berechnen ist im Fall einer linearen Funktion (Gerade, Bild 2) einfach (Summe der Fläche eines Dreiecks und eines Vierecks). Allgemein (Bild 3) kann man die Fläche mit Hilfe des Integrals (12. Schulstufe) berechnen Die Einheiten der Achsen und die Eigenschaften des Diagramms Bisher haben wir fast immer Diagramme verglichen unter der Annahme, dass die Achsen-Einheiten übereinstimmten. Das ist selbstverständlich nicht immer der Fall. Wenn man Steigung und Flächen bei Diagrammen vergleicht, bei denen die Achsen-Einheiten nicht übereinstimmen, muss man in der Regel die Steigungen bzw. die Flächen berechnen, um vergleichen zu können. Ein paar Beispiele werden das eindeutig machen. Alle Diagramme sind v-t Diagramme.

6 Vergleichen wir zuerst die beiden Geraden im ersten Diagramm. Die Gerade f fängt bei 1m/s, p bei 3 m/s an. Gerade f hat eindeutig eine größere Steigung (also ist für diese Bewegung die Beschleunigung größer). Die Fläche bis t=4s ist unter Gerade f weniger als unter Gerade p. Zwischen 4 und 8s ist sie aber doch mehr unter Gerade f. Wenn man die Flächen zwischen 0 und 8s berechnet, sind sie sogar für beide Geraden gleich groß (obwohl sie anders aussehen). Diagramm 1 Diagramm 2 Diagramm 3 Diagramm 4 Vergleichen wir jetzt Diagramme 2 und 3. Wenn man nicht auf die Einheiten achtet, würde man sagen, dass die Gerade in Diagramm 3 steiler ist und daher auch die Steigung. Das ist aber doch nicht so. Eigentlich geht es um das gleiche Diagramm, nur ist die Skalierung der y-achse anders: im Diagramm 3 ist auf der y-achse 1m/s doppelt so viel wie im Diagramm 2. Die Geschwindigkeitsänderung ist in beiden Diagrammen 1m/s je 2s, also ist die Steigung (und die Beschleunigung) 0,5m/s²! In der gleichen Weise kann man zeigen, dass die Flächen unter beiden Gerade (zwischen z.b. 0 und 4s) auch gleich groß sind! Wenn wir Diagramme 3 und 4 vergleichen, würden wir ohne Rücksicht auf die Einheiten sagen, dass es und die gleiche Gerade geht. Das ist aber doch falsch. In Diagramm 3 ist die Einheit für die Zeit (x- Achse) Sekunde (s) und für die Geschwindigkeit (y-achse) m/s. In Diagramm 4 sind die entsprechenden Einheiten Stunde (h) bzw. km/h! Die Steigung in Diagramm 3 ist 1m/s je 2s und in Diagramm 4 1km/h je h! Ist das gleich? Rechnen wir die Beschleunigung (Steigung) in Diagramm 4 in m/s² um: k=a= 1 km/h km =0,5 1 2 h 1h 2=0, m s 2 3, m/s 2!! wobei die Steigung (und die Beschleunigung) in Diagramm 3 0,5m/s² ist! Der Vergleich ist beeindruckend! Apropos: die Einheit km/h² für die Beschleunigung haben wir bisher nie gesehen und werden auch nicht mehr sehen. Sie wird nie benutzt! Genauso groß ist der Unterschied, wenn man die Flächen vergleicht. In Diagramm 3 ist die Fläche (also die zurückgelegte Strecke) nach 4 Einheiten der x-achse (also nach 4s) 16m/s 4s= 64 m und in Diagramm 4 16km/h 4h= 64 km! Die Folgerung ist eindeutig: Wenn man Diagramme vergleichen will, muss man die Einheiten der Achsen berücksichtigen.

zu 2.1 / I. Wiederholungsaufgaben zur beschleunigten Bewegung

zu 2.1 / I. Wiederholungsaufgaben zur beschleunigten Bewegung Fach: Physik/ L. Wenzl Datum: zu 2.1 / I. Wiederholungsaufgaben zur beschleunigten Bewegung Aufgabe 1: Ein Auto beschleunigt gleichmäßig in 12,0 s von 0 auf 100 kmh -1. Welchen Weg hat es in dieser Zeit

Mehr

Kinematik & Dynamik. Über Bewegungen und deren Ursache Die Newton schen Gesetze. Physik, Modul Mechanik, 2./3. OG

