Trägheitsmoment, Steiner scher Satz. Torsionspendel zum Nachweis des Steiner schen Satzes Version vom 6. September 2012
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- Paula Winkler
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1 Trägheitsmoment, Steiner scher Satz Torsionspendel zum Nachweis des Steiner schen Satzes Version vom 6. September 01
2 Inhaltsverzeichnis 1 Drehscheiben-Torsionspendel Grundlagen Begriffe Trägheitsmoment Der Steiner sche Satz Drehscheiben-Torsionspendel Berechnung von Scheibenmasse M und Richtmoment D Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung Hinweise zu Protokollierung und Fehlerrechnung
3 1 Drehscheiben-Torsionspendel 1 Drehscheiben-Torsionspendel 1.1 Grundlagen Begriffe Drehmoment, Massenträgheitsmoment, Trägheitsmoment, Steiner scher Satz 1.1. Trägheitsmoment Das Trägheitsmoment J eines Körpers ist ein Maß für seinen Widerstand gegen die Änderung seines Drehbewegungszustandes. Gemäß seiner Definition ist das Trägheitsmoment immer auf eine bestimmte Drehachse bezogen und hängt von der Lage dieser Achse im Körper ab. J = V r dm = V r ρ dv (1) Formelzeichen Einheit Bezeichnung J kg m Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Rot.-Achse dm kg Massenelement r m Normalabstand zwischen dm und Rotationsachse V m 3 Volumen ρ kg m 3 Dichte eines homogenen Körpers Vergleichen Sie die Definitionen und Bedeutungen der kinematischen und dynamischen Größen bei Translations- und Rotationsbewegungen in der Zusatzinformation auf der elearning Seite des Anfängerpraktikums Der Steiner sche Satz Der Steiner sche Satz verknüpft das Trägheitsmoment J S des Körpers für Drehungen um eine Achse durch den Massenmittelpunkt mit dem Trägheitsmoment J bezüglich einer dazu parallelen Achse im Abstand d
4 1 Drehscheiben-Torsionspendel Der Steiner sche Satz lautet: J = J S + m ges d () Formelzeichen Einheit Bezeichnung J kg m Trägheitsmoment bzgl. beliebiger Rot.-Achse J S kg m Trägheitsmoment bzgl. Schwerpunktachse m ges kg Gesamtmasse des Systems d m Abstand der beiden Drehachsen Drehscheiben-Torsionspendel Ein Torsionspendel führt Drehschwingungen mit der Schwingungsdauer T aus, wobei die Bewegungsgleichung -analog zu anderen Pendeln- aus dem Kräftegleichgewicht (ohne Berücksichtigung des Reibungsgliedes ergibt: J ϕ(t) Dϕ(t) = 0 (3) Da die rücktreibende Kraft Dϕ(t) nicht vom Sinus eines Winkels abhängt (so wie bei den von der Schwerkraft rückgetriebenen Pendeln), sondern D einer (Torsions-)Federkonstante entspricht, ist für die Lösung der Differenzialgleichung ein analytischer Weg ohne Einschränkung auf kleine Winkel möglich. Die Lösung der Differentialgleichung ergibt analog zu den anderen Pendelarten: daraus folgt: ϕ(t) = ϕ 0 sin ωt + Φ wobei: ω = D J = πf = π T (4) T = 4π J D (5) Formelzeichen Einheit Bezeichnung J kg m Trägheitsmoment D kg m s Richtmoment T s Schwingungsdauer ϕ 1 (rad) Auslenkung (Winkel) t s Zeit (momentane) ω s 1 Kreisfrequenz f s 1 Frequenz - -
5 1 Drehscheiben-Torsionspendel Abbildung 1: Drehscheiben-Torsionspendel: schematische Darstellung Formelzeichen Einheit Bezeichnung M kg Masse einer Drehscheibe m kg Masse eines Zusatzgewichtes a m Schwerpunkts-Abstand von Scheibe und Zusatzgewicht r m Scheibenradius R m Abstand von Hauptrotationsachse und Scheibenschwerpunkt Tabelle 1: Definition der Größen in Abb. 1 Bei der Anordnung wie in der Abbildung 1 gezeigt, berechnet man bei unfixierten Scheiben das Trägheitsmoment J u so, als ob die Scheibenmassen M im Punkt ihrer Aufhängung konzentriert wären. J u = M R (6) Bei fixierten Scheiben bildet die Apparatur einen starren Körper. Nach dem Steiner schen Satz muss gelten: das Trägheitsmoment einer Scheibe um die Achse der Drehschwingung ist gleich dem Trägheitsmoment der auf ihren Aufhängungspunkt konzentrierten Scheibenmasse um die Drehachse plus dem Trägheitsmoment der Kreisscheibe um ihre Symmetrieachse r. Das Trägheitsmoment bei fixierten Scheiben J f ergibt sich nun zu: J f = M R + M r (7) Wobei 1 Mr das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit Radius r ist. Für die Schwingungsdauer folgt aus Gleichung 5: - 3 -
