Einheit 7: Elektromagnetische Feldenergie

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1 Einheit 7: Elektromagnetische Feldenergie Lösungen L_07_1) Ableitung des Energiesatzes der Elektrodynamik: a) Weise mit Hilfe der differentiellen Maxwell-Gleichungen folgenden Zusammenhang nach: linke Seite: rechte Seite vgl. b) ergibt Behauptung d)# Führe eine Dimensionsbetrachtung für alle Terme des (differentiellen) Energiesatzes durch., # wobei je wie gehabt eingeprägte Ströme bezeichnet. Unter welchen Bedingungen kommt es zur Erhöhung/ Erniedrigung der Energie im Volumen V0? Es handelt sich also immer um Terme der Dimension Leistung/Volumen. (oder auch durch Einsetzen in die vorhandene Beziehung) b)# Bilde für zeitunabhängige Materialkonstanten ε und μ die Ausdrücke c)# Zeige unter Verwendung der allgemeingültigen Beziehung # die Gültigkeit des Energiesatzes in differentieller Darstellung: e)# Überführe durch Integration über ein beliebig gewähltes Volumen V0 den Energiesatz in eine integrale Darstellung. f) Der Ausdruck # wird allgemein als Poynting-Vektor bezeichnet. Gib eine physikalische Interpretation des Poynting-Vektors und der übrigen Terme des integralen Energiesatzes. Zerlege speziell j gemäß Anschaulich: Gewinnt eine Ladung durch (positive) Beschleunigung mechanische Energie im Feld, ist also das Skalarprodukt von E und v >0, so verliert das Feld gespeicherte Energie, wird sie abgebremst, so gewinnt das Feld Energie (analog positive oder negative Sapnnung an eingeprägten Strömen). Leitungsströme führen immer zu Ohmschen Verlusten, also zu einer Verringerung der Feldenergie. L_07_2) Ein Widerstand von R = 100 Ω wird durch ein 2 m langes luftgefülltes Koaxialkabel (ri = 2 mm, ra = 5.4 mm) mit einer idealen Batterie mit 10 V Ausgangsspannung verbunden: VuEThET Einheit 7: Elektromagnetische Feldenergie, Lösungen# hans-walter.glock@uni-rostock.de # 1 von 6

2 a)# Berechne den Poynting-Vektor in einer Ebene senkrecht zur Leitung. Welcher Zahlenwert ergibt sich speziell für den mittleren Radius. b)# Berechne die in der Leitung gespeicherte elektrische Feldenergie. Inwiefern wäre eine Berechnung der magnetischen Feldenergie deutlich komplizierter? In aller Regel bedarf es zur Bestimmung des Poynting- Vektors der Kenntnis der elektrischen und magnetischen Feldstärke. Die magnetische Feldstärke leitet sich bei dieser zylinersymmetrischen Anordnung in oft durchgeführter Weise aus dem Durchflutungsgesetz ab zu: Damit kann der Poynting-Vektor zusammengesetzt werden:, wobei I den Strom auf dem Innenleiter bezeichnet. # #Die elektrische Feldstärke bestimmt man durch Ansatz einer zunächst unbekannten Ladung +Q auf dem Innenleiter, die durch eine Ladung -Q auf dem Außenleiter kompensiert wird. Zwischen den beiden herrscht ein D-Feld, das mit der umschlossenen Ladung nach dem Gaußschen Satz der Elektrodynamik gemäß # zusammenhängt. Man wertet diese Beziehung nun für einen konzentrischen Zylinder mit Radius r und Länge L aus, sodaß wegen der Zylindersymmetrie D da auf der Mantelfläche konstant ist und auf den Deckeln verschwindet. Daher: # wobei R den Abschlußwiderstand bezeichnet. Speziell auf dem mittleren Radius ergibt sich: # Bei der Berechnung der magnetischen Feldenergie muß das Feld im Innen- und Außenleiter berücksichtigt werden. c) Berechne die in der Leitung transportierte Leistung durch Integration des Poynting-Vektors. # Die noch unbekannte Ladung Q erhält man nun durch Integration des elektrischen Felds vom Innen zum Außenleiter, was in der gegebenen Spannung U resultieren muß: # D.h., die Leistung, die von der Batterie zum Verbrauchswiderstand fließt, wird nicht in den Leitern durch den Ladungstransport, sondern durch das elektromagnetische Feld transportiert. VuEThET Einheit 7: Elektromagnetische Feldenergie, Lösungen# hans-walter.glock@uni-rostock.de # 2 von 6