Kinematik & Dynamik. Über Bewegungen und deren Ursache Die Newton schen Gesetze. Physik, Modul Mechanik, 2./3. OG Kinematik & Dynamik Über Bewegungen und deren Ursache Die Newton schen Gesetze Physik, Modul Mechanik, 2./3. OG Stiftsschule Engelberg, Schuljahr 2016/2017 1 Einleitung Die Mechanik ist der älteste Teil

Mehr

Brückenkurs Physik SS11. V-Prof. Oda Becker

Brückenkurs Physik SS11. V-Prof. Oda Becker Brückenkurs Physik SS11 V-Prof. Oda Becker Überblick Mechanik 1. Kinematik (Translation) 2. Dynamik 3. Arbeit 4. Energie 5. Impuls 6. Optik SS11, BECKER, Brückenkurs Physik 2 Beispiel Morgens um 6 Uhr

Mehr

A38 O1 ma4 GK-Math - Protokoll vom Mi., den

A38 O1 ma4 GK-Math - Protokoll vom Mi., den A38 O1 ma4 GK-Math - Protokoll vom Mi., den 23.9.2009 Protokollantin: Wioletta Lazik, Kursleiter: Herr Manthey Themen der Stunde 1. Grafische Geschwindigkeitsbestimmung 2. Kontrolle der Hausaufgabe 3.

Mehr

Erklärungen, Formeln und gelöste Übungsaufgaben der Mechanik aus Klasse 11. von Matthias Kolodziej aol.com

Erklärungen, Formeln und gelöste Übungsaufgaben der Mechanik aus Klasse 11. von Matthias Kolodziej aol.com GRUNDLAGEN DER MECHANIK Erklärungen, Formeln und gelöste Übungsaufgaben der Mechanik aus Klasse 11 von Matthias Kolodziej shorebreak13 @ aol.com Hagen, Westfalen September 2002 Inhalt: I. Kinematik 1.

Mehr

Prüfungs- und Testaufgaben zur PHYSIK

Prüfungs- und Testaufgaben zur PHYSIK Prüfungs- und Testaufgaben zur PHYSIK Mechanik - Schwingungslehre - WärmelehreInteraktive Lernmaterialien zum Selbststudium für technische Studienrichtungen an Hochschulenfür technische Studienrichtungen

Mehr

Tutorium Physik 1. Kinematik, Dynamik

Tutorium Physik 1. Kinematik, Dynamik 1 Tutorium Physik 1. Kinematik, Dynamik WS 15/16 1.Semester BSc. Oec. und BSc. CH 3 2. KINEMATIK, DYNAMIK (I) 2.1 Gleichförmige Bewegung: Aufgabe (*) 4 a. Zeichnen Sie ein s-t-diagramm der gleichförmigen

Mehr

Physik für Bachelors

Physik für Bachelors Johannes Rybach Physik für Bachelors ISBN-0: 3-446-40787- ISBN-3: 978-3-446-40787-9 Leseprobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-40787-9 sowie im Buchhandel Mechanik

Mehr

Differenzialrechnung. Zusammenfassung. 1 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten

Differenzialrechnung. Zusammenfassung. 1 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten Differenzialrechnung Zusammenfassung 1 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten 2.1 Funktionen Funktion: jeder reellen Zahl x aus einer Definitionsmenge D wird eine ganz bestimmte Größe,

Mehr

2.2 Funktionen 1.Grades

2.2 Funktionen 1.Grades . Funktionen.Grades (Thema aus dem Bereich Analysis) Inhaltsverzeichnis Was ist eine Funktion.Grades? Die Steigung einer Geraden. Die Definition der Steigung.................................... Die Berechnung

Mehr

Vektorrechnung Raumgeometrie

Vektorrechnung Raumgeometrie Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (*1882 1935) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen

Mehr

Grundwissen. Physik. Jahrgangsstufe 7

Grundwissen. Physik. Jahrgangsstufe 7 Grundwissen Physik Jahrgangsstufe 7 Grundwissen Physik Jahrgangsstufe 7 Seite 1 1. Aufbau der Materie 1.1 Atome Ein Atom besteht aus dem positiv geladenen Atomkern und der negativ geladenen Atomhülle aus

Mehr

Übungsauftrag zur Kinematik - Lösungen

Übungsauftrag zur Kinematik - Lösungen Übungsauftrag zur Kinematik - Lösungen Aufgaben zu Bewegungsdiagrammen 1. Autofahrt Die Bewegung eines Autos lässt sich durch folgendes Diagramm beschreiben: (a) Beschreibe die Bewegung so genau wie möglich