6 1 Drehscheiben-Torsionspendel T u = 4π M D R (8) T f = 4π M D (R + r ) (9) und weiters: Tu Tf = R R + r (10) Berechnung von Scheibenmasse M und Richtmoment D In die Löcher der Scheiben mit Abstand a vom Scheibenzentrum werden symmetrisch zu den Drehachsen der Scheiben gleiche Massen m eingesetzt ( Massen pro Scheibe, insgesamt also 4). Das Experiment kann mit fixierten oder unfixierten Scheiben durchgeführt werden. Unfixierte Scheiben Bei unfixierten Scheiben braucht zur Bestimmung des Trägheitsmoments J nur die vergrößerte Masse der belasteten Scheiben berücksichtigt zu werden: J 1 = R (M + m) (11) Daraus ergibt sich die Schwingungsdauer T 1 aus Gleichung 5: T 1 = 4π R (M + m) D (1) und aus dieser und Gleichung 8 folgt für M und D: M = mt u T 1 T u (13) D = 8π R M T u (14) Fixierte Scheiben Bei fixierten Scheiben verhält sich das Torsionspendel bei Drehungen wie ein starrer Körper. Das Trägheitsmoment J S der belasteten Scheibe um ihre eigene Symmetrieachse ist - 4 -
7 1 Drehscheiben-Torsionspendel gemäß des Steiner schen Satzes gleich der Summe aus Trägheitsmoment der unbelasteten Scheibe plus Trägheitsmoment der Zusatzmasse im Abstand a vom Scheibenzentrum plus Trägheitsmoment der Zusatzmassen um ihre eigene Symmetrieachse, also: J S = 1 Mr + ma + ms (15) Formelzeichen Einheit Bezeichnung J S kg m Trägheitsmoment belastete Scheibe um eigene Achse M kg Scheibenmasse m kg Zusatzmasse r m Radius der Scheiben a m Abstand Scheibenmittelpunkt - Zusatzmassenmittelpunkt s m Radius der zylindrischen Zusatzmasse R m Abstand von Hauptrotationsachse und Scheibenschwerpunkt Das gesamte Trägheitsmoment der Aufhängung ist: J = (M + m)r + J S (16) Die Schwingungsdauer T der fixierten Anordnung ergibt sich nach Gleichung 5 dann zu: T = 4π D [M(R r ) + m(r + a + s )] (17) Daraus und aus Gleichung 8 errechnet man M und D: M = m R + a + s ( ) (18) R T 1 r T u D = 8π R M T u (= Gleichung 14) 1. Aufgabenstellung 1. Zeigen Sie die Gültigkeit des Steiner schen Satzes durch Überprüfung des Zusammenhanges zwischen Schwingungsdauern und Radien (nach Gl. 10 beim Drehscheiben- Torsionspendel)
8 1 Drehscheiben-Torsionspendel. Diskutieren Sie das Ergebnis, indem Sie die Unsicherheiten berechnen und vergleichen. 3. Bestimmen Sie die Masse M der Drehscheibe (und geben Sie die Unsicherheit an). 4. Bestimmen Sie das Richtmoment D des Drehscheiben-Torsionspendels (und geben Sie die Unsicherheit an). 1.3 Versuchsaufbau und Durchführung Ermitteln Sie die alle nötigen Abmessungen bzw. Massen der Anordung und ihre Unsicherheiten. Zur Überprüfung des Steiner schen Satzes nach Gleichung 10 bestimmen Sie die Schwingungsdauern der unbelasteten Anordnung im unfixierten und fixierten Zustand. Erinnern Sie sich an die Praktikumsinheit M1 - Messen und Messfehler in der Mechanik und berücksichtigen Sie die gelernten Richtlinien zur Bestimmung von Schwingungsdauern. Für die Berechnng der Scheibenmasse M und des Richtmoments D entscheidet der Betreuer / die Betreuerin, ob diese im Versuch mit fixierten oder unfixierten Drehscheiben ermittelt werden! Hierfür müssen Sie die Zusatzmassen im Abstand a an den Scheiben anbringen. 1.4 Hinweise zu Protokollierung und Fehlerrechnung Wenn Sie zur Berechnung der Unsicherheiten bei M und D kein Computerprogramm (wie z.b. Mathematica od. ähnl.) zur Verfügung haben, so ist eine exakte Fehlerfortpflanzungsrechnung nicht zwingend notwendig. Stattdessen genügt eine vereinfachte Abschätzung (welche Unsicherheiten liefern die Hauptbeiträge zur Gesamtunsicherheit, welche können vernachlässigt werden) oder eine Größtfehlerabschätzung. Sie sind aber trotzdem herzlich eingeladen die exakte Fehlerrechnung zu Übungszwecken durchzuführen
9 Fakultät für Physik WINTERSEMESTER 01 Physikalisches Praktikum 1 PROTOKOLL Experiment (Nr., Titel): TRÄGHEITSMOMENT, STEINER SCHER SATZ Datum: Namen: MAXIMA MUSTERFRAU Kurstag/Gruppe: Mo/1 Betreuer: NAGEL
10 Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 3 Grundlagen zum Experiment 3 3 Material und Methoden / Versuchsaufbau 3 4 Durchführung des Experiments 5 5 Ergebnisse 6 6 Diskussion 8 ANMERKUNG: Das Inhaltsverzeichnis ist (besonders bei kurzen Protokollen < 0 Seiten) optional.