3 L_07_3) Zeige, daß im elektrostatischen Fall bei homogenem Dielektrikum und für eine nicht-singuläre Ladungsverteilung ρ (keine Punktladungen) die elektrische Feldenergie in einem Volumen V0 auch angegeben werden kann als: Was ergibt sich speziell im Fall einer Ladungsverteilung im freien Raum? b)# Für die komplexe Rechnung wird der Poynting-Vektor gebildet als: Berechne nach dieser Vorschrift den Poynting-Vektor einer ebenen Welle. Berechne dazu zunächst für ein allgemeingültiges φ den Ausdruck div(φ gradφ): L_07_4) Eine ebene, linear in x-richtung polarisierte Welle, die im Vakuum in +z-richtung propagiert, wird angeschrieben als: c)# Was ändert sich für die stehende Welle und wende dann den Gaußschen Satz und die Poisson- Gleichung an! a)# Berechne daraus die zugehörige magnetische Feldstärke: Da hilft Maxwell:? Rechne die Rotation aus: Das liefert offensichtlich ebenfalls eine Welle in gleicher Phase wie das elektrische Feld, die magnetische Feldstärke steht jedoch senkrecht auf dem elektrischen Feld. VuEThET Einheit 7: Elektromagnetische Feldenergie, Lösungen# # 3 von 6

4 Energiestrom: Poynting-Vektor c)# In einem Volumen überlagern sich zwei elektrische Felder. Die gesamte elektromagnetische Feldenergie ist die Summe der elektrischen Feldenergien der beiden Felder.?? Falsch!!! Führe die Rechnung in der Näherung d >> r durch. L_07_6) Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe die Entscheidung! a) # Bei festgehaltener Spannung ist die elektrische Feldenergie eines Zylinderkondensators mit dünnwandigem Dielektrikum um so größer, je dünner die dielektrische Schicht ist.?? Richtig. Bei dünner Wand kann radiale Abhängigkeit durch homogene Felder angenähert werden: Merke: Immer erst summieren, dann quadrieren! d) Die Feldenergie einer Punktladung im freien Raum ist endlich.?? Falsch (was massenweise Probleme macht): b)# In einem Volumen überlagern sich elektrisches und magnetisches Feld. Die gesamte elektromagnetische Feldenergie ist die Summe aus elektrischer und magnetischer Feldenergie.?? Richtig. vgl. Energiesatz A_07_1 e) Die Feldenergie einer geladenen Metallkugel im freien Raum ist endlich.?? Richtig. Im freien Raum ist im Außenbereich das Feld der Metallkugel identisch dem der Punktladung. Das Innere der Metallkugel ist aber feldfrei, so daß bei obiger Betrachtung rmin nicht Null wird. VuEThET Einheit 7: Elektromagnetische Feldenergie, Lösungen# hans-walter.glock@uni-rostock.de # 4 von 6