Mehr

1. Eindimensionale Bewegung

1. Eindimensionale Bewegung 1. Eindimensionale Bewegung Die Gesamtheit aller Orte, die ein Massenpunkt während seiner Bewegung einnimmt, wird als Bahnkurve oder Bahn bezeichnet. Bei einer eindimensionalen Bewegung ist die Bahn vorgegeben:

Mehr

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema

Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1. Art Anwenden. Klasse 10. Schwierigkeit x. Klasse 10. Mathematisches Thema Quadratische Funktionen 1 1.) Zeige, dass die Funktion in der Form f() = a 2 + b +c geschrieben werden kann und gebe a, b und c an. a) f() = ( -5) ( +7) b) f() = ( -1) ( +1) c) f() = 3 ( - 4) 2.) Wie heißen

Mehr

Grundwissen Physik 8. Klasse Schuljahr 2011/12

Grundwissen Physik 8. Klasse Schuljahr 2011/12 1. Was du aus der 7. Klasse Natur und Technik unbedingt noch wissen solltest a) Vorsilben (Präfixe) und Zehnerpotenzen Bezeichnung Buchstabe Wert Beispiel Kilo k 1.000=10 3 1 kg=1000 g=10 3 g Mega M 1.000.000=10

Mehr

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.

Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 3

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 3 K2 MATHEMATIK KLAUSUR 3 NACHTERMIN 2..23 Aufgabe PT WTA WTGS Gesamtpunktzahl Punkte (max 3 5 5 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 3 4 5 3 4 4 3 Punkte WT Ana a b c Summe P. (max 8 4 3

Mehr

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient. Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m

Mehr

Klausur 3 Klasse 11c Physik Lösungsblatt

Klausur 3 Klasse 11c Physik Lösungsblatt 16.05.00 Klausur 3 Klasse 11c Physik Lösungsblatt Bei den Aufgaben dürfen Sie ausschließlich die Programme Cassy-Lab, erive 5 und Excel benutzen. Alle schriftlichen Überlegungen und Ergebnisse müssen auf

Mehr

Physik A3. 2. Mechanik

Physik A3. 2. Mechanik Physik A3 Prof. Dieter Suter WS 02 / 03 2. Mechanik 2.1 Kinematik 2.1.1 Grundbegriffe Die Mechanik ist der klassischste Teil der Physik, sie umfasst diejenigen Aspekte die schon am längsten untersucht

Mehr

9. Vorlesung Wintersemester

9. Vorlesung Wintersemester 9. Vorlesung Wintersemester 1 Die Phase der angeregten Schwingung Wertebereich: bei der oben abgeleiteten Formel tan φ = β ω ω ω0. (1) ist noch zu sehen, in welchem Bereich der Winkel liegt. Aus der ursprünglichen

Mehr

Größere Zahl minus kleinerer Zahl anschreiben. Komma unter Komma schreiben. 33,8 : 1,3 = 33,8 : 13 = 26

Größere Zahl minus kleinerer Zahl anschreiben. Komma unter Komma schreiben. 33,8 : 1,3 = 33,8 : 13 = 26 E1 E E3 E4 E5 E6 E7 Lösungen 1 Mein Wissen aus der 1. Klasse z. B., 1 F angemalt im Plan Da sie in unterschiedlichen Abteilungen des Flugzeugs saßen (Business-Class + Economy-Class), konnten sie einander

Mehr

Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007

Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Workshops zur VO Einfu hrung in das mathematische Arbeiten im SS 2007 Kegelschnitte Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Denken wir uns einen Drehkegel, der nach oben als auch nach unten unbegrenzt ist.

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

r a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter

r a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter 8 3. Darstellung der Geraden im Raum 3.. Parametergleichung der Geraden Die naheliegende Vermutung, dass eine Gerade des Raumes durch eine Gleichung der Form ax + by + cz +d = 0 beschrieben werden kann

Mehr

2. Kinematik. 2.1 Modell Punktmasse

2. Kinematik. 2.1 Modell Punktmasse 2. Kinematik 2.1 Modell Punktmasse 2.22 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional) 2.3 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional) 2.4 Beschleunigung (1-dimensional) 2.5 Bahnkurve 2.6 Bewegung in 3 Dimensionen

Mehr

Mathemathik-Prüfungen

Mathemathik-Prüfungen M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

6 Bestimmung linearer Funktionen

6 Bestimmung linearer Funktionen 1 Bestimmung linearer Funktionen Um die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion zu bestimmen, muss man ihre Steigung ermitteln. Dazu sind entweder Punkte gegeben oder man wählt zwei Punkte P 1 ( 1