11 1 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Mit Hilfe eines Drehscheiben-Torsionspendels wird die Gültigkeit des Steinsch schen Satzes überprüft. Dazu wird die Beziehung der Schwingungsdauern zu den Radien genutzt. Zusätzlich wird mit Hilfe bekannter Zusatzmassen die Masse der Drehscheiben und das Richtmoment des Pendels bestimmt. Grundlagen zum Experiment Trägheitsmoment Das Trägheitsmoment J eines Körpers ist ein Maß für seinen Widerstand gegen die Änderung seines Drehbewegungszustandes. Das Trägheitsmoment ist immer auf eine bestimmte Drehachse bezogen und hängt von der Massenverteilung des Körpers um diese Achse ab (wobei r der Abstand des Massenelements dm von der Drehachse ist bzw. V das Volumen des Körpers und ρ seine Dichte). J = r dm = r ρ dv (1) V V [J] = kg m Steinersch scher Satz Der Steiner sche Satz verknüpft das Trägheitsmoment J S des Körpers für Drehungen um eine Achse durch den Massenmittelpunkt mit dem Trägheitsmoment J bezüglich einer dazu parallelen Achse im Abstand d. J = J S + m ges d () Periodendauer von Pendelschwingungen Für die Schwingungsdauer T von Pendelschwingungen eines Pendels mit dem Trägheitsmoment J bezüglich der Rotationsachse und dem (auslenkungsabhängigen) Richtmoment D gilt folgender Zusammenhang: T = 4π J D [D] = kg m s (3) 3 Material und Methoden / Versuchsaufbau Beweis des Steiner schen Satzes Für den Beweis der Gültigkeit des Steiner schen Satzes bedient man sich eines Drehscheiben- Torsionspendels. Das Drehscheiben-Torsionspendel ist an einem starren Wandstativ frei - 3 -
12 3 Material und Methoden / Versuchsaufbau hängend an einem 3,3 mm dicken Torsionsdraht mit einer Länge von 69 cm aus Stahl befestigt. Eine Skizze des Pendels ist in Abb. 1 gegeben. M bezeichnet die Masse der Drehscheiben mit dem Radius r, die wahlweise befestigt oder im Abstand R von der Torsionsachse frei drehbar angebracht sind. m bezeichnet die Masse der 4 optional im Abstand a von der Drehachse der Drehscheiben anfügbaren Zusatzmassen. Abbildung 1: Drehscheiben-Torsionspendel: schematische Darstellung Bei unfixierten Scheiben berechnet man das Trägheitsmoment J u so, als ob die Scheibenmassen M im Punkt ihrer Aufhängung konzentriert wären, da sich diese im Punkt ihrer Aufhängung frei drehen können und so keinen Beitrag zum Trägheitsmoment liefern. Damit ergibt sich durch Einsetzen in Gl. für das Trägheitsmoment des Pendels mit unfixierten Scheiben (und ohne Zusatzmassen) J u : J u = M R (4) Bei fixierten Scheiben bildet die Apparatur einen starren Körper. Nach Gl. 1 und dem Steiner schen Satz (Gl. ) muss für das Trägheitsmoment des Pendels mit fixierten Scheiben (und ohne Zusatzmassen) J f gelten: J f = M R + M r (5) Wobei 1 Mr das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit Radius r ist. Setzt man J u und J f nun in die Gl. 3 ein und bildet das Verhältnis der der (quadrierten) Schwingungsdauern, so kürzt sich der Faktor mit Masse M und Richtmoment D weg und man erhält die einfache Beziehung: Tu Tf = R R + r (6) Damit kann die Gültigkeit des Satzes von Steiner nachgewiesen werden