5 f)# Die Feldenergie pro Längeneinheit eines unendlich langen geraden Drahts (mit endlichem Radius) mit Strom I ist endlich.?? Leider auch nicht: Den noch unbekannten Strom könnte man noch durch Leitfähigkeit (ebenfalls noch nicht gegeben) und Spannung aus Integration des E-Felds ersetzen: Selbst wenn der Draht von endlicher Dicke ist, divergiert immer noch der Anteil für r gegen Unendlich. Die Betrachtung eines einzelnen unendlich langen Leiters ist aber prinzipiell unphysikalisch, und sollte nur in der Nähe des Leiters als gute Approximation aufgefasst werden. Im wirklichen Leben ist jeder Stromkreis irgendwo geschlossen. Dann entstehen Dipol- (und höhere Multipol-) Felder, die nach außen hin schneller abklingen und auf eine endliche Feldenergie führen. g)# In einem idealen Leiter kann keine elektromagnetische Leistung übertragen werden.?? Richtig. Wie auch? Innen kann kein elektrisches Feld e- xistieren, damit ist der Energiestrom null. Merke: der Energietransport findet außen statt. L_07_7) Eine kleine Halbkugel-förmige Elektrode mit Radius r0 = 2 mm taucht in die Oberfläche einer leitfähigen Flüssigkeit ein, die sich in einem sehr großen (L = 1 m) rotationssymmetrischen metallischen Behälter befindet. Zwischen Halbkugel und Behälter liegt eine Spannung von 17 V an. a)# Berechne die Stromdichte in der Flüssigkeit unter der Annahme, der äußere Behälter sei selbst Halbkugelförmig (gestrichelt). Wegen der Radialsymmetrie zum Mittelpunkt der Elektrode gilt, da nur der halbe Raumwinkel von Strom durchflossen wird: b)# Aus einer zusätzlichen Strommessung bestimmt man den Strom I durch die Anordnung zu 4 A. Wie groß ist die Leitfähigkeit σ der Flüssigkeit? Das wesentliche ist dazu oben erledigt: Einsetzen liefert σ 18.6 S/m. c)# Berechne die Verlustleistungsdichte in der Flüssigkeit allgemein und speziell an den Oberflächen der Elektroden-Halbkugel und der Halbkugel-förmigen Wanne. Die Verlustleistungsdichte ist das Produkt aus E-Feld und Leitungsstromdichte (vgl. Energiesatz): Sie nimmt also in vierter Potenz nach außen hin ab. In Zahlen erhält man am äußeren Rand ca W/m 3, während an der Elektrodenoberfläche ca W/m 3 umgesetzt werden, also ein Unterscheid um über 9 Zehnerpotenzen (!). d)# Wie groß ist der Widerstand der 10 mm dicken Flüssigkeitsschicht um die Halbkugel im Vergleich zum Gesamtwiderstand? Welchen Einfluß hat es folglich, wenn die genaue Form der Wanne nicht bekannt ist? Sei Δ die Dicke der Fluidschicht. Dann gilt analog zu a): Mit den gegebenen Zahlen entstehen auf den ersten 10 mm (von 498 mm Gesamtabstand) rund 80% des Gesamtwiderstands. Unter solchen Gegebenheiten ist die exakte Form der äußeren großen Volumenbereiche fast belanglos im Vergleich zum Einfluß der Zonen mit sehr hoher Stromdichte nahe der Elektrode! e)# (zum Knobeln:) Berechne die magnetische Feldstärke in der Flüssigkeit (für die Halbkugel-förmige Wanne)! Betrachte dazu den Anschluß der Halbkugel-Elektrode als ein senkrecht zur Flüssigkeit nach oben verlaufendes Kabel und vernachlässige - außer der Stromverteilung im Fluid - alle weiteren Ströme. Man nutzt bei dieser Aufgabe tunlichst die Radial- und nicht nur die Rotationssymmetrie aus, und bleibt bei Kugelkoordinaten. Ausgangspunkt - wie immer bei gegebener stationärer Stromverteilung, gesuchtem Mag- VuEThET Einheit 7: Elektromagnetische Feldenergie, Lösungen# hans-walter.glock@uni-rostock.de # 5 von 6

6 netfeld und hoher Symmetrie - ist das Durchflutungsgesetz: Allerdings erfordert die Wahl einer geeigneten Fläche A eine gewisse Pfiffigkeit. Man nutzt den Umstand, daß A nicht eben sein muß, und wählt die Oberfläche eines um die z-achse symmetrischen Kugelabschnitts mit halbem Öffnungswinkel ϑ zur Achse: Zusammengesetzt folgt: f)# Welche magnetische Feldenergie ist im Fluidvolumen und der Elektrode gespeichert (gehe von einer Fortsetzung der radialsymmetrischen Ströme in der Elektrode bis zu einem mittleren Speisepunkt aus)? Elektrodynamisch ist die Sache höchst simpel: womit das Ergebnis entsteht: (wenn wir mal annehmen, die Flüssigkeit sei unmagnetisch). Einiges davon läßt sich geschmeidig integrieren: Auf dem Rand dieser Oberfläche, für den überall gleiches r und ϑ gilt, muß aus Symmetriegründen auch Hφ(ϑ,r) konstant sein. Die Wegintegration wird also wie häufig eine reine Multiplikation mit der Weglänge, jedoch Achtung beim Radius, da dieser jetzt in Kugelkoordinaten angegeben wird: Bei dem hinteren Integral kapitulieren nur Weichwürste (und wer will das schon sein?). Alle anderen substituieren erst Auch die Flächenintegration der Stromdichte über A ist komfortabel, da jr(r) als rein radialabhängige Größe e- benfalls nur mit der Fläche A multipliziert werden muß. A ergibt sich aber selbst als sehr einfaches Integral: und dann ein zweites Mal VuEThET Einheit 7: Elektromagnetische Feldenergie, Lösungen# hans-walter.glock@uni-rostock.de # 6 von 6