Mehr

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen

Analysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale

Mehr

Impuls und Impulserhaltung

Impuls und Impulserhaltung Impuls und Impulserhaltung Zielsetzung: In diesem Experiment ist es unser Ziel, den Impuls an einem Wagen mit seinen Impulsänderungen zu vergleichen. Die Bewegung des Autos, wenn es mit einer Kraftsonde

Mehr

Zusammenfassung und Wiederholung zu Geraden im IR ²

Zusammenfassung und Wiederholung zu Geraden im IR ² Seite 1 von 5 Definition einer Geraden Wir zeichnen mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der linearen Funktion f mit f 0,5 1. Fülle hierzu die Wertetabelle fertig aus: 4 3 1 0 1 3 4 f f4 0,54 1 3...,5...

Mehr

Integralrechnung Rotationskörper 1

Integralrechnung Rotationskörper 1 Integralrechnung Rotationskörper 1 Volumenberechnung von Rotationskörpern y Datei Nr. 4810 15. Juli 015 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 4810 Rotationskörper - Volumenberechnungen Inhalt 1. Berechnungsformel

Mehr

Die Magnetkraft wirkt nur auf bestimmt Stoffe, nämlich Eisen, Nickel und Cobalt. Auf welche Stoffe wirkt die Magnetkraft?

Die Magnetkraft wirkt nur auf bestimmt Stoffe, nämlich Eisen, Nickel und Cobalt. Auf welche Stoffe wirkt die Magnetkraft? Auf welche Stoffe wirkt die Magnetkraft? Die Magnetkraft wirkt nur auf bestimmt Stoffe, nämlich Eisen, Nickel und Cobalt. Wie nennt man den Bereich, in dem die Magnetkraft wirkt? Der Bereich in dem die

Mehr

Die Ellipse gehört so wie der Kreis, die Hyperbel und die Parabel zu den Kegelschnitten.

Die Ellipse gehört so wie der Kreis, die Hyperbel und die Parabel zu den Kegelschnitten. DIE ELLIPSE Die Ellipse gehört so wie der Kreis, die Hyperbel und die Parabel zu den Kegelschnitten. Die Ellipse besteht aus allen Punkten, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten - den

Mehr

Wie beweise ich etwas? 9. Juli 2012

Wie beweise ich etwas? 9. Juli 2012 Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Wie beweise ich etwas? 9. Juli 2012 1 Was ist ein Beweis? 1.1 Ein Beispiel Nimm einen Stift und ein Blatt Papier und zeichne fünf

Mehr

Pflichtaufgaben. Die geradlinige Bewegung eines PKW ist durch folgende Zeit-Geschwindigkeit- Messwertpaare beschrieben.

Pflichtaufgaben. Die geradlinige Bewegung eines PKW ist durch folgende Zeit-Geschwindigkeit- Messwertpaare beschrieben. Abitur 2002 Physik Gk Seite 3 Pflichtaufgaben (24 BE) Aufgabe P1 Mechanik Die geradlinige Bewegung eines PKW ist durch folgende Zeit-Geschwindigkeit- Messwertpaare beschrieben. t in s 0 7 37 40 100 v in

Mehr

Selbst-Test zur Vorab-Einschätzung zum Vorkurs Physik für Mediziner

Selbst-Test zur Vorab-Einschätzung zum Vorkurs Physik für Mediziner Liebe Studierende der Human- und Zahnmedizin, mithilfe dieses Tests können Sie selbst einschätzen, ob Sie den Vorkurs besuchen sollten. Die kleine Auswahl an Aufgaben spiegelt in etwa das Niveau des Vorkurses

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 HÖHENMESSUNGSAUFGABEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 15 HÖHENMESSUNGSAUFGABEN ARBEITSBLATT 5 HÖHENMESSUNGSAUFGABEN Beispiel: Auf einem Fernsehturm befindet sich ein Antennenmast der Höhe h = 75 m. Von einem Geländepunkt wird die Spitze des Mastes unter dem Höhenwinkel = 4,3, der

Mehr

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten

TK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten . Feststellungsprüfung Nachprüfung 19.0.005 1. Untersuchen Sie die Funktion p ( ) = + 16 auf Monotonie und geben Sie auf Grund dieses Ergebnisses die Lage des Scheitels an. (10. Der Graph einer ganz rationalen