13 4 Durchführung des Experiments Berechnung der Scheibenmasse und des Richtmoments Für die Berechnung der Scheibenmasse M und des Richtmoments D müssen bekannte zylindrische Zusatzmassen m mit Radius s in die dafür vorgesehenen Löcher im Abstand a zur Scheibenmitte eingesetzt werden (vgl. Abb. 1). Die somit veränderten Trägheitsmomente im fixierten Fall (J z,u ) und unfixierten Fall (J z,f ) müssen in den Gl. 4 und 5 berücksichtigt werden. Im fixtierten Fall muss erneut der Steiner sche Satz angewendet werden. Durch Umformung auf M bzw. D erhält man: für den unfixierten Fall: M = mt u T z,u T u (7) D = 8π R M T u (8) und für den fixierten Fall: M = m R + a + s ( T R ) (9) z,f 1 r T u D = 8π R M T u (= Gleichung 8) Geräte Die Bestimmung aller erforderlichen Messgrößen (Zeiten, Längen, Massen) erfolgt direkt mittels geeigneter Messgeräte, wie im folgenden Kapitel näher erläutert wird. 4 Durchführung des Experiments Um die Gültigkeit des Steiner schen Satzes zu zeigen, wird das Verhältnis der Schwingungsdauern T f im fixierten und T u im unfixierten Fall bestimmt und mit den in Relation stehenden Radien r und R wie in Gl. 6 verglichen. Zur Bestimmung der Schwingungsdauern werden Messreihen mit mit Stichprobenumfang von n=15 aufgenommen. Dabei wird pro Zeitmessung nicht die Dauer von einer sondern von zehn Schwingungen gemessen, da so die relative Zeitdauer der menschlichen Unsicherheitskomponente beim Messvorgang kleiner ist. Gemessen wird mit einer digitalen Stoppuhr der Auflösung ±0, 01s. Die Radien werden mit einem Maßstab mit der Auflösung von ±1mm bestimmt. Für die Bestimmung von M und D im fixierten bzw. unfixierten Fall werden die Massen m der Zusatzmassen, die vom Betreuer / von der Betreuerin gewählt wurden, mit der Waage - 5 -
14 5 Ergebnisse des Typs Sartorius (Messgenauigkeit: ±0, 1g) bestimmt. Ihr Durchmesser s wird mit der Schiebelehre bei einer Auflösung von ±0, 05mm gemessen. Es werden ebenfalls Messreihen für die Schwingungsdauern mit Zusatzmassen im unfixierten (10 T z,u ) und fixierten Fall (10 T z,f ) mit n=15 bestimmt. Da das rücktreibende Drehmoment beim Torsionspendel direkt proportional zur Auslenkung ist, muss die Anfangsauslenkung nur derart erfolgen, dass die Torsion des Drahtes im elastischen Bereich erfolgt und möglichst keine anderen Schwingungsarten die Torsionsschwingung überlagern. Während der Messungen blieb die Raumtemperatur konstant auf T R = 3, C. 5 Ergebnisse Tabelle 1 zeigt die Messreihen für 10 T u und 10 T f sowie 10 T z,u und 10 T z,f. n 10 T u (s) 10 T f (s) 10 T z,u (s) 10 T z,f (s) 1 19,3 1,87,10 4,94 19,19,09,09 5, ,99,00 1,48 4, ,07 1,79 1,7 5, 5 19,07 1,91 1,6 5,4 6 19,10 1,83 1,50 5, ,99 1,97 1,57 5,7 8 19,04 1,98,08 5, ,11 1,96,00 4, ,85 1,84 1,9 5, ,10 1,77,03 5, ,19 1,66 1,9 4, ,93 1,96,3 5, ,03 1,84 1,9 5, ,09 1,99 1,81 5,9 10T 19,06 1,90 1,87 5,10 T 1,906,190,187,510 u T 0,003 0,003 0,007 0,006 Tabelle 1: Messwerttabelle für T u, T f, T z,u und T z,f - 6 -
15 5 Ergebnisse Die Ergebnisse der Schwingungsdauern lauten: T u = (1, 91 ± 0, 01)s (10) T f = (, 19 ± 0, 01)s (11) T z,u = (, 19 ± 0, 01)s (1) T z,f = (, 51 ± 0, 01)s (13) Die Messunsicherheit der Schwingungsdauern ergeben sich aus der Zeit-Auflösung der Stoppuhr, da die Standardabweichungen der Mittelwerte in allen Fällen kleiner war. Die 4 Zusatzmassen haben folgende Massen: m 1 = 501,0 g m = 500, g m 3 = 500,9 g m 4 = 500,6 g Es wurde der Mittelwert aller vier Zusatzmassen für die Berechnung der Scheibenmasse herangezogen. Als Unsicherheit der Zusatzmasse