Mehr

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt

Mehr

Grundwissen. Physik. Jahrgangsstufe 9

Grundwissen. Physik. Jahrgangsstufe 9 Grundwissen Physik Jahrgangsstufe 9 Grundwissen Physik Jahrgangsstufe 9 Seite 1 1. Elektrische Felder und Magnetfelder 1.1 Elektrisches Feld Elektrisches Kraftgesetz: Gleichnamige Ladungen stoßen sich

Mehr

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion. Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich

Mehr

Mathematische Funktionen

Mathematische Funktionen Mathematische Funktionen Viele Schüler können sich unter diesem Phänomen überhaupt nichts vorstellen, und da zusätzlich mit Buchstaben gerechnet wird, erzeugt es eher sogar Horror. Das ist jedoch gar nicht

Mehr

Mathematik Klasse 9b, AB 03 Lineare Funktionen 02 - Lösung

Mathematik Klasse 9b, AB 03 Lineare Funktionen 02 - Lösung Allgemeiner Hinweis: An einigen Stellen fehlen aus Platzgründen bei Gleichungsumformungen die Anzeige der Äquivalenzumformungen, wenn sie eindeutig sind. Also 2 x=10 x=5 statt 2x=10 :2 x=5. In der Arbeit

Mehr

Name: Punkte: Note Ø: Achtung! Es gibt Abzüge für schlechte Darstellung: Klasse 7b Klassenarbeit in Physik

Name: Punkte: Note Ø: Achtung! Es gibt Abzüge für schlechte Darstellung: Klasse 7b Klassenarbeit in Physik Name: Punkte: Note Ø: Achtung! Es gibt Abzüge für schlechte Darstellung: Klasse 7b 16. 1. 01 1. Klassenarbeit in Physik Bitte auf gute Darstellung und lesbare Schrift achten. Aufgabe 1) (4 Punkte) Bei

Mehr

In der Physik definiert man Arbeit durch das Produkt aus Kraft und Weg:

In der Physik definiert man Arbeit durch das Produkt aus Kraft und Weg: Werkstatt: Arbeit = Kraft Weg Viel Kraft für nichts? In der Physik definiert man Arbeit durch das Produkt aus Kraft und Weg: W = * = F * s FII bezeichnet dabei die Kraftkomponente in Wegrichtung s. Die

Mehr

Analyse einer Bewegung mit Beschleunigung

Analyse einer Bewegung mit Beschleunigung 9. Jahrgangsstufe Physik Kinematik Lehrtext Analyse einer Bewegung mit Beschleunigung Eine Bewegung, bei der sich die Geschwindikeit während der Fahrt ändert, ist eine Geschwindigkeit mit Beschleunigung.

Mehr

Untersuchungen von Funktionen 1

Untersuchungen von Funktionen 1 Untersuchungen von Funktionen 1 Führen Sie für die Funktionen diese Untersuchungen durch : Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte im Unendlichen. Bestimmen

Mehr

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen. Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 9 3. Semester ARBEITSBLATT 9 TEXTAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN LEISTUNGSAUFGABEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 9 3. Semester ARBEITSBLATT 9 TEXTAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN LEISTUNGSAUFGABEN ARBEITSBLATT 9 TEXTAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN LEISTUNGSAUFGABEN Beispiel: Wenn zwei Röhren gleichzeitig geöffnet sind, kann ein Wasserbecken in 40 Minuten gefüllt werden. Fließt das Wasser

Mehr

ad Physik A VL2 (11.10.2012)

ad Physik A VL2 (11.10.2012) ad Physik A VL2 (11.10.2012) korrigierte Varianz: oder: korrigierte Stichproben- Varianz n 2 2 2 ( x) ( xi ) n 1 i1 1 n 1 n i1 1 Begründung für den Vorfaktor : n 1 Der Mittelwert der Grundgesamtheit (=

Mehr

Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote.

Skizzieren Sie das Schaubild von f einschließlich der Asymptote. G13-2 KLAUSUR 24. 02. 2011 1. Pflichtteil (1) (2 VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e2x 1 e x und vereinfachen Sie gegebenenfalls. (2) (2 VP) Geben Sie für die Funktion f(x) = (5 + 3 ) 4

Mehr

Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften

Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Peter von der Lippe Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Weitere Übungsfragen UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz Mit UVK/Lucius München UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz und München

Mehr

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =

Mehr

Grundlegende Aufgaben zu Tangenten. Teil 1: Alle wichtigen Methoden ausführlich erklärt Spezielle Methoden für CAS-Rechner

Grundlegende Aufgaben zu Tangenten. Teil 1: Alle wichtigen Methoden ausführlich erklärt Spezielle Methoden für CAS-Rechner Grundlegende Aufgaben zu angenten ANALYSIS Ganzrationale Funktionen eil : Alle wichtigen Methoden ausführlich erklärt Spezielle Methoden für CAS-Rechner eil : rainingsaufgaben mit sehr ausführlichen Lösungen

Mehr

Dynamische Geometrie

Dynamische Geometrie Dynamische Geometrie 1) Die Mittelsenkrechten, die Seitenhalbierenden, die Höhen und die Winkelhalbierenden eines beliebigen Dreiecks schneiden sich jeweils in einem Punkt. a) Untersuchen Sie die Lage

Mehr

Übungen: Lineare Funktionen

Übungen: Lineare Funktionen Übungen: Lineare Funktionen 1. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen und berechnen Sie die Nullstelle. a) f: y = 2x - 3 b) f: y = -3x + 6 c) f: y = ¼ x + 3 d) f: y = - 3 / 2 x + 9 e) f: y =

Mehr

Lösungen Kapitel A: Funktionen

Lösungen Kapitel A: Funktionen Lösungen Kapitel A: Funktionen Arbeitsblatt 01: Abhängigkeiten entstehen a) Zu Beginn des Tages befinden sich 10 Besucher am Strand. Bis um 4 Uhr nachts haben alle den Strand verlassen. Um 6 Uhr sind bereits

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Grundlagen der Astronomie und Astrophysik. Andre Knecht. [HIMMELSMECHANIK] 3 Erhaltungssätze und die Herleitung der drei Kepler-Gesetze

Grundlagen der Astronomie und Astrophysik. Andre Knecht. [HIMMELSMECHANIK] 3 Erhaltungssätze und die Herleitung der drei Kepler-Gesetze 2009 Grundlagen der Astronomie und Astrophysik Andre Knecht [HIMMELSMECHANIK] 3 Erhaltungssätze und die Herleitung der drei Kepler-Gesetze 2-Körperproblem-Gravitationsgesetz 3 Newton schen Axiome Trägheitsgesetz:

Mehr

1. Schularbeit 4HL 10. Dez. 2013

1. Schularbeit 4HL 10. Dez. 2013 1. Schularbeit 4HL 10. Dez. 2013 Alle Ergebnisse und Lösungen sind mit den passenden Einheiten anzugeben! Wurde die Einheit in mehreren Aufgaben vergessen, so wird nur beim ersten Mal ein Punkt abgezogen.

Mehr

Oberstufe (11, 12, 13)

Oberstufe (11, 12, 13) Department Mathematik Tag der Mathematik 1. Oktober 009 Oberstufe (11, 1, 1) Aufgabe 1 (8+7 Punkte). (a) Die dänische Flagge besteht aus einem weißen Kreuz auf rotem Untergrund, vgl. die (nicht maßstabsgerechte)

Mehr

Relationen / Lineare Funktionen

Relationen / Lineare Funktionen Relationen / Lineare Funktionen Relationen Werden Elemente aus einer Menge X durch eine Zuordnungsvorschrift anderen Elementen aus einer Menge Y zugeordnet, so wird durch diese Zuordnungsvorschrift eine

Mehr

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analsis 1... 6 Wahlteil Analsis... 9 Wahlteil Analsis 3... 13 Wahlteil Analtische Geometrie 1... 16 Wahlteil Analtische Geometrie... 3 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung

Mehr

Kinematik. Roland Heynkes. 10.10.2005, Aachen

Kinematik. Roland Heynkes. 10.10.2005, Aachen Kinematik Roland Heynkes 0.0.005, Aachen Dieser Artikel führt Annas Kinematik-Kapitel fort, weil die für mathematische Texte erforderlichen Erweiterungen von HTML von den gängigen Browsern immer noch nicht

Mehr

Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnungen mit Integralen

Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnung mit Integralen. Flächenberechnungen mit Integralen Flächenberechnungen mit Integralen Aufgabe 1: Gegeben sei die Funktion = 44. = 44 Aufgaben und Lösungen a) Berechnen Sie die Fläche, die die Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt. b) Berechnen Sie

Mehr

Feldbegriff und Feldlinienbilder. Elektrisches Feld. Magnetisches Feld. Kraft auf Ladungsträger im elektrischen Feld

Feldbegriff und Feldlinienbilder. Elektrisches Feld. Magnetisches Feld. Kraft auf Ladungsträger im elektrischen Feld Feldbegriff und Feldlinienbilder Elektrisches Feld Als Feld bezeichnet man den Bereich um einen Körper, in dem ohne Berührung eine Kraft wirkt beim elektrischen Feld wirkt die elektrische Kraft. Ein Feld