wurde jedoch kein Streuparameter oder die Messgenauigkeit der Waage gewählt, sondern ein Toleranzbereich, der unter Berücksichtigung der Messgenauigkeit der Waage alle vier Ergebnisse der Zusatzmassen gerade umfasst. m = (500,7 ± 0,5) g Die Werte der Radien bzw. Abstände lauten: (14) R =(135 ± ) 10 3 m (15) r =(110 ± ) 10 3 m (16) a =(81 ± ) 10 3 m (17) s =(15, 9 ± 0, 1) 10 3 m (18) Die Messunsicherheiten der Längen ergeben sich aus der Auflösung der Messgeräte, die aber verdoppelt wurde auf Grund der Tatsache, dass die Mittelpunkte der Aufhängungen, Bohrungen etc. nur geschätzt werden konnten und es keinen festen Ansetzpunkt für die Messskalen gab. Zum Beweis des Steiner schen Satzes werden beide Seiten der Gl. 6 berechnet: Tu Tf (19) = 0, 761 ± 0, 011 (0) R = 0, 751 ± 0, 035 (1) R + r Die Unsicherheiten wurden mit dem Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet
16 6 Diskussion Die Berechnung von D ergibt für den unfixierten Fall: D = (1, 54 ± 0, 065)kg m s Die Berechnung des Richtmoments wurde nur für den unfixierten Fall vorgenommen. Seine Unsicherheit wurde mit dem vereinfachten Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetz für relative Fehler bestimmt. Die Berechnung von M für den unfixierten Fall ergibt: M u = (3, 18 ± 0, 13)kg Die Unsicherheit der Scheibenmasse aus der Berechnung im unfixierten Fall ergibt sich wieder aus dem Gauß schen Fehlerfortpflanzungsgesetz, wobei der Unsicherheitsbeitrag der Zusatzmassen unberücksichtigt bleiben kann, weil ihr relativer Wert mehr als drei Mal kleiner ist als jener der Zeitmessungen. Die Berechnung von M für den fixierten Fall ergibt: M f = (3, 47 ± 0, 17)kg Die Berechnung der Scheibenmasse im fixierten Fall ist komplexer als im unfixierten Fall. Die relativen Unsicherheitsbeiträge der Zeitmessungen, der Zusatzmassen sowie des Durchmessers der Zusatzmassen sind um mehr als das Dreifache kleiner als die anderen und wurden daher in der Bestimmung der Gesamtunsicherheit vernachlässigt. Die sich daraus ergebende - für die Fehlerrechnung vereinfachte Funktion - wurde für das Gauß sche Fehlerfortpflanzungsgesetz herangezogen. 6 Diskussion Die Gültigkeit des Steiner schen Satzes konnte eindrucksvoll gezeigt werden, da die Ergebnisse für beide Seiten der Gl. 6 im 1σ-Vertrauensbereich des jeweils anderen liegen und somit nicht unterscheidbar sind. Bei den beiden Berechnungsarten der Scheibenmasse ist eine Abweichung festzusetellen, da M f nicht im Bereich der Unsicherheit von M u liegt und umgekehrt. Die Abweichung kann vorerst auf die schwierigere Messsituation im unfixierten Fall mit Zusatzmassen zurückgeführt werden, da es zu deutlich sichtbaren Reibungsverlusten kam. Das hat in Folge dazu geführt, dass die Scheibenmassen im Lauf der 10 gemessenen Schwingungsdauern unerwünschterweise begonnen haben, um Ihren Aufhängepunkt eine Drehbewegung auszuführen. Ebenfalls unberücksichtigt bleibt an dieser Stelle die Tatsache, dass die beiden Scheiben im Torsionspendel selbst auch leicht unterschiedliche Massen haben könnten. Die 1σ-Vertrauensbereiche von M f und M u überlappen sich jedoch. Daher kann ohne weiterer Messungen nicht davon ausgegangen werden, dass dass die Ergebnisse der beiden Berechnungsarten signifikant unterschiedlich sind
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