Mehr

Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis

Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis Thema aus dem Bereich Analysis - 3.9 Differentialrechnung I Inhaltsverzeichnis 1 Differentialrechnung I 5.06.009 Theorie+Übungen 1 Stetigkeit Wir werden unsere Untersuchungen in der Differential- und Integralrechnung

Mehr

ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese Aufgabenblätter

ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese Aufgabenblätter BMS Bern, Aufnahmeprüfung 004 Technische Richtung Mathematik Teil A Zeit: 45 Minuten Name / Vorname:... ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese

Mehr

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften

Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften W. Kippels 10. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Prinzipielle Vorgehensweise.......................... 2 1.2 Lösungsrezepte................................

Mehr

2. Was ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung? 3. Erläuterns Sie an selbstgewählten Beispielen das Superpositionsprinzip.

2. Was ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung? 3. Erläuterns Sie an selbstgewählten Beispielen das Superpositionsprinzip. Vorbereitung Leistungskontrolle 28.09.2006 1. Was versteht man unter der Kinematik? 2. Was ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung? 3. Erläuterns Sie an selbstgewählten Beispielen das Superpositionsprinzip.

Mehr

Eingangstest Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen

Eingangstest Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen Eingangstest Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen Gleichung einer ganzrationalen Funktion Kreuze an und gib gegebenenfalls den Grad an. Funktionsgleichung ganzrationale Funktion Grad anderer Funktionstp

Mehr

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04. Gegeben sei eine Funktion f(). Differenzialrechnung Differenzenquotient f() 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.2007 18:38:45 1 Differenzenquotient Gesucht ist die Tangente an der Stelle, wobei

Mehr

Übungen zu Kurvenscharen

Übungen zu Kurvenscharen Übungen zu Kurvenscharen. Gegeben ist die Geradenschar g t : = (t ) ( t) + 9 (t 9) mit D(g t ) = R, t R. a) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen g und g in ein Koordinatensstem. b) Geben Sie die Schnittpunkte

Mehr

Induktion. Die in Rot eingezeichnete Größe Lorentzkraft ist die Folge des Stromflusses im Magnetfeld.

Induktion. Die in Rot eingezeichnete Größe Lorentzkraft ist die Folge des Stromflusses im Magnetfeld. Induktion Die elektromagnetische Induktion ist der Umkehrprozess zu dem stromdurchflossenen Leiter, der ein Magnetfeld erzeugt. Bei der Induktion wird in einem Leiter, der sich in einem Magnetfeld bewegt,

Mehr

Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird?

Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird? Wie fällt ein Körper, wenn die Wirkung der Corioliskraft berücksichtigt wird? Beim freien Fall eines Körpers auf die Erde, muss man bedenken, dass unsere Erde ein rotierendes System ist. Um die Kräfte,

Mehr

Die Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche" Punkte mit inhomogenen K

Die Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche Punkte mit inhomogenen K Kapitel IV Projektive Geometrie In diesem Kapitel wird eine kurze Einführung in die projektive Geometrie gegeben. Es sollen unendlich ferne Punkte mit Hilfe von homogene Koordinaten eingeführt werden und

Mehr

Probematura Mathematik

Probematura Mathematik Probematura Mathematik Mai / Juni 2013 Seite 1 von 5 Probematura Mathematik VHS 21 / Sommertermin 2013 1. Tennis Tennisspieler trainieren häufig mit einer Ballwurfmaschine. Die hier beschriebene befindet

Mehr

Wie löst man Treffpunktaufgaben?

Wie löst man Treffpunktaufgaben? Wie löst man Treffpunktaufgaben? Grundsätzlich gibt es zwei Typen von Treffpunktaufgaben. Beim ersten Typ fahren die Personen vom gleichen Startpunkt los, aber dann meist zeitverzögert und mit unterschiedlichen

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Übungsaufgaben Lineare Gleichungssysteme Oberstufe Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 05 Pflichtteilaufgaben (ohne GTR) Aufgabe : Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme:

Mehr

Erfolg im Mathe-Abi 2014

Erfolg im Mathe-Abi 2014 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi 2014 Schleswig-Holstein Übungsbuch Prüfungsaufgaben mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabensatz... 7 2. Aufgabensatz... 12 3. Aufgabensatz... 17 4. Aufgabensatz...

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

Classpad 300 / Classpad 330 (Casio) Der Taschenrechner CAS:

Classpad 300 / Classpad 330 (Casio) Der Taschenrechner CAS: Der Taschenrechner CAS: Classpad 300 / Classpad 330 (Casio) Übersicht: 1. Katalog (wichtige Funktionen und wie man sie aufruft) 2. Funktionen definieren (einspeichern mit und ohne Parameter) 3. Nullstellen

Mehr

Geometrie-Dossier Kreis 2

Geometrie-Dossier Kreis 2 Geometrie-Dossier Kreis 2 Name: Inhalt: Konstruktion im Kreis (mit Tangenten, Sekanten, Passanten und Sehnen) Grundaufgaben Verwendung: Dieses Geometriedossier orientiert sich am Unterricht und liefert

Mehr

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV.

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV. LINEARE FUNKTIONEN heißt Anstieg oder Steigung heißt y-achsenabschnitt Graphen linearer Funktionen sind stets Geraden Konstante Funktionen Spezialfall Graphen sind waagerechte Geraden (parallel zur x-achse)

Mehr

FIZIKA NÉMET NYELVEN JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA NÉMET NYELVEN JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika német nyelven középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 14. FIZIKA NÉMET NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Die Arbeit

Mehr

Einführung in die Differentialrechnung I (MD)

Einführung in die Differentialrechnung I (MD) Betrachte den Graphen von f(x) als Profilkurve eines Berges und laufe ihn von "- nach +" ab. An jedem Punkt des Graphen kannst du die Steigung beschreiben und mit dem Anstieg in der Umgebung vergleichen.

Mehr

Tag der Mathematik 2013

Tag der Mathematik 2013 Tag der Mathematik 2013 Gruppenwettbewerb Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Teamnummer Die folgende

Mehr

Informationsblatt für den Einstieg ins 1. Mathematikjahr AHS

Informationsblatt für den Einstieg ins 1. Mathematikjahr AHS Informationsblatt für den Einstieg ins 1. Mathematikjahr AHS Stoff für den Einstufungstest Mathematik in das 1. Jahr AHS: Mit und ohne Taschenrechner incl. Vorrangregeln ( Punkt vor Strich, Klammern, ):

Mehr

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt.

Lineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt. FrauOelschlägel Mathematik8 Lineare Funktionen Ü Datum 1. Die Punkte A 0 4 und liegen auf der Geraden h. und Q8,5,5 B10 0 liegen auf der Geraden g, die Punkte P 0,5 11 Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichungen

Mehr

MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2008

MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2008 Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2008 Mathematik 3 Std. Maturandin, Maturand (Name, Vorname) Klasse 4 Md hcs... Hilfsmittel Taschenrechner Fundamentum Mathematik und Physik oder Formelsammlung

Mehr

Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke

Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke linft.nb Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke. Steigung und Gefälle einer Strasse Einleitung: -Wie würden Sie die Steilheit einer Strasse "messen"? Wie kann man die Steilheit einer Strasse, einer

Mehr

Praktikumssemesterarbeit für Numerik Aufgabe 1 HU-Berlin, Sommersemester 2005

Praktikumssemesterarbeit für Numerik Aufgabe 1 HU-Berlin, Sommersemester 2005 Praktikumssemesterarbeit für Numerik Aufgabe HU-Berlin, Sommersemester 2005 Mario Krell Volker Grabsch 24. Juli 2005 Inhaltsverzeichnis Herleitung aus der Physik. Voraussetzungen und Annahmen Allgemein

Mehr

Download. Mathematik üben Klasse 8 Funktionen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert

Download. Mathematik üben Klasse 8 Funktionen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert Download Jens Conrad, Hard Seifert Mathematik üben Klasse 8 Funktionen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 8 Funktionen Differenzierte

Mehr

Physik & Musik. Dopplereffekt. 1 Auftrag

Physik & Musik. Dopplereffekt. 1 Auftrag Physik & Musik 19 Dopplereffekt 1 Auftrag Physik & Musik Dopplereffekt Seite 1 Dopplereffekt Bearbeitungszeit: 45 Minuten Sozialform: Einzelarbeit Voraussetzung: Posten 1: "Wie funktioniert ein KO?" Einleitung

Mehr

Formelsammlung zur Kreisgleichung

Formelsammlung zur Kreisgleichung zur Kreisgleichung Julia Wolters 6. Oktober 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Kreisgleichung 2 1.1 Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel..... 3 2 Kreis und Gerade 4 2.1 Sekanten, Tangenten,

Mehr